2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题3-2 导数与函数的单调性、极值与最值【含答案】

当x∈ 时，f′(x)<0，
故函数在x＝ 处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，
当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝ .
高频考点五已知函数的极(最)值求参数的取值范围
例5.(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.
①若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；
【变式探究】(2020·河北衡水中学调研)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
【解析】由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ －a＝ (x>0).
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，当x∈ 时，f′(x)>0，
得x＝ 或x＝ .
当x∈ ∪ 时，
f′(x)＜0；
当x∈ 时，f′(x)＞0.
所以f(x)在 ， 上单调递减，在 上单调递增．
综合①②可知，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞2时，f(x)在 ， 上单调递减，在 上单调递增．
高频考点三根据函数的单调性求参数
例3.【2020·全国Ⅰ卷】已知函数 ．
2021
专题3.2导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）
【考情分析】
1.了解函数的单调性与导数的关系；
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
4.会用导数求函数的极大值、极小值；
5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。
【重点知识梳理】
知识点一函数的单调性与导数的关系
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
知识点三函数的极值与导数
条件
f′(x0)＝0
x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0
x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0
图象
形如山峰
形如山谷
极值
f(x0)为极大值
f(x0)为极小值
高频考点二判断函数的单调性
例2．【2020·全国Ⅰ卷】已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则 =ex+2x–1．
故当x∈（–∞，0）时， <0；当x∈（0，+∞）时， >0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
当 时， ；当 时， ．
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ，从而 ．
当 时， ．
综上， 的取值范围是 ．
【举一反三】【2019·北京卷】设函数 （a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【解析】首先由奇函数的定义得到关于 的恒等式，据此可得 的值，然后利用 可得a的取
②若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.
【解析】①因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，
所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.
f′(1)＝(1－a)e.
由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.
此时f(1)＝3e≠0.
所以a的值为1.
②f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.
(2)如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数．如果首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论；如果首项系数无参数，只需讨论两个根x1，x2的大小，即“首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根的大小定胜负”．
(3)注意：讨论两个根x1，x2的大小时，一定要结合函数定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即“定义域，紧跟踪，两根是否在其中”．
【举一反三】(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ －x＋alnx，讨论f(x)的单调性．
【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－ －1＋ ＝－ .
①当a≤2时，则f′(x)≤0，
当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＞2时，令f′(x)＝0，
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．
【变式探究】【2019·浙江卷】已知实数 ，设函数 ，当 时，求函数 的单调区间。
【解析】当 时， ．
，
所以，函数 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+ ）。
【答案】 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ；
若a> ，则当x∈ 时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在x＝2处取得极小值.
若a≤ ，则当x∈(0，2)时，x－2<0，ax－1≤ x－1<0，
所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.
综上可知，a的取值范围是 .
【方法技巧】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
【解析】f′(x)＝1－ cos 2x＋acosx＝1－ (2cos2x－1)＋acosx＝－ cos2x＋acosx＋ ，f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立.
令cosx＝t，t∈[－1，1]，则－ t2＋at＋ ≥0在[－1，1]上恒成立，即4t2－3at－5≤0在t∈[－1，1]上恒成立.
令g(t)＝4t2－3at－5，
则 解得－ ≤a≤ .
【答案】
高频考点四利用导数解决函数的极值
例4.【2020·北京卷】已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
【解析】（Ⅰ）因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
知识点二函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
（2） 等价于 .
设函数 ，则
.
（i）若2a+1≤0，即 ，则当x∈（0，2）时， >0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
（ii）若0<2a+1<2，即 ，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥ .
【答案】 的单调递增区间为 的单调递减区间为 .
【方法技巧】利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分成若干个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
【变式探究】(2020·河北唐山一中质检)若函数f(x)＝x－ sin 2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是________.
【特别提醒】
1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，
当x<－2或x>1时，f′(x)>0，
当－2<x<1时，f′(x)<0，
所以x＝1是函数f(x)的极小值点，
则f(x)极小值为f(1)＝－1.
（1）当 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
【解析】 的定义域为 ， ．
（1）当 时， ， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
直线 在 轴， 轴上的截距分别为 ， ．
因此所求三角形的面积为 ．
（2）当 时， ．
当 时， ， ．
所以当 时，g(x)≤1.
（iii）若2a+1≥2，即 ，则g(x)≤ .
由于 ，故由（ii）可得 ≤1.
故当 时，g(x)≤1.
综上，a的取值范围是 .
【举一反三】【2019·全国Ⅲ卷】已知函数 ，讨论 的单调性；
【解析】 ．
令 ，得x=0或 .
若a>0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减；
【变式探究】(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()
A.－1B.－2e－3C.5e－3D.1
【解析】f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，
则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，
则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，
若a=0， 在 单调递增；
若a<0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减.
【方法技巧】含参函数单调性的求法
此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：
(1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别式Δ≤0和Δ＞0分类讨论，即“有无实根判别式，两种情形需知晓”．
极值点
x0为极大值点
x0为极小值点
知识点四函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
由点斜式可得切线方程 ： ，即 .
（Ⅱ）显然 ，
因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
【方法技巧】运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.
4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
【典型题分析】
高频考点一求函数的单调区间
例1.【2019·天津卷】设函数 为 的导函数，求 的单调区间。
【解析】由已知，有 ．因此，当 时，有 ，得 ，则 单调递减；当 时，有 ，得 ，则 单调递增．所以， 的单调递增区间为 的单调递减区间为 ．
值范围。若函数 为奇函数，则 即 ，
即 对任意的 恒成立，则 ，得 .
若函数 是R上的增函数，则 在R上恒成立，
即 在R上恒成立，
又 ，则 ，
即实数 的取值范围是 .
【答案】
【方法技巧】由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．