索罗增长模型

第一章 索洛经济增长模型 The Solow Growth Model
基本内容 1 索洛模型的基本假定 2 离散时间的索洛模型 3 离散时间索洛模型的过渡过程 4 连续时间的索洛模型 5 连续时间索洛模型的过渡过程 6 持久增长 7 带技术进步的索洛模型 8 比较动态分析
1 索洛模型的基本假定 ● 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架. ● 其核心假定是新古典总的生产函数. 家庭与生产 I ● 封闭经济,唯一的最终产品. ● 离散时间，t = 0, 1, 2, .... ● 该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为. ● 这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别. ● 为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表 示. 家庭与生产 II
R(t ) f ( k (t )) 0 w(t ) f (k (t )) k (t ) f (k (t )) 0.
(11)
●由假设 1 可知（11）中的要素价格均为正.
例子: Cobb-Douglas 生产函数 I ●一类特殊的生产函数，但应用很广泛:
Y (t ) F [ K (t ), L(t ), A(t )] AK (t ) L(t )1 , 0 1
同时， g x ( x, y, z ) 与 g y ( x, y, z ) 是关于 x 与 y 的 m 1 次齐次式.
市场结构与市场出清 I ●假定市场是竞争的, 因此也可认为是竞争一般均衡模型. ●家庭拥有劳动, 供给无弹性. ●经济中的劳动（力）, L (t ) , 无论在什么价格下，劳动的供给 量均为 L (t ) . ●劳动力市场出清条件:
w(t ) 与 R(t ) 是给定 ●假定要素市场完全竞争: 在厂商看来，
为 1.
厂商优化 II ●由于 F 可微, 一阶条件（FOC）为:
w(t ) FL [ K (t ), L(t ), A(t )],
(2) (3)
R(t ) FK [ K (t ), L(t ), A(t )].
●在(2) 与(3)中, K (t ) 与 L(t ) 分别表示厂商对资本和劳动的需 求量. ●实际上，可以通过(2)与(3)求解 K (t ) 与 L(t ) ,它们是资本租 赁价格 R(t ) 和工资率 w(t ) 的函数. 厂商优化 III 命题 假定假设 1 成立，那么均衡时厂商的利润为 0，
(5)
●注意，该模型没有家庭效用的最大化问题，因此此处难以讨 论社会福利等方面的话题. Solow 模型的Fra Baidu bibliotek态过程描述 II ●由于经济是封闭的 (同时不考虑政府支出)，于是
S (t ) I (t ) Y (t ) C (t ).
●假定家庭的储蓄率是常数，则
S (t ) sY (t ),
2 离散时间 Solow 模型 Solow 模型的动态过程描述 I ● K 的折旧率为 , 于是
K (t 1) (1 ) K (t ) I (t ),
(4)
其中， I (t ) 是 t 阶段的投资. ●对于封闭经济, 产出等于消费与储蓄（投资）之和
Y (t ) C (t ) I (t ),
例子: Cobb‐Douglas 生产函数 II ●或者直接从 Cobb-Douglas 生产函数有,
R(t ) AK (t ) 1 L(t )1 Ak (t )
1
,

w t 1 AK t L t

1 Ak t ,
K (t ) , L
●定义资本-劳动比率（人均资本）为
k (t )
(9)
●利用规模报酬不变, 人均产出 y (t ) Y (t ) / L 可表示为
K (t ) y (t ) F ,1, A L f (k (t )).
(10)
不考虑人口增长与技术进步时的均衡 II ●注意 f (k ) 依赖于 A, 本可以将生产函数写成 f (k , A) ;但由于 A 是常数，因此可以假定 A = 1. ●由欧拉定理
k 0 可能变为稳态均衡点
●本交点,即使存在，也不稳定。 ●在经济上，本交点意义不大.
不考虑人口增长与技术进步时的均衡 III
不考虑人口增长与技术进步时的均衡 IV ●另一视角的稳态表示: 折旧 k 与总投资 sf (k ) 的交点. 1 2 ●同一图中也可展示消费与储蓄. ● 稳态投资 sf (k ) =折旧 k （补充资本的量）.

初始资本存量 K (0) , K (t ), Y (t ), C (t ), w(t ), R(t )t 0 是资本、产

出、消费、工资率、租赁价格的均衡路径，其中 K (t ) 满足 (8),
Y (t ) 由(1)给出, C (t ) 由 (7)给出, w(t ) 与 R(t ) 分别由 (2) 与
市场结构与市场出清 II ●假设 1 与竞争的劳动力市场意味着工资率必须严格为正. ●家庭拥有资本，并将其出租给厂商. ●记 t 期的资本租赁价格 R(t ) . ●资本市场出清条件:
K s (t ) K d (t )
LHS-家庭的行为决定；RHS-厂商的行为决定 ●假定家庭拥有的初始资本存量为 K (0) ● P(t ) 为 t 时期最终产品的价格, 将其标准化为 1. ●利率 r(t) ●折旧率 δ ●家庭得到的实际回报 r (t ) R(t ) . 厂商优化 厂商优化 I ●考虑代表性厂商的最大化问题:
K L
lim FL () and lim FL () 0 for all L 0 all A
●保证内点解. 生产函数
Figure: Production functions and the marginal product of capital. The example in Panel A satisfies the Inada conditions in Assumption 2, while the example in Panel B does not.

直接可验证满足欧拉定理. 不考虑人口增长与技术进步时的均衡 不考虑人口增长与技术进步时的均衡 I ●将 (8)的两端同时除以 L 可得人均量的表达式:
k (t 1) sf (k (t )) (1 )k (t ).
(12)
定义 稳态均衡（steady-state equilibrium） k (t ) k * . 该经济将趋于该稳态均衡(但在有限时间不能到达). 稳态人均资本
(6) (7)
C (t ) (1 s )Y (t )
●于是资本供给（家庭的行为决定储蓄率 s）可表示为
K s (t ) (1 ) K (t ) S (t ) (1 ) K (t ) sY (t ).
Solow 模型的动态过程描述 III ●资本的供求相等 K s (t ) K (t ). ●同时也有劳动力市场供求相等 L(t ) L (t ). ●结合 (1) 与 (4), 可得 Solow 增长模型的动态方程:
不考虑人口增长与技术进步时的均衡 II ●上图实线代表 (12)，虚线是 45 线. ●它们的（正的）交点 k * 表示稳态人均资本
f (k * ) . k* s
(13)
●注意到还有另一交点 k 0 ,因为已经假定 f (0) 0 . ●忽略该稳态值: ●如果资本不是必不可少的（essential）, f (0) 可能大于 0
Y (t ) w(t ) L(t ) R(t ) K (t ).
●证明: 可直接从欧拉定理得到（注意到 m 1 ,即规模报酬不 变）.
关键假设 2 假设 2 (Inada conditions) F 满足 Inada 条件
K 0 L 0
lim FK () and lim FK () 0 for all L 0 all A
K (t 1) sF [ K (t ), L(t ), A(t )] (1 ) K (t ).
(8)
●非线性差分方程.
●Solow 增长模型的均衡由该方程以及 L(t ) (or L (t )) and A(t ) 来 刻画. 定义均衡 I ●没有家庭优化, 但仍然有厂商最大化行为以及要素市场 的出清. 定义 在 Solow 模型中，对于给定的序列 L(t ), A(t )t 0 以及
●满足假设 1 和 2. ●两边同时除以 L(t ) ,
y (t ) Ak (t )
●由 (11)可得
Ak (t ) R(t ) Ak (t ) (1 ) k (t )
●由欧拉定理,
w(t ) y (t ) R(t )k (t ) (1 ) Ak (t ) .
(3)给出.
●注意，均衡是沿着时间的整条路径，而不是静态的点. 不考虑人口增长与技术进步时的均衡 不考虑人口增长与技术进步时的均衡 I ●进一步假定（稍后放松假定）: 1 2 ●没有人口增长;假定总人口为常数 L > 0， 即 L(t ) L . ● 假定没有技术进步，即 A(t ) A .
L ( t )0, K ( t ) 0
max
F [ K (t ), L(t ), A(t )] w(t ) L(t ) R(t ) K (t ).
●注意: 1 2 3 的. 4 ●凹的问题,因为 F 是凹的. ●上述最大化问题中的变量是总量. ●在 F 前面没有系数, 这是因为最终产品的价格已正规化
m 次齐次函数.
K 2 定理 (欧拉定理 Euler's Theorem) 假定函数 g : R R 为 xR 与
y R 的 m 次齐次函数， 偏导数分别是 g x 与 g y ， 那么对任意的 x R ，
y R 以及 z R K ，有
mg ( x, y, z ) g x ( x, y, z ) x g y ( x, y, z ) y
L(t ) L (t )
上式对所有的 t 均成立 , L(t ) 劳动需求 (也可视为就业水平). ●一般来说, 互补松弛条件的表述更为准确.
●记 t 时期的工资率为 w (t), 于是劳动力市场出清条件可表 示为
L(t ) L (t ), w(t ) 0 and ( L(t ) L (t )) w(t ) 0
● 假定家庭的储蓄率外生 ● 所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表 示. ● 对该经济中的唯一最终产品，生产函数为
Y (T ) F [ K (t ), L(t ), A(t )]
(1)
● 假定资本与最终产品相同（比如玉米）,用于生产更多 的产品. ● A(t ) 可以理解为技术. ● 主要假定: 技术是免费的; 具有非竞争性与非排他性.
同时, F 关于 K 与 L 规模报酬不变. ● 假定 F 关于 K 与 L 规模报酬不变， 即关于这两个变量 线性齐次.
复习
定义 假定 K 为整数，如果对任意的 R 与 z R K ，有
K 2 g ( x, y , z ) m g ( x, y , z ) ， 那么函数 g : R R 为 xR 与 yR 的
消费与投资的稳态
不考虑人口增长与技术进步时的均衡 V 命题 考虑 Solow 增长模型，同时假定 1 与 2 满足，则存在唯 一的稳态均衡 k * (0, ) 由(13)给出, 人均产出为
关键假设 1 Assumption 1 (连续性, 可微性, 边际产出为正且递减, 规
3 R 关于 K 与 L 二阶连续可 模报酬不变) 生产函数 F : R
微, 且满足
F () F () FL ( K , L, A) 0 0 K L 2 F () 2 F () 0 FLL ( K , L, A) 0 FKK ( K , L, A) K 2 L2 FK ( K , L, A)