对数函数第1课时对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？提示：不是，其不符合对数函数的形式．2．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值为( ) A ．5 B.15 C.1e D.12 A [由图可知，a >1，故选A.]2．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．f (x )＝log 2x [设对数函数的解析式为f (x )＝l o g a x (a >0且a ≠1)．由f (4)＝2得l o g a 4＝2，∴a ＝2，即f (x )＝l o g 2x .]3．函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为________．(－1，＋∞) [由x ＋1>0得x >－1，故f (x )的定义域为(－1，＋∞)．]对数函数的概念及应用【例1】 (1)下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1； ②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ；⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)； ⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( ) A ．③④⑤ B ．②④⑥ C ．①③⑤⑥D ．③⑥(2)若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__________.(1)D (2)4 (3)－1 [(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D. (2)因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎨⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.(3)设对数函数为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)， 由f (16)＝4可知log a 16＝4，∴a ＝2， ∴f (x )＝log 2x ，∴f⎝⎛⎭⎪⎫12＝log212＝－1.]判断一个函数是对数函数的方法1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)log a x是对数函数，则a＝________.2[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a>0且a≠1，所以a＝2.]对数函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1log12x＋1；(2)f(x)＝12－x＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．[解](1)要使函数f(x)有意义，则log12x＋1>0，即log12x>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎨⎧x＋1>0，2－x>0，即⎩⎨⎧x>－1，x<2，解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎨⎧－4x＋8>0，2x－1>0，2x－1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x<2，x>12，x≠1.故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪12<x<2，且x≠1.求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负. (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.2．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．[解] (1)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4， 所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)． 对数函数的图象问题[探究问题]1．如图，曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别对应y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，你能指出a 1，a 2，a 3，a 4以及1的大小关系吗？提示：作直线y ＝1，它与各曲线C 1，C 2，C 3，C 4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a 4>a 3>1>a 2>a 1>0.2．函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象有何特点？ 提示：两函数的图象关于直线y ＝x 对称．【例3】 (1)当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )A B C D(2)已知f(x)＝log a|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．[思路点拨](1)结合a>1时y＝a－x＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax及y＝log a x的图象求解．(2)由f(－5)＝1求得a，然后借助函数的奇偶性作图．(1)C[∵a>1，∴0<1a<1，∴y＝a－x是减函数，y＝log a x是增函数，故选C.](2)[解]∵f(x)＝log a|x|，∴f(－5)＝log a5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．1．把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝log a x”改为“y＝log a(－x)”，则函数y＝a－x与y＝log a(－x)的图象可能是()C[∵在y＝log a(－x)中，－x＞0，∴x＜0，∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；当a＞1时，y＝log a(－x)是减函数，y＝a－x＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax是减函数，故排除B；当0＜a＜1时，y＝log a(－x)是增函数，y＝a－x＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax是增函数，∴C满足条件，故选C.]2．把本例(2)改为f(x)＝||log2(x＋1)＋2，试作出其图象．[解]第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．(1)(2)第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．(3)(4)函数图象的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x ＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝log a x(a>0且a≠1)这种形式．2．在对数函数y＝log a x中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.1．思考辨析(1)对数函数的定义域为R.()(2)函数y＝log a(x＋2)恒过定点(－1,0)．()(3)对数函数的图象一定在y 轴右侧．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)D ．y ＝ln xD [结合对数函数的形式y ＝l o g a x (a >0且a ≠1)可知D 正确．] 3．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，53 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 C [由⎩⎨⎧lg x ≥0，5－3x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，即1≤x <53.]4．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )<f (2)，利用图象求a 的取值范围． [解] (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2. 由图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)． 所以所求a 的取值范围为0<a <2.课后作业 对数函数的概念、图象及性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题 1．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)C [要使函数有意义，则⎩⎨⎧x －2>0，log 2(x －2)≠0，解得x ＞2且x ≠3，故选C.]2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝3x 的反函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A ．－log 23B ．－log 32 C.19D. 3B [由题意可知f (x )＝log 3x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 312＝－log 32，故选B.]3．如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( ) A ．0<a <b <1 B ．0<b <a <1 C ．a >b >1 D ．b >a >1B [作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0<b <a <1.]4．函数y＝log2x的定义域是[1,64)，则值域是()A．R B．[0，＋∞)C．[0,6) D．[0,64)C[由函数y＝l o g2x的图象可知y＝l o g2x在(0，＋∞)上是增函数，因此，当x∈[1,64)时，y∈[0,6)．] 5．函数f(x)＝log a(x＋2)(0<a<1)的图象必不过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A[∵f(x)＝log a(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.]二、填空题6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.－7[由f(3)＝1得l o g2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.]7．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．(4，－1)[y＝l o g a x的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.]8．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(22)＝________.－32[设f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)，则－3＝log a8，∴a＝1 2，∴f(x)＝log 12x，f(22)＝log12(22)＝－log2(22)＝－32.]三、解答题9．若函数y＝log a(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．(1)求a的值；(2)求函数的定义域．[解](1)将(－1,0)代入y＝log a(x＋a)(a>0，a≠1)中，有0＝log a(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，所以函数的定义域为{x |x >－2}．10．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象．[解] ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧lg x ＋1，x >0，0，x ＝0，－lg 1－x ，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示．[等级过关练]1．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1]B [由⎩⎨⎧x ≥0，1－x >0，得0≤x <1，故选B.]2．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )A B C DB [由lg a ＋lg b ＝0，得lg(ab )＝0，所以ab ＝1，故a ＝1b ，所以当0＜b ＜1时，a ＞1；当b ＞1时，0＜a ＜1.又因为函数y ＝－log b x 与函数y ＝log b x 的图象关于x 轴对称．利用这些信息可知选项B 符合0＜b ＜1且a ＞1的情况．]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a ＝________.－1或2 [当x >0时，f (x )＝log 2x ， 由f (a )＝12得log 2a ＝12，即a ＝ 2.当x ≤0时，f (x )＝2x ，由f (a )＝12得2a ＝12，a ＝－1. 综上a ＝－1或 2.]4．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 019)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 019)的值等于________．16 [∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 019) ＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 019＝log a (x 1x 2x 3…x 2 019)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 019)＝2×8＝16.]5．若不等式x 2－log m x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围．[解] 由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．要使x 2<log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，只要y ＝log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内的图象在y ＝x 2的上方，于是0<m <1.∵x ＝12时，y ＝x 2＝14，∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14，∴12≤m 14，即116≤m . 又0<m <1，∴116≤m <1. 即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.第2课时对数函数及其性质的应用比较对数值的大小【例1】比较下列各组值的大小：(1)log534与log543；(2)log132与log152；(3)log23与log54.[解](1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log534<log543.法二(中间值法)：因为log534<0，log543>0，所以log534<log543.(2)法一(单调性法)：由于log132＝1log213，log152＝1log215，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log213>log215，所以1log213<1log215，所以log132<log152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝log13x及y＝log15x的图象，由图易知：log132<log152.(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同，找中间量.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.1．比较下列各组值的大小：(1)log 230.5，log230.6；(2)log1.51.6，log1.51.4；(3)log0.57，log0.67；(4)log3π，log20.8.[解](1)因为函数y＝log 23x是减函数，且0.5<0.6，所以log230.5>log230.6.(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.(3)因为0>log70.6>log70.5，所以1log70.6<1log70.5，即log0.67<log0.57.(4)因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8.解对数不等式【例2】已知函数f(x)＝log a(x－1)，g(x)＝log a(6－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．[思路点拨](1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．[解] (1)由⎩⎨⎧x －1>0，6－2x >0，解得1＜x ＜3，∴函数φ(x )的定义域为{x |1＜x ＜3}．(2)不等式f (x )≤g (x )，即为log a (x －1)≤log a (6－2x )， ①当a ＞1时，不等式等价于⎩⎨⎧1<x <3，x －1≤6－2x ，解得1<x ≤73；②当0＜a ＜1时，不等式等价于⎩⎨⎧1<x <3，x －1≥6－2x ，解得73≤x <3.综上可得，当a ＞1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，73；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，3.常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解；(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解.2．(1)已知log a 12>1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． [解] (1)由log a 12>1得log a 12>log a a . ①当a >1时，有a <12，此时无解． ②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1. 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)因为函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，所以由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)得⎩⎨⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.即x 的取值范围是(1，＋∞)． 对数函数性质的综合应用[探究问题]1．类比y ＝a f (x )单调性的判断法，你能分析一下y ＝log 12(2x －1)的单调性吗？ 提示：形如y ＝a f (x )的单调性满足“同增异减”的原则，由于y ＝log 12(2x －1)由函数y ＝log 12t 及t ＝2x －1复合而成，且定义域为2x －1>0，即x >12，结合“同增异减”可知，y ＝log 12(2x －1)的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 2．如何求形如y ＝log a f (x )的值域？提示：先求y ＝f (x )的值域，注意f (x )>0，在此基础上，分a >1和0<a <1两种情况，借助y ＝log a x 的单调性求函数y ＝log a f (x )的值域．【例3】 (1)已知y ＝log a (2－ax )是[0,1]上的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2)D ．[2，＋∞)(2)函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．[思路点拨] (1)结合对数函数及y ＝2－ax 的单调性，构造关于a 的不等式组，解不等式组可得． (2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．(1)B (2)(－∞，－1] [(1)∵f (x )＝l o g a (2－ax )在[0,1]上是减函数，且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数， ∴⎩⎨⎧f (0)＞f (1)，a >1，即⎩⎨⎧ log a 2＞log a (2－a )，a >1，∴⎩⎨⎧a >1，2－a >0，∴1＜a ＜2. (2)f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]， 因为(x ＋1)2＋2≥2，所以log 12[(x ＋1)2＋2]≤log 122＝－1，所以函数f (x )的值域是(－∞，－1]．]1．求本例(2)的函数f(x)在[－3,1]上的值域．[解]∵x∈[－3,1]，∴2≤x2＋2x＋3≤6，∴log 126≤log12(x2＋2x＋3)≤log122，即－log26≤f(x)≤－1，∴f(x)的值域为[－l o g26，－1]．2．求本例(2)的单调区间．[解]∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，又y＝log 12t在(0，＋∞)为减函数，且t＝x2＋2x＋3在(－∞，－1)上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数，故由复合函数单调性可知，y＝log 12(x2＋2x＋3)单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为[－1，＋∞)．1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0<a<1两类分别求解．2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．1．思考辨析(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．()(2)y＝log 12x2在(0，＋∞)上为增函数．()(3)ln x<1的解集为(－∞，e)．()(4)函数y＝log 12(x2＋1)的值域为[0，＋∞)．()[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >bD [a ＝l o g 32<l o g 33＝1；c ＝l o g 23>l o g 22＝1，由对数函数的性质可知l o g 52<l o g 32，∴b <a <c ，故选D.]3．函数f (x )＝log 2(1＋2x )的单调增区间是______．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ [易知函数f (x )的定义域为－12，＋∞，又因为函数y ＝log 2x 和y ＝1＋2x 都是增函数，所以f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.]4．已知a ＞0且满足不等式22a ＋1＞25a －2. (1)求实数a 的取值范围；(2)求不等式log a (3x ＋1)<log a (7－5x )的解集；(3)若函数y ＝log a (2x －1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a 的值．[解] (1)∵22a ＋1＞25a －2，∴2a ＋1＞5a －2，即3a ＜3，∴a ＜1，即0＜a ＜1.∴实数a 的取值范围是(0,1)．(2)由(1)得，0＜a ＜1，∵log a (3x ＋1)<log a (7－5x )，∴⎩⎨⎧3x ＋1>0，7－5x >0，3x ＋1>7－5x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－13，x <75，x >34，解得34<x <75.即不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，75.(3)∵0＜a ＜1，∴函数y ＝log a (2x －1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x ＝3时，y 有最小值为－2，即log a 5＝－2，∴a －2＝1a 2＝5，解得a ＝55.课后作业 对数函数及其性质的应用(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)B [由lg(2x －4)≤1，得0<2x －4≤10， 即2<x ≤7，故选B.]2．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)D [f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]3．已知log a 13>log b 13>0，则下列关系正确的是( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <aD ．1<a <bA [由log a 13>0，log b 13>0，可知a ，b ∈(0,1)， 又log a 13>log b 13，作出图象如图所示， 结合图象易知a >b ，∴0<b <a <1.]4．若a ＝20.2，b ＝log 4(3.2)，c ＝log 2(0.5)，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [∵a ＝20.2＞1＞b ＝l o g 4(3.2)＞0＞c ＝l o g 2(0.5)，∴a ＞b ＞c .故选A.]5．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4B [当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12(舍去)． 当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ， ∴log a 2＝－1，a ＝12.] 二、填空题6．函数y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)的值域是________． [－2，＋∞) [－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254≤254，∴有0<－x 2＋3x ＋4≤254，∴根据对数函数y ＝log 0.4x 的图象(图略)即可得到： log 0.4(－x 2＋3x ＋4)≥log 0.4254＝－2， ∴原函数的值域为[－2，＋∞)．]7．若log a 23<1，则a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，23>a 或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，23<a ，解得0<a <23或a >1，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．]8．若y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． (1,3] [因为y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧－a ＋3≥0，a >1，a >0且a ≠1，解得1<a ≤3.故a 的取值范围是(1,3]．]三、解答题9．已知函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )． (1)求函数y ＝f (x )的定义域； (2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性．[解] (1)要使函数有意义，则⎩⎨⎧3＋x >0，3－x >0，解得－3＜x ＜3，故函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)．(2)由(1)可知，函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)，关于原点对称． 对任意x ∈(－3,3)，则－x ∈(－3,3)． ∵f (－x )＝ln(3－x )＋ln(3＋x )＝f (x )，∴由函数奇偶性可知，函数y ＝f (x )为偶函数． 10．已知函数y ＝(log 2x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4x －12，2≤x ≤8.(1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围； (2)求该函数的值域．[解] (1)y ＝12(t －2)(t －1)＝12t 2－32t ＋1，又2≤x ≤8，∴1＝log 22≤log 2x ≤log 28＝3，即1≤t ≤3. (2)由(1)得y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－18，1≤t ≤3，当t ＝32时，y min ＝－18；当t ＝3时，y max ＝1，∴－18≤y ≤1， 即函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1.[等级过关练]1．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数A [f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg 1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0， ∴f (x )为奇函数，故选A.]2．当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(1，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22C [当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象如图所示，若不等式4x ＜log a x 恒成立，则y ＝log a x 的图象恒在y ＝4x 的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y ＝log a x 的图象与y ＝4x 的图象交于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2点时，a ＝22，故虚线所示的y ＝log a x 的图象对应的底数a 应满足22＜a ＜1，故选C.]3．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．－14 [f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14.]4．设常数a ＞1，实数x ，y 满足log a x ＋2log x a ＋log x y ＝－3，若y 的最大值为2，则x 的值为________．18[实数x ，y 满足log a x ＋2log x a ＋log x y ＝－3，化为log a x ＋2log a x ＋log a ylog ax ＝－3.令log a x ＝t ，则原式化为log a y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322＋14.∵a ＞1，∴当t ＝－32时，y 取得最大值2， ∴log a2＝14，解得a ＝4，∴log 4x ＝－32，∴x ＝4－32＝18.]5．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0<a <1. (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值． [解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎨⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，因为－3<x <1，所以0<－(x ＋1)2＋4≤4.因为0<a <1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.第3课时不同函数增长的差异三种函数模型的性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度①y＝a x(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢；②存在一个x0，当x>x0时，有a x>kx>log a x1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是()A．y减少1个单位B．y增加1个单位C．y减少2个单位D．y增加2个单位C[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝e x B．y＝ln xC．y＝2x D．y＝e－xA[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．②③[结合图象可知②③正确，故填②③.]几类函数模型的增长差异【例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2 019x B．y＝2019C．y＝log2 019x D．y＝2 019x(2)下面对函数f(x)＝log12x，g(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是()A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快(1)A(2)C[(1)指数函数y＝a x，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知： 函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象递减速度不变．]常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b (k >0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变. (2)指数函数模型指数函数模型y ＝a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.1．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y 1 2 26 101 226 401 626 901 y 2 2 32 1 024 37 768 1.05×1063.36×1071.07×109y 3 2 10 20 30 40 50 60 y 424.3225.3225.9076.3226.6446.907y 2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数型函数变化．故填y 2.]指数函数、对数函数与一次函数模型的比较【例2】 函数f (x )＝2x 和g (x )＝2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (2 019)与g (2 019)的大小．[解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝2x ，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)∵f (1)＝g (1)，f (2)＝g (2)从图象上可以看出，当1＜x ＜2时，f (x )＜g (x )， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32； 当x ＞2时，f (x )＞g (x )， ∴f (2 019)＞g (2 019)．由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.2．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)． [解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当x <x 1时，g (x )>f (x )；当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )；当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y ＝kx ＋b (k ≥0)、指数函数y ＝a x (a >1)、对数函数y ＝log b x (b >1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变.1．思考辨析(1)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．()(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有log a x<kx<a x成立．()(3)函数y＝log12x衰减的速度越来越慢．()[答案](1)×(2)×(3)√2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A．y＝1B．y＝xC．y＝3x D．y＝log3xC[结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝l o g3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.]3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．乙、甲、丙[将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]4．画出函数f(x)＝x与函数g(x)＝14x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．[解]函数f(x)与g(x)的图象如图所示．根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)<g(x)．课后作业不同函数增长的差异(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．当a>1时，有下列结论：①指数函数y＝a x，当a越大时，其函数值的增长越快；②指数函数y＝a x，当a越小时，其函数值的增长越快；③对数函数y＝log a x，当a越大时，其函数值的增长越快；④对数函数y＝log a x，当a越小时，其函数值的增长越快．其中正确的结论是()A．①③B．①④C．②③D．②④B[结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确．故选B.]2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有()A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1B[在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝l o g2x，故y2>y1>y3.]3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16xC[用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．] 4．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD[根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝l o g2x，可知满足题意．故选D.]5．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2xD[显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.]二、填空题6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .y＝x2[当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比x ln x增长的要快．]7．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.①[结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.]8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．(4)(1)(3)(2)[A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]三、解答题9．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．[解]由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x12，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．10．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝log a(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．t(年)12345 6h(米)0.61 1.3 1.5 1.6 1.7由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．将(2,1)代入到h＝log a(t＋1)中，得1＝log a3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．[等级过关练]1．函数y＝2x－x2的图象大致是()A B C DA[分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x<－1时，y<0，故排除D，故选A.]2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()A B C DD [设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意可得ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝l o g 1.104x (x ≥1)，所以函数y ＝f (x )的图象大致为D 中图象，故选D.]3．若已知16<x <20，利用图象可判断出x 12和log 2x 的大小关系为________．x 12>log 2x [作出f (x )＝x 12和g (x )＝log 2x 的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，x 12>log 2x ；x ＝4或x ＝16时，x 12＝log 2x ；在(4,16)内，x 12<log 2x ；在(16,20)内，x 12>log 2x .]4．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．1．75 [∵y ＝a ·0.5x ＋b ，且当x ＝1时，y ＝1，当x ＝2时，y ＝1.5，则有⎩⎨⎧1＝a ×0.5＋b ，1.5＝a ×0.25＋b ，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2.当x ＝3时，y ＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．]5．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y (单位：万元)随生源利润x (单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？[解] 借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x 的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x 的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励才符合学校的要求．。
