说课比赛 方程的根与函数的零点 说课稿

y= lnx
O 1234 x
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数， O 123456 所以它仅有一个零点． -2
-4
y=－2x +6
意图：通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法 确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数．
总结整理，提高认识 一个关系：函数零点与方程根的关系: 函数 方程
意图：一方面通过选择题促进 学生对定理的活用，另一方面 为突破后面的例题铺设台阶．
综合应用，拓展思维 6、例题讲解
零点存在性定理的应用： 例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数，并确定 零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)
x f(x) 1 2 3 4 5 6 7
y 10 8 f(x)=lnx+2x－ 6 6 4 2 x
谢谢您的聆听！ 敬请批评指正！
体会规律发现的快乐
1 教学结构设计
创设情境，感知概念
约12分钟： 零点概念的建构
辨析讨论，明确概念 实例探究，归纳定理
约12分钟： 零点存在性定理 的探究
正反例证，熟悉定理
综合应用，拓展思维 总结整理，提高认识
约12分钟：
约 4分钟：
应用与巩固
结课 布置作业，独立探究
创设情境，感知概念 1、一元二次方程与二次函数之间的关系．
引例：
填空：
方 程 方程的根 函 数 x2-2x-3=0 x1=-1，x2=3 y=x2-2x-3 y 2
O
解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x． 解（1）2-x=4 ⇒ -x=log24 ⇒ x= -2． （2）2-x=x
⇒
x
x2-2x+1=0 x1=x2=1 y=x2-2x+1 y 2
x2-2x+3=0 无实数根 y=x2-2x+3 y 4
1、联系：①数值上相等：求函数零点就是求方程的根. ②存在性相同：函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 2、区别：零点对于函数而言，根对于方程而言． 要解方程2-x=x，即2-x-x=0，只要 要解方程2-x=x，即2-x-x=0，只要 求函数f(x)=2-x-x的零点! 求函数f(x)=2-x-x的零点!
x f(x) 解法3：
1
－
2
－
3
＋
4
＋
由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)· f(3)<0， ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
y 6
问题6:如何说明零点的唯一性？ 问题6:如何说明零点的唯一性？
将函数f(x)= lnx+2x－6的零点的 个数转化为函数y= lnx与y=－2x +6的 图象交点的个数．
上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标
意图：引起认知冲突；了解本课主旨； 通过熟悉情境，形成初步结论．
创设情境，感知概念 2、一般函数的图象与方程根的关系． 师生互动：在学 生提议的基础上， 教师现场在几何画 板下展示类似如下 函数的图象： y＝2x-8, y＝ln(x-2)， y＝(x-1)(x+2)(x-3) 意图：通过多种函数的图象，将结论推广到一般， 为零点概念做好铺垫．
设计意图:为 “用二分法求方程的近似解”的学习做准
备.
3板 书 设 计
§3.1 方程的根与函数的零点 1、零点概念： ………………………… 练习： …………………………
2、方程的根与函数零点的关系 …………………………
…………………………
3、函数零点存在性定理的条件 例2： ………………………… …………………………
零点存在性定理的应用：
y
b x O a c b
y a O c b x O
〖练一练〗
x
1、已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下对应值表： x f(x) 1 23 2 9 3 –7 4 11 5 6 7 –5 –12 –26
c a
b x
例1如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线， 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 并且有f(a) · f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点． （1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) · < 0，则 f(b) 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根． f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ） （2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) · ≥0，则 f(b) f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ） （3）已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) · < 0，则f(x)在 f(b) 区间(a,b)内存在零点. （ ）
〖即兴练习〗下列函数在相应区间内是否存在零点？ （1）f(x)=log2x，x∈[0.5，2]； （2）f(x)=2x· ln(x-2)-3，x∈[3，5] ．
பைடு நூலகம்
意图：通过观察，归纳判定方法，描述零点存在性定理．
正反例证，熟悉定理 5、零点存在性定理的辨析与应用.
函数零点存在性定理：
y y a O c
函数零点既是对应方程的根，又 函数零点既是对应方程的根，又 是函数图象与x轴交点的横坐标！ 是函数图象与x轴交点的横坐标！
〖即兴练习〗函数f (x)=x(x2－16)的零点为( D ) A. (0,0), (4,0) B. 0, 4 C. (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D. – 4 , 0, 4 注意：零点是自变量的值，而不是一个点． 〖即兴练习〗求下列函数的零点： (1)f(x)=-x2+3x+4 (2)f(x)=lg(x2+4x-4)
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ A. 5个 B. 4个 C. 3个
C ）个
D. 2个
2、函数f (x)= – x 3 – 3x + 5的零点所在的大致区间为（ A. ( – 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1)
B）
D. (0，0.5)
意图：直面易产生的误解，在第 一时间加以纠正，从而促进对定 理的准确理解．
—— 说课过程 ——
为学习 二分法 打基础 函数零点 与方程根 的关系 函数方程 思想 函数零点 存在性 定理 体现认识 规律
函数零点 概念
★ 教学重点：了解函数零点概念；掌握函数零点存在性定理
1
学生具备必要的知识与心理基础 基本初等函数→看图识图能力 函数用于方程→心理情感基础 学生缺乏函数与方程联系的观点 对函数的不适→孤立函数知识 建立联系观点→树立应用意识 直观体验与准确理解定理的矛盾
数 值
零点 存在性 个 数 两种思想：函数方程思想；数形结合思想． 三种题型：求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间． 根
布置作业，独立探究
1．利用函数图象判断下列方程有几个根： （1）2x(x－2)＝－3；（2）ex－1＋4＝4x．
2．写出并证明下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)=2xln(x-2)-3； （2）f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x 3．思考题：方程2-x =x在区间______内有解，如何求 出这个解的近似值？ 请预习下一节．
-3 -4 y
O
函数零点存在性定理：
y a c b x O a y c b x
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有f(a) · f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点． 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．
案例操作感知→获得判定定理 理论知识匮乏→不易理解定理
2
3
★ 教学难点： 对零点存在性定理的准确理解
了解函数零点的概念
1 知识与技能目标
理解函数零点存在性定理 会判断函数的零点个数和所在区间 经历“类比—归纳—应用”的过程
2 过程与方法目标
初步体会函数方程思想 体会函数与方程的内在联系
3 情感态度价值观
辨析讨论，明确概念 3、函数零点概念及其与对应方程根的关系
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点 零点．
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点 零点． 问题4:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？ 问题4:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？
y
例1反例： y
O x O
y
…………………………
x
x
O
创设情境，感知概念
辨析讨论，明确概念
认知冲突 辨析实践 自主探究 动手画图 交流讨论
紧扣教材、重组教材 信任学生、依靠学生 学生主体、教师主导 注重思维、注重过程
实例探究，归纳定理
正反例证，熟悉定理 综合应用，拓展思维 总结整理，提高认识
布置作业，独立探究
－1，4
1，－ 5
意图：通过实例及时矫正“零 点是交点”这一误解，澄清零 点是指自变量的取值．
意图：巩固由特例归纳的胜利 果实，丰富零点概念．
实例探究，归纳定理 4、零点存在性定理的探索．
零点存在性的探究： 问题5:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？ 问题5:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？ 探究: 观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： －1 在区间[-2，1]上有零点______； 5 －4 f(-2)=_______，f(1)=_______， 2 1 < f(-2)· f(1)_____0（“＜”或“＞”）． -2 -1 O 1 2 3 4 x 在区间(2，4)上有零点______； 3 -1 -2 f(2)· f(4)____0（“＜”或“＞”）． <
零点存在性定理的应用： 例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数，并确定 零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)
解法2：估算f(x)在各整数处的取值的正负：
9
解 法1：用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表： 8 -4 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 10.0 12.1 14.2
⇒ -x=log2x ⇒ -x-log2x=0
⇒
x
问题1:从该表你可以得出什么结论？ 问题1:从该表你可以得出什么结论？ 4
函数y=ax2 +bx+c (a>0)的图象
2 1 log 2 0 log 2-x-log x=0 2 2 2 x x
2 O -1 1 2 3 x O x -2 -1 1 2 3 -1 1 2 问题2:这个结论对一般的二次函数和方程成立吗？ 3 x 问题2:这个结论对一般的二次函数和方程成立吗？ -4 函数的图象与x 轴的交点 两个交点 (-1,0)，(3,0) 一个交点 (1,0) 没有交点