上海好的数学补习班上海好的高中补习班-各章节知识点总结(大纲版)

⎬
⎬ ⎩(3)a －b ＜0 ⇔ a ＜b ．
(4) ＞1 ⇔ a ＞b ； b
若 a 、b ∈ R +，则⎨(5) a b = 1 ⇔ a = b ；
(9) a ＞b ＞0⎫ 0＜c ＜d ⎭ ⇒ c ＞ ( 异向正数不等式可除)
d (10) a ＞b ＞0⎫
(11) a ＞b ＞0⎫ a ＞ n b(正数不等式可开方)
n ∈ N ⎬ ⇒
(12)a ＞b ＞0 ⇒ 1 |b| (b ≠ 0) ．
⎬
⎬
⎭
[新王牌]高二数学复习知识点归纳总结
不等式单元知识总结
(7)a ＞b ⎫ ⇒ a －c ＞b －d( 异向不等式可减)
c ＜
d ⎭
1．两个实数 a 与 b 之间的大小关系
一、不等式的性质
(8) a ＞b ＞0⎫ ⇒ ac ＞bd( 同向正数不等式可乘 )
c ＞
d ＞0⎭
⎧(1)a －b ＞0 ⇔ a ＞b ； ⎪
⎨(2)a －b = 0 ⇔ a = b ； ⎪
⎧ a
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ a ⎪⎩(6) b ＜1 ⇔ a ＜b ．
2．不等式的性质
(1)a ＞b ⇔ b ＜a( 对称性 )
(2) a ＞b ⎫ ⇒ a ＞c(传递性 )
b ＞
c ⎭
(3)a ＞b ⇔ a ＋c ＞b ＋c( 加法单调性 )
a ＞
b ⎫
⎬ ⇒ ac ＞bc
c ＞0⎭
(4) (乘法单调性)
a ＞
b ⎫
⎬ ⇒ ac ＜bc
c ＜0 ⎭
(5)a ＋b ＞c ⇒ a ＞c －b( 移项法则 )
(6)a ＞b ⎫ ⇒ a ＋c ＞b ＋d( 同向不等式可加)
c ＞
d ⎭
a b
⎬
n ∈ N ⎬ ⇒ a n ＞b n (正数不等式可乘方)
n ⎭
1
a ＜
b ( 正数不等式两边取倒数 )
3．绝对值不等式的性质
⎧a (a ≥0) ，
(1)|a| ≥a ；|a|= ⎨
⎩－a (a ＜0) ．
(2)如果 a ＞0，那么
|x| ＜a ⇔ x 2 ＜a 2 ⇔ －a ＜x ＜a ；
|x| ＞a ⇔ x 2 ＞a 2 ⇔ x ＞a 或x ＜－a ．
(3)|a ·b|＝|a|·|b|．
a |a|
(4)| | ＝ b
(5)|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|＋|b|．
(6)|a 1＋a 2＋……＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋……＋|a n |．
二、不等式的证明
1．不等式证明的依据
(1) 实数的性质：a 、b 同号 ⇔ ab ＞0；a 、b 异号 ⇔ ab ＜0 a －b ＞0 ⇔ a ＞b ；a －b ＜0 ⇔ a ＜b ；a －b = 0 ⇔ a = b
(2)不等式的性质(略)
2 ≥ ab(a 、b ∈ R +，当且仅当a = b 时取“ = ”号 )
(4) f(x) ⎧
f(x)＞0 g(x) ＜0与 ⎨g(x)＜0 或 g(x)＜0 同解．
⎩g(x)≥0 f(x)≥ 0
同解．
⎩ f(x)＞0 同解． ⎪
⎩g(x)＜0 或 ⎨ ⎩g(x)＞0
同解．
(3) f(x)
⎧f(x)＞0
⎩ ⎩
(3)重要不等式：①|a|≥0；a 2≥0；(a －b)2≥0(a 、b ∈R) ②a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R ，当且仅当 a=b 时取“=”号)
③ a + b
2．不等式的证明方法
⎧f(x)＜0 ⎨ 同解． (g(x)≠0) ⎩g(x)＞0
(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)
(6)|f(x)|＞g(x)①与 f(x)＞g(x)或 f(x)＜－g(x)(其中 g(x)≥0)同解；②与 g(x)＜0 同解．
法． (1)比较法：要证明 a ＞b(a ＜b)，只要证明 a －b ＞0(a －b ＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较
用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．
(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等
⎧f(x)＞[g(x)]2 ⎪ ⎧f(x)≥0
(7) f(x)＞g(x)与 ⎨f(x)≥0 或 ⎨
⎪ ⎩
式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．
(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断
为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．
证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．
三、解不等式
1．解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式． (2)解一元二次不等式．
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等式； ②解分式不等式； ③解无理不等式； ④解指数不等式； ⑤解对数不等式；
⑥解带绝对值的不等式； ⑦解不等式组．
2．解不等式时应特别注意下列几点：
(1)正确应用不等式的基本性质．
(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性． (3)注意代数式中未知数的取值范围．
3．不等式的同解性
⎧f(x)＜[g(x)]2
(8) f(x)＜g(x)与 ⎨
⎩
(9)当 a ＞1 时，a f(x)＞a g(x)与 f(x)＞g(x)同解，当 0＜a ＜1 时，a f(x)＞a g(x)与 f(x)＜g(x)同解．
⎧f(x)＞g(x) (10) 当a ＞1时，log f(x)＞log g(x)与
⎨ a a
⎧f(x)＜g(x) ⎪
当0＜a ＜1时，log f(x)＞log g(x)与 ⎨ f(x)＞0 同解．
a a
⎩
g(x)＞0
直线和圆的方程单元知识总结
一、坐标法 1．点和坐标
建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x ，y)建立了一一对应的关系．
2．两点间的距离公式
设两点的坐标为 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则两点间的距离
|P P |= (x - x ) 2 + (y - y ) 2
1 2 2 1 2 1
⎧f(x)＞0 (1)f(x)·g(x)＞0与 ⎨
⎩ g(x)＞0 ⎧f(x)＜0
或 ⎨ 同解． ⎩ g(x)＜0 特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示： (1)当 x 1=x 2 时(两点在 y 轴上或两点连线平行于 y 轴)，则 |P 1P 2|=|y 2－y 1|
⎧f(x)＞0 ⎧f(x)＜0
(2)f(x)·g(x)＜0与 ⎨
(2)当 y 1=y 2 时(两点在 x 轴上或两点连线平行于 x 轴)，则 |P 1P 2|=|x 2－x 1|
3．线段的定比分点
g(x)
＞0与 ⎨g(x)＞
0 或 ⎨
g(x)＜0
⎧f(x)＜0
同解． (g(x)≠0)
= x - x
1 (x ≠x )
⎪ x = 1 ⎪
a + y
则其参数式方程为 ⎨ (t 为参数)，特别地，当方向向量为
⎪y = y 1 + y 2 (t 为参数 ) ⎨
⎩
2 )．
一般方程时， A 1 = 1 =
(1) 定义：设P 点把有向线段 P P 分成 P P 和 P P 两部分，那么有向
1 2 1 2
线段 P P 和 P P 的数量的比，就是P 点分 P P 所成的比，通常用λ 表示， 1 2 1 2
P P
即λ = 1 ，点P 叫做分线段 P P 为定比λ 的定比分点．
PP
1 2 2
当P 点内分 P P 时， λ ＞ 0；当 P 点外分 P P 时， λ ＜ 0．
1 2
1 2
(2)公式：分 P 1(x 1，y 2)和 P 2(x 2，y 2)连线所成的比为λ 的分点坐标是
⎧ x + λ x
2
⎨ 1 + λ
( λ ≠ - 1) ⎪y = y 1 + λ y 2
⎪⎩
1 + λ
(1)点斜式 已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为 k ，则其方程为：y －y 0=k(x －x 0) (2)斜截式 已知直线在 y 轴上的截距为 b ，斜率为 k ，则其方程为：y=kx ＋b
(3)两点式 已知直线过两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则其方程为：
y - y
1 y - y x - x 1
2 2 1 2 1
(4)截距式 已知直线在 x ，y 轴上截距分别为 a 、b ，则其方程为：
x
b = 1
(5)参数式 已知直线过点 P(x 0，y 0)，它的一个方向向量是(a ，b)，
⎧x = x + at
0 ⎩y = y 0 + bt
公式
特殊情况，当 P 是 P P 的中点时， λ = 1，得线段 P P 的中点坐标
1 2 1 2
⎧ x + x ⎪x = 1 2 2
⎨ ⎪ 2 v(cos α ，sin α )(α 为倾斜角)时，则其参数式方程为
⎧x = x + t cos α
0 ⎩y = y 0 + t sin α
这时，t 的几何意义是tv = p
→
p ，|t|=|p →
p|=|p p|
0 0 0
(6)一般式 Ax ＋By ＋C=0 (A 、B 不同时为 0)． (7)特殊的直线方程
二、直线
1．直线的倾斜角和斜率
(1)当直线和 x 轴相交时，把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，
叫做这条直线的倾斜角．
①垂直于 x 轴且截距为 a 的直线方程是 x=a ，y 轴的方程是 x=0． ②垂直于 y 轴且截距为 b 的直线方程是 y=b ，x 轴的方程是 y=0．
3．两条直线的位置关系
(1)平行：当直线 l 1 和 l 2 有斜截式方程时，k 1=k 2 且 b 1≠b 2．
当直线和 x 轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为 0． 所以直线的倾斜角α ∈[0，π )．
(2)倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜
当l 和l 是一般式方程时， 1 2 A A 1 =
2
B 1 ≠ B
2
C
C 1 2
率，直线的斜率常用k 表示，即k = tan α (α ≠ π
∴当 k ≥0 时，α =arctank ．(锐角)
当 k ＜0 时，α =π －arctank ．(钝角)
(2)重合：当 l 1 和 l 2 有斜截式方程时，k 1=k 2 且 b 1=b 2，当 l 1 和 l 2 是
B C
1
A B C
2 2 2
(3)相交：当 l 1，l 2 是斜截式方程时，k 1≠k 2
(3)斜率公式：经过两点 P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为
k= y 2 - y
1 (x ≠x )
x - x 1
2 2
1
当l ，l 是一般式方程时， 1 2 A A 2
≠
B B
2
1 2
2．直线的方程
⎪交点： ⎨ 1
的解 ① ⎪ ⎩ 2
斜 ⎨到角：l 到l 的角 tan θ = 1 (1 + k k ≠0)
交 ⎪ 1 + k k ⎪⎩ ⎪ 1 A 2 x ＋B 2 y ＋C 2
≥0( 或≤0) (*)
⎪…… ②垂直 ⎨ ⎪A x ＋B x ＋C ≥0( 或≤0) A 2 + B 2 l A
⎧ ⎧A x + B y + C = 0
1 1 A x + B y + C = 0
2 2 ⎪⎪
k - k 2 1 2 1 2
1 2 ⎪ k - k
⎪夹角公式：l 和l 夹角 tan θ =| 2 1 |(1 + k k ≠0) 1 2 1 + k k
1 2 1 2
⎧当l 和l 有叙截式方程时，k k = －1
1 2
1 2 ⎩当l 1和l 2 是一般式方程时，A 1A 2 ＋B 1B 2 = 0
4．点 P(x 0，y 0)与直线 l ：Ax ＋By ＋C=0 的位置关系：
Ax ＋By ＋C = 0 ⇔ P 在直线l 上( 点的坐标满足直线方程 ) 0
Ax ＋By ＋C ≠0 ⇔ P 在直线l 外．
二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表
示的平面区域的公共部分．
(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题， 例如，z=ax ＋by ，其中 x ，y 满足下列条件：
⎧A x ＋B y ＋C ≥0( 或≤0)
1 1
⎨
⎩
n n n
求 z 的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量 x 、y 的线性约束条件，
z=ax ＋by 叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x ，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫 做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解． 三、曲线和方程 1．定义
点P(x ，y ) 到直线 l 的距离为： d = |Ax 0 + By 0 + C|
0 0
5．两条平行直线 l 1∶Ax ＋By ＋C 1=0，l 2∶Ax ＋By ＋C 2=0 间
系： 在选定的直角坐标系下，如果某曲线C 上的点与一个二元方程 f(x ，y)=0 的实数解建立了如下关
(1)曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x ，y)=0 的解(一点不杂)；
(2)以方程 f(x ，y)=0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点(一点不漏)．
的距离为： d = |C 1 - C 2 |
A 2 +
B 2
．
这时称方程 f(x ，y)=0 为曲线 C 的方程；曲线 C 为方程 f(x ，y)=0 的曲线(图形)．
设 P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x ，y)|f(x ，y)=0}，若设点 M 的坐标为(x 0，
y 0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：
6．直线系方程
具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量 x ，y 以外，
还含有特定的系数(也称参变量)．
确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所
在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．
(1)共点直线系方程：
经过两直线 l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1=0， 2∶A 2x ＋B 2y ＋C 2=0 的交点的直线系方程为：1
x ＋B 1y ＋C 1＋λ (A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0，其中λ 是待定的系数．
在这个方程中，无论λ 取什么实数，都得不到 A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，因此它不表示 l 2．当λ =0 时，即
得 A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，此时表示 l 1．
(2)平行直线系方程：直线 y=kx ＋b 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程．与直线
Ax ＋By ＋C=0 平行的直线系方程是 Ax ＋By ＋λ =0(λ ≠C)，λ 是参变量．
(3)垂直直线系方程：与直线 Ax ＋By ＋C=0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ =0． 如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解．
7．简单的线性规划
(1)二元一次不等式 Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)表示直线 Ax ＋By ＋C=0 某一侧所有点组成的平面区域．
(1)M ∈P ⇒ (x ，y ) ∈Q ，即P ⊆ Q ； 0 0
(2)(x ，y ) ∈Q ⇒ M ∈P ，即Q ⊆ P ．
0 0
以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：
(1)(x ，y ) ∉ Q ⇒ M ∉ P ； 0 0
(2)M ∉ P ⇒ (x ，y ) ∉ Q ．
0 0
显然，当且仅当 P ⊆ Q 且Q ⊆ P ，即P = Q 时，才能称方程 f(x ，y) = 0
为曲线 C 的方程；曲线 C 为方程 f(x ，y)=0 的曲线(图形)． 2．曲线方程的两个基本问题
(1)由曲线(图形)求方程的步骤：
①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x ，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标； ②立式：写出适合条件 p 的点 M 的集合 p={M|p(M)}； ③代换：用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x ，y)=0； ④化简：化方程 f(x ，y)=0 为最简形式；
⎩ y = b + r sin θ ( θ 为参数) ⎩ y = 0 的解是曲线与x 轴交点的坐标；
⎩y = r sin θ ( θ 为参数)
⎩ x = 0 的解是曲线与y 轴交点的坐标；
A 2 +
B 2 ．
△0 △0
2 ) 2 + (y + 2 ) 2 ，－ 2 + F = 0． 2 + x x = y y +
2 ) ＋E( 0 2 ) ＋F = 0表示 2 ，－ 学习必备 欢迎下载
⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方
程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．
(2)由方程画曲线(图形)的步骤：
①讨论曲线的对称性(关于 x 轴、y 轴和原点)； ②求截距：
⎧f (x ，y) = 0 方程组⎨
⎧f (x ，y) = 0 方程组⎨
③讨论曲线的范围；
④列表、描点、画线．
3．交点
求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．
4．曲线系方程
过两曲线 f 1(x ，y)=0 和 f 2(x ，y)=0 的交点的曲线系方程是 f 1(x ，y)＋λ f 2(x ，y)=0(λ ∈R)． 四、圆
1．圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．
2．圆的方程
(1)标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2．(a ，b)为圆心，r 为半径． 特别地：当圆心为(0，0)时，方程为 x 2＋y 2=r 2
⎧x = a + r cos θ ⎨
特别地，以(0，0)为圆心，以 r 为半径的圆的参数方程为
⎧x = r cos θ ⎨
3．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为 d ，圆的半径为 r ．
(1) 点在圆外 ⇔ d ＞r ； (2) 点在圆上 ⇔ d = r ； (3) 点在圆内 ⇔ d ＜r ．
4．直线与圆的位置关系
设直线 l ：Ax ＋By ＋C=0 和圆 C ：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，则
d = |Aa + Bb + C|
(1)相交 ⇔ 直线与圆的方程组成的方程组有两解， ＞ 或d ＜r ；
(2)相切 ⇔ 直线与圆的方程组成的方程组有一组解， △= 0或d = r ； (3)相离 ⇔ 直线与圆的方程组成的方程组无解， ＜ 或d ＞r ．
5．求圆的切线方法
(1)已知圆 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0．
(2)一般方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0
D E D 2
+ E 2
- 4F
配方 (x + 2 =
4
当D 2 ＋E 2 －4F ＞0时，方程表示以 ( － D
1
2 D 2 + E 2 - 4F 为半径的圆；
当D 2
＋E 2
－4F = 0时，方程表示点 ( － D
E
2 ) 为圆心，以
E
2 )
①若已知切点(x 0，y 0)在圆上，则切线只有一条，其方程是
D(x + x ) E(y + y )
0 0 0 0
x + x y + y
当(x ，y ) 在圆外时，x x ＋y y ＋D( 0
0 0 0 0
过两个切点的切点弦方程．
②若已知切线过圆外一点(x 0，y 0)，则设切线方程为 y －y 0=k(x －x 0)，再利用相切条件求 k ，这时 必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线．
③若已知切线斜率为 k ，则设切线方程为 y=kx ＋b ，再利用相切条件求 b ，这时必有两条切线． (2)已知圆 x 2＋y 2=r 2．
①若已知切点 P 0(x 0，y 0)在圆上，则该圆过 P 0 点的切线方程为 x 0x ＋y 0y=r 2．
当 D 2＋E 2－4F ＜0 时，方程无实数解，无轨迹．
(3)参数方程 以(a ，b)为圆心，以 r 为半径的圆的参数方程为
②已知圆的切线的斜率为k ，圆的切线方程为y = kx ±r k 2 + 1．
6．圆与圆的位置关系
{M|
1
= e ，0＜e ＜1}
点M 到l 的距离 = 点M 到l 的距离 b 2 = 1(a ＞b ＞0)
a 2 = 1(a ＞
b ＞0) 离心率 e ＝ (0＜e ＜1)
准线方程 l ：x ＝ - a 2
c ；l ：x ＝
c l ：y ＝ - c ；l ：y ＝ c
的关系 a 2 + b 2 = 1 ⇔ (x , y )在椭圆上 a 2 ＋ 0 ＝1 b 2 ＋ 0 ＝1
a 2 ＋
b 2 ＋ 方 程 x x a 2 ＋ 0 ＝1 b 2 ＋ 0 ＝1 |x －x | 1 + k 2 或|y －y | 1 + k 2
已知两圆圆心分别为 O 1、O 2，半径分别为 r 1、r 2，则
(1) 两圆外切 ⇔|O O |= r ＋r ； 1
2
1
2
(2) 两圆内切 ⇔|O O |=|r －r | ；
1
2
1
2
(3) 两圆相交 ⇔|r －r | ＜|O O | ＜r ＋r ．
1 2
1
2
1
2
圆锥曲线单元知识总结
一、圆锥曲线 1．椭圆
(1)定义
定义 1：平面内一个动点到两个定点 F 1、F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫 椭圆(这两个定点叫焦点)．
定义 2：点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常
c
数e ＝ (0＜e ＜1) 时，这个点的轨迹是椭圆．
a
(2)图形和标准方程
条件 {M|MF 1|+|MF 2|=2a ， 2a ＞|F 1F 2|}
|MF | |MF |
2
1 2
标准方程 x 2 y 2 x 2 y 2
a 2 + b
2 + 顶点 A 1(－ a ， 0)， A 2(a ， 0) A 1(0 ，－ a)， A 2(0 ， a)
B 1(0 ，－ b)， B 2(0 ， b) B 1(－ b ， 0)， B 2(b ， 0)
轴 对称轴： x 轴， y 轴．长轴长|A 1A 2|=2a ，短轴长|B 1B 2|=2b 焦点 F 1(－ c ， 0)， F 2(c ， 0) F 1(0 ，－ c) ， F 2(0 ， c) 焦距 |F 1F 2|=2c(c ＞ 0)， c 2=a 2 － b 2
c
a
a 2 a 2 a 2 1 2 1 2 焦点半径 |MF 1|＝ a ＋ ex 0 ， |MF 1|＝ a ＋ ey 0 ，
|MF 2|＝ a － ex 0 |MF 2|＝ a － ey 0
＞ 外
x 2 图8－1的标准方程为：
图8－2的标准方程为： x 2
y 2
b 2 ＝1(a ＞b ＞0)
y 2
a 2 ＝1(a ＞
b ＞0)
点和椭圆 x 2
y 2 0
0 0
＜ 内
(k 为切线斜率)， (k 为切线斜率)，
y ＝kx ± a 2 k 2 + b 2 y ＝kx ± b 2 k 2 + a 2
切线方程 x x y y x x y y
0 0
b 2 a 2
(x 0 ， y 0)为切点 (x 0 ， y 0)为切点
切点弦 (x 0 ， y 0)在椭圆外 (x 0 ， y 0)在椭圆外
y y x x y y
0 0
b 2 a 2
1
2 1 1 2
(3)几何性质
弦长公式 其中(x 1 ， y 1)，(x 2 ， y 2)为割弦端点坐标， k 为割弦所在直
线的斜率
2．双曲线
P ＝{M| |MF | |MF |
点M 到l 的距离 ＝ ＝e ，e ＞1}．
条件
标准方程 x 2
y 2 y 2 x 2
b 2
＝1(a ＞ 0，b ＞ 0) a 2 － b 2 ＝1(a ＞ 0，b ＞ 0) 离心率
e ＝ (e ＞1) c ；l ：y ＝ c
b 2 ＝0) b x(或
a 2 －
b 2 ＝ 0)
b 2 ＝k(k ≠
0) a 2 － b 2 ＝k(k ≠ 0)
k ＞ b
a 或k ＜－ a k ＞
b 或k ＜－
a 2
－
0 ＝1
a 2 － 0 ＝1
切线方程 x x y y y y x x xy ＝a 2 的切线方程：
0 2 ＝a 2 ((x ，y ) 为切点
(1)定义
定义 1：平面内与两个定点 F 1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲
线(这两个定点叫双曲线的焦点)．
定义 2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数 e(e ＞1)时，这个动点的轨迹
是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)．
(2)图形和标准方程
P ＝{M|MF 1|－|MF 2|＝ 2a ， a ＞ 0 ， 2a ＜|F 1F 2|}．
1 2 点M 到l 的距离
1 2
－ a 2
顶点 A 1(－ a ， 0)， A 2(a ， 0) A 1(0 ，－ a)， A 2(0 ， a)
轴 对称轴： x 轴， y 轴，实轴长|A 1A 2|＝ 2a ，虚轴长|B 1B 2|＝ 2b 焦点 F 1(－ c ， 0)， F 2(c ， 0) F 1(0 ，－ c) ， F 2(0 ， c)
焦距 |F 1F 2|＝ 2c(c ＞ 0)， c 2 ＝ a 2 ＋ b 2
c a
准线方程 l 1：x ＝－ a 2 c ；l ：x ＝
2 a 2
c
l ：y ＝－
1 a
2 a 2
2
图 8－3 的标准方程为：
渐近线 y ＝± b x(或 x 2
方 程 a a 2
－ y 2 y ＝± a y 2 x 2
x 2 a 2 － y 2
b 2 ＝1(a ＞ 0，b ＞ 0)
共渐近线 x 2 的双曲线 a 2 －
y 2 y 2 x 2
图 8－4 的标准方程为：
y 2 x 2
a 2 －
b 2 ＝1(a ＞ 0，b ＞ 0)
(3)几何性质
系方程
焦点半径 |MF 1|＝ ex 0 ＋ a ， |MF 1|＝ ey 0 ＋ a ，
|MF 2|＝ ex 0 － a |MF 2|＝ ey 0 － a
y ＝kx ± a 2 k 2 - b 2 y ＝kx ± b 2 k 2 - a 2
(k 为切线斜率) (k 为切线斜率)
b a a b
0 0 b 2 b 2
((x 0 ， y 0)为切点 ((x 0 ， y 0)为切点
x y + y x 0
0 0
(x 0 ， y 0)在双曲线外
(x 0 ， y 0)在双曲线外 a 2 － 0 ＝1
a 2
－
＝1
方 程
|x －x | 1 + k 2 或|y －y | 1 + 弦长公式
k 2
(x - h) 2 (y - k) 2 (x - h) 2 (y - k) 2
a 2 ＋
b 2 ＝1或 b 2 ＋ a 2 ＝1 k 2 |y －y |
切点弦
x x y y y y x x
0 0
b 2 b 2 1 2 1 1 2 其中(x 1 ， y 1)，(x 2 ， y 2)为割弦端点坐标， k 为 割弦所在直线的斜率
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A 与 C 中仅有一个为 0 是方程※为抛物线方程的必要条件．
2．对于缺 xy 项的二元二次方程：
Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A ，C 不同时为 0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方程化为标准方
程，其方法有：①待定系数法；②配方法．
椭圆：
中心 O ′(h ，k)
3．抛物线
(1)定义
双曲线：
(x - h) 2 (y - k) 2 (y - k) 2 (x - h) 2 a 2 － b 2 ＝1或 a 2 － b 2 ＝1
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦
点，定直线 l 叫做抛物线的准线．
(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：
①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方
向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离．
②p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离．
③弦长公式：设直线为y ＝kx ＋b 抛物线为y 2 ＝2px ，|AB| ＝ 1 + k 2
中心 O ′(h ，k)
抛物线：对称轴平行于 x 轴的抛物线方程为 (y －k)2＝2p(x －h)或(y －k)2＝－2p(x －h)， 顶点 O ′(h ，k)．
对称轴平行于 y 轴的抛物线方程为：(x －h)2＝2p(y －k)或(x －h)2＝－2p(y －k) 顶点 O ′(h ，k)．
以上方程对应的曲线按向量 a ＝(－h ，－k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式．
|x －x | ＝ 1 + 2 1 1
2 1
焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 2
4．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义
与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定
直线叫做准线、常数叫做离心率，用 e 表示，当 0＜e ＜1 时，是椭圆，当 e ＞1 时，是双曲线，当 e ＝ 1 时，是抛物线．
二、利用平移化简二元二次方程 1．定义
缺 xy 项的二元二次方程 Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为 0)※，通过配方和平移，化为圆
型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程．
A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件．
A 与 C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件． A 与 C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件．。