高中数学简单的三角恒等变换课件

1 tan2 1 tan2
特点: 两个二次项作差
cos 2 2cos2 1
特点: 升幂; 倍角化单角; 函数名不变
cos 2 1 2sin2
特点: 升幂; 倍角化单角; 函数名变
1.升幂 (去根号) α为锐角
1 cos 2 _________
1 cos 2 _________
2
2
cos2 cos 1
2
2
tan2 1 cos 2 1 cos
sin 1 cos
2
2
cos
cos 1
2
2
tan2 1 cos 2 1 cos
用途： ➢ 降幂去平方 ➢ 求半角
cos 2 cos2 sin2
cos2 sin2 cos2 sin2
5.5.2
例1 试以cosα表示
.
cos 2 1 2sin2
cos 1 2sin2
2
cos 2 2cos2 1 cos 2cos2 1
2
①÷②得 tan2 1 cos
2 1 cos
sin2 1 cos ①
2
2
cos2 cos 1 ②
2
2
sin2 1 cos
【练习】(2) 已知 域，单调递增区间.
【变式】(3) 已知 值域，单调递增区间.
，求函数f(x)的周期，值 ，求函数f(x)的周期，
【课本练习17题】 (1) 求函数
(2) 求函数
的周期和单调递增区间; 的最大值和最小值
【练习】 2.已知函数
.
（1）求f(x)的最小正周期.
（2）求证：当
时，
个单调区间分别为
别为( )
(

2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，

用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2

2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos

2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos

2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

2

2

2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2

思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��

第五章 三角函数
课堂互动探究
探究一 降幂、半角公式的应用 设 π<θ<2π，cos2θ＝a，求：
(1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin24θ的值．
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
解 (1)∵π<θ<2π，∴π2<2θ<π.又∵cos2θ＝a， ∴sin2θ＝ 1－cos22θ＝ 1－a2. ∴sin θ＝2sin2θcos2θ＝2a 1－a2. (2)cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1. (3)sin24θ＝1－2cos2θ＝1－2 a.
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
第五章 三角函数
课程标准
能用两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式进行简单 的恒等变换(包括推导出积化和 差、和差化积、半角公式，这三 组公式不要求记忆).
核心素养
通过对简单的三角恒等变换 的学习，提升“逻辑推 理”、“数学运算”的核心 素养.
2＋1 4.
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第五章 三角函数
2．若 cos α＝13，且 α∈(0，π)，则 sinα2＝________.
解析 ∵α∈(0，π)，∴α2∈0，π2.∴sinα2>0.
又 cos α＝1－2sin2α2＝13，∴sinα2＝
1－cos 2
α＝
3 3.
答案
3 3
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第五章 三角函数
(2)由 x∈－π4，π4得 2x－π3∈－56π， π6，
则 sin2x－π3∈－1，12，
即函数 f(x)＝12sin

【例 3】
求证：sins2inα＋α β－2cos
(α＋β)＝ssiinn
β α.
[思路探索] 式中涉及角 α、β、α＋β，2α＋β，因此可以把 2α＋
β 化为(α＋β)＋α，再进行证明．
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
题型四 三角函数的实际应用 【例 4】 点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形 ABTP 面积最 大？ 审题指导 先画图 ――用―α―→ 表示出四边形 ABTP 的面积 ―三―利角―用公――式→ 求最值 ――得―出――→ α值
α2＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs α，
cos 2 cos 2ห้องสมุดไป่ตู้2sin 2
αα
α
sin α＝2sin
α 2cos
α2＝s2isni2nα2＋2ccooss22α2＝12＋tatnan22α2.
cos α＝cos2α2－sin2α2，
＝ccooss22αα22－ ＋ssiinn22αα22＝11－ ＋ttaann22αα22.
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以
sin
α，得sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α
规律方法 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征， 通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方 法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为 整式来证．

问题3 （1）中式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？
第一，从所含角的角度考虑，等式左侧包含角α及β，
而等式右侧包含了α与β的和角以及差角，因此如果从等式右边出发，
借助和角公式与差角公式化简，最后可以化成等号左边的形式；
第二，从运算结构的角度考虑，等号左侧是sin α与cos β的乘积，
简单的三角恒等变换
第一课时
高中数学人教A版必修第一册（新课标）
新知探究
例1 试以cos α表示 ．
新知探究
例1 试以cos α表示 ．
新知探究
问题2 经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等变换与代数恒等变换二者之间有何区别吗？
这两种思考方法是本质上是一致的．
新知探究
你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？
问题3 （1）中式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
新知探究
问题4 注意观察（2）式的左右两侧，它与（1）的结构特征有何区别？两个等式之间有什么联系？
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sin αcos β，
新知探究
（1）
例2 求证：
新知探究
（1）
（2）
例2 求证：
在变换中经常用到化归思想、转化思想、方程思想以及换元法．
回顾小结
问题5 我们在进行三角恒等变换时，应该怎样进行分析？在变换中经常会用到哪些数学思想或方法？
求证：
3
谢谢大家
再见
作业：教科书习题5.5第9，10，11，19题．
作业布置

（2）cos α·sin β = [sin(α + β) – sin(α – β)]；
1
2
2
θ+φ
（3）cos α·cos β = [cos(α + β) + cos(α – β)]； （3）cos θ + cos φ = 2cos
1
2
（4）sin α·sin β = – [cos(α + β) – cos(α – β)].
，tan =±
2
2
2
2
1+ cos α
α
2
思考：若 = β，你能表示出 sin β ，cos β ，tan β 的半角公式吗？
学习目标
新课讲授
总结归纳
课堂总结
降幂与升幂公式
降幂公式
半角公式：
sin2β
1− cos 2β
1+ cos 2β
1− cos 2β
2
2
=
，cos β =
，tan β =
2
2
1+ cos 2β
θ+φ θ–φ
cos
.
思考：结合上述证明，你还能发现其他类似的式子吗？
2
2
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结归纳
积化和差与和差化积公式
积化和差
和差化积
θ+φ
1
2
（1）sin θ + sin φ = 2sin
1
2
（2）sin θ – sin φ = 2cos
（1）sin α·cos β = [sin(α + β) + sin(α – β)]；
2

,
π
∴4sin θ-4cos θ=20 .
∴ ×
1
1+cos2
4
2
− ×
3
1-ta n 2
5
1+ta n 2
即 cos 2θ=- =
11
sincos 6 − cossin 6 =20 ,
11
2
π
=
11
20
.
.∴tan θ=±2.
要点笔记 1.当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求
1
1+cos4
2
2
= sin 4x+
2
=2
=
2
2
2
2
sin4cos
(3)y=sin
= 3
3
2

2
+
π
3
1
1
2
2
2
= sin 4x+ cos 4x+
2
sin4 +
1
2
π
4
1
cos4 + 2
+ cos4sin
π
4
1
2
+ = sin 4 +
2
2
π
4
+ .
2


π

π

2
2
3
2
3
2
= 3sin
思维脉络
课前篇 自主预习
[激趣诱思]
同学们,你知道电脑输入法中“半角”和“全角”的区别吗?半角、全角主要是针对
标点符号来说的,全角标点占两个字节,半角标点占一个字节,但不管是全角还是

【(2解)求】f(x)f在(x)π6＝，(－23πc上os的x)·单(－调s递in 增x)－区间3．·1＋c2os
2x＋
3 2
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x＝sin2x－π3.
(1)f(x)的最小正周期为 π，最大值为 1.
(2)令 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 即 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，所以 f(x)在π6，51π2上单调递增，即 f(x)在 π6，23π上的单调递增区间是π6，51π2.
A．
6 3
B．－
6 3
C．±
6 3
D．±
3 3
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
()
A．－
10 10
B．
10 10
C．3103
D．－35
答案：B
4．已知 cos θ＝－35，且 180°＜θ＜270°，则 tan θ2＝________．
答案：－2
探究点 1 应用半角公式求值
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
1．若 sin(π－α)＝－ 35且 α∈π，32π，则 sinπ2＋α2等于
A．－
6 3
B．－
6 6
C．
6 6
D．
6 3
4．化简：
1＋cos（23π－θ）32π<θ<2π＝________．
解析：原式＝
1－cos 2
θ＝sinθ2，
因为32π<θ<2π，所以34π<θ2<π，

b， a2＋b2
则有 y＝asin x＋bcos x
＝ a2＋b2(cos θsin x＋sin θcos x)＝ a2＋b2sin(θ＋x)．
自测自评
1．已知 sin α＝ 55，则 sin4α－cos4α 的值为(
)
A．－15
B．－35
1 C.5
3 D.5
解析：原式＝sin2α－cos2α
＝2sin2α－1＝－35.故选 B.
1－cos 1＋cos
α来解， α
也可由 cos α＝－35解出 sin α，再根据公式 tanα2＝1－sicnoαs α
或
tanα2＝1＋sincoαs
求解．对第一种解法，要注意符号的选择． α
解析：解法一：∵180°<α<270°，∴90°<α2<135°， 即角α2是第二象限角，∴tanα2<0，
θ.
分析：半角公式、倍角公式的灵活运用．
证明：法一：
原式＝22csoins22θ2θ2＋＋22ssiinnθ2θ2ccoossθ2θ2＋22csoins22θ2θ2＋＋22ssiinnθ2θ2ccoossθ2θ2
θθ
＝ sin2θ＋cosθ2＝
1 θθ
cos2 sin2 cos2sin2
＝sin2 θ.
即 x＝72π4时，f(x)取得最小值 3 3－2 2.
因为函数 y＝sin2x－3π在区间π4，72π4上是单调递增的，
所以函数 f(x)在区间π4，72π4上是单调递减．
点评：这类问题由于兼顾了函数性质以及三角变换， 因此是高考考查的热点问题，在此过程中往往还会用到和、 差角的特殊形式，因此对于一些常见辅助角的变换要熟悉，
12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] 12[sin(α＋β)－sin(α－β)]

2．给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值． 解题关键：把“所求角”用“已知角”表示． (1)当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差 的形式或者和或差的二倍形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或 倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．
(2)cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.
[解析]
解法一：cos
20°cos
40°·cos
80°＝sin
20°cos
20°cos 40°cos sin 20°
80°
1
＝2sin
40°cos 40°cos sin 20°
80°
＝14sins8in0°2c0o°s 80°
θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos2θ>0，∴原式＝－cos θ.
2．证明：cos θ－cos φ＝－2sin
θ＋φ 2 sin
θ－φ 2.
[证明] 因为θ＝θ＋2 φ＋θ－2 φ，φ＝θ＋2 φ－θ－2 φ，
所以cos θ－cos φ
＝cosθ＋2 φ＋θ－2 φ－cosθ＋2 φ－θ－2 φ
第四章 三角函数 解三角形
第四节 简单的三角恒等变换
[复习要点] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、 余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但 对这三组公式不要求记忆)．
理清教材•巩固基础
知识点 半角公式(不要求记忆)
1－cos α 1．sin α2＝_±_______2____；

已知sin 3 ,是第四象限角，求sin( ),cos( ),
5
4
4
tan( )的值。
4
tan( )
4
tan tan
4
1 tan tan
4
tan 1 1 tan
3 1 4
1 ( 3)
7
4
探究点2 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题纠 错备档
已知sin 3 ,是第四象限角，求sin( ),cos( ),
探究点2 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题纠 错备档
已知sin 3 ,是第四象限角，求sin( ),cos( ),
5
ห้องสมุดไป่ตู้
4
4
tan( )的值。
4
于是有 sin( ) sin cos cos sin
4
4
4
2 4 2 ( 3) 7 2 ; 2 5 2 5 10
探究点2 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题 纠错备档
5
4
4
tan( )的值。
4
cos( ) cos cos sin sin
4
4
4
2 4 2 ( 3) 7 2 ; 2 5 2 5 10
探究点3 透视平面向量与三角函数的交汇
设a与b的夹角为（0 180）， 则cos a b
ab
设a （x1, y1),b (x2 , y2 ),且a与b夹角为，
原式 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 cos2
2
2
2
2
2
1 4
(1
cos2
cos2
cos 2

2x＋(sin
x－cos
x)(sin
x＋cos
x)
＝12cos
2x＋
3 2 sin
2x＋sin2x－cos2x
＝12cos
2x＋
3 2 sin
2x－cos
2x＝sin2x－π6，
∴最小正周期 T＝22π＝π.
∵2x－π6＝kπ＋π2，k∈Z， ∴x＝k2π＋π3，k∈Z. ∴图象的对称轴方程为 x＝k2π＋π3，k∈Z. (2)∵x∈－1π2，π2， ∴2x－π6∈－π3，56π.
由αα＋－ββ＝＝2－3ππ4，
得αβ＝＝15221π44π
故当 α＝52π4，β＝1214π时，ymax＝ 42－12.
【正确解答】y＝
1＋cos α
2α α
－1＋cos2π2－2β
cosα2－
sin2 α
sin2 cos2
＝sincαocsoαs2 α－12－12sin 2β＝12sin 2α－12sin 2β－12. 2 分
(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)求函数 f(x)在区间－1π2，π2上的值域．
• 【思路点拨】将已知函数通过三角函数恒等变换转化为y＝Asin(ωx＋φ) 的形式，再研究其性质．
解：(1)∵f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4
＝12cos
2x＋
3 2 sin
• 解：如图，连接PB.
• ∵AB为直径，∴∠APB＝90°. • ∵∠PAB＝α，AB＝1， • ∴PB＝sin α，PA＝cos α. • 又PT切圆于P点， • 则∠TPB＝∠PAB＝α. • ∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝12PA·PB＋12PT·PB·sin α ＝12cos α·sin α＋12sin2 α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝ 42sin2α－π4＋14. ∵0＜α＜π2，－π4＜2α－π4＜34π， ∴当 2α－π4＝π2，即 α＝38π 时，四边形 ABTP 的面积最大．