2019-2020学年甘肃省兰州市第五十一中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{|14,}A x x x Z =-≤<∈，则集合A 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C根据x 满足的不等式列举出x 的可能值，然后用列举法写出集合A ，即可得到集合A 中元素的个数. 解：因为14,x x Z -≤<∈，所以x 可取1,0,1,2,3-， 所以{}1,0,1,2,3A =-，所以集合A 中元素的个数为5. 故选：C. 点评：本题考查用列举法求集合中元素的个数，难度较易. 2．已知集合M ＝｛x ｜x ＜0｝，N ＝｛x ｜x ≤0｝，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．MUN ＝RC ．M ⊆ND ．N ⊆M【答案】C根据具有包含关系的两个集合的交集与并集的性质求得结果. 解：因为{}{}|0,|0M x x N x x =<=≤， 所以有M N ⊆，所以有M N M =I ，M N N =U ， 所以只有C 是正确的， 故选C. 点评：该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有判断两集合的关系，具备包含关系的两集合的交并运算的性质，属于简单题目. 3．已知集合U N =，{}*|2,A x x n n N ==∈，{|16}B x x =<„，则()UA B =Ið（ ）A ．{2,3,4,5,6}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5}D ．{3,5}【答案】D按照补集、交集的定义，即可求解. 解：{}*|2,A x x n n N ==∈，{|16}B x x =<„，()UA B =Ið{3,5}.故选:D. 点评：本题考查集合的混合计算，属于基础题.4．若a<12( )A BCD【答案】C试题分析：因为a<12，所以2a －,故选C. 【考点】根式的性质.5．计算:()()4839log 3log 3log 2log 2++=（） A ．1 B ．54C ．2D ．34【答案】B将对数的底数或真数化成幂的形式，运用对数运算的法则求解. 解：()()4839log 3log 3log 2log 2++=2233111log 3log 3log 2log 2232⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭23535log 3log 2624==g ，故选B . 点评：本题考查对数的运算法则，属于基础题. 6．已知函数()ln(1)f x x =++，则函数()f x 的定义域为 （ ） A ．(]1,1- B ．(1,1)-C ．[)1,1-D ．[]1,1-【答案】B根据定义域定义得到不等式1010x x +>⎧⎨->⎩，解得答案.解：函数()ln(1)f x x =++，则函数()f x 的定义域满足1010x x +>⎧⎨->⎩解得11x -<<故选：B 点评：本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.7．给出函数()(),f x g x 如下表，则f 〔g （x ）〕的值域为（ ）A ．{4,2}B ．{1,3}C ．{1,2,3,4}D ．以上情况都有可能 【答案】A当x=1或x=2时，g （1）=g （2）=1，f （g （1））=f （g （2））=f （1）=4；当x=3或x=4时，g （3）=g （4）=3，由表中可得f （g （3））=f （g （4））=f （3）=2．于是可得答案． 解：∵当x=1或x=2时，g （1）=g （2）=1， ∴f （g （1））=f （g （2））=f （1）=4； 当x=3或x=4时，g （3）=g （4）=3， ∴f （g （3））=f （g （4））=f （3）=2． 故f 〔g （x ）〕的值域为{2，4}． 故选：A ． 点评：本题考查函数的表示方法，关键在于理解图表中表达的函数，属于基础题．8．下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是 ( ) A ．22y x x =+ B ．12x y +=C ．31y x =+ D ．(1)||y x x =-【答案】C根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案． 解：（A ）22y x x =+的值域不是R ，是［－1，＋∞），所以，排除； （B ）12x y +=的值域是（0，＋∞），排除；（D ）()1y x x =-＝22,0,0x x x x x x ⎧-≥⎨-+<⎩，在（0，12）上递减，在（12，＋∞）上递增，不符；只有（C ）符合题意.故选C. 点评：本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题． 9．设f （x ）是定义在实数集R 上的函数，且y=f （x+1）是偶函数，当x ≥1时，f （x ）=2x ﹣1，则f （23），f （32），f （13）的大小关系是（ ） A ．f （23）＜f （32）＜f （13） B ．f （13）＜f （23）＜f （32）C ．f （13）＜f （32）＜f （23）D ．f （32）＜f （13）＜f （23）【答案】A根据函数y=f （x+1）是偶函数得到函数关于x=1对称，然后利用函数单调性和对称之间的关系，进行比较即可得到结论． 解：∵y=f （x+1）是偶函数， ∴f （﹣x+1）=f （x+1）， 即函数f （x ）关于x=1对称．∵当x ≥1时，f （x ）=2x ﹣1为增函数， ∴当x ≤1时函数f （x ）为减函数． ∵f （32）=f （12+1）=f （﹣12+1）=f （12），且13＜12＜23，∴f （13）＞f （32）＞f （23）， 故选：A ． 点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决本题的关键．10．若函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可以为（ ）A ．21()x f x x+=B ．()2ln 2()x f x x+=C ．33()x f x x+=D ．ln ()xf x x=【答案】A根据函数图象的基本特征，利用函数定义域、值域、奇偶性等排除可得答案． 解：选项B 根据图象可知：函数是非奇非偶函数，B 排除；选项C 根据图象x 趋向于-∞，函数值为负，与C 矛盾故排除； 选项D 函数图象在第三象限，0x <，与D 的定义域矛盾，故排除； 由此可得只有选项A 正确； 故选：A . 点评：本题考查函数图象判断解析式，此类问题主要利用排除法，排除的依据为函数的基本要素和基本性质，如定义域、值域、零点、特殊点、奇偶性、单调性等，属于中等题. 11．已知定义在R 上的减函数()f x 满足()()0f x f x +-=，则不等式(1)0f x -<的解集为（ ） A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【答案】C试题分析：由()()0f x f x -+=得()f x 是奇函数，又函数为奇函数得101x x ->∴<，解集为(),1-∞【考点】函数奇偶性单调性 12．已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．11,72⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D由分段函数的性质，若f （x ）是（−∞，+∞）上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即x =1时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值．由此不难判断a 的取值范围． 解：∵当x ≥1时,y =log a x 单调递减， ∴0<a <1；而当x <1时,f (x )=(3a −1)x +4a 单调递减， ∴a <13； 又函数在其定义域内单调递减， 故当x =1时,(3a −1)x +4a ≥log a x ,得a ≥17， 综上可知, 17≤a <13.故选：D . 点评：本题考查分段函数单调性的性质,一次函数、对数函数的单调性与特殊点，根据单调性与分界点的函数值建立不等式求解，属于中等题.二、填空题13．已知集合{}|13A x x =-<<，{}|B x m x m =-<<，若B A ⊆，则m 的取值范围为__________． 【答案】(],1-∞由B ⊆A ，分类讨论，推出m 的取值范围． 解： 解：∵B ⊆A ，B ＝∅，m ≤0，B ≠∅，031m m m >⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩解得，0＜m ≤1即实数m 的取值范围为m ≤1． 点评：本题考查了集合的包含关系应用，考查分类讨论的数学思想，比较基础. 14．函数(1()10,x f x a a -=+>且)1a ≠的图象恒过的定点为____________ .【答案】（1,2） 结合函数(0,xy a a =>且)1a ≠恒过定点()0,1,可求得()f x 恒过的定点.解： 由函数(0,x y aa =>且)1a ≠恒过定点()0,1,可令1x =,得(1)2f =,即函数()f x 恒过定点()1,2. 故答案为:()1,2. 点评：本题考查了指数函数恒过定点的应用,考查了学生对指数函数知识的掌握,属于基础题. 15．函数()2()log 81xf x =+的值域为________.【答案】()0+∞，函数的定义域为R ，结合指数函数性质可知8x >0恒成立，则真数8x +1>1恒成立，再结合对数函数性质即可求得本题值域． 解：根据对数函数的定义可知,真数8x +1>0恒成立，解得x ∈R . 因此，该函数的定义域为R ，原函数()2()log 81xf x =+是由对数函数y =log 2t 和t =8x +1复合的复合函数. 由复合函数的单调性定义(同増异减)知道，原函数在定义域R 上是单调递增的. 根据指数函数的性质可知, 8x >0,所以, 8x +1>1， 所以()22()log 8110xf x log =+>=，故答案为：()0+∞，. 点评：本题考查复合函数的值域，先求中间函数的值域，再求目标函数的值域，属于基础题. 16．用{}max a b c ，，表示三个数a b c ，，中的最大值，则函数222,f x max log x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（）＝，在()0,∞+上的最小值为_____．【答案】1分别画出222x y y y log x x ＝，＝，＝的图象，分别求出最小值，比较即可． 解：分别画出222x y y y log x x＝，＝，＝的图象，如图所示，由图可知，三条曲线相交于点（2,1），2xy =与2log y x =相交于（2,1）和（4,2）两点， 且当24x <<时，2log y x =在上方，当4x >时，2xy =在上方， 所以有：22,02()log ,24,42x x f x x x xx ⎧<≤⎪⎪=<≤⎨⎪⎪>⎩，所以函数()f x 在(0,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，且(2)1f =， 所以()f x 的最小值是1， 故答案为1 点评：本题考查新定义的理解和运用，画出图象，通过图象观察和函数最值是关键．三、解答题17．设集合(){}2|1A x x a =-<，{}0.5|log (3)2B x x =-≥- （1）当3a =时，求A B I ； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{x |2<x <3}；（2）{a |0≤a ≤2} （1）根据集合的基本运算即可求a =3时A ∩B ；（2）根据A ⊆B ，建立条件关系即可求实数a 的取值范围． 解：集合(){}{}2|11|1A x x a x a x a =-<=-<<+， 当a =3时，A ={x |2<x <4}，{}{}{}0.5|log (3)203|413|B x x x x x x =-≥-=<-≤=-≤<，所以A ∩B ={x |2<x <3}(2)由(1)知：A ={x |a −1<x <a +1}A ⊆B ，所以：a +1≤3，a −1≥−1同时成立.解得：0≤a ≤2，实数a 的取值范围{a |0≤a ≤2}. 点评：本题考查集合的运算及包含关系判断及应用，属于简单题. 18．已知函数2()22f x x ax =++，[5,5]x ∈-，（1）当1a =-时，求()f x 的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数. 【答案】（1）()f x 的最大值为37，最小值为1；（2）5a ≥或5a ≤- （1）直接将a =−1代入函数解析式，求出最大最小值．（2）先求f （x ）的对称轴x =−a ，所以若y =f （x ）在区间[−5，5]上是单调函数，则区间[−5，5]在对称轴的一边，所以得到−a ≤−5，或−a ≥5，这样即得到了a 的取值范围． 解：(1)当a =−1时,函数()22()2211f x x x x =-+=-+的对称轴为x =1， ∴y =f (x )在区间[−5,1]单调递减,在(1,5]单调递增， 且f (−5)=37,f (5)=17<37，∴f (x )min =f (1)=1,f (x )max =f (−5)=37；（2）函数22()()2y f x x a a ==++-的图像的对称轴为x a =-，当5a -≤-，即5a ≥时函数在区间[5,5]-上是增加的， 当5a -≥，即5a ≤-时，函数在区间[5,5]-上是减少的， 所以使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数5a ≥或5a ≤-. 点评：本题考查二次函数的图象和性质，二次函数对称轴、极值、最值是常考点，必须牢记公式灵活应用，属于基础题.19．已知0a >且满足不等式215222a a +->. （1）求实数a 的取值范围.（2）求不等式log (31)log (75)a a x x -<-.（3）若函数log (21)a y x =-在区间[1,3]有最小值为2-，求实数a 值.【答案】（1）(0,1)；（2）715xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣；（3）5a = （1）根据指数函数的单调性即可求解； （2）根据对数的单调性即可求解；（3）根据对数的单调性在区间[1，3]有最小值为−2，可得y =log a 5=−2，可得a 的值． 解：(1)由题意,a >0且满足不等式215222a a +->. 可得2a +1>5a −2， 解得：a <1，故得实数a 的取值范围是(0,1). (2)由(1)可知0<a <1， ∴对数函数是单调递减函数.则3107503175x x x x->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得：715x <<.故不等式的解集为715xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣. (3)由(1)可知0<a <1， ∴对数函数是单调递减函数.函数()21a y log x =-在区间[1,3]有最小值为−2, 即()2312a log ⨯-=-可得：5a =. 点评： 本题考查指、对数不等式的解法及指对函数基本性质的应用，指、对数不等式的解法一般根据底数确定单调性，然后建立不等式求解即可，注意对数函数真数恒大于0，属于基础题.20．已知函数()f x 是定义域为[]22-,的奇函数，且在[]0,2上单调递增. （1）求证：()f x 在[]2,0-上单调递增；（2）若不等式()()22log (2)log (2)f m f m <+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭（1）任取x 1、x 2∈[−2，0]且x 1<x 2，则0≤−x 2<−x 1≤2，根据奇函数的性质、f （x ）的单调性判断出f （x 1）<f （x 2），由函数单调性的定义即可证明；（2）由（1）和题意判断f （x ）在[−2，2]上的单调性，根据单调性、定义域、对数的性质列出不等式组，由对数函数的性质求出实数m 的取值范围．解：(1)证明：任取x 1、x 2∈[−2,0],且−2≤x 1<x 2≤0，则0≤−x 2<−x 1≤2，∵f (x )在[0,2]上单调递增,且f (x )为奇函数，∴f (−x 2)<f (−x 1),则f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[−2,0]上单调递增；(2)由(1)和题意知：f (x )在[−2,2]上单调递增，∴不等式()()22log (2)log (2)f m f m <+化为： ()()()()22222222222220,20log m log m log m log m m m ⎧-≤≤⎪-≤+≤⎪⎨<+⎪⎪>+>⎩, 解得128m ≤<， ∴实数m 的取值范围是1,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭.点评：本题为函数奇偶性与单调性的综合问题，考查定义法证明单调性及利用单调性求参数的取值范围，属于基础题. 21．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且满足()()()f xy f x f y =+，()21f =.（1）求()8f ；（2）求不等式()()23f x f x -->的解集．【答案】（1）3 （2）1627x << 试题分析：（Ⅰ）利用已知条件，直接通过f （8）=f （4）+f （2），f （4）=f （2）+f （2）求解f （8）；（Ⅱ）利用已知条件转化不等式f （x ）+f （x-2）＞3为不等式组，即可求解不等式的解集试题解析：（1）由题意可得f （8）=f （4×2）=f （4）+f （2）=f （2×2）+f （2）=3f（2）="3"（2）原不等式可化为f （x ）＞f （x-2）+3=f （x-2）+f （8）=f （8x-16） ∵f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数∴解得：1627x << 【考点】抽象函数及其应用，函数的单调性的应用22．已知函数2431()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，（1）若1a =-，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有最大值3，求a 的值.（3）若()f x 的值域是(0,)+∞，求a 的取值范围.【答案】（1）函数f (x )的递增区间是(−2,+∞),递减区间是(−∞,−2)；（2）a =1；（3）{0}（1）当a =−1时，2431()3x x f x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭，令()243g x x x =--+，结合指数函数的单调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性，可得f （x ）的单调区间；（2）令()243h x ax x =-+，()13h x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由于f （x ）有最大值3，所以 h （x ）应有最小值−1，进而可得a 的值．（3）由指数函数的性质知，要使y =h （x ）的值域为（0，+∞）．应使()243h x ax x =-+的值域为R ，进而可得a 的取值范围．解：(1)当a =−1时, 2431()3x x f x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭，令()243g x x x =--+， 由于g (x )在(−∞,−2)上单调递增,在(−2,+∞)上单调递减， 而13ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减， 所以f (x )在(−∞,−2)上单调递减,在(−2,+∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(−2,+∞),递减区间是(−∞,−2). (2)令()243h x ax x =-+,()13h x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值−1， 因此12164a a-=−1， 解得a =1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y =h (x )的值域为(0,+∞).应使()243h x ax x =-+的值域为R ， 因此只能有a =0.因为若a ≠0,则h (x )为二次函数，其值域不可能为R .故a 的取值范围是{0}.点评：本题考查指数函数综合题，涉及复合函数的单调性、指数函数的性质、二次函数的性质、最值的确定方法等，考查综合分析能力，属于中等题.。
