导数的应用复习课 优秀教案

同课异构教案六安二中张苏二零一六年三月二十一日《导数及其应用复习课》教学设计六安二中高二数学组张苏课程说明：利用导数解决函数问题在高考中经常以压轴题的形式出现，很多同学直接选择放弃，其实在高考中的导数问题并不像很多同学想象的那样，在高考试卷中的导数部分我们还是有很多的得分点，只是我们缺少对它的研究才觉得它高不可攀，下面我们通过具体的实例来揭开导数在高考中的神秘面纱。

教学目标（1）利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率问题也是导数的一个重要应用，并且也是高考考查的重点内容之一（2）运用导数的有关知识，研究函数的单调性是导数的重点应用，在高考试卷中，所占的地位是比较重的（3）运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．利用函数的导数可以顺利地解决这些函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．教学重点：能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间、极值和最值．教学难点：导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用，方程根及恒成立问题.知识结构教学过程：一．导函数的几何意义例1.(2011年全国卷理数节选)21（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x b f x x x=++，曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；例2.（2014年全国卷理数节选）21. (本小题满分12分)设函数x be x ae x f x x1ln )(-+=，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b例3.(2015年全国卷理数节选)（21）（本小题满分12分）已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线二．利用导数研究含参函数的性质例1.(2014年全国卷)11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（ ）A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）例2. (2015年全国卷)12. 设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）A.[-，1）B. [-，）C. [，）D. [，1）例3.[2014·新课标全国卷Ⅱ节选] 已知函数f(x)＝ex－e－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x＞0时，g(x)＞0，求b的最大值三．利用导数解决不等式证明例1.(2013年全国卷理数)（21）（本小题满分共12分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2（Ⅰ）求a，b，c，d的值（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围例2.（2014年新课标全国卷）21.设函数f(x)＝a e x ln x＋b e x－1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1.教学反思：1.本教案的亮点是：首先以近几年高考中导数的比例引入新课，直观简明；其次，总结导数的知识点，从三个方面指出了导数在高考题中的具体出题形式，.再次，例题选择典型，对知识点的覆盖面广;再次，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，选择高考和各地市摸底考试中的部分难度不大的题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.2.本教案的弱项：由于课时安排和时间关系，本节课内容较多，学生在课下预习时应下功夫，基础薄弱的同学可能有点跟不上或者有点吃力，课下应注意消化.。

1.3导数的应用教材分析：本章内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用.本章先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题.本章共分三节，第三节是“导数的应用”，内容包括利用导数判断函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数的实际应用.在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.教学目标：1、能熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值.2、掌握利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.教学重点：理解并掌握利用导数判断函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.教学难点：解决实际生活中的最优化问题的关键是建立函数模型.学法：本节课是在学习了导数的概念、运算的基础上来学习的导数的应用，学生已经了解了数学建摸的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。

在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。

教法数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。

高中数学导数复习课教案主题：导数复习目标：通过复习导数的基本概念和求导法则，帮助学生复习巩固导数的相关知识，提高他们的求导能力。

时间：1课时教学步骤：一、复习导数的基本概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点处的变化率，即函数的斜率。

2. 导数的符号表示：记为f'(x)，读作f prime of x。

3. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点处的切线斜率。

二、求导法则的复习1. 常数函数的导数：f'(x) = 02. 幂函数的导数：f'(x) = nx^(n-1) （n为常数）3. 指数函数的导数：f'(x) = a^x * ln(a)4. 对数函数的导数：f'(x) = 1 / (x * ln(a))5. 三角函数的导数：sin'(x) = cos(x)，cos'(x) = -sin(x)，tan'(x) = sec^2(x)三、求导实例练习1. 求函数f(x) = x^2 + 2x的导数2. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数3. 求函数h(x) = ln(x)的导数四、求导技巧和综合练习1. 复合函数的求导法则2. 链式法则的应用3. 综合练习：求函数i(x) = (x^2 + 1) * e^x的导数五、作业布置1. 完成课堂练习题目2. 预习下节课内容，复习导数的基本概念和求导法则教学反思：本节课通过复习导数的基本概念和求导法则，帮助学生加深对导数的理解，提高他们的求导能力。

同时，通过实例练习和综合练习，巩固学生的求导技巧和应用能力。

在后续的教学中，需要加强对导数在实际问题中的应用，引导学生将导数与现实生活相结合，提升他们的数学建模能力。

数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。

2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。

3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。

(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。

(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。

二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。

2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。

3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。

(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。

(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。

三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。

2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。

3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。

(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。

(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。

四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。

2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。

3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。

(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。

导数及其应用复习课教案（共三课时）复习目标：1．熟记微积分的的基本概念及微积分基本定理，并能根据事例正确理解。

2．熟悉微积分的基本知识结构，记住并理解其联系。

3．会正确地求给定函数的导数，会正确地求给定函数在已知区间上的定积分。

4．能熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值。

5．能熟练解决定积分在几何和物理方面的应用。

复习重点：1．熟记微积分的的基本概念及微积分基本定理，并能根据事例正确理解。

2．正确地求给定函数的导数，会正确地求给定函数在已知区间上的定积分。

3．熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值。

4．熟练解决定积分在几何和物理方面的应用。

复习难点：1．熟记微积分的的基本概念及微积分基本定理，并能根据事例正确理解。

2．正确地求给定函数的导数，会正确地求给定函数在已知区间上的定积分。

3．熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值。

4．熟练解决定积分在几何和物理方面的应用。

第一课时一．知识结构二．知识点精析（一）求函数的导数1．导数的基本概念、变化率。

2．记住基本初等函数的导数公式3．记住导数的四则运算4．理解复合函数的求导，即[]'(())f x ϕ=''(())()f x x ϕϕ（1）求初等函数的导数注：'()a x =1a ax -（a 为常数） '()x a =ln x a a （a 0,1a >≠常数） '()x e =x e（二）导数的应用1．求函数的单调区间与极值步骤：①求出函数的定义域，求导函数。

②求出导数为0的点（驻点）或导数不存在点。

③列表讨论④总结2．求函数的最大值与最小值①闭区间[a ,b ]上连续函数()f x 一定能取到最大与最小值且最大值与最小值点一定包含在区间内部的驻点或内部导数不存在点及端点之中。

②应用题的最大与最小值。

设所求的量为y ，设于有关量为x ，建立()y f x =，x D ∈，求()f x 的最大值或最小值。

数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用一、教学目标：1. 理解函数的极值与最值的概念，掌握求解函数极值与最值的方法。

2. 熟练运用导数性质，解决实际问题中的最值问题。

3. 提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和数学素养。

二、教学内容：1. 函数的极值与最值概念。

2. 求解函数极值与最值的方法。

3. 导数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的极值与最值的概念，求解方法及实际应用。

2. 教学难点：导数在实际问题中的综合运用。

四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数极值与最值的问题。

2. 利用多媒体课件，展示函数图像，直观地引导学生理解极值与最值的概念。

3. 结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。

五、教学过程：1. 导入新课：复习函数的极值与最值概念，引导学生回顾求解方法。

2. 知识讲解：讲解求解函数极值与最值的方法，结合实例进行分析。

3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

4. 案例分析：结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。

教案将继续编写后续章节，敬请期待。

六、教学评估：1. 课堂练习环节，通过学生解答练习题的情况，评估学生对函数极值与最值概念的理解以及求解方法的掌握程度。

2. 案例分析环节，通过学生分析实际问题、运用导数求解最值问题的过程，评估学生的应用能力和逻辑思维。

3. 课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度和自主学习能力。

七、教学反思：1. 根据教学评估的结果，反思教学过程中是否存在不足，如有需要，调整教学方法，以提高教学效果。

2. 针对学生的掌握情况，针对性地进行辅导，解决学生在学习过程中遇到的问题。

3. 结合学生的反馈，优化教学内容，使之更符合学生的学习需求。

八、课后作业：1. 复习本节课所学的函数极值与最值的概念及求解方法。

导数及其应用（复习教案）
杭州市源清中学徐益强【教学目标】
通过几个基本问题的解决，进一步掌握函数在某一点处的导数的几何意义，利用导数求函数图象上某一点处的切线方程；
【教学重点】
导数的基本应用——切线.
【教学难点】
导数的综合应用.
①函数y=f(x)的递增区间是
导数及其应用（学案）
杭州市源清中学徐益强【学习目标】
掌握函数在某一点处的导数的几何意义，会利用导数求函数图象上某一点处的切线方程；
【学习重点】
导数的基本应用——切线
【课堂程序】
三、实践探究→综合能力提升
8、如图所示，曲线段OMB：y=x3(0<x<2)在点x=t（即点
M）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，且BA⊥x
轴于A.
⑴试用t表示切线PQ的方程；
⑵求△QAP的面积g(t)的最大值.
9、设t>0，点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处的切线相同.
⑴用t示a、b、c；
⑵若函数y=f(x)–g(x)在(–1,3)上单调递减，求t的取值范围.
四、反思总结
1、本节课所用到的主要知识有哪些？主要的方法有哪些？
2、你能用本节课所用到的主要知识解决哪些问题？解决相应的问题的一般
过程如何？。

佳绩教育学员个性化辅导教案学习过程P108~ P109，找出疑惑之处） 已知点P 和点Q 是曲线223y x x =--上的两点，且点P 的横坐标是1，点Q 的横坐标是4，求：（）点P 处的切线方程. ：求下列函数的导数： x试试：一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度、导数的概念是： 、导数的几何意义是： 、导数的物理意义是： 已知函数2()()f x x x c =-在2x=处有极大值，求c 的值.14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5m 少时容器的容积最大？最大容积是多少？运用导数的知识解决有关函数问题的方法步骤. 导数是研究函数的有力工具，也是解决函数最（极）值问题，从而是解决优化问题的一种通法.虽然用配方法求二次函数极值的方法很漂亮，但它只是特殊情况下的特殊解法，并不能解决三次函数等一般函数的极值问题，利用导数，我们可以求出满足方程()0f x '=的点，然后根据此点附近两侧导数的符号求出极值.这同时体现了导数这个工具的力量2（q是猪的数量），每年多少头猪可使总利润最大？总利润是多少？（可使用计算器）km h，那么每小时的燃料费是80元. 已知船航行时其他一艘船的燃料费与船速度的平方成正比，如果此船速度是10/km h）？此时每小时费用等于多少（精确/时，在20km航程中，航速多少时船行驶总费用最少（精确到1/（可用计算器）探究任务一：曲边梯形的面积问题：下图的阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把直线xa=，xb =(a ≠所围成的图形称为曲边梯形. 如何计算这个曲边梯形的面积呢？研究特例：对于 1x =，0y =，2y x =围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？。

导数综合复习教案教案标题：导数综合复习教案教案目标：1. 复习导数的定义和基本概念。

2. 强化学生对导数的计算和应用能力。

3. 培养学生解决导数相关问题的思维能力。

教学重点：1. 导数的定义和基本概念。

2. 导数的计算方法。

3. 导数在实际问题中的应用。

教学难点：1. 导数的应用问题解决思路的培养。

2. 复杂函数的导数计算。

教学准备：1. 教师准备：教案、课件、导数相关的练习题。

2. 学生准备：课本、笔记、计算器。

教学过程：Step 1: 导入导数的定义和基本概念（10分钟）1. 回顾导数的定义：导数是函数在某一点上的瞬时变化率。

2. 引导学生回顾导数的符号表示和几何意义。

Step 2: 导数的计算方法（30分钟）1. 复习导数的基本公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

2. 指导学生通过求导法则计算简单函数的导数。

3. 强调链式法则和乘积法则在复杂函数导数计算中的应用。

Step 3: 导数在实际问题中的应用（30分钟）1. 引导学生思考导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。

2. 通过实际问题的例子，让学生应用导数解决相关问题。

3. 引导学生思考导数在最值、曲线形状等方面的应用。

Step 4: 综合练习和讨论（20分钟）1. 分发练习题，让学生独立或小组完成。

2. 引导学生讨论解题思路和方法，解答疑惑。

3. 针对学生易错的问题进行重点讲解和澄清。

Step 5: 总结和作业布置（10分钟）1. 总结导数的定义、基本概念和计算方法。

2. 强调导数在实际问题中的应用。

3. 布置作业，要求学生进一步巩固和应用导数的知识。

教学反思：本节课通过复习导数的定义和基本概念，强化了学生对导数的理解。

通过导数的计算方法和实际应用，提高了学生的计算和解决问题的能力。

在教学过程中，要注重引导学生思考和讨论，培养他们的解决问题的思维能力。

同时，对于复杂函数的导数计算，需要给予学生足够的练习和指导，以提高他们的运算能力。

导数的应用—复习课教案英德中学 全红盈一．教学目标： 1.知识与技能（1）利用导数求函数的单调区间，极值和最值 （2）解决基本的含参问题 2.过程与方法利用导数研究函数，作出图形，再通过图形反馈函数的性质，进一步体会数形结合及分类讨论的思想3.情感态度与价值观这是一堂复习课，教学难度有所增加。

培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。

强化讨论意识，不断提高解题的灵活性和变通性二．教学难点：利用导数求多项式函数的单调性，极值和最值 三．教学难点：含参的讨论 四．教学过程： 1.基础练习： （1）的单调增区间是x x x f 4ln )(-=⎥⎦⎤⎝⎛410， 错解：1-4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦， 定义域优先：()0,x ∈+∞（2）121432()1432f x x x x =-++的极值点是 0 ，极值是 1 错解：极值点是0和1，极值是1和1312检验 2.基础知识梳理：（1）求函数单调性的步骤： ①确定定义域，求导②令0)('≥x f ，得到f （x ）的单调增区间 ③令'()0f x ≤，得到f （x ）的单调减区间 （2）求函数极值的步骤： ①确定定义域，求导 ②令0)('=x f ，解方程的根 ③检验根的左右导数值的正负注：的极值点不一定是，则若)(0)(00'x f x x f =（3）求函数最值的步骤： ①求极值 ②求端点值③比较极值与端点值的大小3.互动讲练：已知3223(32f x x x x =-+）（1）求)(x f 的单调性 ()11()-1122f x ⎛⎫⎛⎫∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在，，，上单调递增，在，上单调递减 （2）求)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡231-，上的最值解：由（1）可知，列表如下：x -1 （-1，21）（21，1）1 （1，23）23)('x f+ 0 - 0+)(x f19-6 单调增 ↑524 单调减 ↓16 单调增 ↑38当x=23时，)(x f 有最大值38 ， 当x=-1时，)(x f 有最小值19-619()-6f x ∴38在该区间上的最大值是，最小值是 （机动）变式：已知a x x x x f ++-=232332(），若)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡231-，上的最大值是827，求它在该区间上的最小值 3a = min 1()6f x =-4.能力提升：已知()02332(23>+-=a x x ax x f ）（1）讨论)(x f 的单调性 （机动）（2）若)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡221，上单调递增，求a 的取值范围 五．小结：导数是我们研究含三次函数，对数函数，指数函数等的多项式函数的性质的有力工具。

《导数在研究函数中的应用》复习课教学设计一、教材分析本节课“导数在函数中的应用”是高中数学人教版教材选修2-2第一章第三节的容，是高中数学的新增容，是高等数学的基础容，它出现在中学数学教材中,使中学数学与大学数学之间又多了一个无可争辩的衔接点和交汇点。

导数的综合应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求我们复习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识．二、学情分析本人所教高三两个班学生的数学实际水平状况是：1、月考成绩极差为：110分2、平均分为：64分3、方差为：约1400（以其中一个班成绩计算）依据上述指标反映了学生成绩悬殊幅度相当大，相对于平均分的离散程度也相当大，结合教材地位作用、容分析以及学生实际，制定如下教学目标和重、难点突破方案。

三、教学目标1、知识与技能：（1）突出导数的几何意义，重温数形结合的思想；（2）利用导数求函数的单调区间；(3)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值；说明极值与最值的关系。

2、过程与方法：（1）能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用原函数和导函数的图象解题。

(2)学会利用熟悉的问题过渡到陌生的问题的解决。

（培养思维的迁移能力）3、情感、态度与价值观：这是一堂复习课，教学难度虽有增加，但利用导函数可以非常方便的解决一些困扰我们的问题，比如：求函数的单调区间，求函数的值域和最值。

通过实例比较导数在研究函数中的优越性，从而激发学生的学习热情，增强学生知难而上克服困难的信心。

四、教学重点、难点重点是应用导数求函数的单调区间、极值和最值；难点是方程根及恒成立问题。

五、学法与教法学法设计：（1）合作学习：引导学生分组讨论、合作交流、共同探讨、代表发言等；（如问题1、2的处理）。

（2）自主学习：引导学生从简单问题出发，利用发散思维联想已学过的知识。

（如问题3的处理）。

第1讲 导数的概念及运算★知识梳理★1. 用定义求函数的导数的步骤.(1) 求函数的改变量Ay ；(2)求平均变化率生.(3)取极限，得导数f (Xo) = lim 您. Ax AXTO Ar2. 导数的儿何意义和物理意义儿何意义：1山线f (x)在某一点(Xo ，处的导数是过点(Xo ，yo )的切线的 ____________ 物理意义：若物体运动方程是s=s (t),在点P (i°, s (f 0))处导数的意义是=o 处的 _________解析：斜率•；瞬吋速度.3. 几种常见函数的导数c = 0 (c 为常数)；(x ,1Y=nx ,t -1 2 3 (応(sin x) = ___________ ； (cos x) = ______ ；(In x)‘ =丄；(log“ x)f= -log a e ；X X (e x ) = e A ； (a') = a ' In a.解析：cos x;-sinx;4. 运算法则①求导数的四则运算法则：I ... (u)(W ± V )= u ±v ； (wv) = __________ ； — = __________ (V 丰 0)."丿②复合函数的求导法则：f x (0(x)) = f (u)(p ⑴或)6 = )7 - W x⑵计算对应函数值的改变量Ay 二/也)-/(兀2) (3)计算平均增长率：型=/(勺)—/(州)1 重点：理解导数的概念与运算法则，熟练学握常见函数的计算和1111线的切线方程的求法2 难点：切线方程的求法及复合函数求导3 重难点：借助于计算公式先算平均增长率，再利川函数的性质解决冇关的问题.(1) 平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。

问题1.比较函数f(x) = 2"与g(x) = y ，当XG [1,2]时,平均增长率的大小.点拨:解题规律技巧妙法总结：计算函数的平均增长率的基本步骤是⑴计算白变量的改变量心=勺7|解析：uv + uv ;uv- UVAx x 2 -x.对于/(x) = 2",学=三二刍=3,又对于g(x) = 3" Ax, 2-1故当xe|l,21时，g ⑴的平均增长率人于.f(x)的平均增长率. (2) 求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则，问题 2.己知 y = (1 + cos2x)2,则■/ = ______________ .点拨：复合函数求导数计算不熟练，具2兀与兀系数不一样也是一个复合的过程,冇的同学忽视T,导致错解为:y f= -2sin 2x(1 + cos 2x). 设 y = u 2, u = 1 + cos2兀,则 y ； = y r u u rx = 2w(l + cos2x)r = 2u • (-sin 2x)・(2兀)' =2u • (-sin 2x) • 2 = -4sin 2x(1 + cos 2x) /. y' = -4sin 2x(1 + cos 2x).(3) 求切线方程时已知点是否切点至关重要。

导数及其应用复习课教学设计教学目标1、知识与技能(1)利用导数求函数的单调区间；(2)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值；(3)解决很成立问题2、过程与方法1）能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题。

2）学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。

3、情感态度与价值观这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。

重点和难点：重点是应用导数求单调性，极值，最值难点是恒成立问题教学过程:(一)、导入.给出三道题（1）曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 （ ）A. 34y x =-B. 32y x =-+C. 43y x =-+D. 45y x =-(2)过原点作曲线x y e =的切线，切线的斜率____________(3)函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值____________[设计意图: 数学的教学要遵循循序渐近的原则，三道题是导数应用中基础的题型。

其中（1），（2）两题同是求切线方程，却不同类型题，学生不易识别其间的不同之处容易出错。

通过题目的求同存异，加深学生对题目的本质的理解]（二）、例题剖析例1.已知函数32()25f x x ax x =+-+若()f x 在2(1,)3-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，求实数a 的值提问：本题已知函数在给定区间上的单调性，求解析式中参数。

由条件得到什么？ 学生：'(1)f 是极小值师：为什么？没有回答师：在学习极值的时候，要成为极值点，首先要保证在这个点上的导数等于0，现在导数=0不能保证，怎么能说取得极小值。

举反例：如图：函数的单调性能满足题中条件，但是在1上并不是取极小值师：看来这样的一种题型并不是大家说熟悉的，那么我们能由熟悉的题型加以过渡吗？跟这样的题目类似的题型，你们会想到什么？学生：已知函数的解析式，求函数的单调性师：对，刚好是已知，未知交换一下。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校导数的应用（一）复习目标与考试要求1.理解导数与函数的单调性的关系,能用导数 法确定函数的单调性; (其中多项式函数一般不超过三次)；2.熟练掌握求可导函数单调区间的导数法;3.能灵活运用它们解决有关的问题.4．由函数单调性和导数的关系，求参数的范围．复习指导本讲复习时，应理顺导数与函数的关系，理解导数的意义，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用，重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间． 知识讲解1. 用导数确定函数的单调性的结论:（1）若f '(x )>0在(a,b )上恒成立,则f (x )在（a ,b ）上是增函数；（2）若f '(x )<0在（a ,b ）上恒成立，则f (x )在（a ,b ）上是减函数.2.利用导数研究函数单调性的步骤 :（1）求定义域（2）求f '(x )；（3）确定f '(x )在（a ,b ）内符号；（4）若f '(x )>0在(a,b )上恒成立,则f (x )在（a ,b ）上是增函数；若f '(x )<0在（a ,b ）上恒成立，则f (x )在（a ,b ）上是减函数.例题讲解例1:讨论f (x )=x 3-6x 2+9x -3的单调性练习1:已知函数y=xf '(x )的图象如图所示,下面四个图象中是y=f (x )的大致是( )例2:求函数f (x )=x /2-ln x +1的单调区间:说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函 数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x 的范围时,要与定义域求两者的交集.练习2:确定下面函数的单调区间:（1）y =3x 2-2ln x（2）y =x 2ex 3、利用函数单调性确定参数的取值范围例3:已知函数f （x ）=ax 3+3x 2-x +1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围 .练习3：已知函数若f （x ）在(0,1]上是增函数, 求实数a 的取值范围.归纳总结：利用导数讨论函数单调性时应注意以下几点:1.首先确定函数的定义域;2.注意在某一区间内f' (x )>0或f ' (x )<0是函数在该区间内为增或减函数的充分条件;。

第一章导数及其应用复习课本章知识网络知识点精析(一)求函数的导数1．导数的基本概念、变化率；2．记住基本初等函数的导数公式；3．记住导数的四则运算法则；4．理解复合函数的求导，即[f(φ(x))]′＝f′(φ(x))φ′(x)．(二)导数的应用1．求函数的单调区间与极值步骤：①求出函数的定义域，求导数；②求出导数为0的点或导数不存在点；③列表讨论；④总结．2．求函数的最大值与最小值①闭区间[a，b]上连续函数f(x)一定能取到最大值与最小值，且最大值点与最小值点一定包含在区间内部导数值为0的点或内部导数不存在点或端点之中．②实际应用问题的最大与最小值．设所求的量为y，设与y有关量为x，建立y＝f(x)，x∈D，求f(x)的最大值或最小值．注意：若f(x0)为唯一极值，若f(x0)为极大值，则f(x0)为最大值；若f(x0)为极小值，则f(x0)为最小值．3．关于证明题(1)证明方程根的存在性；(2)证明不等式．(三)定积分（理科）1．定积分的概念(四个步骤、本质)(求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程)．2．微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，b f(x)dx＝F(b)－F(a)．并且F′(x)＝f(x)，那么⎠⎛a这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．3．应用定积分求面积的基本步骤和注意事项．整体设计教材分析导数是高中数学新教材中新增的知识之一，体现了现代数学思想，在研究函数的性质时，有独到之处．纵观近几年各地的新课程试卷，内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关．作为新教材的新增内容，复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用．课时分配2课时．第1课时教学目标知识与技能目标1．复习巩固导数与积分的基础知识，理清知识网络．2．理解和掌握导数与积分及其有关概念，会求一些实际问题的最大值与最小值．过程与方法目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力，注意数形结合、分类讨论、函数等思想的应用．情感、态度与价值观在解决问题的过程中，培养学生独立思考问题、解决问题的能力，增强其学习积极性和提高其数学交流能力．重点难点重点：掌握导数与积分及其有关概念，巩固导数与积分的基础知识．难点：运用导数的知识解决有关函数问题．教学过程提出问题请同学们解答下列问题：1．函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f(f(0))＝________，0lim x ∆→f (1＋Δx )－f (1)Δx＝__________.2．函数f(x)＝13x 3－x 2－3x ＋6的单调递增区间为__________单调递减区间为__________．3．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2,3]上的最小值为( ) A ．72 B ．36 C ．12 D ．0 答案：1.2 －2基础知识聚焦：函数在某一点处的导数的定义为f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 及其变形，特别注意函数值的增量与自变量的增量．f ′(x 0)的几何意义表示曲线在点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率．2．(－∞，－1)，(3，＋∞) (－1,3)评析：函数的单调递增区间是两个区间(－∞，－1)，(3，＋∞)，但是不能写成(－∞，－1)∪(3，＋∞)．有关函数单调区间的合并主要依据是函数f(x)在(a ，b)内单调递增，在(b ，c)内单调递增，又知函数在x ＝b 处连续，因此f(x)在(a ，c)内单调递增．3．D 解析：y ′＝4x 3－4，令y ′＝0，即4x 3－4＝0，所以x ＝1. 当x<1时，y ′<0；当x>1时，y ′>0.所以y 极小值＝y|x ＝1＝0，而端点的函数值y|x ＝－2＝27，y|x ＝3＝72，因此ymin ＝0.基础知识聚焦：考查利用导数求最值． 典型示例类型一 导数的概念例1(1)用导数的定义求函数f(x)＝1x在x ＝1处的导数；(2)用导数的定义求函数f(x)＝1x ＋2的导数． 思路分析：用导数的定义求导数时，先求平均变化率，再求极限．解：(1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx －1Δx＝1－1＋Δx Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )Δx 1＋Δx (1＋1＋Δx )＝－ΔxΔx (1＋Δx ＋1＋Δx ) ＝－11＋Δx ＋1＋Δx，f ′(1)＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→－11＋Δx ＋1＋Δx＝－12.(2)Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋2＋Δx －1x ＋2Δx ＝(x ＋2)－(x ＋2＋Δx )Δx (x ＋2)(x ＋2＋Δx ) ＝－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )，所以f ′(x)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝0lim x ∆→ －1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)2.点评：(1)用导数定义求函数的导数，必须把分式ΔyΔx 中的分母Δx 这一因子约掉才能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx ，从而对分子、分母约分．(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”，“有理化”是处理根式问题常用的方法．(3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别． 变式练习：设函数f(x)在x 0处可导，则下列极限等于f ′(x 0)的是( )A. 0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0) B. 0lim x ∆→ f (x 0＋3Δx )－f (x 0)C. 0lim x ∆→f (x 0)－f (x 0＋Δx )Δx D. 0lim x ∆→ f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx答案：D类型二 导数的基本运算例2求导：(1)y ＝(x ＋1)(x 2＋2x)；(2)y ＝cos(2x 2＋1)；(3)y ＝sinxx. 思路分析：运用求导公式及导数运算法则求导．解：(1)y ′＝3x 2＋6x ＋2；(2)y ′＝－4xsin(2x 2＋1)；(3)y ′＝xcosx －sinxx 2. 点评：要熟记常见函数的求导公式及导数运算法则．在求复合函数的导数时，关键是分清函数的复合关系，逐步求导直到最后，把中间变量转变为自变量的函数．变式练习：求y ＝sin 2(3x ＋1)的导数．解：y ′＝[sin 2(3x ＋1)]′＝2sin(3x ＋1)[sin(3x ＋1)]′＝2sin(3x ＋1)cos(3x ＋1)(3x ＋1)′＝6sin(3x ＋1)cos(3x ＋1)＝3sin(6x ＋2)．类型三 导数的几何意义例3若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为…( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0 思路分析：导数值对应函数在该点处的切线斜率．解析：设与直线x ＋4y －8＝0垂直的直线l 为4x －y ＋m ＝0，即y ＝x 4在某一点的导数为4，而y ′＝4x 3，所以y ＝x 4在(1,1)处的导数为4，此点的切线方程为4x －y －3＝0，故选A.答案：A点评：有关导数几何意义的题目一般有两类：一类是求曲线的切线方程，这类题目要注意审好题，看到底是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”；第二类是已知曲线的切线求字母参数．变式练习：过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．3x －y ＋3＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：y ′＝2x ＋1，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线的斜率为2x 0＋1，且y 0＝x 20＋x 0＋1，于是切线方程为y －x 20－x 0－1＝(2x 0＋1)(x －x 0)．因为点(－1,0)在切线上，可解得x 0＝0或x 0＝－2，代入可验证知D 正确，选D.答案：D类型四 定积分的计算（理科） 例4计算下列定积分的值．(1)∫3－1(4x －x 2)dx ；(2)∫21(x －1)5dx ；(3)∫π20(x ＋sinx)dx. 解：∫3－1(4x －x 2)dx ＝(2x 2－x 33)|3－1＝(2×32－333)－[2×(－1)2－(－1)33]＝203；(2)因为[16(x －1)6]′＝(x －1)5，所以∫21(x －1)5dx ＝16(x －1)6|21＝16；(3)∫π20(x ＋sinx)dx ＝(x 22－cosx)|π20＝[(π2)22－cos π2]－(0－1)＝π28＋1.变式练习：求∫π2－π2cos 2xdx 的值．解：∫π2－π2cos 2xdx ＝∫π2－π21＋cos2x 2dx ＝x 2|π2－π2＋14sin2x|π2－π2＝π2.类型五 求函数的极值与最值例5f(x)＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4思路分析：本题考查求函数最值，可用导数法先求其极值，再与端点值进行比较．解析：f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，令f ′(x)＝0，可得x ＝0或x ＝2(x ＝2舍去)．当－1≤x<0时，f ′(x)>0；当0<x ≤1时，f ′(x)<0，所以当x ＝0时，f(x)取得极大值为2.又f(－1)＝－2，f(1)＝0，所以f(x)在[－1,1]上的最大值为2.选C. 答案：C点评：此题较为基础，求完极值点，要注意与题目已知区间结合起来综合考虑问题．变式练习：a 为何值时，函数f(x)＝asinx ＋13sin3x 在x ＝π3处具有极值？是极大值还是极小值？试求此极值．解：a ＝2，极大值为f(π3)＝ 3.类型六 求函数的单调区间例6设函数f(x)＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b,0<a<1.求函数f(x)的单调区间．思路分析：本题考查用导数法求单调区间，需注意参数a ，有时候需要对其进行讨论．解：f ′(x)＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －3a)(x －a)， 令f ′(x)＝0，得x 1＝a ，x 2＝3a.列表如下：∴f(x)在(a,3a)上单调递增，在(－∞，a)、(3a ，＋∞)上单调递减． 点评：本题考查内容为利用导数求单调区间．但涉及到参数问题，参数讨论是难点．本题在0<a<1这个条件下降低了难度，若去掉此条件，难度会加大．变式练习：已知函数f(x)＝x 2＋alnx.(1)当a ＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若函数g(x)＝f(x)＋2x 在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x)＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)；单调递增区间是(1，＋∞)；极小值是f(1)＝1.(2)由g(x)＝x 2＋alnx ＋2x ，得g ′(x)＝2x ＋a x －2x 2.又函数g(x)＝x 2＋alnx＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，则g ′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x 2＋a x ≥0在[1，＋∞)上恒成立，也即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，又φ(x)＝2x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数，所以[φ(x)]max ＝φ(1)＝0，因此a ≥0.拓展实例：设函数f(x)＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a ≥1. (1)求f(x)的单调区间； (2)讨论f(x)的极值．思路分析：f(x)的单调性取决于f ′(x)的正负，而函数的极值取决于导数值为零的点的两侧的点对应的导数值的符号，即导数值为零的点两侧函数的单调性．解：由已知，得f ′(x)＝6x[x －(a －1)]，令f ′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝a －1.(1)当a ＝1时，f ′(x)＝6x 2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>1时，f ′(x)＝6x[x －(a －1)]，f ′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：从上表可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增；在(0，a －1)上单调递减；在(a －1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，当a ＝1时，函数f(x)没有极值；当a>1时，函数f(x)在x ＝0处取得极大值1；在x ＝a －1处取得极小值1－(a －1)3.点评：本小题主要考查利用导数研究函数的极值的基础知识，以及运用数学知识解决问题的能力．达标检测 1．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 22 2．设函数f(x)＝ax 2＋c(a ≠0)，若∫10f(x)dx ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为__________．答案：1.D 解析：y ′＝e x ，曲线在点(2，e 2)处的切线斜率为e 2，因此切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，则切线与坐标轴交点为A(1,0)，B(0，－e 2)．所以S △AOB ＝12×1×e 2＝e 22.2.33 解析：∫10f(x)dx ＝∫10(ax 2＋c)dx ＝(13ax 3＋cx)|10＝a 3＋c.而f(x 0)＝ax 20＋c ，所以ax 20＋c ＝a 3＋c.又0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 课堂小结1．知识收获：导数作为工具研究函数的相关问题的方法，以及定积分的简单运算．2．方法收获：数形结合、分类讨论的方法．3．思维收获：数形结合思想、分类讨论思想以及将代数式子视为函数的意识和转化化归的思想．让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程．设计意图布置作业补充练习1．函数f(x)＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)内是减函数，则( ) A ．a<1 B ．a<13C ．a<0D ．a ≤02．已知f(x)为偶函数，且∫60f(x)dx ＝8，则∫6－6f(x)dx 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．163．函数y ＝lnx －x 在x ∈(0，e]上的最大值为__________． 答案：1.D 2.D 3.－1 拓展练习4．已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有f(x 1)－f(x 2)≤4；思路分析：本小题主要考查应用导数研究函数的极值，利用导数为工具解决函数与不等式的有关综合问题，运用导数的几何意义来解决函数与解析几何的综合问题，这是高考的热点问题．解：(1)f ′(x)＝3ax 2＋2bx －3，依题意，得f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴f(x)＝x 3－3x. (2)证明：∵f(x)＝x 3－3x ，∴f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．当－1<x<1时，f ′(x)<0，故f(x)在区间[－1,1]上为减函数，f(x)max ＝f(－1)＝2，f(x) min ＝f(1)＝－2.∵对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |，∴|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |≤2－(－2)＝4.第2课时教学目标 知识与技能目标 1．在复习巩固导数基础知识的基础上，进一步理解利用导数解决函数单调性、极值、最值等问题的处理方法．2．提高学生转化化归意识，体会导数在解决实际问题中的作用． 过程与方法目标掌握利用导数解决问题的方法、规律，深化学生对导数知识的理解及把握．情感、态度与价值观培养学生的观察、分析问题的能力，以及转化、化归的数学思想，让学生学会用数学方法认识世界、改造世界．重点难点重点：巩固常见导数题型，并培养学生解决实际问题的能力． 难点：运用导数知识解决有关问题的方法．教学过程典型示例类型一 求函数的导数例1函数y ＝x 3lnx ＋2x ＋cos2x －3e ＋sinπ的导数为________．思路分析：本题考查函数求导公式及导数运算法则，且搞清变量是x ，一般在不做任何说明的情况下，将x 视为变量．答案：y ′＝3x 2lnx ＋x 2＋2x ln2－2sin2x点评：本题一方面考查了导数求导公式及导数运算法则，另一方面学生容易出现诸如“(sinπ)′＝cosπ”的错误，因此本题有助于帮助学生克服思维定势．变式练习1．函数y ＝e x ＋x 2cosx ＋lnx 的导数为__________． 2．下列函数求导运算正确的是( )A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2B ．(log 2x)′＝1xln2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2sinx)′＝2xcosx 答案：1.y ′＝e x ＋2xcosx －x 2sinx ＋1x2.B类型二 用导数研究函数的性质(单调性、极值和最值) 例2设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2， (1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[－34，14]上的最大值和最小值． 思路分析：f(x)的单调性取决于f ′(x)的正负，而函数的最值取决于函数的极值以及端点函数值的大小．解：f(x)的定义域为(－32，＋∞)． (1)f ′(x)＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3. 当－32<x<－1时，f ′(x)>0；当－1<x<－12时，f ′(x)<0；当x>－12时，f ′(x)>0.从而，f(x)在区间(－32，－1)，(－12，＋∞)上单调递增，在区间(－1，－12)上单调递减． (2)由(1)知f(x)在区间[－34，14]上的最小值为f(－12)＝ln2＋14. 又f(－34)－f(14)＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12(1－ln 499)<0. 所以f(x)在区间[－34，14]上的最大值为f(14)＝116＋ln 72. 点评：(1)对数形式的函数求导一定要注意定义域；(2)注意求闭区间上函数最值的基本方法．变式练习：设函数f(x)＝x 3－3ax ＋b(a ≠0)．(1)若曲线y ＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．思路分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．解：(1)f ′(x)＝3x 2－3a ，∵曲线y ＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y ＝8相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.∴a ＝4，b ＝24. (2)∵f ′(x)＝3(x 2－a)(a ≠0)，当a<0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点；当a>0时，由f ′(x)＝0，得x ＝±a.当x ∈(－∞，－a)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x ∈(－a ，a)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增．∴此时x ＝－a 是函数f(x)的极大值点，x ＝a 是函数f(x)的极小值点． 类型三 不等式证明例3当x>0时，证明不等式e x >1＋x ＋12x 2成立． 思路分析：在高中数学学习过程中，我们常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用的证法都一一尝试，却很难奏效．这时我们不妨变换一下思维角度，从所证不等式的结构和特点出发，结合自己已有知识，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明．用导数方法证明不等式，其步骤一般是：构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论．证明：设f(x)＝e x －1－x －12x 2，则f ′(x)＝e x －1－x. 令g(x)＝e x －1－x ，则g ′(x)＝e x －1.当x>0时，g ′(x)＝e x －1>0. ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0.∴g(x)>g(0)＝0.∴g(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立． ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝0，∴e x －1－x －12x 2>0，即x>0时，e x >1＋x ＋12x 2成立． 点评：利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也成为命题的一个新热点，其关键是构造合适的函数，通过构造函数转化为研究这个函数的单调性和区间端点值或最值问题，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性证明不等式．变式练习：利用导数证明不等式lnx ＋1≤x 恒成立．解：设函数f(x)＝lnx ＋1－x(x>0)，则f ′(x)＝1x－1，则0<x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，故f(x)≤f(1)＝0，即lnx ＋1－x ≤0，即lnx ＋1≤x.点评：一般地，证明f(x)<g(x)，x ∈(a ，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F ′(x)<0，则F(x)在(a ，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)．类型四 微积分基本定理及其应用例4(1)求∫21(1x＋x ＋e x ＋cosx)dx 的值；(2)求∫2－24－x 2dx.（理科） 思路分析：(1)本题考查微积分基本定理，需结合导数公式记忆该定理．(2)本题若用微积分基本定理，不易求解，可考虑几何意义，即半径为2的半圆面积．解：(1)∫21(1x ＋x ＋e x ＋cosx)dx ＝(lnx ＋x 22＋e x ＋sinx)|21＝ln2＋32＋e 2－e ＋sin2－sin1.点评：求导问题和求微积分问题可以看做互逆的两个过程，因此须牢记求导公式．(2)∫2－24－x 2dx ＝2π. 点评：对于某些比较难求的积分，可考虑其几何意义，数形结合． 变式练习：1．求∫a －aa 2－x 2dx 的值，其中a>0. 2．求由y ＝1x，y ＝1，y ＝2，x ＝0所围成的图形的面积． 3．物体A 以速度v ＝6t ＋1在一直线上运动，同时物体B 在A 的正前方2米处以v ＝6t 的速度运动，两物体速度方向相同，两物体何时相遇？相遇处与物体A 的出发地距离是多少？答案：1.∫a －a a 2－x 2dx 几何意义为半径为a 的半圆的面积，故其值为πa 22. 2．本题以y 为变量较好，故面积S ＝∫211ydy ＝lny|21＝ln2－ln1＝ln2. 3．解：设在时刻t 0时相遇，则由题意，知∫t 00(6t ＋1)dt ＝2＋∫t 006tdt ， ∴(3t 2＋t)|t 00＝2＋3t 2|t 00.∴3t 2＋t ＝2＋3t 2.∴t ＝2.相遇处与物体A 的出发地距离是s ＝∫20(6t ＋1)dt ＝(3t 2＋t)|20＝14(米)．类型五 导数在实际问题中的应用例5某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入—成本)思路分析：建立利润函数，利用导数求其最值．解：每月生产x 吨时的利润为f(x)＝(24 200－15x 2)x －(50 000＋200x)＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)． 由f ′(x)＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)． 因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－15×(200)3＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． 点评：此题考查导数的实际应用，注意建立数学模型，将实际问题化为数学问题，最后一定要还原为实际问题来作答．变式练习：某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元．已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x ＋136x 3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这样的产品？最大利润是多少？解：设生产x 件产品的利润为L(x)元，则L(x)＝500x －2 500－C(x)＝300x －136x 3－2 500(x 为正整数)． ∴L ′(x)＝300－112x 2. 令L ′(x)＝0，得到x ＝60(x ＝－60舍去)．当0≤x<60时，L ′(x)>0；当x>60时，L ′(x)<0.∴x ＝60是L(x)的唯一极大值点．故[L(x)]max ＝L(60)＝9 500.因此，要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．变练演编1．已知f(x)＝xlnx ＋e x ，则下列关系正确的是( )A ．f ′(x)＝1＋e xB ．f ′(1)＝1＋eC ．f(1)>f(2)D ．f ′(1)>f ′(2)2．对R 上可导的任意函数f(x)，若满足(x －1)f ′(x)≥0，则必有( )A ．f(0)＋f(2)<2f(1)B ．f(0)＋f(2)≤2f(1)C ．f(0)＋f(2)≥2f(1)D ．f(0)＋f(2)>2f(1)3．已知函数f(x)＝f ′(π4)cosx ＋sinx ，则f(π4)的值为__________． 4．求∫20(4－x 2＋|x －1|)dx 的值．5．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 答案：1.B 2.C 3.1 4.π＋1.5．解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋2 160×10 0002 000x ＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈Z *)． f ′(x)＝48－10 800x 2，令f ′(x)＝0，得x ＝15. 当x>15时，f ′(x)>0；当0<x<15时，f ′(x)<0.因此，当x ＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000.答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层． 工作者又g(a)在(0,1]上只有一个极值，所以g(23)＝43为g(a)在(0,1]上的最大值，且最小值为g(1)＝0.所以b 2∈[0，43]，即b 的取值范围为[－233，233]． 达标检测1．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)2．f(x)＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.133D.1033．当x ≠0时，有不等式( )A ．e x <1＋xB ．当x>0时，e x <1＋x ；当x<0时，e x >1＋xC ．e x >1＋xD ．当x<0时，e x <1＋x ；当x>0时，e x >1＋x4．已知f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为…( )A ．－1<a<2B ．－3<a<6C ．a<－1或a>2D ．a<－3或a>65．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是__________．6．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________．7．已知函数f(x)＝13x 3＋a 2x 2＋ax ＋b ，当x ＝－1时，函数f(x)的极值为－712，则f(2)＝__________. 答案：1.C 2.D 3.C 4.D 5.(－∞，－53)，(1，＋∞) 6.(0，＋∞) 7.53课堂小结1．知识收获：导数在解决函数极值与最值、不等式证明以及在解决实际问题中的应用．2．方法收获：转化化归的思想方法．3．思维收获：分类讨论思想以及转化化归的思想．设计意图注重基础，由学生总结导数常见题型，培养学生的总结能力以及对知识的梳理能力，这样可以帮助学生尽快建立完整的知识体系．布置作业1．已知函数f(x)＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f ′(x)＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f(x)的单调区间；(2)若a>0，求函数y ＝f(x)在区间(a －1，a ＋1)内的极值．2．设函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2，(1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线f(x)与x 轴所围成图形的面积．答案：1．解：(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①由f(x)＝x 3＋ mx 2＋nx －2，得f ′(x)＝3x 2＋2mx ＋n ，则g(x)＝f ′(x)＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n.而g(x)图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0.所以m ＝－3.代入①得n ＝0，于是f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．由f ′(x)>0，得x>2或x<0.故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；由f ′(x)<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f ′(x)＝3x(x －2)．令f ′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a －1，a ＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值； 当a ＝1时，f(x)在(a －1，a ＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a －1，a ＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f(x)在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6.2．解：(1)a ＝0，b ＝－3.(2)92.。