牛顿第二定律的应用(二)
——动力学中的弹簧模型
题型一：力和运动的关系（动态分析） 例题：如图所示，轻弹簧下端固定在水平面上。一个小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度后停止下落。在小球下落的这一全过程中，下列说法中正确的是（ ）
A. 小球刚接触弹簧瞬间速度最大
B. 从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上
C. 从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小
D. 从小球接触弹簧到到达最低点，小球的加速度先减小后增大
试一试：小球从最低点返回到离开弹簧瞬间的过程中速度，加速度怎样变化
方法总结：1、加速度大小方向由物体所受的合外力决定（受力分析是关键）
2、速度大小变化取决于加速度与速度的方向（a 、v 同向加速，a 、v 反向减速）
拓展：如图所示，一弹簧的一端系在墙上O 点，自由伸长到B 点。今将一小物体m 压着弹簧，将弹簧压缩到A 点，然后释放，小物体能运动到C 点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法中正确的是（ ）
A ．物体从A 到
B 速度越来越大，从B 到
C 速度越来越小
B ．物体从A 到B 速度越来越小，从B 到
C 加速度不变
C ．物体从A 到B 先加速后减速，从B 到C 一直做减速运动
D ．物体在B 点时所受的合外力为零
题型二：瞬时加速度的分析
当物体的受力情况或运动情况在某一时刻发生变化时，分析物体在该时刻的瞬时加速度，关键是分析瞬时前后的受力情况及运动状态，再由牛顿第二定律求出瞬时加速度。
瞬时加速度分析应注意两种基本模型的建立：
（1）弹簧（或橡皮绳），它的特点是形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时问题中，其弹力的大小往往可以看成不变，弹力不能突变。
（2）钢丝（包括细线、接触面）等属于刚体，它们可认为是一种不发生明显形变就能产生弹力的物体，若剪断（或脱离）后，其中弹力立即消失，不需要形变恢复时间。即线的拉力可突变．一般题目中所给细线和接触面在不加特殊说明时，均可按此模型处理。 例题：如图所示，两个质量相同的小球A 和B ，甲图中两球间用不
可伸长的细绳连接，然后用细绳悬挂起来，剪断悬挂线0A 的瞬间，A
球和B 球的加速度分别是多少
O A B C
解：剪断前后的受力分析如下：
综上得：A 和 B ： g a a B A ==
试一试：乙图中两球间用轻弹簧连接，也用细绳悬挂起来，剪断细绳的瞬间A 球与B 球的加速度又分别是多少
拓展：如图A 所示，一质量为m 的物体系于长度分别为1l 、2l 的两根细线上，1l 的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，2l 水平拉直，物体处于平衡状态。现将2l 线剪断，求剪断瞬间物体的加速度。
解析：（1）对图A 的情况，L 2剪断的瞬间，绳L 1不可伸缩，物体的
加速度只能沿切线方向，则mgsin θ=ma
所以，a=gsin θ? 方向为垂直L 1斜向下。
经过受力分析可知，未剪断L 2时，绳L 1上拉力大小为T 1=，剪断L 2
瞬间，绳L 1上拉力大小为T 1=mgcos θ，可见绳L 1拉力大小发生了突变。
思考：若将图A 中的细线1l 改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图B 所
示，其他条件不变，求2l 线剪断瞬间物体的加速度。
解析：（2）对图B 的情况，设弹簧上拉力为F 1，L 2线上拉力为F 2，重力为
mg ，物体在三力作用下保持平衡，有F l cos θ=mg ，F 1 sin θ=F 2，F 2=mgtan θ
剪断线的瞬间，F 2突然消失，F 1是弹簧的弹力，在瞬时问题中保持不变，物体即在F 2反方向获得加速度.因为mgtan θ=ma ，所以加速度a=g tan θ，方向在F 2反方向，即水平向右。
方法总结：分析瞬时受力，抓住两种模型，利用牛顿第二定律就可求出对应的加速度。
A m g A: g m T
B =1 g m B 1T B: g m T T A +=1 A: T 1T A m g g m B
B: 剪断前： 剪断后：
课后练习：1、如图所示，木块A 、B 用一轻弹簧相连，竖直放在木块C 上，
C 静置于地面上，质量之比是1：2：3，设所有接触面都光滑．当沿水平方向迅
速抽出木块C 的瞬间，A 、B 的加速度分别是=A a ，=B a 。
解析：由于接触面均光滑，C 又沿水平方向运动，但A 、B 在水平方向上均无运动，也无加速度，竖直方向上在C 与B 离开瞬间，A 、B 均在原位，弹簧未来得及恢复形变，仍保持原来的弹力大小mg F =，式中m 为A 的质量，只是C 对B 的支持力变为零，根据牛顿第二定律，对A ：A ma mg F =-，0=A a 。对B ：B ma mg F 22=+，g a B 5.1=，方向向下，即A 、B 的加速度分别为0=A a 和g a B 5.1=
2、.如图：在动擦因数μ=的水平面上，有一个质量为m=1kg 的小球。小球与水平弹簧及与竖直方向成 45=θ角的不可伸长的轻弹簧一端相连。此时小球处于静止平衡状态，且水平面对小球的弹力恰好为0。当剪断轻绳的瞬间。（210s m
g = ）求： （1）
此时弹簧的弹力为多大 （2）
小球的加速度和方向 （3）
剪断弹簧瞬间小球的加速度
3、如图：质量为m 的小球用水平轻弹簧系住，并用倾角为 30的光滑木板AB 托住，小球恰好处于静止状态，当木板突然向下撤离的瞬间，小球的加速度
B 30
A
