高三数学三垂线定理PPT优秀课件

∴B1C是A1C在面BCC1B1上的
D1
射 影由三垂线定理知 A1C⊥BC1 . A1
同理可证， A1C⊥B1D1
D
C1 B1
C
A
B
小结：运用三垂线定理及逆定理证明两条
异面直线垂直,必然要涉及平面的斜线,平面 的垂线，这是三垂线定理解题的关键.我们 可以从以下三点加以理解:
1°知识内容：三垂线定理及其逆定理； 2°思想方法:转化的思想,转化的关键是:找 平面的垂线
垂直，则这条直线 与斜线的位置关系是（ D ）
（A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、如图四面体中，如果AB是直径，Ｃ为圆周上任意
点且ＰＡ垂直于平面ＡＢＣ．那么该四面体最多有
多少个直角三角形（ C ）
P
（A）有一个直角三角形
（B）有两个直角三角形
（C）都是直角三角形
A
（D）一定都不是直角三角形
3°应用步骤:分三个步骤-“一垂二射三证”
五.布置作业：
１．（1）求证：两条平行线和同一个平面所成的角 相等。
（2）从平面外一点D向平面引垂线段DA及斜线 段DB、DC，DA=a，∠BDA=∠CDA=60°， ∠ BDC=90 °，求BC的长。
（3）如图，一块正方体木料的上底面上有一点E，
要直经，过 应点 怎E样在画上？底面上画一条直D1线和C、E E的连C1线垂
C
∴BD⊥AC（三垂线定理）。
例BD21，.如AC图，，CB已1，知B正1A方，体求A证BC：D-BAD11B⊥1C平1D面1中A，B1C连结
证明：连结BD，连结A1B ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC
定理内容分析：
1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)； 四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线)。
顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜 线，射影可见，直线随便。
2、“三垂线”的含义： （1）垂线与平面垂直 （2）射影与平面内的直线垂直 （3）斜线与平面内的直Biblioteka Baidu垂直
二、基础性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影
则 a⊥b
（√）
面直直面直 直面直直A线线B线线A线线B1ABBBAACAB11CC1BDCB11CDCCB→→→→1→→→→垂面斜斜垂面斜面线α线线线α线β baaba
2. 在正方体AC1中，
D1 A1
C1 B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 D
C
证明： ∵在正方体AC1中
A
B
A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
A1
·
B1
D A
C B
２．已知P在平面ABC内的射影是O，
若p到△ABC的三边的距离相等，则点O是
△ABC的
。
若PA=PB=PC ，则点O是△ABC的
。
若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC
的
。
探索1、已知P在平面ABC内的射影是O，O是
△ABC的垂心，求证PA⊥BC，PB⊥AC。
探索2、已知P在平面ABC内的射影是O，O是
∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，
Q
∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，
∴AQ⊥平面PBC，
∴QR 是 AR 在 平 面 PBC 的 射 影 ， 又 AR⊥PB ，
R
∴QR⊥PB（三垂线逆定理），
A
C
∴∆PQR是直角三角形。
B
四 课堂练习
1.判断下列命题的真假：
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
D1
△ABC的垂心，求证B在平面PAC内的射影是O’是
△PAC的垂心。
探索3、已知O是锐角△ABC的垂心，PO⊥平
面ABC，∠BPC=９０ ° ．
求证：∠BPA= ９０ ° ，∠APC= ９０ ° 。
本节课到此结束
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演讲人: XXX
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D
请同学思考：如何证明BD1⊥AB1 A 而AB1， AC相交于点A且都在平面
AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C
C B
例3.如图所示,已知PA ⊥平ABC,∠ACB=90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角 形。
证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB= 90°， ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影， P ∴BC⊥PC（三垂线定理）， ∴∆PBC是直角三角形；
三垂线定理
(06高考复习)
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三垂线定理及其逆定理（一）
复习回顾
P
基础应用
A
能力拓展
B C
课堂练习
一 基本概念：
三垂线定理：在平面内的一条直线， 如果它和这个平面的一条斜线的射影 垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线逆定理：在平面内的一条直 线，如果和这个平面的一条斜线垂 直，那么，它也和这条斜线的射影 垂直。
B C
三、例题分析：例１、空间四边形ABCD中，
AB垂直于CD，BC垂直于AD，求证：AC ⊥BD。
证明：
如图，若AB是平面BCD的斜 线，过A
A
作AO⊥平面BCD于O，连结BO，
∵AB⊥CD，
∴CD⊥BO（三垂线逆定理）.
D
同理可得BC⊥OD，则O为∆BCD的垂B 心，
∴BD⊥OC，
O
∵OC是AC的射影，
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×） A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b
（ ×）
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
D
C
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b
（
×
）
A
面ABCD
B
→面α
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，