数列的求和导学案解析

《数列求和》导学案【学习目标】1、 会用公式法求等差数列和等比数列的前n 项的和。

2、 会用几种特殊方法求几种常见特殊数列的前n 项的和。

【重点难点】重点：数列求和方法及其获取思路． 难点：数列求和方法及其获取思路． 【知识链接】等差数列求和公式:等比数列求和公式:)1(211+==∑=n n k S nk n常用公式：)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n213)]1(21[+==∑=n n k S nk n【学习过程】知识点一：公式法求和直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．例1． 求na a a a +++++ 321的值分析：本题可以直接用等比数列前n 项和公式求解.变式练习1：在等比数列｛a n ｝中，已知s n =48、s 2n =60求s 3n 、知识点二：倒序相加法：这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.等差数列前n 项和公式的推导方法：)(211121nn n n n n n a a n S a a a S a a a S +=⇒⎩⎨⎧+++=+++=-例2．求和：222222222222110108339221011++++++++ 分析：数列的第k 项与倒数第k 项和为1，故宜采用倒序相加法．变式练习2：求22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89+++⋅⋅⋅++的值知识点三：错位相减法：这种方法主要用于求数列{an · bn}的前n 项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 等比数列前n 项和公式的推导方法：例3．求和：)0()12(5332≠-++++x x n x x x n分析：数列的每一项由两部分构成，一部分成等差，另一部分成等比，符合错位相减法求解。

11132321)1(++-=-⇒⎩⎨⎧++++=++++=n n n n nn n a a S q a a a a qS a a a a S:变式练习3:.求数列23n 2462n,,,,,2222⋅⋅⋅⋅⋅⋅前n 项的和.知识点四：裂项相消法求和裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）. 常用的裂项公式：(1)1n （n ＋1）＝________________； (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝________________； (3)1n ＋n ＋1＝________________；例4．求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S.变式练习4: 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.知识点五：分组求和法一个数列的通项公式由若干个等差或等比或可求和的数列组成，分别求和而后相加减。

专题：数列求和方法导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN【学习目标】掌握求数列前n 项和的基本方法：（1）公式法;（2）分组求和法;（3）裂项相消法; （4）错位相减法；（5）倒序相加法；（6）并项求和法。

【教学重点】分组求和法、裂项相消法、错位相减法。

【教学难点】错位相减法、倒序相加法、并项求和法。

【学习过程】一. 公式法:适用于等差、等比数列。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S n n1．已知数列{}n a 的通项公式为24=-n a n ，则数列{}n a 的前n 项和=n S2.在等差数列中，,则的前5项和=3．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为4.若数列{}n a 满足11=a ，)(2*1N n a a n n ∈=+，则数列{}n a 的前5项的和5S = .二．分组求和：适用于{}+n n a b ，其中{}是等差数列，是的等比数列。

例1．已知数列{}n a 的通项公式为n =2+2n-1n a ，求数列{}n a 的前n 项和S n 。

}{n a 5,142==a a }{n a 5S练习1.等差数列中，，． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的值．练习2．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .三.裂项相消法:适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列等。

常见的裂项公式：111)1(1+-=+n n n n 1111()()n n k k n n k =-++)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n 111n a n nn n ==+-++111111(),0n n n n n a d a a d a a ++=-≠为等差数列，例1．已知数列{}n a 的通项公式为1=n a (2n-1)(2n+1)，求数列{}n a 的前n 项和S n 。

高中数学_数列求和教学设计学情分析教材分析课后反思数列求和教学设计一、教学目标：1、知识与技能（1）初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法．（2）通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，转化的数学思想以及数学运算能力。

2、过程与方法培养学生分析解决问题的能力，归纳总结能力，以及数学运算的能力。

3、情感,态度,价值观通过教学，让学生认识到事物是普遍联系，发展变化的。

二、教学重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和三、教学难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的四、教学过程设计设计意图：让学生回顾旧知，由此导入新课。

[教师过渡]：今天我们学习《数列求和》第二课时，课标要求和学习内容如下:(多媒体课件展示)导入新课：[情境创设](课件展示):例1：典例(2018·合肥质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n 2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和.[问题生成]：请同学们观察能否求和？变式训练：本例(2)中，求数列{bn}的前n项和Tn.说明：例题引伸是教学中常做的一件事，它可以使学生的认识得到“升华”，发展学生的思维，并起到触类旁通，举一反三的效果例2：2017·天津)已知{an}为等差数列，前n 项和为Sn(n ∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nb2n －1}的前n 项和(n ∈N*分析：直接算肯定不可行，启发学生能否通过通项的特点进行求解。

[问题生成]：根据以上例题，观察该例题通项公式的特点。

[教师过渡]：如果{}是等差数列,是等比数列,那么求数列的前n 项和,可用错位相减法.变式训练2、2018·阜阳调研)设等差数列{an}的公差为d ，前n 项和为Sn ，等比数列{bn}的公比为q ，已知b1＝a1，b2＝2，q ＝d ，S10＝100.(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .五、方法总结：公式求和：对于等差数列和等比数列的前n 项和可直接用求和公式.分组求和：利用转化的思想,将数列拆分、重组转化为等差或等比数列求和.裂项相消：对于通项型如（其中数列为等差数列）的数列,在求和时将每项分裂成两项之差的形式,一般除首末两项或附近几项外,其余各项先后抵消,可较易求出前n 项和。

课题：数列求和（2）【学习目标:】1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式；2．掌握分组求和、错位相减法、裂项相消法求和。

【重点难点:】重点难点：分组求和、错位相减、裂项相消等几种特殊数列求和的方法．【学习过程：】一、课前导学：1．等差数列的前n 项和公式： 2．等比数列的前n 项和公式：n S ＝ ＝ ． ① 当q ＝1时，n S ＝ ．② 当q≠1时，n S ＝ ．二、新知探究探究类型三：错位相减法例3 求和:23n 1n S 13x 5x 7x (2n 1)x -=++++⋅⋅⋅+-变式练习：1、求数列n n 2......834221++++的值2、已知数列{}n a 的通项公式n n n a 3∙=，求数列{}n a 的前n 项和n S 。

3、设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n .方法总结：对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错位相减法。

n n n c b a ⋅=, 其中{}n b 是等差数列， {}n c 是等比数列，记n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++，…三、当堂检测1.数列{}n a 的前n 项的和2231n S n n =-+，则45610a a a a ++++ 等于 （ ）A.171B.161C.21D.102.数列{}n a 的通项公式是()()1143n n a n -=--，则100S = （ ）A.200B.200-C.400D.400-3.已知数列{}n a 的通项公式是212n n na -=，其前n 项的和是32164n S =，则n = （ ） A.13 B.10 C.9 D.64.数列 1111,,,,1212312n++++++ 的前n 项和为 （ ） A. 221n n + B. 21n n + C.21n n ++ D. 21n n + 5.233232222n n -++++ 等于 （ ） A. 1122n n n -- B. 1122n n n --- C. 1122n n n -- D. 1122n nn --- 6.数列{}n a 中，11a =，n a ，1n a +是方程()21210nx n x b -++=的两个根，数列{}n b 前n 项和n S =（ ） A.121n + B. 11n + C. 21n n + D. 1n n + 7.在等差数列{}n a 中，12008a =-，其前n 项和为n S ，若20072005220072005S S -=，则2008S 的值等于（ ）A. 2007-B.2008-C. 2007D.20088．(2011·金昌质检)已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝{1a n a n ＋1}的前n 项和S n ＝________.9.等差数列{}n a 的公差不为零，47a =，125,,a a a 成等比数列，数列{}n T 满足条件24n T a a =++82n a a ++ ，则n T =10.(1)求和：()()111114477103231n n ++++=⨯⨯⨯-+ (2)求和：2222246(2)=133557(21)(21)n n n ++++-+ 11.已知S n =1-2+3-4+……..(-1)n+1n,求 S n12.（2012年浙江文19）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2*2,n S n n n N =+∈，数列{}n b 满足*24log 3,n n a b n N =+∈。

《等差数列求和》导学案学习目标：1、掌握等差数列求和公式2、灵活运用等差数列求和公式一、基础检测(1)若101,7501==a a ,求50S(2)若61,211-==d a ,求12S二、知识梳理等差数列前n 项和公式：① _______________② _______________三、典型例题例1 (1)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且619101=++a a a ，则a 10＝________，S 19＝________．(2)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则99T S ＝________．练习：(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝__________．例2 (2018·全国卷Ⅱ改编) 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3＝－3，S 3＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求S n 的最小值，并求出此时n 的取值.总结反思：________________________________________________ ___________________________________________________________四、巩固训练1. 在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，a 7＝5－a 8，则S 14的值是__________．2.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n＝3n －22n ＋1，则77b a 等于_________．3.设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项． (1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)令数列b n =－53a n ＋653，T n 为b n 的前n 项和，求T n 的最大值.。

数列的求和高一（ ）班 姓名 ____________ 学号 _____________一、学习目标：（1）. 熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；(2). 能运用错位相减、裂项相消、倒序相加等重要的数学方法进行求和运算；（重点）（3）熟记一些常用的数列的和的公式．二、学习过程数列求和的方法：1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求.①等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq ⎧=⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ 常见的数列的前n 项和：123+++……+n=__________， 1+3+5+……+(2n-1)=_______ 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++等. 2、错位相减法： 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.若n n n c b a =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n a 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b a b a b a b a --=++++则n qS = 122311n n n n b a b a b a b a -+++++两式相减并整理即得例1、（2008年全国Ⅰ第19题第（2）小题，满分6分）已知 12n n a n -=∙，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{}n c 的公比q ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和的公式求和.针对训练1、求和：()23230,1n n S x x x nx x x =++++≠≠3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。

2.6数列求和导学案n 项和公式解决有关关应用问题；掌握非等差数列、等比数列求和的几种常用方法。

n 项和的定义：=nS _________________________________________；若数列{}n a 是等差数列则①：=n S ___________；公式②：=n S ________________; 若数列{}n a 是等比数列则①：=nS ____________；公式②：=n S ______________.（一）公式法（直接求和）如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q 的取值情况要分q ＝1和q ≠1. 例1、求和:(1)123n S n =++++(2)n S =+++⋯⋯+n 2482(3)132......1-+++++=n n a a a a S（二）：绝对值求和{}n a ：注重原来通项正负转换的位置例2：在等差数列{}n a 中，316n a n =-，n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .练习：在等差数列{}n a 中，113,5a d ==-，n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

（三）分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．例3、求和：()()()()232122232n n S n =-+-+-++-练习：.数列121,341,581,7161,…,(2n -1)+n 21,…的前n 项和n S 的值等于（四）错位相减法：若通项能转化为等差数列与等比数列的积，一般适用于数列{}n n a b 的前n 项求和，其中{}n a 成等差，{}n b 成等比，即n n n c b a ⋅=. 例4、求和21122322n n -+⋅+⋅++⋅. 变式：求和21123n a a na -++++。