偏微分方程简明教程

P::D::E::称::为:::线:::性::的:: ，如果它关于未知函数u及其所有的偏导数是线性的，并且其系数 仅依赖于自变量x, y, · · · ；
m阶PDE称 为 拟 线 性 的 ， :::::::::::::::::::::::::::: 如 果 它 关 于 未 知 函 数u的m阶 偏 导 数 是 线 性 的 ， 并 且 其m阶偏导数的系数仅依赖于x, y, · · · 以及未知函数u的阶数低于m的偏导数；
引入几个特殊记号
∆
∂2 ∂x21
+···+
∂2 ∂x2n
=
n i=1
∂2 ∂x2i
（Laplace 算子）,
∂2 ∂t2
−
∂2 ∂x21
−···−
∂2 ∂x2n
=
∂2 ∂t2
−
n i=1
∂2 ∂x2i
=
∂2 ∂t2
−∆
例1. Laplace方程
（波算子）。
∆u
∂2u ∂x21
+···+
∂2u ∂x2n
(1.1)
一、解析求解：特征线方法
在(t, x)-平面上，定义特征线族 ::::::::::
dx dt
=
c.
沿着特征线族中的任意一条直线
(1.2)
x − ct = const. ξ,
(1.3)
方程(1.1)的解u满足
du dt
=Байду номын сангаас
d dt
u(t,
ct
+
ξ)
=
ut
+
cux
=
0.
(1.4)
因此，沿着这样的一条直线，u保持为常数，它仅与区分线族中不同直线的参数ξ 有关。于是方程(1.1)的:通::解:: 具有下面的形式
某个区域Ω中(1)式关于这些变量恒等地成立。 ♣ 除非有相反的说明，在本课程中我们总是要求x, y, · · · 是实的，u以及在方程(1)中
出现的u的偏导数在实空间的区域Ω中都是关于x, y, · · · 的连续函数。为了简单起见，我 们有时也常常省略区域Ω的明确描述，而把所述的命题也“局部地”适用于x, y, · · · 空 间中一点的某一适当领域。
(13)
例9. 1 + n维Minkowski空间中的极. 值. 曲面x = x(t, θ) ∈ Rn满足下述二阶拟线性方程
|xθ|2xtt − 2 xt, xθ xtθ + (|xt|2 − 1)xθθ = 0.
(14)
例10. 密度为ρ的二维定态绝热无旋等熵流的速. 度. 势. φ(x, y) (其速度分量为φx, φy)满 足下述二阶拟线性方程
2
m:::阶::P::D::E::称::为:::完::全:::非:::线::性:::的::，如果它关于未知函数u的m阶偏导数是非线性的。
♣ 线性，拟线性，完全非线性之间的关系见下图：
线性 (linear)
P DE
非线性
(nonlinear)
拟线性 (quasilinear) 完全非线性 (f ully nonlinear)
p = p(ρ, E) (或 p = p(ρ, T ))。
(20)
对不同的气体，上式具有不同的表达式。(20)式通常称为气体的状态方程。注意到状态 :::::::::::
方程(20)式，(19)式构成一个封闭的一阶拟线性偏微分方程组。
例13. 函数u(t, x)的三阶非线性方程的一个典型例子是Korteweg-de Vries方. 程.
u(t, x) = u(0, ξ) f (ξ) = f (x − ct),
(1.5)
其中f (ξ)是一任意给定的函数，它表示u的初. 始. 值. 。上式表明通解u由初始值
u(0, x) = f (x)
(1 − c−2φ2x)φxx − 2c−2φxφyφxy + (1 − c−2φ2y)φyy = 0,
(15)
其中c是速率q = φ2x + φ2y的已知函数。例如，对于状态方程为
p = Aργ
(16)
的多方气体（或称为γ气体），
c2
=
1
−
γ
− 2
1q2.
(17)
例11. 关于不可压缩液体的粘性流的Navier-Stokes方. 程. 是速度分量uk和压力p之间的
∂ ∂t
(ρvi)
+
3 j=1
∂ ∂xj
(ρvivj
+
δij p)
=
0,
∂ ∂t
(ρE)
+
3 j=1
∂ ∂xj
(ρvj
E
+
pvj )
=
0,
(19)
其 中ρ(t, x) 表 示 气 体 的 密 度 ，v = (v1(t, x), v2(t, x), v3(t, x))为 速 度 ，p为 压 力 ，E = E(t, x) 为内能。由热力学知识可知，所有的热力学量只有两个是相互独立的，因此密 度ρ，压力p，温度T 以及内能E中，它们之间有一个确定的关系式
ux = vy, uy = −vx
(3)
(3)式的一对实解(u, v)组成复变元z = x + iy的解析函数
f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).
(4)
3
♣ 也可以把(u(x, y), −v(x, y))看成无旋不可压缩流体的速度场。 ♣ 不可压缩无旋流的速度势、重力场、电场以及处于热平衡状态的温度分布场均满 足n = 3时的方程(2)。 例2. 波动方程（wave equation）
偏微分方程
浙江大学 2008.9 - 2008.12
主要内容： 一、一阶方程 二、二阶方程
• 椭圆型方程 （典型的例子：Laplace方程） • 抛物型方程 （典型的例子：热传导方程；Li-Yau’s Harnack inequality） • 双曲型方程 （典型的例子：波动方程） 三、特征流形的Cauchy问题：Cauchy-Kowalevski定理 四、无解的线性方程—H. Lewy例子。
=
n i=1
∂2u ∂x2i
=
0.
(2)
它的解u称为势:::函::数:: 或:调::和:::函::数:::(harmonic function)。
♣ 特别地，当n = 2时，记x1 = x, x2 = y，可以证明存在一个“共轭”调和函
数v(x, y)使得u和v一起满足下述Cauchy-Riemann一阶方程组
ρ
∂2ui ∂t2
=
µ∆ui
+
(λ
+
µ)
∂ ∂xi
(divu)
(i = 1, 2, 3)
(7)
描述，其中ui(t, x1, x2, x3)是位移向量u的分量，ρ是密度，而λ, µ是弹性材料的Lame常
数。可以证明，每一个分量ui都满足由两个不同的波动算子所组成的四阶方程
∂2 ∂t2
−
λ
+ ρ
2µ
∆
∂2 ∂t2
程是
2
i ψt = − 2m ∆(ψ) + V ψ,
(11)
其中h = 2π 是Planck常数。
例7. Tricomi方程
uxx = xuyy.
(12)
另一类重要的方程是
uxx = yuyy.
5
这两类方程在平面跨音速流的研究中具有十分重要的作用。
上述例子中的方程都是线性的。非线性方程也是常见的，但是求解非线性方程实际 :::::::: ::::::::
♣
线性: 例如弦的小振幅振动等；
非线性: 例如湍流等。
§ 2. 例子
PDEs出现在数学、物理学以及工程技术中的各个分支。在许多场合，有一个自变量
代表时间，通常用t表示，而其余的自变量记为(x1, x2, · · · , xn)（特别地，当n = 3时， 则记为x, y, z），表示n维空间中的位置。
上更为困难，因此在实际中常用线性方程近似的表示它们。下面是几个非线性方程的 例子。
例8. 3维Euclid空间中的极. 小. 曲. 面. z = u(x, y)，即通过给定周线而具有最小面积的曲 面，满足下述二阶拟线性方程
(1 + u2y)uxx − 2uxuyuxy + (1 + u2x)uyy = 0.
−
µ ρ
∆
ui = 0.
(8)
当弹. 性. 平衡（即ut = 0）时，我们便得到重. 调. 和. 方. 程.
∆2u = 0.
(9)
例5. 当密度和比热都是常数时，导热体中的温度分布满足热. 传. 导. 方. 程.
ut = k∆u,
(10)
其中k > 0是常数，表示介质的热传导系数。
例6. 在势能为V (x, y, z)的场中，运动的质量为m的单个质点所满足的Schr¨odinger方
习题： • 必做； • 思考题； • Open problems。
参考书： • F. John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982. • 谷超豪，李大潜等人，《数学物理方程》，高教出版社，2002年。 • 姜礼尚，孔德兴等人，《应用偏微分方程》，高教出版社，2008年。
εEt = curlH,
µHt = −curlE, divE = divH =
0,
(6)
其中ε, µ 是描述电磁介质的常数，分别称为真空介电常数和导磁系数。特别地，作为关
系式
εEt = curlH, µHt = −curlE
的推论，如果t = 0时，关系式
divE = divH = 0
成立，则上式对所有的t均成立。不难验证，这里的每个分量Ei, Hk 均满足具有c2 = 1/εµ的波动方程(5)。事实上，在方程组中消去磁场强度便得到电场强度的偏微分方 程：这只需对(6)式中的第二式求旋度，再用其第四式可得
ut + cuux + uxxx = 0,
(21)
它是在水波的研究中被首先提出的，可用来描述浅水波中的孤立子的传播。
例14. 双曲Monge-Ap´ere方程
Sτ τ
=
Sτ2θ Sθθ
− +
1 S
.
(22)
上述方程是在研究平均曲率流时提出的。
通常我们试图描述或理解所考虑的偏微分方程的解. 流. 形. 。不同类型的方程，其结果 是十分不同的。偏微分方程的有意义的适定问题常常受具体的物理背景及物理意义所
一组偏微分方程
∂ui ∂t
3
+
k=1
∂ui ∂xk
uk
+
1 ∂p ρ ∂xi
= µ∆ui
3 k=1
∂uk ∂xk
=0
(或写成 divu = 0),
(i = 1, 2, 3),
(18)
其中ρ是常密度而µ 是运动的粘性系数。
6
例12. 空气动力学方程
∂ρ ∂t
+
3 j=1
∂ ∂xj
(ρvj
)
=
0,
utt = c2∆u (c > 0常数),
(5)
其中u = u(t, x1, · · · , xn)。 ♣ n = 1 : 弦的振动，波在管中的传播波，c表示传播速度。 n = 2 : 浅水面上的水波。 n = 3 : 声波或光波。
例3. Maxwell 方程（Maxwell equations） 在真空中且无自由电荷和电流的情况下，关于电场强度向量E = E(E1, E2, E3)及磁 场强度向量H = (H1, H2, H3)的Maxwell方. 程. 实质上是由六个一阶方程所组成的线性方 程组
curl(curlE) = −µ(curlH)t = −εµEtt,
4
又因为
curl(curlE) = ∇(divE) − ∆E,
再利用(6)式中的第三式得到
Ett = (εµ)−1∆E.
类似地，我们可以得到磁场强度向量H 所满足的偏微分方程。
例4. 在经典弹性理论中，弹. 性. 波. 可由线性方程组
1
绪言
§ 1. 基本概念
• 偏微分方程（PDE） 关于函数u(x, y, · · · )的PDE是形如
F (x, y, · · · , u, ux, uy, · · · , uxx, uxy, · · · ) = 0
(1)
的关系式，其中F 是自变量x, y, · · · ,未知函数u以及u的有:::限::多个偏导数的已知函数。 • 解(solution)： 称u是(1)的:解::，如果把u(x, y, · · · )及其相应的偏导数代入(1)式后，在x, y, · · · 空间的
• 偏微分方程组(PDEs): 涉及一个或几个未知函数及其偏导数的多个偏微分方程组成一个方程组。
记n为未知函数的个数，m为PDE的个数 当n > m时，此时方程组称为欠定的(under-determined)； 当n < m时，此时方程组称为超定的(over-determined)。 • PDE或PDEs的阶数： 是指其中出现的最高阶导数的阶数。 • PDE或PDEs的维数： 是指自变量x, y, · · · 的个数。 • 线性，拟线性，完全非线性：
::::::::::
启示。
7
第一章 一阶方程
一阶方程是一类最基本的偏微分方程，它在数学、物理学以及工程技术中具 有广泛的应用背景。本章我们通过具体的例子着重介绍一阶方程的一些基本概 念、方法和结果。
§ 1. 一个简单线性方程
在本节中我们考虑关于函数u = u(t, x)的一个最简单的方程
ut + cux = 0 并用它来说明将在后面起重要作用的某些概念，其中c > 0是常数。