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1.3 全概率与逆概率公式
一、全概率公式
一个复杂事件A若能分解成若干个互不相容的简单事件的 和，则求得这些简单事件的概率，再利用可加性即可得到复 杂事件A的概率. 定理 设事件B1，B2，„， Bn为样本空间Ω 的一个分割， 即Bi两两不相容，P(Bi)>0 (i n Bi =1,2, „,n)，且 i 1 则对任意事件A，有
i 1 n
于是得证.
二、贝叶斯公式（逆概率公式）
定理 设事件B1，B2，„，Bn为样本空间Ω 的一个分割， n 即Bi两两不相容，P(Bi)>0 (i =1,2, „,n)，且 i1 Bi 则对任意事件A，若P(A)>0,则
P( Bi | A)
P( Bi ) P( A | Bi )
P( B ) P( A | B )
i i i 1
n
,
(i=1，2，„，n).
贝叶斯公式的应用
如果把样本空间的一个划分B1, B2, …, Bn看作是导致事 件A发生的各种原因，如果A发生了，求P(Bj|A)可以用贝叶斯wenku.baidu.com公式.
B1
B
2
…
B3
A Bn …
P( A) P( Bi ) P( A | Bi).
i 1 n
B1 B3
B2 Bn A …
…
全概率公式
例1有两个口袋，甲袋中装有2个白球、 1个黑球，乙袋中 装有1个白球、 2个黑球.由甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋 中取出一球，问取得白球的概率是多少？
解 设A＝“从乙袋中取得白球”
B1＝“从甲袋中取出的是白球“， B2＝“从甲袋中取出的是黑球“ 2 2 P ( B1 ) P ( A | B1 ) 4 3 1 1 P ( B2 ) P ( A | B2 ) 4 3
P(A)= P(B1 )P(A| B1 ) P(B2 )P(A| B 2 )
2 2 1 3 5 3 4 3 4 12
P( A) P( Bi ) P( A | Bi).
i 1 n
二、贝叶斯公式（逆概率公式）
定理 设事件B1，B2，„，Bn为样本空间Ω 的一个分割， n 即Bi两两不相容，P(Bi)>0 (i =1,2, „,n)，且 i1 Bi 则对任意事件A，若P(A)>0,则
P( Bi | A)
P( Bi ) P( A | Bi )
P( B ) P( A | B )
i i i 1
n
,
(i=1，2，„，n).
事实上，由条件概率的定义及全概率公式
P( Bi A) P( Bi ) P( A | Bi ) P( Bi | A) , P( A) P( A)
P( A) P( Bi ) P( A | Bi).
