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16.3 二次根式的加减（1）同步练习姓名：__________班级：__________学号：__________本节应掌握和应用的知识点１.同类二次根式(１)同类二次根式的定义几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式．(２)同类二次根式的合并合并同类二次根式类似于合并同类项,就是将同类二次根式的“系数”合并 ,根指数与被开方数保持不变．２.二次根式的加减(１)二次根式的加减实质是合并同类二次根式,非同类二次根式不能合并．(２)二次根式加减法的一般步骤: ①先把各根式化成最简二次根式; ②找出其中的同类二次根式; ③合并同类二次根式．3. 比较二次根式大小时,可将根号外的非负数(或式子) 移到根号内．基础知识和能力拓展训练一、选择题1．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( )A. 6和32B. a和2aC. 12和13D. 3和92．下列二次根式中，不能与2合并的是（）A. 12B. 8C. 12D. 183．已知二次根式24a 与2是同类二次根式，则a的值可以是（）A. 5B. 3C. 7D. 84．下列运算正确的是（）A. （﹣a2）3=a6B. （a+b）2=a2+b2C. 8﹣2=2D. 55﹣5=4 5．已知等腰三角形的两边长为23和52，则此等腰三角形的周长为（）A. 43+52B. 23+102C. 43+102D. 43+52或23+102 6．计算|2﹣5|+|4﹣5|的值是（）A. ﹣2B. 2C. 25﹣6D. 6﹣257．计算：32﹣8的结果是（）A. 30B. 2C. 22D. 2.88．实数的值在( )A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间 D . 3和4之间9．设a＝6－2，b＝3－1，c＝231，则a，b，c之间的大小关系是( )A. c＞b＞aB. a＞c＞bC. b＞a＞cD. a＞b＞c10．设的小数部分为，则的值是（）A. B. 是一个无理数C. D. 无法确定二、填空题11．若最简二次根式与是同类二次根式，则a ＝______，b ＝___________．12．若最简二次根式1x +与22x -能合并为一个二次根式，则x =_______。
人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》是本节课的主要内容。
在此之前，学生已经学习了二次根式的性质和乘除运算，本节课将进一步引导学生学习二次根式的加减运算。
教材通过实例引入二次根式的加减运算，让学生在实际问题中体会和理解二次根式的加减法则。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质和乘除运算，具备了一定的数学基础。
但学生在进行二次根式的加减运算时，容易出错，对运算法则理解不深。
因此，在教学过程中，需要帮助学生巩固已学的知识，并通过实例让学生深入理解二次根式的加减法则。
三. 教学目标1.理解二次根式的加减法则，并能正确进行二次根式的加减运算。
2.培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减法则，二次根式的加减运算。
2.难点：理解二次根式加减法则是如何得出的，如何运用二次根式加减法则解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过实例引入二次根式的加减运算，激发学生的学习兴趣。
2.运用合作学习法，让学生在小组内讨论二次根式的加减法则，培养学生相互学习、共同进步的能力。
3.采用归纳总结法，引导学生总结二次根式的加减法则，加深学生对知识的理解。
4.运用练习法，让学生在实践中掌握二次根式的加减运算。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示二次根式的加减运算实例。
2.准备一些练习题，用于巩固学生的学习成果。
3.准备黑板，用于板书重要的运算过程和结论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何进行二次根式的加减运算。
例如，问学生：“已知√3 + √5 = a，求a的值。
”让学生尝试解答，从而引出本节课的主题。
2.呈现（10分钟）展示几个二次根式的加减运算实例，让学生观察和分析。
例如：2√5 + 3√5引导学生观察这些实例，发现二次根式加减运算的规律。
1《16.3二次根式的加减》本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从算术平方根的运算出发，从算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．实数的运算律对二次根式的运算仍实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算．进行二次根式的混合运算．1. 1. 探索二次根式加减运算的方法和步骤；探索二次根式加减运算的方法和步骤；2.2. 会进行二次根式的加减运算．会进行二次根式的加减运算．3.3. 通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想. .4.4. 类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法方法. .5.5. 能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .6.6. 通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力．1.1. 在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．2.2. 熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .课件课件◆ 教材分析 ◆ 教学目标◆ 教学重难点 ◆◆ 课前准备◆◆ 教学过程第一课时一、复习引入：一、复习引入：问题1：什么叫最简二次根式？你能将18，8，23化为最简二次根式吗？化为最简二次根式吗？ 问题2：现有一块长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 的木板的木板,,能否采用如图的方式能否采用如图的方式,,在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板的正方形木板? ? 提问提问::①大、小正方形木板的边长分别为18dm 和8dm,dm,木板是木板是否够宽否够宽??②木板是否够长呢②木板是否够长呢??③怎样计算818+的结果呢的结果呢? ?问题3：计算下列各式：（1）a+2a a+2a；；（2）3x-2x 3x-2x；；解：（1）a+2a=(1+2)a=3a a+2a=(1+2)a=3a；；（2）3x-2x=(3-2)x=x 3x-2x=(3-2)x=x；；【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备. .二、新课讲解：1.1.探究二次根式的加法探究二次根式的加法探究二次根式的加法. .问题4：请类比整式的加减，计算下列各式：：请类比整式的加减，计算下列各式：（1）323+；（2）52-53.解：（1）333)21(323=+=+；（2）55)23(52-53=-=.【点拨】最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减，根号和根号内的数不变内的数不变. .问题5：53+能合并吗？为什么？82+呢？呢？解：53+不能合并，因为它们被开方数不相同；不能合并，因为它们被开方数不相同；232)21(22282=+=+=+.【小结】（1）二次根式能够进行合并的条件：①首先将二次根式化成最简二次根式；②观察被开方数是否相同开方数是否相同. .（2）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并式合并. .练习1：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（ ）A ．xy 与y x 2B ．22y x +与22y x - C ．mn 与n m + D．ab 2与ba 2 练习练习:2:2:2：：（教材P13练习）下列计算是否正确？为什么？练习）下列计算是否正确？为什么？（1）3838-=-；（2）9494+=+；（3）22223=-.解：（1）∵228=和3的被开方数不相同，的被开方数不相同，∴不能合并∴不能合并,,故错误故错误. .（2）∵53294=+=+，1394=+，故9494+¹+，故错误；，故错误；（3）∵22)23(2223=-=-，故正确故正确. .[点拨点拨]]化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并. .2.2.二次根式加法的运用二次根式加法的运用二次根式加法的运用. .问题7：（教材例题）计算：（1）4580-；（2）a a 259+；（3）483316122+-；（4）)53()2012(-++.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a 853259=+=+；（3）3102831232-28483316122+=+=+-； （4）533535232)53()2012(+=-++=-++.练习3：（教材P13练习2）计算：（1）4580-；（2）a a 9194+； （3）52080+-；（4）)2798(18-+；（5）)681()5.024(--+.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a =+=+31329194； （3）535525452080=+-=+-；（4）33210332723)2798(18-=-+=-+；.42636422262)642()2262()681()5.024(5+=+-+=--+=--+）（问题6：前面问题2中，怎样计算818+的结果呢的结果呢??木板长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 5dm，是否够长？，是否够长？，是否够长？解：818+=2223+···化为最简二次根式·化为最简二次根式=2)23(+···乘法分配率·乘法分配率=25≈7.077.07＜＜7.5故木板够长故木板够长. .练习4：（教材P13练习3）如果两个圆的圆心相同，他们的面积分别是12.56和25.1225.12，求圆环的，求圆环的宽度d （π取3.143.14，结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位）. .解：∵解：∵S S 圆=πr 2，∴d=r 大圆-r 小圆小圆=2224814.356.1214.312.25-=-=-=-ππ小圆大圆S S ≈0.83 答：圆环的宽度d 为0.83.三、课堂小结：三、课堂小结：1.1. 知识梳理：（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同. .（2）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式. .2.2.二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；②合并被开方数相同的最简二次根式时，②合并被开方数相同的最简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变不变. .3.3. 二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．4.4.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别运算运算二次根式的乘除法二次根式的乘除法 二次根式的加减法二次根式的加减法 系数系数系数相乘除系数相乘除 系数相加减系数相加减被开方数被开方数 被开方数相乘除被开方数相乘除 被开方数不变被开方数不变化简化简 结果化成最简二次根式结果化成最简二次根式先化成最简二次根式先化成最简二次根式,,再合并被开方数相同的二次根式的二次根式((同类二次根式同类二次根式) )四、随堂测试：四、随堂测试：1.1.下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是 ( () A.532=+ B.13334=- C.363332=´ D.3327=¸ 解析解析:A.:A.:A.不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；B.B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；C.C.应为应为18363332=´=´´，故错误；，故错误；D.39327327==¸=¸，故正确，故正确. .故选D.2.2.以下二次根式以下二次根式以下二次根式::①12,②22,③32,④27中, 化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是( ( ( )A.A.①和②①和②①和②B. B.②和③②和③②和③C. C.①和④①和④D.D.③和④③和④③和④解析：①3212=；②222=；③3632=；④3327=. 3.3. 计算：2-23的值是（的值是（） A.2 B.3 C.2 D.22 解析：解析：..222)13(2-23=-=.4.4. 一个等腰三角形的两边长分别为2332，, 则三角形的周长为则三角形的周长为则三角形的周长为. . 解析：分两种情况讨论：（1）当32为腰长，23为底边长时，周长为3423+；（2）当23为腰长，为32底边长时，周长为3226+.5.5. 若最简二次根式若最简二次根式14232+a 与16322-a 的被开方数相同的被开方数相同,,则a= a= . 解析：由题意得4a 2+1=6a 2-1-1，解得，解得a=a=±±1.6.6. 计算：（1）233-2332++； （2）101015-40+.第二课时一、复习引入：一、复习引入：1.1.计算：（1）728+；（2）68´；（3）324¸. 解：（1）282622728=+=+；（2）34486868==´=´；（3）228324324==¸=¸.【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备. .2.2. 计算：（1）(2x-y)(2x-y)··zx zx；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy xy；；（3）(2x+y)(x-3y) （3）(2x+3y)(2x-3y);(2x+3y)(2x-3y);（（4）(2x+1)2+(2x-1)2.解：（1）(2x-y)(2x-y)··zx=2x 2z-xyz z-xyz；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy=2x 2y ÷xy+3xy 2÷xy=2x+2y xy=2x+2y；；（3）(2x+y)(x-3y)=2x 2-6xy+xy-3y 2=2x 2-5xy-3y 2;（4）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x 2-9y 2;（5）(2x+1)2+(2x-1)2=4x 2+4x+1+4x 2-4x+1=8x 2+2.提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式. .【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算. .二、新课讲解：二、新课讲解：问题1：如果把上面的x ，y ，z 改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？例1.1.（教材（教材P14例题3）计算：（1）6)38(´+；（2）226324¸-）（.解：（1）6)38(´+=6368´+´=1848+=2334+；（2）2263-24¸）（ =22632224¸-¸=3232-.【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率. . 练习1：（教材P14练习1）计算：（1）)53(2+；（2）5)4080(¸+； 解：（1）)53(2+=5232´+´=106+；（2）5)4080(¸+=540580¸+¸=816+=224+.【小结】（1）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；（2）最终的结果一定要化为最简二次根式）最终的结果一定要化为最简二次根式. . .问题2.2.（教材（教材P14面例4）例2.2. 计算：（1）)52()32(-×+；（2）)35)(35(-+. 解：（1）)52()32(-×+=152523)2(2--+=15222--=2213--；（2）)35)(35(-+=22)3()5(-=5-3=2.提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？【小结】乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式的，尽可能用运算公式．因为二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．练习2：计算：（1）)17(72--=；（2）)2332)(2332(+-=.答案为：7214+-；6.练习3：计算2)322215324(×+-的结果是（的结果是（ ） A. A. 303-3320 B.30-3320 C.332303- D.332302- 练习3 计算：（1）)2762)(6227(-+；（2）2)377(-；（3）22)632()632(-+--+解：（1）)2762)(6227(-+=222762）（）（-=24-98=-74=-74；；（2）2)377(-=22)37(3772)7(+´´-=2114154-；（3）22)632()632(++--+=)]632()632)][(632()632[(++--++++-+ =)62()3222(-×+=21238--.练习4：已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0-4x-6y+10=0，求下面式子的值，求下面式子的值，求下面式子的值. . )1()(2y x y x y x y y xx +-+解：由4x 2+y 2-4x-6y+10=0得到得到(2x-1)(2x-1)2+(y-3)2=0,∴2x-1=0,y-3=0.解得，解得，x=x=21，y=3. )1()(2yx y x y x y y xx +-+ =yx x y y x 12--+ =y y x x y y y x--+=x y -当x=21，y=3时，时， 原式原式==223213-=-. 三、课堂小结：三、课堂小结：师生共同回顾本节课所学主要内容师生共同回顾本节课所学主要内容: :关于二次根式的四则混合运算关于二次根式的四则混合运算,,实质上就是实数的混合运算.(1)(1)运算顺序与有理式的运算顺序相运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2);(2)运算律仍然适用运算律仍然适用运算律仍然适用;(3);(3);(3)与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似,,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.四、随堂检测：1. 下列二次根式中可以进行合并的是下列二次根式中可以进行合并的是( ) ( )A. ab 与2abB. 22n m + 与22n m -C. mn 与nm 11+ D. 438b a 与432b a 【知识点：同类二次根式】【知识点：同类二次根式】【参考答案】D【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同. .2.2.计算：计算：)12)(12(-+的结果是（的结果是（）. A.23+ B.23- C.1D.3 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】C C【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，本题利用平方差公式直本题利用平方差公式直接计算即可接计算即可. .3.3.若矩形相邻两边长分别是若矩形相邻两边长分别是cm 20和cm 125，则它们的周长是，则它们的周长是. .【知识点：二次根式混合运算】【知识点：二次根式混合运算】【参考答案】cm 514【思路点拨】矩形的周长【思路点拨】矩形的周长==（长（长++宽）×宽）×2 24. 计算：)4831375(12-+´的结果是（的结果是（） A.23 B.32 C. 6D. 12 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】D D【思路点拨】123232)34335(12)4831375(12=´=-+´=-+´5. 计算：3)4841311527(¸+-【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】1-【解析】原式=1333)33533(-=¸-=¸+-略。
16.3 二次根式的加减第 1 课时二次根式的加减基础训练知识点1 被开方数相同的最简二次根式1.下列各式化成最简二次根式后被开方数与错误!未找到引用源。
的被开方数相同的是( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
2.(2016·龙岩)与-错误!未找到引用源。
是同类二次根式的是( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
3.以下二次根式:①错误!未找到引用源。
;②错误!未找到引用源。
;③错误!未找到引用源。
;④错误!未找到引用源。
中,化简后被开方数相同的是( )A.①和②B.②和③C.①和③D.③和④4.(2015·凉山州)下列根式中,不能与错误!未找到引用源。
合并的是( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
5.下列根式中,化成最简二次根式后不能与错误!未找到引用源。
(a>0,b>0)合并的是( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
6.若最简二次根式 4错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
可以进行合并,则m的值为( )A.-1B.0C.1D.2知识点2 二次根式的加减7.(2016·桂林)计算3错误!未找到引用源。
-2错误!未找到引用源。
的结果是( )A.错误!未找到引用源。
B.2错误!未找到引用源。
C.3错误!未找到引用源。
D.68.(2016·云南)下列计算,正确的是( )A.(-2)-2=4B.错误!未找到引用源。
=-2C.46÷(-2)6=64D.错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
9.(2016·广州)下列计算正确的是( )A.错误!未找到引用源。
16．3二次根式的加减第1课时二次根式的加减1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点)2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题．(难点)一、情境导入小明家的客厅是长7.5m，宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m2和18m2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？二、合作探究探究点一：被开方数相同的最简二次根式已知最简二次根式2a＋b与a＋b3a－4能够合并同类项，求a＋b的值．解析：利用最简二次根式的概念求出a，b的值，再代入a＋b 求解即可．解：∵最简二次根式2a＋b与a＋b3a－4能够合并同类项，∴a＋b＝2，2a＋b＝3a－4，解得a＝3，b＝－1，∴a＋b ＝3＋(－1)＝2.方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．探究点二：二次根式的加减【类型一】二次根式的加减运算计算：12－13－(2)2＋|2－3|.解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式．解：原式＝23－33－2＋2－3＝⎝⎛⎭⎫2－13－13＝233.方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．【类型二】二次根式的化简求值先化简，再求值：a2－b2a ÷⎝⎛⎭⎫a－2ab－b2a，其中a＝2＋3，b＝2－ 3.解析：先将原式化为最简形式，再将a 与b的值代入计算即可求出．解：原式＝（a＋b）（a－b）a÷a2－2ab＋b2a＝（a＋b）（a－b）a·a（a－b）2＝a＋ba－b.当a＝2＋3，b＝2－3时，原式＝2＋3＋2－32＋3－2＋3＝423＝233.方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．【类型三】二次根式加减运算在实际生活中的应用母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长．解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为1.2m＝120cm＜197.96cm，所以小号的金色细彩带不够用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm的金色细彩带．方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．三、板书设计1．被开方数相同的最简二次根式2．二次根式的加减一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．第2课时勾股定理的逆定理的应用1．进一步理解勾股定理的逆定理；(重点)2．灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题．(难点)一、情境导入某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？二、合作探究探究点：勾股定理的逆定理的应用【类型一】运用勾股定理的逆定理求角度如图，已知点P是等边△ABC内一点，P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．解析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，判断△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数．解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC.可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE ＝PB＝4，∠BPE＝60°.在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2＋P A2，∴△APE 为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题的关键是根据题意构造△APE为直角三角形．【类型二】运用勾股定理的逆定理求边长在△ABC中，D为BC边上的点，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求BD 的长．解析：根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD为直角三角形，即∠ADC＝∠ADB ＝90°.在Rt△ABD中利用勾股定理可得出BD的长度．解：∵在△ADC中，AD＝12，CD＝9，AC＝15，∴AC2＝AD2＋CD2，∴△ADC是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴△ADB 是直角三角形．在Rt△ADB 中，∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝AB2－AD2＝5，∴BD的长为5.方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中．【类型三】勾股定理逆定理的实际应用如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形．解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答．【类型四】运用勾股定理的逆定理解决方位角问题如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？解析：已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海．解题的关键是得出走私船所走的路程，根据题意，CE即为走私船所走的路程．由题意可知，△ABE和△ABC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．解：设MN与AC相交于E，则∠BEC ＝90°.∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由S△ABC＝12AB·BC＝12 AC·BE，得BE＝6013海里．由CE2＋BE2＝122，得CE＝14413海里，∴14413÷13＝144169≈0.85(小时)＝51(分钟)，9时50分＋51分＝10时41分．答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．方法总结：用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的数学模型，注意提炼题干中的有效信息，并转化成数学语言．三、板书设计1．利用勾股定理逆定理求角的度数2．利用勾股定理逆定理求线段的长3．利用勾股定理逆定理解决实际问题在本节课的教学活动中，尽量给学生充足的时间和空间，让学生以平等的身份参与到学习活动中去，教师要帮助、指导学生进行实践活动，这样既锻炼了学生的实践、观察能力，又在教学中渗透了人文和探究精神，体现了“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的教育思想．。
专题16.3二次根式的加减【十大题型】【人教版】【题型1判断同类二次根式】 (1)【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】 (3)【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】 (5)【题型4比较二次根式的大小】 (8)【题型5已知字母的取值化简求值】 (10)【题型6已知条件式化简求值】 (12)【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】 (14)【题型8二次根式混合运算的实际应用】 (16)【题型9二次根式的新定义类问题】 (19)【题型10二次根式的阅读理解类问题】 (24)【知识点1同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1判断同类二次根式】【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？(1)24，48，(2)4，33o<0)，−2B3(<0)．【答案】(1)不是(2)不是【分析】根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．【详解】（1）解：∵24=26；48=43；12=6∴24，48，12（2）解：4J2；33=−3B(<0)；−2B3=2B(<0)；∴4，33，−2B3不是同类二次根式．【点睛】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．【变式1-1】（2023春·四川宜宾·）A．216B．125C．48D．32【答案】C【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断．=，216=66，125=55，48=43，32=42，是同类二次根式的是48，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（）A．B与B2B．2与2C．3与D．与3【答案】C【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A、B与B2=的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B、2与2的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；C、3与D、3是三次根式；故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与−−273不是同类二次根式的是（）A．273B C．D【答案】A【分析】同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方式相同的二次根式.【详解】解：−−273=-−3x⋅(3p2=-3x−3选项A：273=3δ(3x)2=3x3；选项B选项C：选项D−3.B、C、D中都含有−3，是同类二次根式，A不是，故选A.【点睛】本题考查了同类二次根式的概念.【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5+8与7是同类二次根式，求的最小正整数？【答案】=4【分析】5+8不一定是最简二次根式，从而由同类二次根式定义列出方程求解即可得到答案．【详解】解：由题意得：5+8=2×7（为正整数），∵2>0，则5+8>0，∴当=1时，5+8=7，解得=−0.2，不是正整数，舍去；当=2时，5+8=28，解得=4，符合题意，即的最小正整数为4．【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列出方程求解是解决问题的关键．【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)若最简二次根式3与﹣8是同类二次根式；(2)若二次根式3与﹣8是同类二次根式．【答案】(1)=23(2)=223【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案；（2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案．【详解】（1）∵﹣8＝﹣22，最简二次根式3与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2，解得=23．（2）∵二次根式3与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2n2，解得a＝223．【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2+1与r47+可以合并成一个二次根式，则−=．【答案】−8【分析】最简二次根式2+1与r47+能合并成一个二次根式，则两个二次根式的被开方数相等，即可求得a，b值，代入即可求解．【详解】解：根据题意得：2+1=7+s+4=2，则=−2，=6，所以−=−2−6=−8，故答案是：−8．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．如果、是正整数，且162+和KK1+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值．解：∵162+和KK1+7可以合并，∴−−1=2162+=+7，即−=331+16=7，解得=5547=8647．∵、是正整数，∴此题无解．问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？（2）给出正确的解答过程．【答案】（1）不正确，原因是没有把162+转化为最简二次根式；（2）见解析【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同．（2）先把162+转化为最简二次根式，然后再根据两个二根式能合并列出相应方程组进行求解即可．【详解】解：（1）不正确，原因是没有把162+转化为最简二次根式；（2）正确解答过程如下：∵162+=42+，162+和KK1+7可以合并，∴−−1=22+=+7，解得：=5=2，经检验=5，=2符合题意，∴=5，=2．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【知识点2二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算(1)412−+48÷23(2)26+3×26−3−(33−2)2+【答案】(1)143(2)−8+76+2【分析】（1）先计算括号里，再计算除法；（2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可【详解】（1）原式=83−+43÷23=3÷23=143=143（2）原式=24−3−27−66+2+=21−29+66+6+2=−8+76+2【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键．【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27+6+36−3−42−36÷22+1【分析】先化简二次根式，同步计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可．【详解】解：27+6+36−3−42−36÷22=33+6−3−2+=+1．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：(1)48÷3+×12−24(2)(7+43)(7−43)−(35−1)2【答案】(1)4−6(2)65−45【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．【详解】（1）解：原式=48÷3+−26=16+6−26=4−6（2）解：原式=49−48−(45−65+1)=1−46+65=65−45【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：(1)3×−÷2(2)212−+348；(3)2+32−5+25−2；(4)2−32022×2+32023−2−−−20．【答案】(1)−154(2)143(3)4+26(4)1【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；（4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可．【详解】（1）解：原式=3×−×2×=3×−×2×5=−154；（2）原式=43−23+123=143；（3）原式=2+26+3−5−4=2+26+3−1=4+26；（4）原式=2−32+32022×2+3−3−1=12022×2+3−3−1=1×2+3−3−1=2+3−3−1=1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．【题型4比较二次根式的大小】【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（）A．5＜7B．35＋2＜82﹣1C6D．|1－3|＞3－1【答案】D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．【详解】A、由于5<7，则5＜7，故正确；B、由于35＋2<6+2=8，而8=9-1<82－1，则35＋2＜82﹣1，故正确；C、由于−23>−5>−7−5=−6，故正确；D、由于1−=3−1，故1>3−1错误．故选：D【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．【变式4-1】（2023春·江苏·从小到大排列．<<【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可．【详解】2=15，2=16，2=17，∵1117，<<<【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法．【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：=2−1，==3−2，==4−3，…从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：…·2021+1；(2)设===，，的大小关系．【答案】(1)2020(2)>>【分析】（1）根据题意将式子先化简，再运用平方差公式求解即可；（2）根据题意将a，b，c求出来，再进行二次根式的大小比较即可．【详解】（1）根据题意可得，原式=2−1+3−2+…+2021−2020·2021+1=2021−1·2021+1=2021−1=2020；（2）根据题意可得，==3+2，==2+3，==5+2，∵2<2，∴3+2<2+3，即<，∵5>3，∴2+3<2+5，即<，∴>>．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和平方差公式，正确的理解题意是解决本题的关键．<<m的个数是．【变式4-3】（2023春·【答案】7【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数．【详解】解：∵2≈1.414，5≈2.236，=（2-1（2-1）≈3.312=3+5）8×（3+5）4=2（3+5）≈10.472，m∴3.312<m<10.472，∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，∴整数m的个数是7，故答案为：7．【点睛】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根式．【题型5已知字母的取值化简求值】【例5】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）若x＝3＋22，y＝3－22，求−【答案】0【分析】先运用平方差及完全平方公式进行因式分解，再约分，将分式化到最简即可．−r−K=−−+=0．故当x＝3+22，y＝3−22时，原式=0．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值．运用公式将分子因式分解可使运算简便．由于所求代数式化简之后是一个常数0，与字母取值无关．因而无论x、y取何值，原式都等于0．【变式5-1】（2023春·四川自贡·八年级统考期末）已知=2+1，求代数式3−222+2−1−2的值.【答案】0【分析】把x值带入后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可.【详解】当x=2+1时，原式=3−222+12+2−12+1−2=3−223+22+2−12+1−2=32−(22)2+22−1−2=9-8+2-1-2=0【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，解题的关键是把x代入求值时利用公式，比较简单．【变式5-2】（2023春·山东临沂·八年级校考期末）已知=2+1，求2K1−−1的值.【分析】根据分式的运算法则将2K1−−1化简，然后将=2+1代入计算即可求出答案．【详解】解：2K1−−1=2−1−(+1)=2−(2−1)−1=1−1当=2+1时，==原式=【点睛】本题考查分式的运算，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．⋅B，再求当==.【变式5-3】（2023春·上海·【答案】xy；1【分析】分子中先提出公因式B进行因式分解，分子分母约去公因式后再利用二次根式乘法进行化简，然后代入数值进行求解即可.⋅Br B=B⋅B=B，=当=【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确确定运算顺序以及运算方法是解题的关键.【题型6已知条件式化简求值】【例6】（2023春·贵州毕节·八年级校考期末）若，为实数，且=1−4+4−1+12．【答案】22【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵=1−4+4−1+12要有意义，∴1−4≥04−1≥0，∴14≤≤14即=14，∴=1−4+4−1+12=12，∴1，=2++=22．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，正确求出x、y的值是解题的关键．【变式6-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知a、b满足4−+1+−12−9=0，求代数式⋅+−÷−−的值．【答案】3+1【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵4−+1+−12−9=0，4−+1≥0，−12−9≥0，∴4−+1=0，−12−9=0∴4−+1=0−12−9=0．解得=−1=−3．⋅÷−−=−3−1×−3−1−−3÷−−1−−3=3×33+−1+3÷1+3=3+2÷2=3+1．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，解二元一次方程组，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式6-2】（2023春•肥城市期中）已知=为奇数，求(+【答案】43【分析】由二次根式的非负性可确定的取值范围，再根据为奇数可确定的值，然后对原式先化简再代入求值．【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得−6≥09−>0，解得6≤<9，且为奇数，∴=7，∴原式=(+=(+1)+1=(+1)(−1)=(7+1)×(7−1)=43．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解．【变式6-3】（2023·八年级单元测试）若=2+4++1的值.【答案】2.【分析】已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可.【详解】∵+=，∴2+=∴2=−∴4++1=−2++1=∵>0，∴2+4++1=−++3=2．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】【例7】（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考阶段练习）若=5+1，=5−1，求下列代数式的值．(1)2+B(2)2−2【答案】(1)85(2)45【分析】（1）先求解+=25，B=5+15−1=5−1=4，再结合因式分解求解代数式的值即可；（2）先求解+=25，−=2，再结合平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：∵=5+1，=5−1，∴+=25，B=5+15−1=5−1=4，∴2+B=B+=4×25=85；（2）∵=5+1，=5−1，∴+=25，−=2，∴2−2=+−=25×2=45．【点睛】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．【变式7-1】（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知=3−7，=3+7，求−的值．【答案】−67【分析】先计算出+s−与B的值，再把−变形为【详解】解：∵=3−7，=3+7，∴+=6,−=−27,B=2,∴−=2−2B===−67．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确进行变形能简化计算．【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．【答案】2017【分析】先根据a＝2＋1,可得:a－1＝2,然后利用完全平方公式两边平方可得:(a－1)2＝2,继而可得:a2－2a ＝1,然后整体代入a3－a2－3a＋2016=a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016,即可求解.【详解】解:∵a＝2＋1,∴a－1＝2,∴(a－1)2＝2,即a2－2a＝1,∴原式＝a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016＝a＋1－a＋2016＝2017.【点睛】本题主要考查代数式化简求值,解决本题的关键是要利用完全平方公式巧变形,再整体代入思想求解.【变式7-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知+1=7，求下列各式的值；(1)2+12；(2)2−12．【答案】(1)5(2)±21【分析】（1）利用完全平方公式可得2+12=(+1)2−2，即可求解；（2）根据完全平方公式可得(−1)2=(+1)2−4，求得−1=3，然后利用平方差公式计算2−12的值．【详解】（1）解：∵+1=7，∴+=2+2+12=7，∴2+12=5；（2）解：由（1）得2+12=5，∴−=2−2+12=5−2=3，∴−1=±3，又∵2−12=+−∴当−1=3时，2−12=7×3=21，当−1=−3时，2−12=7×(−3)=−21．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值及完全平方公式、平方差公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．【题型8二次根式混合运算的实际应用】【例8】（2023春·北京海淀·八年级期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：型号长宽小号20cm18cm中号25cm20cm大号30cm25cm已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约枌料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．【答案】应选择中底面型号的纸箱【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为105cm，进而估算出20<105<25<30，由此即可得到答案．【详解】解：应选择中型号的纸箱，理由如下：∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，∴甲、乙两件礼品的边长分别为45cm，65cm，∴甲、乙两件礼品的边长之和为45cm+65cm=105cm，∵400<500<625<900，∴20<105<25<30，∴只有中型号和大型号两个型号可供选择，∵25×20<30×25，∴从节约枌料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围是解题的关键．【变式8-1】（2023春·广东汕头·八年级校联考期末）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后=90m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，40=整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【变式8-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+165+525×5．（2）由（1）中各式猜想+与2B(≥0，≥0)的大小关系，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为2002的花圃，所用的篱笆至少是多少米？【答案】（1）>，>，=；（2）+≥2B(≥0，≥0)；（3）40米【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想+≥2B；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证；（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．【详解】解：（1）∵4+3=7,24×3=43∴72=49,(43)2=48∵49>48∴4+3>24×3∵1+16=7=<1∴1+16>×6∵5+5=10,25×5=10,∴5+5=25×5故答案为：＞，＞，＝．（2）+≥2B理由如下：当m≥0，n≥0时，∵(−p2≥0∴(p2−2⋅+(p2≥0∴−2B+≥0∴+≥2B（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根据（2）的结论可得：+2≥2⋅2=22B=22×200=40．∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b 的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后=90m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，40=整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【题型9二次根式的新定义类问题】【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用，表示数对，给出如下定义：记==（0，>0，与，称为数对，的一对“对称数对”．例如：4，1的一对“对称数对”1与1(1)数对25，4的一对“对称数对”是______和______；(2)若数对3，的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值；(3)若数对，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，求的值．【答案】(1)(15，2)和(2，15)(2)=13(3)=1=即可；【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入=（2）(3，y)）的一对“对称数对”（3）将数对，2的一对“对称数对”=1，解出x即可．=15，4=2，【详解】（1∴数对25，4的一对“对称数对”是(15，2)和(2，15)．故答案为：(15，2)和(2，15)；（2）∵数对3，的一对“对称数对”的两个数对相同，=，解得：=1；=（3∴数对，2的“对称数对”分别为，2)和(2，．∵数对，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，=1，解得：=1．【点睛】本题考查新定义题型，严格按照新定义要求，结合学过的相关知识根据题意列方程求解是解决问题的关键．【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足⋅=，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；(2)若2+3与4+3是关于2的共轭二次根式，求m的值．【答案】(1)22(2)-2【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．【详解】（1）∵a与2是关于4的共轭二次根式，∴2=4．=22．∴=（2）∵2+3与4+3是关于2的共轭二次根式，∴2+3⋅4+3=2．==4−23．∴4+3=∴=−2．【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算⊗=−≥,+<，给出三个说法：①18⊗2=22；②11⊗2+12⊗3+13⊗4+⋅⋅⋅+199⊗100=100⊗1；③⊗⋅⊗=−．以上说法中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【分析】利用新定义进行计算逐一判断即可．【详解】解：∵18>2，∴18⊗2=18−2=32−2=22，所以①正确；11⊗212⊗313⊗4199⊗100=1+23+4+⋯+=2−1+3−2+⋯+100−99=100−1=100⊗1所以②正确；当≥时，⊗⋅⊗=−+=−=−，当<时，⊗⋅⊗=+−=−=−，所以③正确；故正确的为①②③，有3个，故选D．【点睛】本题考查新定义，二次根式的混合运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．【变式9-3】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么2±2B+2=|±U．如何将双重二次根式5±26化简？我们可以把5±26转化为(3)2±26+(2)2=(3±2)2完全平方的形式，因此双重二次根式5±26=(3±2)2=3±2得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若′={o>0)−o<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点(2,−3)的“横负纵变点”为______，点(−33,−2)的“横负纵变点”为______；(2)化简：7+210；(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且=(+2−1+−2−1)，点′是点M的“横负纵变点”，求点′'的坐标．【答案】(1)（2，−3）；（−33，2）(2)5+2(3)（﹣2，﹣2）【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，′={o>0)−o<0)，即可；（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将7+210化为(5)2+210+(2)2，再根据2±2B+2=(±p2，即可化简；（3）根据1≤≤2，得−1−1≤0；将=2(+2−1+−2−1)化简得=((−1+1)2+(−1−1)2；根据2±2B+2=|±U，得=(|−1+1|+|−1−1|，求出的值，求出的坐标，根据横负纵变点”的定义，′={o>0)−o<0)，即可求出′的坐标．【详解】（1）∵2>0∴点（2，−3）的“横负纵变点”为（2，−3）∵−33<0∴点（−33，−2）的“横负纵变点”为（−33，2）故答案为：（2，−3）；（−33，2）．（2）7+210=(5)2+210+(2)2=(5+2)2=5+2∴7+210化简得：5+2．（3）∵1≤≤2∴0≤−1≤2−1∴0≤−1≤1∴0≤−1≤1∴−1−1≤0∵=2(+2−1+−2−1)=((−1)2+2−1×1+12+(−1)2−2−1×1+12)((−1+1)2+(−1−1)2==(|−1+1|+|−1−1|)∴=∴=∴点（−2，2）∵−2<0∴′（−2，−2）故′的坐标为：（−2，−2）．【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．【题型10二次根式的阅读理解类问题】【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索：设+2=+22（其中a、b、m、n均为整数），则有+2=2+22+2B2．∴=2+22，=2B．这样小明就找到了一种把类似+2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若+3=+32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：=，=；(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：=+32；(3)若−65=−52且a、m、n均为正整数，求a的值．【答案】(1)2+32，2B(2)13，4，1，2(3)14或46【分析】（1）根据上面的例子，将+32，按完全平方展开，可得出答案；（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；（3）将−52展开得出2−25B+52，由题意得B=3，2+52=，再由a、m、n均为正整数，可得出答案．【详解】（1）解：∵+3=+32，∴+3=2+32+2B3，∴=2+32，=2B；故答案为：2+32，2B．（2）由（1）可得=13，=4，=1，=2；故答案为：13，4，1，2．（3）∵−65=−52，∴+5=2+52+2B5，∴B=3，2+52=，∵a、m、n均为正整数，∴=3，=1，=14或=1，=3，=46；故答案为：14或46．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键．==3−23−2=【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）3−2，像上述解题过程中，3+2与3−2相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．解答下面的问题：(1)=___________；若n=___________．(2)×2022+1；(3)3+15+3+⋅⋅⋅+2022×2024+1．【答案】(1)2−1；4−3（或2−3)；+1−(2)2021(3)2023【分析】（1）分子分母同时乘以有理化因式，再化简整理即可；（2）将括号内每一项都进行分母有理化，再相消，整理之后利用平方差公式求解即可；（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．===2−1=2−1；【详解】（1=43（或2−3)；+1−；（22+1+3+2…+2022+20212022+1=2−1+3−2+…+2022−20212022+1=2022−12022+1=2022−1=202120241（3=331+35−3+⋅⋅⋅+2024×2024+1 =3−1+5−3+⋅⋅⋅+2024−20222024+1=2024−12024+1=2023．【点睛】本题主要考查分母有理化，二次根式混合运算，解题的关键是理解材料中分母有理化的方法并应用方法解决问题．【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：7−6==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：7−6=7+66−5=6+5因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．再例如：求=+2−−2的最大值．做法如下：解：由+2≥0,−2≥0可知≥2，而=+2−−2=当=2时，分母+2+−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较32−4和23−10的大小；（2）求=1−+1+−的最大值和最小值．【答案】（1）32−4<23−10；（2）的最大值为2，最小值为2−1．【分析】（1）利用分子有理化得到32−4=23−10=然后比较32+4和23+10的大小即可得到32−4与23−10的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到0⩽N1，而=1−=01+r1，1−有最大值1得到所以的最大值；利用当=1有最小值2−1，1−有最小值0得到的最小值．【详解】解：（1）32−4==23−10=3+10=而32>23，4>10，∴32+4>23+10，∴32−4<23−10；（2）由1−O0，1+O0，O0得0⩽N1，=1−+1+−J1−+∴当=0时，1++有最小值，则1，此时1−有最大值1，所以的最大值为2；当=1时，1++有最大值，有最小值2−1，此时1−有最小值0，所以的最小值为2−1．【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．【变式10-3】（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：①我们知道：式子+1的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且+1＝(+1)2；②把根式±2进行化简，若能找到两个数m、n，是2+2=且B=，则把x±2变成2+2±2B=±2开方，从而使得±2化简．如：3+22＝1+22+2＝12+2×1×2+22＝1+22＝1+=1+2；(1)化简：5+26．(2)5+26+7+212+9+45(3)直接写出代数式2+2+5+2−22+130的最小值为．【答案】(1)2+3(2)5−1(3)5【分析】（1）先将根号下的数变形为完全平方公式格式，再化简即可；（2）先将各个分母化为完全平方公式格式，再分母有理化，最后合并即可得出答案；（3）先根据完全平方公式化简，再根据非负数的性质得出+12+4≥4，−112+9≥9，即可求出最小值．【详解】（1）5+26=2+26+3=22+2×2×3+32=2+32=2+3=23（2===2+1=2−1+3−2+4−3+5−4 =5−1（3）2+2+5+2−22+130=2+2+1+4+2−22+121+9=+12+4+−112+9。
人教版数学八年级下册16.3第1课时《二次根式的加减法》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.3第1课时《二次根式的加减法》是学生在学习了二次根式的性质和乘除法之后，进一步学习二次根式的加减法运算。
本节课的内容是在前几节课的基础上，进一步拓展学生的知识体系，使学生能够更好地理解和运用二次根式。
教材通过例题和练习题的形式，让学生掌握二次根式的加减法法则，提高学生的运算能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质、乘除法运算，具备了一定的数学基础。
但学生在进行二次根式的加减法运算时，可能会对符号的运算规则产生困惑，对运算法则的理解不够深入。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的困惑进行讲解，帮助学生理解和掌握二次根式的加减法。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的加减法法则。
2.提高学生的运算能力。
3.培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次根式的加减法法则。
2.教学难点：符号的运算规则，运算法则的理解。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.准备相关教学案例和练习题。
2.准备教学PPT，展示教学内容和案例。
3.准备黑板，用于板书教学重点和难点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次根式的性质和乘除法运算，引导学生进入本节课的学习。
2.呈现（10分钟）利用PPT展示二次根式的加减法案例，让学生观察和思考。
引导学生发现符号的运算规则，总结出二次根式的加减法法则。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用刚刚学到的二次根式的加减法法则进行计算。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）挑选一些典型的练习题，让学生独立完成，检验学生对二次根式的加减法的掌握程度。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：二次根式的加减法在实际生活中的应用。
