2019-2020学年高一数学12月月考试题及答案(新人教A版 第274套)

2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求集合的补集,再与求交集即可.【详解】因为,,,故选A.【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,属基础题.2.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据基本初等函数的图象与性质，即可判断函数的单调性，从而得出结论．【详解】解：对于A，函数y在定义域[0，+∞）上为单调增函数，满足题意；对于B，函数y＝（x﹣1）2在区间（﹣∞，1）上是单调减函数，（1，+∞）上是单调增函数，不满足题意；对于C，函数y＝2﹣x在定义域R上为单调减函数，不满足题意；对于D，函数在定义域（0，+∞）上为单调减函数，不满足题意．故选：A．【点睛】本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．3.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【详解】选项B、C、D中的两个函数的定义域都不相同，所以不是同一函数；因的定义域相同,且解析式也相同,是同一函数，故应选A．4.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数的零点存在性定理直接判断即可.【详解】因为函数在上单调递增，，，由函数的零点存在性定理可得的零点所在的区间是.故选C.【点睛】本题主要考查利用函数的零点存在性定理判断函数的零点所在的区间，属基础题.5.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求得底面半径和圆锥的高，然后求解其体积即可.【详解】设圆锥的底面半径为，由题意可得：，解得：，圆锥的高，则圆锥的体积：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.如图所示，平面，，，，且，直线，过，，三点的平面记作，则与的交线必通过（）A. 点B. 点C. 点但不过点D. 点和点【答案】D【解析】【分析】由平面的基本性质易知与的交线必通过点和点.【详解】由已知可得点，又，所以，，有平面的基本性质可得，所以与的交线必通过点和点.故选D.【点睛】本题主要考查平面的基本性质，是常考题型，试题较易.7.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. B. C.D.【答案】A【解析】【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题．8.如图，在直三棱柱中，为的中点，，，，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中点，连接，，则,所以即为异面直线与所成的角或其补角.【详解】如图，取的中点，连接，，则,所以即为异面直线与所成的角或其补角，由已知可得，所以，所以异面直线与所成的角为.故选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求解问题，属常规考题.9.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：①若，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，则其中正确命题的序号是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐项分析即可．【详解】当时，可能平行，也可能相交或异面，所以①不正确；当时，可以平行，也可以相交，所以④不正确；若，，则；若，则，故正确命题的序号是②③.【点睛】本题考查空间中平面与直线的位置关系，属于一般题．10.已知一个三棱柱高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图所示),则此三棱柱的体积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由斜二测画法的规则可知，三棱柱的底面为直角三角形，且两条直角边分别为2，，故此三棱柱的体积为．选D．11.若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图像是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】由函数的图象为减函数可知，，且，可得函数的图象递减，且，从而可得结果.【详解】由函数的图象为减函数可知，，再由图象的平移知，的图象由向左平移可知，故函数的图象递减，且，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12.已知是上的偶函数，且在是减函数，若，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为y=f(x)为偶函数,所以等价为，所以不等式等价为{x>0f(x)<0或{x<0f(x)>0.因为函数y=f(x)为偶函数,且在(−∞,0]上是减函数,又f(3)=0，所以f(x)在[0,+∞)是增函数，则对应的图象如图：所以解得x<−3或0<x<3，即不等式的解集为(−∞,−3)∪(0,3).故选C.二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分.13.两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．【答案】【解析】试题分析：设两球半径分别为，由可得，所以．即两球的表面积之比为．考点：球的表面积，体积公式．14.函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________．【答案】9【解析】当，即时，点定点的坐标是，幂函数图象过点，，解得，幂函数为，则，故答案为.15.如图所示，三棱锥中，平面，，则直线与平面所成角的度数为________.【答案】【解析】【分析】因为平面，所以即为所求.【详解】由已知平面，所以即为直线与平面所成角，又，所以.故答案为.【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的问题，属基础题.16.已知，，是互不相同直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：①若与为异面直线，，，则；②若，，，则；③若，，，，则.其中所有真命题的序号为________.【答案】③【解析】【分析】由线线、线面、面面的位置关系及性质定理、判定定理逐个判断即可.【详解】①若与为异面直线，，，则与平行或相交，故①是假命题；②若，，，则与是平行直线或异面直线，故②是假命题；③由，，，可得且，即.故③是真命题.故答案为③【点睛】本题主要考查线线、线面、面面的位置关系的判断和辨析，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）；（2）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由实数指数幂的运算性质，即可求解；（2）由对数的运算性质和对数的运算公式，即可求解．【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：．（2）根据对数的运算性质，可得．【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简、求值问题，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．18.已知函数，（且）.（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）；（2）见详解.【解析】【分析】（1）由解之可得；（2）利用奇函数定义判断即可.【详解】（1）因为，所以，解之得，所以函数的定义域为.（2）函数为奇函数，因为函数的定义域关于原点对称且，所以函数为奇函数.【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解及函数的奇偶性的判断问题，属常规考题.19.如图所示，在边长为的正三角形中，，依次是，的中点，，，，，，为垂足，若将绕旋转，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.【答案】表面积为：，体积为：.【解析】【分析】旋转后的几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，根据数据利用面积公式和体积公式可求得该几何体的表面积和体积.【详解】由题意所得几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，因为圆锥的底面半径为、母线长为、高为，圆柱的底面半径为、母线长为，所以圆锥的表面积，圆柱的侧面积，圆锥的体积，圆柱的体积，则所求几何体的表面积，所求几何体的体积.【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积问题，关键是搞清楚旋转后是什么样的几何体，考查了空间想象能力及面积、体积公式的应用，属中等难度题.20.某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入世纪以来，该产品的产量平稳增长．记年为第年，且前年中，第年与年产量万件之间的关系如下表所示：若近似符合以下三种函数模型之一：，，．(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取其中你认为最适合的数据求出相应的解析式；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，年的年产量比预计减少，试根据所建立的函数模型，确定年的年产量．【答案】（1）见详解；（2）万件.【解析】【分析】（1）把给出三个模型分别验证，即可找出一个比较合适的模型；（2）利用（1）的模型，先计算出预计的年的年产量，再去掉减少的即可得出年的实际年产量.【详解】符合条件的函数模型是，理由如下：若模型为，则是减函数，与已知不符合；若模型为，则由，得，即，此时、、，与已知数据相差太大，不符合.故符合条件的函数模型是，由已知得，解得，所以，.由（1）知年的预计年产量为（万件），年的实际年产量为（万件）.【点睛】本题主要考查函数模型及应用，熟练掌握建立函数模型的方法及正确计算是解题的关键，本题是常考题型，属中等难度题.21.如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点，求证：（1）PQ∥平面DCC1D1（2）EF∥平面BB1D1D．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）连结AC、D1C，Q是AC的中点，从而PQ∥D1C，由此能证明PQ∥平面DCC1D1．（2）取CD中点G，连结EG、FG，由已知得平面FGE∥平面BB1D1D，由此能证明EF∥平面BB1D1D．（1）证明：连结AC、D1C，∵ABCD是正方形，∴Q是AC的中点，又P是AD1的中点，∴PQ∥D1C，∵PQ⊄平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1．（2）证明：取CD中点G，连结EG、FG，∵E，F分别是BC，C1D1的中点，∴FG∥D1D，EG∥BD，又FG∩EG=G，∴平面FGE∥平面BB1D1D，∵EF⊂平面FGE，∴EF∥平面BB1D1D．考点：直线与平面平行的判定．22.如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中点，求证：（1）平面；（2）平面.【答案】(1)见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）取AB的中点M,连FM,MC，∵ F、M分别是BE、BA的中点，∴FM∥EA, FM＝EA，∵ EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA∴CD∥FM又 DC＝a，∴ FM＝DC ∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，∴FD∥平面ABC．（2）∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB，又CM⊥AE，AB∩AE＝A，∴CM⊥面EAB，CM⊥AF，FD⊥AF，∵F是BE的中点, EA＝AB，∴AF⊥EB，∴AF⊥平面EDB．2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求集合的补集,再与求交集即可.【详解】因为,,,故选A.【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,属基础题.2.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据基本初等函数的图象与性质，即可判断函数的单调性，从而得出结论．【详解】解：对于A，函数y在定义域[0，+∞）上为单调增函数，满足题意；对于B，函数y＝（x﹣1）2在区间（﹣∞，1）上是单调减函数，（1，+∞）上是单调增函数，不满足题意；对于C，函数y＝2﹣x在定义域R上为单调减函数，不满足题意；对于D，函数在定义域（0，+∞）上为单调减函数，不满足题意．故选：A．【点睛】本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．3.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【详解】选项B、C、D中的两个函数的定义域都不相同，所以不是同一函数；因的定义域相同,且解析式也相同,是同一函数，故应选A．4.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数的零点存在性定理直接判断即可.【详解】因为函数在上单调递增，，，由函数的零点存在性定理可得的零点所在的区间是.故选C.【点睛】本题主要考查利用函数的零点存在性定理判断函数的零点所在的区间，属基础题. 5.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求得底面半径和圆锥的高，然后求解其体积即可.【详解】设圆锥的底面半径为，由题意可得：，解得：，圆锥的高，则圆锥的体积：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.如图所示，平面，，，，且，直线，过，，三点的平面记作，则与的交线必通过（）A. 点B. 点C. 点但不过点D. 点和点【答案】D【解析】由平面的基本性质易知与的交线必通过点和点.【详解】由已知可得点，又，所以，，有平面的基本性质可得，所以与的交线必通过点和点.故选D.【点睛】本题主要考查平面的基本性质，是常考题型，试题较易.7.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. B. C.D.【答案】A【解析】【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题．8.如图，在直三棱柱中，为的中点，，，，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中点，连接，，则,所以即为异面直线与所成的角或其补角.【详解】如图，取的中点，连接，，则,所以即为异面直线与所成的角或其补角，由已知可得，所以，所以异面直线与所成的角为.故选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求解问题，属常规考题.9.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：①若，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，则其中正确命题的序号是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐项分析即可．【详解】当时，可能平行，也可能相交或异面，所以①不正确；当时，可以平行，也可以相交，所以④不正确；若，，则；若，则，故正确命题的序号是②③.【点睛】本题考查空间中平面与直线的位置关系，属于一般题．10.已知一个三棱柱高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图所示),则此三棱柱的体积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由斜二测画法的规则可知，三棱柱的底面为直角三角形，且两条直角边分别为2，，故此三棱柱的体积为．选D．11.若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图像是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函数的图象为减函数可知，，且，可得函数的图象递减，且，从而可得结果.【详解】由函数的图象为减函数可知，，再由图象的平移知，的图象由向左平移可知，故函数的图象递减，且，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12.已知是上的偶函数，且在是减函数，若，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为y=f(x)为偶函数,所以等价为，所以不等式等价为{x>0f(x)<0或{x<0f(x)>0.因为函数y=f(x)为偶函数,且在(−∞,0]上是减函数,又f(3)=0，所以f(x)在[0,+∞)是增函数，则对应的图象如图：即不等式的解集为(−∞,−3)∪(0,3).故选C.二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分.13.两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．【答案】【解析】试题分析：设两球半径分别为，由可得，所以．即两球的表面积之比为．考点：球的表面积，体积公式．14.函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________．【答案】9【解析】当，即时，点定点的坐标是，幂函数图象过点，，解得，幂函数为，则，故答案为. 15.如图所示，三棱锥中，平面，，则直线与平面所成角的度数为________.【答案】【解析】【分析】因为平面，所以即为所求.【详解】由已知平面，所以即为直线与平面所成角，又，所以.【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的问题，属基础题.16.已知，，是互不相同直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：①若与为异面直线，，，则；②若，，，则；③若，，，，则.其中所有真命题的序号为________.【答案】③【解析】【分析】由线线、线面、面面的位置关系及性质定理、判定定理逐个判断即可.【详解】①若与为异面直线，，，则与平行或相交，故①是假命题；②若，，，则与是平行直线或异面直线，故②是假命题；③由，，，可得且，即.故③是真命题.故答案为③【点睛】本题主要考查线线、线面、面面的位置关系的判断和辨析，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）；（2）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由实数指数幂的运算性质，即可求解；（2）由对数的运算性质和对数的运算公式，即可求解．【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，（2）根据对数的运算性质，可得．【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简、求值问题，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．18.已知函数，（且）.（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）；（2）见详解.【解析】【分析】（1）由解之可得；（2）利用奇函数定义判断即可.【详解】（1）因为，所以，解之得，所以函数的定义域为.（2）函数为奇函数，因为函数的定义域关于原点对称且，所以函数为奇函数.【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解及函数的奇偶性的判断问题，属常规考题.19.如图所示，在边长为的正三角形中，，依次是，的中点，，，，，，为垂足，若将绕旋转，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.【答案】表面积为：，体积为：.【解析】【分析】旋转后的几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，根据数据利用面积公式和体积公式可求得该几何体的表面积和体积.【详解】由题意所得几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，因为圆锥的底面半径为、母线长为、高为，圆柱的底面半径为、母线长为，所以圆锥的表面积，圆柱的侧面积，圆锥的体积，圆柱的体积，则所求几何体的表面积，所求几何体的体积.【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积问题，关键是搞清楚旋转后是什么样的几何体，考查了空间想象能力及面积、体积公式的应用，属中等难度题.20.某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入世纪以来，该产品的产量平稳增长．记年为第年，且前年中，第年与年产量万件之间的关系如下表所示：若近似符合以下三种函数模型之一：，，．(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取其中你认为最适合的数据求出相应的解析式；的函数模型，确定年的年产量．【答案】（1）见详解；（2）万件.【解析】【分析】（1）把给出三个模型分别验证，即可找出一个比较合适的模型；（2）利用（1）的模型，先计算出预计的年的年产量，再去掉减少的即可得出年的实际年产量.【详解】符合条件的函数模型是，理由如下：若模型为，则是减函数，与已知不符合；若模型为，则由，得，即，此时、、，与已知数据相差太大，不符合.故符合条件的函数模型是，由已知得，解得，所以，.由（1）知年的预计年产量为（万件），年的实际年产量为（万件）.【点睛】本题主要考查函数模型及应用，熟练掌握建立函数模型的方法及正确计算是解题的关键，本题是常考题型，属中等难度题.21.如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点，求证：（1）PQ∥平面DCC1D1（2）EF∥平面BB1D1D．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）连结AC、D1C，Q是AC的中点，从而PQ∥D1C，由此能证明PQ∥平面DCC1D1．（2）取CD中点G，连结EG、FG，由已知得平面FGE∥平面BB1D1D，由此能证明EF∥平面BB1D1D．（1）证明：连结AC、D1C，∵ABCD是正方形，∴Q是AC的中点，又P是AD1的中点，∴PQ∥D1C，∵PQ⊄平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1．（2）证明：取CD中点G，连结EG、FG，∵E，F分别是BC，C1D1的中点，∴FG∥D1D，EG∥BD，又FG∩EG=G，∴平面FGE∥平面BB1D1D，∵EF⊂平面FGE，∴EF∥平面BB1D1D．考点：直线与平面平行的判定．22.如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中点，求证：（1）平面；（2）平面.【答案】(1)见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）取AB的中点M,连FM,MC，∵ F、M分别是BE、BA的中点，∴FM∥EA, FM＝EA，∵ EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA∴CD∥FM又 DC＝a，∴ FM＝DC ∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，∴FD∥平面ABC．（2）∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB，又CM⊥AE，AB∩AE＝A，∴CM⊥面EAB，CM⊥AF，FD⊥AF，∵F是BE的中点, EA＝AB，∴AF⊥EB，∴AF⊥平面EDB．。

x'E N2019-2020年高一上学期12月月考试卷 数学 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列命题是真命题的是( ).A 梯形一定是平面图形 .B 空间中两两相交的三条直线确定一个平面 .C 一条直线和一个点能确定一个平面 .D 空间中不同三点确定一个平面2.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ).A 球 .B 三棱锥 .C 正方体 .D 圆柱3.下列命题中正确的个数是（ ）个①若直线l 上有无数个公共点不在平面α内，则//l α.②若直线l 与平面α平行,则直线l 与平面α④垂直于同一条直线的两条直线互相平行..0 .1 .2 .3A B C D4.如图'''Rt O A B ∆是一个平面图形的直观图，斜边''2O B =，则该平面图形的面积是（ ）. 1 2A B C D 5.123,,l l l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )122313.,//Al l l l l l ⊥⊥⇒ 122313.,//B l l l l l l ⊥⇒⊥ 123123.////,,C l l l l l l ⇒共面 123123.,,,,D l l l l l l ⇒共点共面6.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行.②CN 与BE 是异面直线. ③CN 与AF 垂直.④DM 与BN 是异面直线. 以上四个命题中正确的个数是（ ）.1 .2 .3 .4A B C D7.圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的体积是( )洛阳一高2013—2014学年高一12月月考数学试题.2.A B C D 8.已知,,a b c 为三条不重合的直线，,,αβγ为三个不重合的平面，下列四个命题：①//,////a b b c a c ⇒. ②//,////a b a b αα⇒. ③//,////a b b a αα⇒.④//,////a a βααβ⇒. 其中正确命题的个数为（ ）.3 .2 .1 .0A B C D9.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）.2.4.2.4A B C D ππππ+++10.正四棱锥P ABCD -的侧棱和底面边长都等于 则它的外接球的表面积是（ ）1664.16 .64 ..33A B C D ππππ 11.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4,母线长为10,则圆台的体积为（ ）.672 .224 .168 .56A B C D ππππ12. 一个三棱锥的棱长均为2，四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(三棱锥的截面)的面积是 （ )2A 2B C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.在长方体''''ABCD A B C D -中，,M N 分别为,''AB A D 的中点，则直线MN 与平面''A BC 的位置关系是_____________.14.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_________ (填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．15.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小的圆锥与体积较大的圆锥体积之比为________．16.已知三棱锥S ABC -的棱长均相等，E 是SA 的中点,F 为ABC ∆的中心，则异面直线EF 与AB 所成的角为___________.正视图三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图(尺寸不作严格要求)，并求该平面图形的面积．18．（本小题满分12分）如图，左侧的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图， 它的正视图和侧视图如图（单位：cm ）. （1）求该多面体的体积；（2）证明：平面'BDC ∥平面EFG .19．（本小题满分12分）如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别为,'AB AA 的中点.求证：CE ,DF',DA 三条直线交于一点.20．（本小题满分12分）如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中. (1)求11AC 与1B C 所成角的大小；(2)若,E F 分别为,AB AD 的中点，求11AC 与EF 所成角的大小．21．（本小题满分12分）有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5,圆心角为o216的扇形，在这个圆锥中内接一个高为2的圆柱．(1)求圆锥的体积；(2)求圆锥与圆柱的体积之比.22．（本小题满分12分）如图，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，四边形EFGH 为平行四边形. (1)求证://AB 平面,//EFGH CD 平面EFGH ；(2)若4,6,,AB CD AB CD ==所成的角为o60，求四边形EFGH 的面积的最大值.一、选择题A D A D B B C C C A B D 二、填空题13.平行 14. ①②③⑤ 15. 1:27 16. 三、解答题17. (1)分(2)侧视图(如图)……6分其中,AB AC AD BC =⊥，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即,BC AD =是棱锥的高，AD =， 所以侧视图的面积为21322S a ==.……10分 18.(1)所求多面体的体积()311284446222323V V V cm ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭正长方体三棱锥.……6分 (2)如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，依题意,E G 分别为',''AA A D 的中点. 连接,''BD B D ，则四边形''AD C B 为平行四边形，'//'AD BC ∴. ……9分,E G 分别为',''AA A D 的中点，'//AD ∴EG ，从而EG ∥'BC . EG ⊂平面EFG ，'BC EFG ⊄平面, 'BC ∴∥平面EFG . ……12分19.连',''''A B ABCD A B C D -为正方体，''//,''A D BC A D BC ∴=，∴四边形''A D CB 为平行四边形， ……2分'//',''A B D C A B D C ∴=. ……4分又EF 为'AA B ∆的中位线，1//','2EF A B EF A B ∴=， 1//','2EF D C EF D C ∴=， ……6分 ∴四边形'EFD C 为梯形. ……8分设',D FCE M =则',M D F M EC ∈∈.M ∴∈平面''AA D D ，M ∈平面ABCD . ……10分 平面''AA D D 平面ABCD AD =, M AD ∴∈，即CE ,DF',DA 三条直线交于一点. ……12分 20.(1)如图，连接1,AC AB ，1111ABCD A BC D -是正方体，11AAC C ∴为平行四边形， 11//AC AC ∴， ……2分1BCA ∴∠就是11AC 与1B C 所成的角． ……4分111,AB B C AC AB C ==∴∆为正三角形，160o BCA ∴∠=即11AC 与1B C 所成角为60°. ……6分 (2)如图，连接BD ，11//AA CC ，且11AA CC =，11AAC C ∴是平行四边形，11//AC AC ∴， ……8分∴AC 与EF 所成的角就是11AC 与EF 所成的角． ……10分 ∵EF 是△ABD 的中位线，∴//EF BD .又∵,AC BD AC EF ⊥∴⊥，即所求角为90°. ……12分 21.(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5，所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r ， 则21652180r ππ⨯⨯=，解得3r =, ……2分所以圆锥的高为4. ……4分 从而圆锥的体积2211341233V r h πππ==⨯⨯=. ……6分(2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形．设圆柱的底面半径为R ， 则323,342R R -=∴=. ……8分 ∴圆柱的体积为2239'2222V R πππ⎛⎫=⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭. ……10分∴圆锥与圆柱体积之比为912:8:32ππ=. ……12分 22.(1) 四边形EFGH 为平行四边形,//EF HG ∴.,,//HG ABD EF ABD EF ABD ⊂⊄∴平面平面平面. ……2分 ,,//EF ABD ABD ABD AB EF AB ⊂=∴平面平面平面.,,//.EF EFGH AB EFGH AB EFGH ⊂⊄∴平面平面平面 ……5分 同理//CD EFGH 平面. ……6分 (2) ////,EF AB EH CD FEH ∴∠，或其补角即为,AB CD 所成的角. 设,EF x EH y ==.由//,//EF AB EH CD 得,,1EF CE EH AE EF EH CE AEAB CA CD CA AB CD CA CA ==∴+=+=， 4,6,1,6(1)464x y xAB CD y ==∴+=∴=-，o 2sin 606(1)(2)4]4EFGH x S xy x x ∴==⋅⋅-=--+≤2x ∴=时，四边形EFGH 的面积有最大值。

2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题（含解析）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1.设集合U=R,A={x|x>0},B={x|x≥1},则等于( ).A. {x|0<x<1}B. {x|0<x≤1}C. {x|x<0}D. {x|x>1}【答案】A【解析】【分析】先求,再求得解.【详解】由题得，所以{x|0<x<1}.故选：A【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.下列各组函数中,表示同一个函数的是( ).A. y=x+1和y=B. y=x0和y=C. f(x)=(x-1)2和g(x)=(x+1)2D. f(x)=和g(x)=【答案】B【分析】A.两函数的定义域不同，所以不是同一函数；B.两个函数定义域相同，对应关系相同，所以两个函数是同一函数；C.两函数对应关系不同，所以两个函数不是同一函数；D.定义域不同，所以两个函数不是同一函数.【详解】两个函数定义域相同，对应关系相同才是同一函数.A. y=x+1的定义域为R,y=的定义域为，两个的定义域不同，所以两个不是同一函数；B. y=x0和y=的定义域为，y=x0=1，y=，所以两个函数是同一函数；C. f(x)=(x1)2和g(x)=(x+1)2的定义域都是R,但是对应关系不同，所以两个函数不是同一函数；D. f(x)=的定义域为，g(x)=的定义域为，定义域不同，所以两个函数不是同一函数.故选：B【点睛】本题主要考查同一函数的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.函数y=+b在(0,+∞)上是减函数,则( ).A. k>B. k<C. k> -D. k< -【解析】【分析】解不等式即得解.【详解】因为函数y=+b在(0,+∞)上是减函数所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查函数的单调性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知f(x)是R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x+1,则f(x2)的表达式为( ).A. -(x+1)2+1B. (x+1)2C. x2-1D. -x2+1【答案】D【解析】【分析】先求出x＞0的解析式，再求f(x2)的表达式.【详解】设x＞0，所以所以，所以，所以.故选：D【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查求复合函数的解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.把-1215°化成2kπ+(k∈Z,)的形式是( ).A. -6π-B. -6π+C. -8π-D. -8π+【答案】A【解析】【分析】由1215°即得解.【详解】由题得1215°.故选：A【点睛】本题主要考查角度值和弧度值的互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.已知指数函数y=(a+2)x,则实数a的取值范围是( ).A. (-2,+∞)B. [-2,+∞)C. (-2，-1)（-1，+∞）D. (1,2)∪(2,+∞)【答案】C【解析】【分析】解不等式且即得解.【详解】由题得且，所以且.故选：C【点睛】本题主要考查指数函数的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象必不过( ).A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象就是把函数的图象向左平移2个单位，即得解.【详解】因为，所以对数函数经过点（1,0），经过第一、四象限，函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象就是把函数的图象向左平移2个单位，所以函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象必不经过第四象限.故选：D【点睛】本题主要考查对数函数的图象和函数的图象的变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.下列函数中,既是奇函数又有零点的增函数的是( ).A. y=sinxB. y=C. y=x+xD. y=tanx【答案】C【解析】【分析】对每一个选项的函数逐一分析判断得解.【详解】A. y=sinx,是奇函数有零点，但是不是增函数，所以该选项不符合题意；B. y=，是奇函数，但是没有零点，所以该选项不符合题意；C. y=x+x，是奇函数有零点，是R上的增函数（增函数+增函数=增函数），所以该选项符合题意；D. y=tanx，是奇函数有零点，但是不是增函数，所以该选项不符合题意.故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断和零点的判断，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知集合A＝{y|y=log2x，x>1}，B={y|y=x，≤x<1}，则A B＝（）.A. {y|0<y<}B. {y|1≤y≤4}C. {y|1<y≤4}D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,再求A B得解.【详解】由题得A＝{y|y＞0}，B={y|1＜y≤4 }，所以A B={y|1<y≤4}.故选：C【点睛】本题主要考查对数函数的值域和幂函数的值域的求法，考查集合的交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.若函数f(x)=cosωx(ω>0)在区间[，]上单调递减,在区间[，]上单调递增,则ω=().A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题得函数的最小正周期为，即得解.【详解】因为函数f(x)=cosωx(ω>0)在区间[，]上单调递减,在区间[，]上单调递增，所以函数的最小正周期为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.为了得到函数y=4sin(x-)的图象，只要把函数y=3cos（－x)的图象上所有的点（）A. 纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度B. 纵坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度D. 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】先化简两个函数的解析式，再利用三角函数的图象的变换分析解答.【详解】由题得函数y=3cos（－x),函数y=4sin(x)=，所以需要把纵坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度.故选：B【点睛】本题主要考查诱导公式和三角函数的图象的变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.给出下列命题:①存在实数x,使得sin x+cos x=2；②函数y=cos是奇函数；③若角α,β是第一象限角,且α＜β,则tan α<tanβ；④函数y=sin的图象关于点（，0）成中心对称.⑤直线x=是函数y=sin图象的一条对称轴;其中正确的命题是( ).A. ②④B. ①③C. ①④D. ②⑤【答案】D【解析】分析】①,由的最大值为,即可判断真假；②，函数y=cos是奇函数，即可判断真假；③，通过举反例，即可判断真假；④函数图象的对称中心，即可判断真假；⑤当x=时，函数取得最小值，即可判断真假.【详解】①,由的最大值为，因为，所以不存在实数，使得sinx+cosx=2，所以该命题是假命题；②，函数y=cos是奇函数，所以该命题是真命题；③，，是第一象限角且．例如：，但，即不成立，所以该命题是假命题；④，令,所以，所以函数图象的对称中心，所以函数y=sin的图象关于点（，0）成中心对称是假命题；⑤，当x=时，函数取得最小值，所以直线x=是函数y=sin图象一条对称轴，所以该命题是真命题.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13.函数f(x)=的定义域是__________【答案】【解析】【分析】解不等式即得解.【详解】由题得，因为，所以.所以函数的定义域是.故答案为：【点睛】本题主要考查正切函数的定义域的计算，考查正切函数的图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=1-2x,则f(x)的解析式是_______________【答案】【解析】【分析】先求出x≥0时，即得函数的解析式.【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，所以.设，则所以所以综合得x≥0时，所以函数的解析式为.【点睛】本题主要奇偶函数解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示，求其解析式________【答案】【解析】【分析】利用函数图象求出，利用五点法得到，求出，．【详解】利用函数图象求出，由“五点法”可知，解得，，所以函数.故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.关于下列结论：①函数y=2x图象与函数y=log2x的图象关于y轴对称；②函数y=ax+2(a>0且a≠1)的图象可以由函数y=ax的图象平移得到；③方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3}；④函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.其中不正确的是____.【答案】①③【解析】【分析】①利用对称的性质判断；②利用图象的平移关系判断；③解对数方程可得；④利用函数的奇偶性判断．【详解】①与互为反函数，所以的图象关于直线对称，所以①错误；②的图象可由的图象向左平移2个单位得到，所以②正确；③由得，即，解得．所以③错误；④设，定义域为，关于原点对称所以是奇函数，所以④正确，故不正确的结论是①③．故答案为：①③【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定，考查反函数和图象的平移，考查对数方程的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题满分70分）17.（1）已知2x=5,log4=y,求x+2y值；（2）若=,求3sin2-sin cos -cos2的值.【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）先求出，再利用对数的运算求值得解；（2）化简已知得，再化简3sin2-sin cos-cos2得解.【详解】（1）由题得，所以.（2）由题得=,所以，所以3sin2-sin cos-cos2=.【点睛】本题主要考查对指互化和对数的运算法则，考查同角的商数关系和三角化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知cosα是方程5x2－7x－6＝0的根，求的值．【答案】【解析】【分析】先求出，再化简，再分类讨论得解.【详解】由题得，所以.当在第二象限时，所以；当在第三象限时，所以.综合得=【点睛】本题主要考查诱导公式的化简求值，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知函数是奇函数，且=10（1）求的解析式；（2）判断函数在上单调性，并加以证明．（3）函数在[-3，0）上是单调增函数还是单调减函数？(直接写出答案，不要求写证明过程)．【答案】（1）；（2）减函数，证明见解析；（3）减函数【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求出c=0,再根据=10求出a,即得解；（2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性；（3）根据奇函数在原点对称区间的单调性相同分析得解.【详解】（1）因为函数是奇函数，所以。

高一上学期12月月考数学试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.集合{}0M x x =≥，{}24xN x =<，则M N ⋂（ ） A. []0,2B. ()0,2C. [)02，D. (]0,2 2.与30-o 终边相同的角是 ( ) A. 330-oB. 30oC. 150oD. 330o3.已知D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD =u u u r（ ）A. 1-2BC BA +u u u r u u u rB. 12BC BA -u u u r u u u rC. 1-2BC BA -u u u r u u u rD. 12BC BA +u u u r u u u r4.已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sin cos θθ+的值的是（ ） A.43B.35C.45D.125.已知13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. b a c <<C. c a b <<D. a b c <<6.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F （t ）=50+4sin2t（其中0≤t ≤20）给出，F （t ）的单位是辆／分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（ ） A. [0，5]B. [5，10]C. [10，15]D. [15，20]7.设函数()()f x x R ∈满足()()sin ,f x f x x π+=+，当0x <π≤，()0f x =，则236f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A.123 C. 0D. 12-8.若函数()2sin 223f x m x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内存在零点，则实数m 的取值范围是（ ）A. (][),11,-∞-+∞UB. 23,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (][),21,-∞-+∞UD. []2,1-9.若02x π<<，则tan 1x x <是sin 1x x <的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，所得到的图象对应的函数是（ ）A .奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 非奇非偶函数11.已知函数213()log (1)(0,1)12a xf x x x a a a =++++>≠-,如果3(log )2019f b =，其中0,1b b >≠，则13(log )f b =（ ）A. 2019B. 2017C. 2019-D. 2017-12.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈10=尺100=寸， 3.14π≈，5sin22.513≈o)A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13.sin750︒= .14.若4log 3a =，则22a a -+= ．15.函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则以下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号）①图象C 关于直线12x π=对称；②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 16.已知函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则434123x x x x x x ++的取值范围是____． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（10分）已知tan 2α=，计算(1)()()2cos cos 2sin 3sin 2παπαπαπα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(2)33sin cos sin 2cos αααα-+ 18.（12分）已知函数11()142xxf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求满足()3f x =的实数x 的值； （Ⅱ）求[]2,3x ∈-时函数()f x 值域．19.（12分）已知函数()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（其中a 为常数） （1）求()f x 的单调增区间； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为4，求a 的值；（3）求()f x 取最大值时x 的取值集合.20.（12分）已知函数3sin()cos()tan(2)22()tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=++. （1）化简()f α；（2）若1()()28f f παα⋅+=-，且5342ππα≤≤，求()()2f f παα++的值； （3）若()2()2f f παα+=，求()()2f f παα⋅+的值.21.（12分）已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为23π，当[0,]3x π∈时，方程()f kx m = 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.22.（12分）已知定义在R 上的奇函数13()3x x af x b+-+=+.（Ⅰ） 求,a b的值；（Ⅱ） 若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）已知函数()g x 满足[]1()()2(33)(0)3xx f x g x x -+=-≠，且规定(0)2g =，若对任意x ∈R ，不等式(2)()11g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.高一上学期12月月考数学试卷答题卡成绩：一、选择题（本题满分60分）二、填空题（本题满分20分）13 . 14.15.16.三、解答题（本题满分70分）班级 姓名 座号密 封 装 订 线高一上学期12月月考数学试卷答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.集合{}0M x x =≥，{}24xN x =<，则M N ⋂（ ） A. []0,2 B. ()0,2 C. [)02， D. (]0,2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出集合N ，然后根据交集的定义求解即可.【详解】解：{}{}24|2xN x x x =<=<，又{}0M x x =≥，所以{}|02M N x x ⋂=≤<.故选C.【点睛】本题考查集合交集的运算，指数不等式求解，属于基础题. 2.与30-o 终边相同的角是 ( ) A. 330-o B. 30oC. 150oD. 330o【答案】D 【解析】与30o -终边相同的角是k 36030k Z o n ，︒-∈. 当k =1时，36030330︒-=o o 故选D3.已知D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD =u u u r（ ）A. 1-2BC BA +u u u r u u u rB. 12BC BA -u u u r u u u rC. 1-2BC BA -u u u r u u u rD. 12BC BA +u u u r u u u r【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，用基底{},BC BA u u u r u u u r 表示向量CD uuu v.【详解】因为D 是△ABC 边AB 上的中点，所以1122CD CB BD CB BA BC BA =+=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基向量表示向量时，注意把目标向量向基向量靠拢. 4.已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sin cos θθ+的值的是（ ） A.43B.35C.45D.12【答案】A 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式对式子进行化简，再由θ的范围求出4πθ+的范围，由正弦函数的性质求出式子的范围，结合选项选择正确答案即可．【详解】由题意得，sin θ+cos θ4πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵θ为锐角，∴3444πππθ+＜＜，则124sin πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，即14πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭A 符合， 故选：A ．【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质的应用，注意角的范围． 5.已知13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. b a c <<C. c a b <<D. a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】容易得出01,a <<12,12b c <<<<，再根据对数函数的性质将b 化为与c 同底的对数，即可比较出大小.【详解】解：1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，01a ∴<<，244log 3log 9log 71b c ==>=>，所以b c a >>.故选A.【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题. 6.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F （t ）=50+4sin2t（其中0≤t ≤20）给出，F （t ）的单位是辆／分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的 （ ） A. [0，5] B. [5，10]C. [10，15]D. [15，20]【答案】C 【解析】试题分析：函数()()504sin0202tF t t =+≤≤可看成由2t x =和()504sin F x x =+合而成，那么由22222t k k ππππ-≤≤+（k Z ∈）得44k t k ππππ-≤≤+，所以函数()()504sin 0202t F t t =+≤≤在[]4,4k k ππππ-+（k Z ∈）上单调递增，当1k =时，[]3,5t ππ∈，此时[][]10,153,5ππ⊆；故选C ．考点：1．三角函数的性质；2．函数模型的应用．7.设函数()()f x x R ∈满足()()sin ,f x f x x π+=+，当0x <π≤，()0f x =，则236f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A.123 C. 0D. 12-【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因为函数()(),f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+，当0x <π≤时，()0f x =，所以23171717111117()()()sin ()sin sin 6666666f f f f ππππππππ=+=+=++5511()sin sin 666f πππ=++1751117sin sin sin sin 6666ππππ+=++11112222=-+=，故选A ．考点：抽象函数的性质；三角函数的求值．【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质、三角函数的求值、三角函数的诱导公式等知识点的综合应用，本题的解答中函数()f x 满足()()sin f x f x x π+=+，当0x <π≤时，()0f x =，利用三角函数的诱导公式，即可求解23()6f π的值，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．8.若函数()2sin 223f x m x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内存在零点，则实数m 的取值范围是（ ）A. (][),11,-∞-+∞UB. ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (][),21,-∞-+∞UD. []2,1-【答案】C 【解析】 【分析】先由题意求出0223sin x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，进而得到f （x ）的范围，结合有零点列出不等式，得答案． 【详解】当0m =时，显然不满足题意；又∵()2sin 223f x m x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内存在零点， 令t 0223sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则当05012x π≤≤，∴072336x πππ≤+≤，则012123sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭．即012223sin x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，当0m >时，则f （x ）[]222m m ∈---，，则2022m m --≤≤-，即1m ≥， 当0m <时，则f （x ）[]222m m ∈---，，则2202m m -≤≤--，即2m ≤-， ∴实数m 的取值范围为(][),21,-∞-+∞U ． 故选：C .【点睛】本题考查y ＝Asin （ωx +φ）型函数的图象和性质，考查了分类讨论思想，是中档题． 9.若02x π<<，则tan 1x x <是sin 1x x <的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】对tan x x 变形为sin cos x xx，利用()cos 0,1x ∈即可判断． 【详解】因为02x π<<，所以()cos 0,1x ∈，sin sin cos tan x xxx x x x >=所以tan 1x x <⇒t sin 1an x x x x <<，即tan 1x x <⇒sin 1x x <，当3x π=时，sin sin1333x x πππ==<，但是tan tan 1333x x πππ==>，所以sin 1x x <⇒ tan 1x x <，所以tan 1x x <是sin 1x x <的充分不必要条件． 故选A【点睛】本题主要考查了充分、必要条件的概念，考查转化能力，属于基础题．10.把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，所得到的图象对应的函数是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 非奇非偶函数【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式以及函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律可得所得的图象对应的函数为y ＝＝sin 2x ，从而得出结论．【详解】把函数24y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π，所得的图象对应的函数为y ＝sin [2（x 8π+）4π-]＝sin 2x 的图象， 故所得函数为奇函数， 故选：A ．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于中档题．11.已知函数13()log )(0,1)12a x f x x a a a =++>≠-,如果3(log )2019f b =，其中0,1b b >≠，则13(log )f b =（ ）A. 2019B. 2017C. 2019-D. 2017-【答案】D 【解析】 【分析】由函数的解析式，化简得()()2f x f x +-=，进而根据3(log )2019f b =，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数213()log (1)(0,1)12a x f x x x a a a =++++>≠-， 则221313()()log (1)log (()1)21212a ax x f x f x x x x x a a -+-=+++++-++++=--，即313(log )(log )2f b f b +=，又由3(log )2019f b =，所以13(log )2017f b =-.故选D.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中根据函数的解析式判断函数的性质，利用函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈10=尺100=寸， 3.14π≈，5sin22.513≈o)A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸【答案】D 【解析】 【分析】由三角形OAD ，利用勾股定理可得半径，进而得AOD ∠，再利用OAB ACB OACB S S S ∆=-弓形扇形，乘以高即可得体积.【详解】连接,,OA OB OD ，设⊙O 的半径为R ， 则()22215R R -+=，所以13R =. 由于5sin 13AD AOD R ∠==， 所以22.5AOD ∠=︒，即45AOB ∠=︒. 所以OAB ACBOACB S S S ∆=-弓形扇形 2451311012 6.333602π⨯=-⨯⨯≈平方寸． ∴该木材镶嵌在墙中的体积为100633ACB V S =⨯≈弓形立方寸， 故选D ．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理及扇形的面积公式，柱体的体积公式，属于中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.sin750︒= . 【答案】12【解析】试题分析：由三角函数的诱导公式得1sin 750sin(72030)sin 302︒=︒+︒=︒=. 【考点】三角函数的诱导公式【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．14.若4log 3a =，则22a a -+= ． 433【解析】详解】∵4log 3a =，∴4323a a =⇒=24223333a -+==考点：对数的计算 15.函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则以下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号）①图象C 关于直线12x π=对称；②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用正弦函数f （x ）＝3sin （2x 3π-）的性质，对①②③④四个选项逐一判断即可． 【详解】∵f （x ）＝3sin （2x 3π-）， ①：由2x 3π-=k π2π+（k ∈Z ）得：x 5212k ππ=+（k ∈Z ），∴f （x ）＝3sin （2x 3π-）的对称轴方程为：x 5212k ππ=+（k ∈Z ），当k ＝0时，x 512π=，k ＝﹣1时，x 12π=-，∴图象C 关于直线x 12π=对称是错误的，即①错误；②：∵f （23π）＝3sin （2233ππ⨯-）＝0， ∴图象C 关于点（23π，0）对称，即②正确；③：由2k π2π-≤2x 3π-≤2k π2π+得：k π12π-≤x ≤k π512π+（k ∈Z ），∴f （x ）＝3sin （2x 6π-）的增区间为[k π12π-，k π512π+]（k ∈Z ），当k ＝0时，[12π-，512π]为其一个增区间，故③正确；④：将y ＝3sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到y ＝3sin 2（x 3π-）＝3sin （2x 23π-）≠3sin（2x 3π-）＝f （x ），故④错误． 综上所述，②③正确． 故答案：②③．【点睛】本题考查正弦函数的周期性、对称性、单调性及函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换，熟练掌握正弦函数的性质是解决问题之关键，属于中档题．16.已知函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则434123x x x x x x ++的取值范围是____． 【答案】(7,8) 【解析】 【分析】先画出函数()f x 的图象，把方程()f x a =有4个不同的实数根转化为函数()f x 的图象与y a =有四个不同的交点，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，要先画出函数()f x 的图象，如图所示， 又由方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，即函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩的图象与y a =有四个不同的交点， 可得12341,6x x x x =+=，且3(2,3)x ∈， 则434123x x x x x x ++=3433366665x x x x x -+=+=+， 因为3(2,3)x ∈，则36(2,3)x ∈，所以434123x x x x x x ++(7,8)∈. 故答案为(7,8).【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程()f x a =有4个不同的实数根，转化为两个函数的有四个交点，结合对数函数与二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知tan 2α=，计算(1)()()2cos cos 2sin 3sin 2παπαπαπα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(2)33sin cos sin 2cos αααα-+【答案】(1)37-. (2) 16． 【解析】 【分析】直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】∵tan 2α=，(1)()()2cos cos 2sin cos 2tan 132cos 3sin 13tan 7sin 3sin 2παπααααπααααπα⎛⎫+-- ⎪-+-+-⎝⎭===++⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. (2) ∵222222415sin tan sin sin cos tan αααααα===++，∴345sin sin αα= 33443sin cos tan 1sin cos 15554418sin 2cos 6sin 2cos tan 2555αααααααααα---====+++．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．18.已知函数11()142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求满足()3f x =的实数x 的值； （Ⅱ）求[]2,3x ∈-时函数()f x 的值域． 【答案】（Ⅰ）1-；（Ⅱ）3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（Ⅰ）将12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭看成一个整体，对()3f x =进行化简得到1121022x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦先求解12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，再根据对数的运算解x 即可.（Ⅱ）12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可知1,48t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，化简()f x 可得21y t t =-+，然后配方即可求出21y t t =-+在1,48t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大最小值，进而求得值域. 【详解】（Ⅰ）11()1342x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q , 112042x x ⎛⎫⎛⎫∴--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1121022x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-⋅+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,122x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭或112x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍）122x⎛⎫∴= ⎪⎝⎭, 1x ∴=- .（Ⅱ）12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[]12,3,,48x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦Q . 则2213124y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当12t =时，min 34y =；当4t =时，max 13y =,所以()f x 的值域为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查二次型函数已知值求自变量，以及二次函数已知自变量的范围求值域，考查了换元法的应用以及二次函数配方法求值域，考查了学生的计算能力，属于基础题. 19.已知函数()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（其中a 为常数） （1）求()f x 的单调增区间； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为4，求a 的值； （3）求()f x 取最大值时x 的取值集合. 【答案】（1）36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，．（2）a ＝1．（3）{x |x 6k k Z ππ=+∈，}． 【解析】 【分析】（1）令 2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+，k ∈z ，求出x 的范围，即可求出f （x ）的单调增区间．（2）根据x 的范围求出2x 6π+的范围，即可求得sin （2x 6π+）的范围，根据f （x ）的最大值为2+a +1＝4，求出a 的值．（3）由相位的终边落在y 轴正半轴上求得使f （x ）取最大值时x 的取值集合． 【详解】（1）令 2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+，k ∈z ，可得 k π3π-≤x ≤k π6π+，k ∈z ， 故函数的增区间为：36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，． （2）当x ∈[0，2π]时，6π≤2x 766ππ+≤，12-≤sin （2x 6π+）≤1， 故f （x ）的最大值为2+a +1＝4，解得a ＝1． （3）当2x 262k πππ+=+，即x 6k k Z ππ=+∈，时，f （x ）取最大值，∴使f （x ）取最大值时x 的取值集合为{x |x 6k k Z ππ=+∈，}．【点睛】本题主要考查复合三角函数单调性的应用及最值的求法，属于中档题．20.已知函数3sin()cos()tan(2)22()tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=++. （1）化简()f α；（2）若1()()28f f παα⋅+=-，且5342ππα≤≤，求()()2f f παα++的值； （3）若()2()2f f παα+=，求()()2f f παα⋅+的值.【答案】（1）cos α-（2）（3）25【解析】 试题分析：（1）利用诱导公式可化简； （2）代入已知()()sin cos 2f f παααα+=-，从而得1sin cos 8αα=，结合平方关系22sin cos 1αα+=可求得sin cos αα-值；（3）同样由诱导公式化已知为sin 2cos αα=-，代入平方关系22sin cos 1αα+=可求得2cos α，也即得()()sin cos 2f f παααα+=-的值．试题解析： （1）()()()cos sin )tan cos tan sin f ααααααα--==--.(2) cos sin 22f ππααα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()128f f παα⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭，所以1cos sin 8αα⋅=，可得()23sin cos 4αα-=，结合5342ππα≤≤，cos sin αα>，所以()sin cos 22f f παααα⎛⎫++=-=-⎪⎝⎭（3）由（2）得()22f f παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭即为sin 2cos αα=-，联立22sin cos 1αα+=，解得21cos 5α=，所以()22sin cos 2cos 25f f πααααα⎛⎫⋅+=-== ⎪⎝⎭. 点睛：诱导公式：公式一：2k πα+，公式二：πα+，公式三：α-，公式四：πα-，公式五：2πα-，公式六：2πα+，这六公式可统一写成：2k πα⋅±，k Z ∈，可归纳为：奇变偶不变，符号看象限．21.已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：x6π-3π 56π 43π 116π73π 176πy1- 1 3 1 1- 1 3（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为23π，当[0,]3x π∈时，方程()f kx m = 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()2sin 13f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）)31,3⎡+⎣ 【解析】 试题分析：(1)结合所给的数据描点绘图即可确定函数的图象，结合三角函数的性质可得1ω=．2,1A B ==,3πφ=-．函数的解析式为()213f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． (2)由题意结合函数的最小正周期公式可得3k =．结合正弦函数的性质讨论可得实数m 的取值范围是)31,3⎡+⎣． 试题解析：(1)绘制函数图象如图所示：设()f x 的最小正周期为T ，得11266T πππ=-=．由2T πω=得1ω=．又31B A B A +=⎧⎨-=-⎩解得21A B =⎧⎨=⎩,令5262k ππωφπ⋅+=+，即5262k ππφπ+=+，k Z ∈， 据此可得：23k πϕπ=-，又2πφ<，令0k =可得3πφ=-．所以函数的解析式为()213f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． (2)因为函数()213y f kx sin kx π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的周期为23π，又0k >，所以3k =． 令33t x π=－，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．sint s =在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解的条件是s ⎫∈⎪⎪⎣⎭，所以方程()f kx m =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恰好有两个不同的解的条件是)1,3m ∈，即实数m 的取值范围是)1,3．点睛：已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.22.已知定义在R 上的奇函数13()3x x af x b+-+=+.（Ⅰ） 求,a b 的值；（Ⅱ） 若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）已知函数()g x 满足[]1()()2(33)(0)3xx f x g x x -+=-≠，且规定(0)2g =，若对任意x ∈R ，不等式(2)()11g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值. 【答案】（Ⅰ）13a b ==，；（Ⅱ）1k >-；（Ⅲ）6. 【解析】 【分析】（Ⅰ）()f x 定义在R 上的奇函数，所以利用特殊值(0)0(1)(1)f f f =⎧⎨-=-⎩求解,a b ，然后检验即可. （Ⅱ）首先根据定义证明函数()f x 在R 上单调递减，然后再根据单调性将22(2)(2)f t t f t k -<-等价转化为2222t t t k ->-有解，即22k t t >+，求二次函数的最小值，即可解出实数k 的取值范围. （Ⅲ）首先根据[]1()()2(33)(0)3x x f x g x x -+=-≠，()13()331xxf x -=+，解出()33,x xg x x R -=+∈，代入(2),()g x g x 得到解析式()22333311x x x x m --+≥⋅+-，令3+3x x u -=，（2u ≥），则9u m u+≥，利用基本不等式求最值求出m . 【详解】（Ⅰ）()f x Q 是R 上的奇函数，(0)0(1)(1)f f f =⎧∴⎨-=-⎩,113319a a a bb =⎧⎪⎪∴⎨--⎪=-⎪++⎩13a b =⎧∴⎨=⎩,当13a b ==，时，()13()331x x f x -=+, 此时()()1331()()331313x x x x f x f x -----===-++()f x ∴是奇函数成立. 13a b ∴==， ；（Ⅱ）任取12,,x x R ∈且12x x <，()()()2112121112233113131()()03313133131x x x x x x x x f x f x -⎛⎫--∴-=-=⋅> ⎪++++⎝⎭， 12()()0f x f x ∴->12()()f x f x ∴>,()f x ∴R 上为减函数.若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，则2222t t t k ->-有解22k t t ∴>+，当1t =-时，()2min21t t+=-，1k ∴>- ,（Ⅲ）[]1()()2(33)(0)3xx f x g x x -+=-≠Q , ()[]213113()233331x x x xg x --∴+=⋅+, 2(13)()23323x x x xg x -+∴+==++, ()33(0)x x g x x -∴=+≠，且(0)2g =也适合,()33,x x g x x R -∴=+∈ ,任意x ∈R ，不等式(2)()11g x m g x ≥⋅-恒成立,()22333311x x x x m --∴+≥⋅+-,令3x t ∴=0x R t ∈∴>Q ， 令13+3xxu t t-∴==+,任取12,,t t R ∈且12t t <，()211212121212121212111()()t t t t u t u t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫--∴-=+--=-+=- ⎪⎝⎭， 当()12,1+t t ∈∞，时，12()()u t u t <，()u t ∴上为增函数. 当()12,01t t ∈，时，12()()u t u t >，()u t ∴上为减函数.1t ∴=时min ()2u t =即2u ≥, ()22333311x x x x m --+≥⋅+-Q , ()22111t t m t t --∴+≥⋅+-,()()211211t t m t t --∴+-≥⋅+-,2211u m u ∴-≥⋅-，且2u ≥,9u m u∴+≥，同理9y u u ∴=+在()3+∞，上是增函数，在()23，上是减函数.3u ∴=时min9+6u u ⎛⎫= ⎪⎝⎭6m ∴≤,m ∴的最大值为6.【点睛】本题考查已知函数的奇偶性求参数值，考查函数单调性的证明，考查利用函数的单调性求参数，考查利用均值不等式求最值，同时考查了学生整理换元的思想以及学生的计算能力，属于中档题.。

2019—2020学年第一学期高一级12月月考试题——数学科一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．.设集合{}{}122,3,4A B ==，，，则A B =（ ） A. {}1,2,3,4 B. {}1,2,3 C. {}2,3,4 D. {}1,3,4 2．函数2()log f x x 的定义域是( )A . (0,2] B. [0,2) C. [0，2] D. （2，2） 3．下列图形中可以表示以M={}01x x ≤≤为定义域N={}01y y ≤≤为值域的函数的图象是( )A ．B ．C ．D ．4．cos(－20π3)等于( ) A. 12 B. －12 C ． 32 D ．－325．函数21,()2,x f x x ⎧+=⎨-⎩00x x ≤>，若()f x 10=，则x =（ ） A .3±及5- B . 5- C . 3± D . 3-6．函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有（ ）A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a>0且a≠1 7．函数1()2x f x x =-的零点所在的区间是（ ） A . 1(0,)2B . 1(,1)2C . 3(1,)2D . 3(,2)28．设ln3a =，3lg5b =，103()5c =，那么a 、b 、c 三者的大小关系是（ ） A . a c b >> B . c a b >> C. c b a >> D. b a c >> 9. 已知sin 2cos 0x x -=，则222sin cos x x ++1的值为（ ）A. 53B. 83C. 85D. 145 10. 设偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，()f x 是减函数，则()()()2,,3f ff π--的大小关系是（ ）A ．()()()32ff f π>->- B ．()()()23f f f π>->- C ．()()()32f f f π<-<- D ．()()()23f f f π<-<-11. 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（ ）A ．(0，2) B ．(2，1) C ．(1) D ．，2)12.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ） A ．50- B ．0 C ．2 D ．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (9)＝________．14. 已知扇形的半径为2，面积为43π，则扇形的圆心角的弧度数为__________.15. 已知2tan =θ，则=+-θθθθcos 3sin cos 2sin 316．若函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)在区间[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a ＝________．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）已知集合{}36A x x =<≤，{}21B x m x m =≤≤+. （1）若2m =，求A B ，A B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知2sin ()cos(2)tan()()tan(3)()2f cos παπαπααπαπα-+-+=-++．(1)化简()f α．(2)若1()8f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值．19．（本小题满分12分）已知函数()1()2ax f x =，a 为常数，且函数的图象过点（–1，2）． （1）求a 的值；（2）若g （x ）=4–x–2，且g （x ）=f （x ），求满足条件的x 的值．20．（本小题满分12分）已知函数f (x )cos(2x －π4)，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.21.（本小题满分12分）已知函数()f x 在定义域()0,∞+上为增函数，且满足,.(1) 求()()9,27f f 的值;(2) 解不等式()()82f x f x +-<22．（本小题满分12分）已知函数2()log (3)f x x =+,2()log (3)g x x =-． (1)求函数()()()h x f x g x =-的定义域；(2)判断函数()h x 的奇偶性，并说明理由；(3）如果()1h x >，求x 的取值范围.2019—2020学年高一级12月月考试卷——数学答案一、选择题：1—5 AACBD 6—10 CBADC 11—12 BC二、填空题：13. 3 14. 23π 15．54 16. 222或 17.解：（1）因为2m =，所以{}{}2125B x m x m x x =≤≤+=≤≤， 又{}36A x x =<≤，所以{}35A B x x ⋂=<≤；{}26A B x x ⋃=≤≤； （2）因为{}36A x x =<≤，{}21B x m x m =≤≤+，A B ⊆， 所以3216m m ≤⎧⎨+≥⎩，解得532≤≤m . 即实数m 的取值范围为}325|{≤≤m m . 18.解：(1)(2) 由可知：又因为，所以，即． 所以．19.解：（1）由已知得1()22a -=，解得1a =. （2）由（1）知1()()2x f x =，又()()g x f x =，则142()2x x --=，即11()()2042x x --=，即211()()2022x x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦， 令1()2x t =，则220t t --=，又因为0t >，解得2t =，即1()22x=，解得1x =-. 20．解：(1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π. 当2k π≤2x －π4≤2k π＋π，即k π＋π8≤x ≤k π＋58π，k ∈Z 时，f (x )单调递减， ∴f (x )的单调递减区间是[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z . (2)∵x ∈[－π8，π2]，则2x －π4∈[－π2，3π4]，故cos(2x －π4)∈[－2，1]，∴f (x )max ，此时2x －π4＝0，即x ＝π8； f (x )min ＝－1，此时2x －π4＝3π4，即x ＝π.2 21.解:（1）()()()()()()9332,27933f f f f f f =+==+= （2）()()()()889f x f x f x x f +-=-<⎡⎤⎣⎦而函数f (x)是定义在()0,∞+上为增函数即原不等式的解集为(8,9)22.解：（1）由303x x+>-，得－3＜x ＜3，∴ 函数()h x 的定义域为(－3，3)． （2）由(1)知，函数()h x 的定义域关于原点对称， 且h (－x)+h(x)=0， h(－x)=-h(x)∴ 函数()h x 为奇函数．（3）2log 133log ,1)(22=>-+∴>xx x h 1,233>>-+∴x x x 解得 )3,3()(-的定义域为又x h)3,1(的取值范围是x ∴。

2019-2020学年高一数学12月月考试题一、选择题： 5分*12=60分. 1. 已知集合{}{}0,2,1,2A B ==,则AB =（A ）2 （B ）{2} （C ）{}0,2 （D ）{}0,1 2.与角终边相同的角是 A.B.C.D.3.已知角的终边经过点，则的值是A. B. C. D.4.已知(1)f x +，则(21)f x -的定义域为（ ） A.1,12⎛⎤⎥⎝⎦ B.13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦5. 设(),x y 在映射f 下的象是()2,x x y +，则在f 下，象()4,5的原象是 A 、()4,5 B 、()8,9 C 、（2，3） D 、53,22⎛⎫⎪⎝⎭A. B. 1 C. -1 D. 0 7．已知函数()cos2xf x =，则下列等式成立的是 （A ）(2)()f x f x π+= （B ）()()f x f x -=-（C ）()()f x f x -= （D ）()()f x f x π-=8．把函数sin(2)3y x π=-的图象向左平移3π后，所得函数的解析式是（A ）sin(2)3y x π=+ （B ）2sin(2)3y x π=+（C ）sin 2y x =- （D ）sin 2y x =9. 函数图象的一部分如图所示，则的解析式可以为（ ）A.B.C. D.10．设函数22log ,2,(),2x x f x x a x >⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩的值域为R ，则常数a 的取值范围是（A ）[1,)+∞ （B ）(,1]-∞ （C ）(,5]-∞ （D ）[5,)+∞11．已知()log (32)a f x ax =-在[]1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0,1) B.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 33,42⎛⎫⎪⎝⎭ D. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭12.已知函数，若方程有四个不等实根，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案直接填在题中横线上.13. 已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递增函数，且()()213f m f m +<-。

2019-2020年高一上学期12月月考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．扇形的周长是16，圆心角是２弧度，则扇形面积是（ ）Ａ．１６ Ｂ．３２ Ｃ．１６π Ｄ．３２π 2． tan 0300+sin 0450的值为（ ）A ．１＋3B ．－１＋3C ．－１－3D ．１－3 3．已知△ABC 是等腰直角三角形，C ∠＝90°，AC ＝BC ＝2，则BC AB ⋅＝（ ）A ．22B ．－22C ．－4D ．44．（全国新课标理5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ）（A ）45-（B ）35-（C ） 35 （D ）455．如图，已知函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的部分图象，则函数的表达式为（ ）A ．y ＝2sin （61110π+x ） B ．y ＝2sin （61110π-x ）C ．y ＝2sin （2x ＋6π） D ．y ＝2sin （2x －6π)6． （浙江理6）若0<α<2π，02<<-βπ，cos(4π+α)=31，cos(4π2β-)=33，则cos(α+2β)（ ）A ．33 B ．- 33C ．935 D ．96-7．已知|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°，c =2a +3b ,d =k a -b (k ∈R )，且c ⊥d ，那么k 的值为( )A.-6B.6C.514-D.5148．（2011湖北文理）已知函数()cos ,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为BA ．|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ D ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．如果tan tan 2αβ+=，tan()4αβ+=，那么tan tan αβ等于 .10．函数)24tan(x y -=π的最小正周期为 ；递减区间为 。

2019-2020学年高一数学12月月考试题一、单选题1．设，，，则A∩∁UB（）A．B．C．D．2．已知命题，则命题为 ( )A．B．C．D．3．已知是第三象限角，且，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A．B．C．D．5．已知，且，若恒成立，则实数的值取值范围是（）A．B．C．D．6．已知是第二象限角，为其终边上一点且，则的值（）A．B．C．D．7．若函数与互为反函数，则的单调递减区间是（）A．B．C．D．8．函数的最大值是（）A． B． C． D．9．函数的图象大致为( )A．B．C．D．10．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( ) A．B．C．D．11．若定义在实数集上的满足：时，，对任意，都有成立.等于（）A．B．C．D．12．设函数，若，，则关于的方程的解的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是__________．14．已知，则=______．15．已知，则__．16．下列几个命题①方程有一个正实根，一个负实根，则．②函数是偶函数，但不是奇函数．③函数的值域是，则函数的值域为．④设函数定义域为R，则函数与的图象关于轴对称．⑤一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1．其中正确的有___________________．三、解答题17．求值：（1）（2）18．已知不等式的解集为．(1)求，的值；(2)求函数的最小值．19．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f （x）=x2-2x．（Ⅰ）求出函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）在答题卷上画出函数f（x）的图象，并根据图象写出f （x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2a+1有三个不同的解，求a的取值范围．20．已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求函数在上的单调递增区间．21．首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海的国家会展中心举办.国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集……首届进博会高点纷呈.一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案.某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场.已知该产品年固定研发成本30万美元，每生产一台需另投入90美元.设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万美元,（1）写出年利润（万美元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.22．已知函数（，且），且.（1）求的值，并写出函数的定义域；（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.2019-2020学年高一数学12月月考试题一、单选题1．设，，，则A∩∁UB（）A．B．C．D．2．已知命题，则命题为 ( )A．B．C．D．3．已知是第三象限角，且，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A．B．C．D．5．已知，且，若恒成立，则实数的值取值范围是（）A．B．C．D．6．已知是第二象限角，为其终边上一点且，则的值（）A．B．C．D．7．若函数与互为反函数，则的单调递减区间是（）A．B．C．D．8．函数的最大值是（）A． B． C． D．9．函数的图象大致为( )A．B．C．D．10．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A．B．C．D．11．若定义在实数集上的满足：时，，对任意，都有成立.等于（）A．B．C．D．12．设函数，若，，则关于的方程的解的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是__________．14．已知，则=______．15．已知，则__．16．下列几个命题①方程有一个正实根，一个负实根，则．②函数是偶函数，但不是奇函数．③函数的值域是，则函数的值域为．④设函数定义域为R，则函数与的图象关于轴对称．⑤一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1．其中正确的有___________________．三、解答题17．求值：（1）（2）18．已知不等式的解集为．(1)求，的值；(2)求函数的最小值．19．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-2x．（Ⅰ）求出函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）在答题卷上画出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2a+1有三个不同的解，求a的取值范围．20．已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求函数在上的单调递增区间．21．首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海的国家会展中心举办.国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集……首届进博会高点纷呈.一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案.某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场.已知该产品年固定研发成本30万美元，每生产一台需另投入90美元.设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万美元,（1）写出年利润（万美元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.22．已知函数（，且），且.（1）求的值，并写出函数的定义域；（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.。

高一数学上学期12月月考试卷（含解析）1一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（）A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定2．如图是某空间几何体的直观图，则该几何体的侧视图是（）A．B．C．D．3．正方体内切球和外接球半径的比为（）A．1：B．1：C．：D．1：24．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°5．用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（）A．倍 B．2倍C．2倍D．倍6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．7．下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面8．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m9．设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γD．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β10．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BDC．异面直线AD与CB1角为60°D．AC1⊥平面CB1D111．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．12．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC．中恒成立的为（）A．①③B．③④C．①②D．②③④二、填空题（每小题4分，共16分）13．长、宽、高分别为3，4，5的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为．14．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于．15．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是．16．如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1B⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）三、解答题17．（20xx秋•银川校级月考）如图是一个几何体的三视图，其中正视图与左视图都是全等的腰为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，（1）画出该几何体；（2）求此几何体的表面积与体积．18．（20xx秋•台州期中）如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．19．（20xx秋•银川校级月考）如图，在空间四边形ABCD中，AC，BD为其对角线，E，F，G，H分别为AC，BC，BD，AD上的点，若四边形EFGH为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH．20．（20xx秋•银川校级月考）如图所示，已知PA垂直于⊙O 所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥PB．21．（20xx秋•银川校级月考）如图，四棱锥V﹣ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，又∠BCV=∠BAV=90°求证：平面VDB⊥平面ABCD．22．（20xx•锦州二模）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC；（Ⅲ）（理科）当二面角E﹣BD﹣C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．20xx-20xx学年宁夏××市育才中学孔德校区高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（）A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定【考点】棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】运用图形判断，结合棱柱的概念．【解答】解：∵如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，∴据图可判断为：棱柱，底面为梯形，三角形等情况，故选A【点评】本题考查了空间几何体的性质，概念，空间想象能力，属于中档题．2．如图是某空间几何体的直观图，则该几何体的侧视图是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知可得该几何体的侧视图的外轮廓为正方形，分析侧视图中斜向棱的虚实情况，比照答案后，可得答案．【解答】解：∵该几何体是一个正方体去掉一个角（三棱锥）得到的组合体，故其侧视图的外框为一个正方形，由于正方体右侧面的对角线在侧视图中看不到，故应画为虚线，故选：A【点评】本题考查的知识点是简单空间几何体的三视图，其中熟练掌握三视图画法是解答的关键．3．正方体内切球和外接球半径的比为（）A．1：B．1：C．：D．1：2【考点】球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设出正方体的棱长，利用正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，分别求出半径，即可得到结论．【解答】解：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a．则a=2r内切球，r内切球=； a=2r外接球，r外接球=，r内切球：r外接球=1：．故选B．【点评】本题的关键是正方体的对角线就是外接球的直径，正方体的棱长是内切球的直径，考查计算能力．4．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．【专题】综合题．【分析】将正方体的展开图，还原为正方体，AB，CD为相邻表面，且无公共顶点的两条面上的对角线，故可得结论．【解答】解：将正方体的展开图，还原为正方体，AB，CD为相邻表面，且无公共顶点的两条面上的对角线∴AB与CD所成的角为60°故选D．【点评】本题考查线线位置关系，解题的关键是将正方体的展开图，还原为正方体，再确定AB，CD的位置关系．5．用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（）A．倍 B．2倍C．2倍D．倍【考点】斜二测法画直观图．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．【分析】以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法得出三角形底边长和高的变化即可．【解答】解：以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半，所以三角形的高变为原来的sin45°=，所以直观图中三角形面积是原三角形面积的，即原三角形面积是直观图面积的=2倍．故选：B．【点评】本题考查了斜二测画法中直观图的面积和原图形面积之间的关系，是基础题目．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（1+2）×1=，高h=1，故棱锥的体积V==，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．7．下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面【考点】平面的基本性质及推论；异面直线的判定．【专题】证明题．【分析】根据公理2以及推论判断A和B，由线线位置关系的定义判断C，利用线面垂直的性质定理和异面直线的定义判断D．【解答】解：A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A 不对；B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C 对；D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．故选C．【点评】本题考查了的内容多，涉及到公理2以及推论、由线线位置关系的定义、线面垂直的性质定理和异面直线的定义，难度不大，需要掌握好基本知识．8．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥α10．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BDC．异面直线AD与CB1角为60°D．AC1⊥平面CB1D1【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由BD∥B1D1，得到BD∥平面CB1D1；由AC⊥BD，CC1⊥BD，得到AC1⊥BD；异面直线AD与CB1角为45°；由AC1⊥B1D1，AC1⊥CB1，得到AC1⊥平面CB1D1．【解答】解：在A中，∵BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1，故A正确；在B中，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴CC1⊥BD，∵AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1，∴AC1⊥BD，故B正确；在C中，∵AD∥BC，∴∠BCB1是异面直线AD与CB1所成角，∵BCC1B1是正方形，∴∠BCB1=45°，∴异面直线AD与CB1角为45°，故C错误；在D中，∵A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴CC1⊥B1D1，∵A1C1∩CC1=C1，∴B1D1⊥平面ACC1，∴AC1⊥B1D1，同理，AC1⊥CB1，∵B1D1∩CB1=B1，∴AC1⊥平面CB1D1，故D 正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体结构特征的合理运用．11．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；图表型．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．12．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC．中恒成立的为（）A．①③B．③④C．①②D．②③④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】在①中：由已知得SO⊥AC．，AC⊥平面SBD，从而平面EMN∥平面SBD，由此得到AC⊥EP；在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线；在③中：由平面EMN∥平面SBD，从而得到EP∥平面SBD；在④中：由已知得EM⊥平面SAC，从而得到EP 与平面SAC不垂直．【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．在①中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二、填空题（每小题4分，共16分）13．长、宽、高分别为3，4，5的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为50 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；数形结合；函数思想；空间位置关系与距离．【分析】设长方体的长、宽、高分别为3，4，5，根据长方体的几何特征，我们可得SA，SB，SC两两垂直，代入棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥S﹣ABC的体积与剩下的几何体体积，进而得到答案．【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为3，4，5，即SA=3，SB=4，SC=5．（1分）由长方体，得SA，SB，SC两两垂直，所以VA﹣SBC=SA•S△SBC=×3××4×5=10，（5分）于是VS﹣ABC=VA﹣SBC=10．（8分）故剩下几何体的体积V=3×4×5﹣10=50．故答案为：50．【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积公式及棱锥的体积公式，其中根据长方体的结构特征分析出SA，SB，SC两两垂直，进而求出棱锥的体积是解答本题的关键．14．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】根据异面直线所成角的定义，证明已知角为异面直线所成的角，再解三角形求角即可．【解答】解：连接BC1，∵A1B1∥C1D1，∴∠BD1C1为异面直线A1B1与BD1所成的角，∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，∴C1D1⊥平面BCC1B1，∴C1D1⊥BC1，在Rt△BC1D1中，BC1=，tan∠BD1C1==，∠BD1C1=．故答案是【点评】本题考查异面直线所成的角．异面直线所成的角的求法是：1、作角（作平行线）；2、证角（符合定义）；3、求角（解三角形）．15．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是60°．【考点】直线与平面所成的角．【专题】空间角．【分析】设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出圆锥的母线与底面所成角的余弦值，也就求出了夹角的度数．【解答】解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：πR=2πr，∴R=2r，∴母线与底面所成角的余弦值==，∴母线与底面所成角是60°．故答案为：60°．【点评】本题用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；注意利用一个角相应的三角函数值求得角的度数．16．如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件BD⊥AC时，有A1B⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）【考点】棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据题意，由A1B⊥B1D1，结合直棱柱的性质，分析底面四边形ABCD，只要BD⊥AC，进而验证即可．【解答】解：∵四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD是直棱柱，∴A1D⊥平面A1B1C1D1，∴B1D1⊥A1D，若A1B⊥B1D1则B1D1⊥平面A1BD，∴B1D1⊥BD，又由B1D1∥AC，则有BD⊥AC，反之，由BD⊥AC亦可得到A1B⊥B1D1故答案为：BD⊥AC．【点评】本题主要考查了棱柱的几何特征以及空间线线，线面，面面垂直关系的转化与应用．三、解答题17．（20xx秋•银川校级月考）如图是一个几何体的三视图，其中正视图与左视图都是全等的腰为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，（1）画出该几何体；（2）求此几何体的表面积与体积．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，根据条件确定棱锥的高和边长，利用棱锥的体积公式和表面积公式计算即可．【解答】解：（1）该几何体的直观图如图所示（2）作斜高EF⊥BC，连接EO，OF，由正视图可知：，在Rt△EOF中：，∴，．【点评】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成空间几何体的直观图，是解决三视图问题的关键，要求熟练掌握锥体的体积公式和表面积公式．18．（20xx秋•台州期中）如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，可求其表面积和体积．【解答】解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面（3分）S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π．故所求几何体的表面积为：8π+35π+25π=68π （7分）由，（9分）（11分）所以，旋转体的体积为（12分）【点评】本题考查组合体的面积、体积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是中档题．19．（20xx秋•银川校级月考）如图，在空间四边形ABCD中，AC，BD为其对角线，E，F，G，H分别为AC，BC，BD，AD上的点，若四边形EFGH为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】利用线面平行的判定定理证明EF∥平面ABD，再用性质定理证明EF∥AB，从而证明AB∥平面EFGH．【解答】证明：如图所示，∵四边形EFGH为平行四边形，∵CD∩VC=C，∴BC⊥平面VDC，∵VD⊂平面VDC，∴VD⊥BC，∵∠BAD=90°，∠BAV=90°，∴BA⊥AV，BA⊥AD，∵AV∩AD=A，∴BA⊥平面VAD，∵VD⊂平面VAD，∴VD⊥AB，∵AB∩BC=B，∴VD⊥平面ABCD，∵VD⊂平面BDV，∴平面VDB⊥平面ABCD．【点评】本题考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．（20xx•锦州二模）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC；（Ⅲ）（理科）当二面角E﹣BD﹣C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）做出辅助线，连接OE，由条件可得SA∥OE．根据因为SA⊈平面BDE，OE⊂平面BDE，得到SA∥平面BDE．（II）建立坐标系，写出要用的点的坐标，写出要用的向量的坐标，设出平面的法向量，根据法向量与平面上的向量垂直，写出一个法向量，根据两个法向量垂直证明两个平面垂直．（III）本题是一个一个二面角为条件，写出点的位置，做法同求两个平面的夹角一样，设出求出法向量，根据两个向量的夹角得到点要满足的条件，求出点的位置．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接OE，由条件可得SA∥OE．因为SA⊈平面BDE，OE⊂平面BDE，所以SA∥平面BDE．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，AC⊥BD．建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，则O（0，0，0），S（0，0，），A（，0，0），B（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣，0）．所以=（﹣20，0），=（0，，0）．设CE=a（0＜a＜2），由已知可求得∠ECO=45°．所以E（﹣+a，0， a），=（﹣+，﹣，）．设平面BDE法向量为n=（x，y，z），则即令z=1，得n=（，0，1）．易知=（0，，0）是平面SAC的法向量．因为n•=（，0，1）•（0，﹣，0）=0，所以n⊥，所以平面BDE⊥平面SAC．（8分）（Ⅲ）设CE=a（0＜a＜2），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量为n=（，0，1）．因为SO⊥底面ABCD，所以=（0，0，）是平面BDC的一个法向量．由已知二面角E﹣BD﹣C的大小为45°．所以|cos（，n）|=cos45°=，所以，解得a=1．所以点E是SC的中点．【点评】本题考查用空间向量解决线线角和面面角，本题解题的关键是建立坐标系，把立体几何的理论推导变化成数字的运算问题，这样可以降低题目的难度，同学们只要细心都可以做对．。

2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据补集定义求出，利用交集定义求得结果.【详解】由题意知：本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算，属于基础题.2.在范围内，与角终边相同的角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，求出结果．【详解】与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，令k＝1，可得与角终边相同的角是，故选A．【点睛】本题考查终边相同角的定义和表示方法，得到与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，是解题的关键3.已知函数，则的值是（）A. 27B. -27C.D.【答案】C【解析】【分析】由函数的解析式将代入得的值，再代入即可得到答案.【详解】，，故选：C.【点睛】本题考查的知识点是分段函数求值，根据分段函数的解析式，由内到外，依次代入求解，即可得到答案.4.下列函数中,在其定义域内与函数有相同的奇偶性和单调性的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性判断即可．【详解】解：函数在上递增，是奇函数，对于A，在定义域无单调性，是奇函数，不符合题意；对于B，是非奇非偶函数，不符合题意；对于C，是偶函数，不符合题意；对于D，在定义域上递增，是奇函数，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，是一道基础题．5.已知为角的终边上的一点，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，解得，故选B.考点：三角函数的定义6.若，则（）A. －B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先观察两个角之间的关系：，因此两边同时取余弦值即可．【详解】因为所以所以，选B.【点睛】本题主要考查了三角函的诱导公式．解决此题的关键在于拼凑出，再利用诱导公式（奇变偶不变、符号看象限）即可．7.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为的弧田，按照上述方法计算出其面积是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据在直角三角形的边角关系求出，以及弦长“矢”的大小，结合弧田面积公式进行计算即可.【详解】如图，由题意可得，在中，，所以，结合题意可知矢，半径，弦，所以弧田面积（弦矢矢），故选A.【点睛】该题考查的是有关与数学文化相关的问题，涉及到的知识点有应用题中所给的条件与公式解决相关的问题，在解题的过程中，注意对条件的正确转化，属于简单题目.8.若函数在上为减函数，且在上的最大值为，则的值可能为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由正切函数的性质，得到且，进而求解的值，得到答案．【详解】由题意，函数在上为减函数，可得且，解得，当时，解得，故选A．【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，所以；因为，，所以，所以．选C．10.下列对于函数,的判断不正确的是（）A. 对于任意，都有，则的最小值为B. 存在，使得函数为偶函数C. 存在 ,使得D. 函数在区间内单调递增【答案】B【解析】【分析】直接结合所给的函数和三角函数的性质进行求解，注意取值范围问题．【详解】对于选项A，由的最小正周期为，对任意，都有成立，的最小值为，故选项A正确；对于选项B，因不关于原点对称，则不具有奇偶性，故选项B不正确；对于选项C，因的最大值为，则存在，使得，故选项C正确；对于选项D，令，得，因为，所以的单调增区间为，故选项D正确.故选：B.【点睛】本题重点考查了三角函数的单调性和奇偶性等知识，属于中档题．11.已知函数，若存在实数使得函数有三个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，得，画出和的图像，两个函数图像有个交点，结合图像求得的取值范围.【详解】令，得，画出和的图像如下图所示，依题意可知，和的图像有个交点，则.不妨设，根据二次函数对称性可知，当时，令，解得，也即，所以.故选C.【点睛】本小题主要考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，考查二次函数的对称性，属于基础题.12.已知t为常数，函数在区间上最大值为2，则t的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设根据函数的单调性求出的值域，再结合函数在区间上的最大值为2，分类讨论即可求出.【详解】设，易知函数在上为增函数，函数的值域为，当，即时，由在区间上的最大值为2，即，解得或（舍），当，即时，由在区间上的最大值为2，即，解得或（舍），故或.故选：A.【点睛】本题考查了函数最值问题，以及绝对值函数的图象，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了1小时，则分针转过的角的弧度数是_______.【答案】【解析】【分析】根据小时，分针针转过周，一个周角为，即可得到答案.【详解】由于经过小时，分针转过个周角，因周角为，又顺时针旋转得到的角是负角，故分针转过的角的弧度数是.故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是弧度制，属于基础题.14.用二分法研究函数f（x）在区间（0，1）内的零点时，计算得f（0）<0，f（0.5）<0，f（1）>0，那么下一次应计算x ＝_________时的函数值．【答案】0.75【解析】【分析】根据零点存在定理，结合已知可以确定函数零点落在的区间，结合二分法的原理，可以求出下次应计算的函数值.【详解】∵f（0）<0，f（0.5）<0，f（1）>0，∴根据函数零点的判定定理，函数零点落在区间（0.5，1）内，取x＝0.75．故答案为0.75．【点睛】本题考查了零点存在定理以及二分法的步骤，属于基础题.15.已知集合，，全集．若，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由，得到，分两种情况讨论即可.【详解】由，得，又，当时，即，解得，当时，即，解得，综上：的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了集合的运算性质、集合间的关系，考查了分类讨论的思想，属于基础题.16.给出定义：若（其中M为整数），则M叫做离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论：①函数的定义域为，值域为；②函数的图象关于直线对称；③函数是偶函数；④函数在上是增函数．其中正确结论的是（把正确的序号填在横线上）．【答案】①②③【解析】试题分析：由定义，得，即，则，故①对；,，则，即，，即数的图象关于直线对称，故②对；在②的证明中，令，得，即函数为偶函数，故③对；由③得函数为偶函数，在不可能为单调函数；故选①②③.考点：新定义型题目、函数的性质.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）求值：；（2）化简：.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）由题意，根据三角函数诱导公式，将式子中的大角度、负角度都化为锐角，再根据同角的三角函数商关系，进行化简，从而问题可得解；（2）根据题意，可同（1）的方法进行整理化简，从而问题可得解.【详解】(1)原式.（2）原式18.已知函数（1）用“五点法”作出在上的简图;（2）求的对称中心以及单调递增区间.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）用五点法作在一个周期上的图象；（2）利用正弦函数求得的对称中心以及单调增区间.【详解】（1）对于函数，，则，列表：作图：（2）令，即，函数的对称中心为，，令，得，函数的单调增区间为【点睛】本题主要考查用五点法作函数在一个周期上的图象，正弦函数的图象的对称中心，属于基础题．19.已知函数，其中均为实数.（1）若函数的图象经过点，求函数的值域；（2）如果函数的定义域和值域都是,求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）由题意先求得a、b的值，可得函数的解析式，利用指数函数的性质求得函数的值域．（2）根据函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求得a、b 的值，可得a+b的值．【详解】（1）函数的图象经过点所以,所以,因为，即，所以故的值域为；（2）当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得,无解．当0<a<1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为减函数，由题意得,解得,所以a＋b＝.【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，指数函数的单调性与特殊点，属于基础题．20.据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：，为月份已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元．（1）求的解析式；（2）求此商品的价格超过8万元的月份.【答案】（1）；（2）2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元【解析】【分析】（1）由已知条件可得，，即，，即可得函数解析式；（2）由题意可得，再解此三角不等式，再取整数解即可.【详解】解：（1）由题可知，，.又，，.（*）又过点，代入（*）式得，，，.又，，.（2）令，，，，可得，.又，，，故2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法及解三角不等式，重点考查了运算能力，属中档题.21.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.（Ⅰ）写出函数的解析式；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；【答案】（1）.（(2).【解析】分析：（1）根据图像变换得函数的解析式；（2）先求在值域，再转化研究对应二次不等式在恒成立，结合二次函数图像可得，解不等式可得实数的取值范围；(3)转化研究对应函数图像在一个周期上的交点，再根据周期性确定实数和正整数，详解：（Ⅰ）；（Ⅱ）设则，可化，设，，则的图象是开口向上的抛物线一段，当且仅当，即，所以的取值范围是. 注：该小题也可采用分离参数求解.点睛：本题主要考查函数的图象变换规律，函数的恒成立问题.22.已知函数（且）.（1）判断函数的奇偶性并说明理由；（2）当时，判断函数在上的单调性，并利用单调性的定义证明；（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）奇函数，理由见详解；（2）单调递减，过程见详解；（3）存在.【解析】【分析】（1）先由函数解析式求出定义域，再由，求出，根据函数奇偶性的概念，即可得出结果；（2）先令，用单调性的定义，即可判断的单调性，再由复合函数单调性的判定原则，即可得出结果；（3）先假设存在满足条件的实数，由题意得出，，推出是方程的两根，进而得到在上有两个不同解，根据一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求出结果.【详解】（1）由解得或，即函数的定义域为；又，所以，因此，所以，所以函数为奇函数；（2）令，任取，则，因为，，，所以，即函数在上单调递增；又，所以单调递减，根据同增异减的原则，可得：在上单调递减；（3）假设存在实数，使得当的定义域为时，值域为，由，可得；所以，因此是方程的两根，即在上有两个不同解，设，则，解得.所以存在，使得当的定义域为时，值域为.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定，单调性的判定，以及由函数定义域与值域求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型.2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据补集定义求出，利用交集定义求得结果.【详解】由题意知：本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算，属于基础题.2.在范围内，与角终边相同的角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，求出结果．【详解】与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，令k＝1，可得与角终边相同的角是，故选A．【点睛】本题考查终边相同角的定义和表示方法，得到与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，是解题的关键3.已知函数，则的值是（）A. 27B. -27C.D.【答案】C【解析】【分析】由函数的解析式将代入得的值，再代入即可得到答案.【详解】，，【点睛】本题考查的知识点是分段函数求值，根据分段函数的解析式，由内到外，依次代入求解，即可得到答案.4.下列函数中,在其定义域内与函数有相同的奇偶性和单调性的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性判断即可．【详解】解：函数在上递增，是奇函数，对于A，在定义域无单调性，是奇函数，不符合题意；对于B，是非奇非偶函数，不符合题意；对于C，是偶函数，不符合题意；对于D，在定义域上递增，是奇函数，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，是一道基础题．5.已知为角的终边上的一点，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，解得，故选B.考点：三角函数的定义6.若，则（）A. －B.C.D.【答案】B【分析】首先观察两个角之间的关系：，因此两边同时取余弦值即可．【详解】因为所以所以，选B.【点睛】本题主要考查了三角函的诱导公式．解决此题的关键在于拼凑出，再利用诱导公式（奇变偶不变、符号看象限）即可．7.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为的弧田，按照上述方法计算出其面积是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据在直角三角形的边角关系求出，以及弦长“矢”的大小，结合弧田面积公式进行计算即可.【详解】如图，由题意可得，在中，，所以，结合题意可知矢，半径，弦，所以弧田面积（弦矢矢），故选A.【点睛】该题考查的是有关与数学文化相关的问题，涉及到的知识点有应用题中所给的条件与公式解决相关的问题，在解题的过程中，注意对条件的正确转化，属于简单题目.8.若函数在上为减函数，且在上的最大值为，则的值可能为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由正切函数的性质，得到且，进而求解的值，得到答案．【详解】由题意，函数在上为减函数，可得且，解得，当时，解得，故选A．【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，所以；因为，，所以，所以．选C．10.下列对于函数,的判断不正确的是（）A. 对于任意，都有，则的最小值为B. 存在，使得函数为偶函数C. 存在 ,使得D. 函数在区间内单调递增【答案】B【解析】【分析】直接结合所给的函数和三角函数的性质进行求解，注意取值范围问题．【详解】对于选项A，由的最小正周期为，对任意，都有成立，的最小值为，故选项A正确；对于选项B，因不关于原点对称，则不具有奇偶性，故选项B不正确；对于选项C，因的最大值为，则存在，使得，故选项C正确；对于选项D，令，得，因为，所以的单调增区间为，故选项D正确.故选：B.【点睛】本题重点考查了三角函数的单调性和奇偶性等知识，属于中档题．11.已知函数，若存在实数使得函数有三个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，得，画出和的图像，两个函数图像有个交点，结合图像求得的取值范围.【详解】令，得，画出和的图像如下图所示，依题意可知，和的图像有个交点，则.不妨设，根据二次函数对称性可知，当时，令，解得，也即，所以.故选C.【点睛】本小题主要考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，考查二次函数的对称性，属于基础题.12.已知t为常数，函数在区间上最大值为2，则t的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设根据函数的单调性求出的值域，再结合函数在区间上的最大值为2，分类讨论即可求出.【详解】设，易知函数在上为增函数，函数的值域为，当，即时，由在区间上的最大值为2，即，解得或（舍），当，即时，由在区间上的最大值为2，即，解得或（舍），故或.故选：A.【点睛】本题考查了函数最值问题，以及绝对值函数的图象，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了1小时，则分针转过的角的弧度数是_______.【答案】【解析】【分析】根据小时，分针针转过周，一个周角为，即可得到答案.【详解】由于经过小时，分针转过个周角，因周角为，又顺时针旋转得到的角是负角，故分针转过的角的弧度数是.故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是弧度制，属于基础题.14.用二分法研究函数f（x）在区间（0，1）内的零点时，计算得f（0）<0，f（0.5）<0，f （1）>0，那么下一次应计算x＝_________时的函数值．【答案】0.75【解析】【分析】根据零点存在定理，结合已知可以确定函数零点落在的区间，结合二分法的原理，可以求出下次应计算的函数值.【详解】∵f（0）<0，f（0.5）<0，f（1）>0，∴根据函数零点的判定定理，函数零点落在区间（0.5，1）内，取x＝0.75．故答案为0.75．【点睛】本题考查了零点存在定理以及二分法的步骤，属于基础题.15.已知集合，，全集．若，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由，得到，分两种情况讨论即可.【详解】由，得，又，当时，即，解得，当时，即，解得，综上：的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了集合的运算性质、集合间的关系，考查了分类讨论的思想，属于基础题.16.给出定义：若（其中M为整数），则M叫做离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论：①函数的定义域为，值域为；②函数的图象关于直线对称；③函数是偶函数；④函数在上是增函数．其中正确结论的是（把正确的序号填在横线上）．【答案】①②③【解析】试题分析：由定义，得，即，则，故①对；,，则，即，，即数的图象关于直线对称，故②对；在②的证明中，令，得，即函数为偶函数，故③对；由③得函数为偶函数，在不可能为单调函数；故选①②③.考点：新定义型题目、函数的性质.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）求值：；（2）化简：.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）由题意，根据三角函数诱导公式，将式子中的大角度、负角度都化为锐角，再根据同角的三角函数商关系，进行化简，从而问题可得解；（2）根据题意，可同（1）的方法进行整理化简，从而问题可得解.【详解】(1)原式.（2）原式18.已知函数（1）用“五点法”作出在上的简图;（2）求的对称中心以及单调递增区间.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）用五点法作在一个周期上的图象；（2）利用正弦函数求得的对称中心以及单调增区间.【详解】（1）对于函数，，则，列表：作图：（2）令，即，函数的对称中心为，，令，得，函数的单调增区间为【点睛】本题主要考查用五点法作函数在一个周期上的图象，正弦函数的图象的对称中心，属于基础题．19.已知函数，其中均为实数.（1）若函数的图象经过点，求函数的值域；（2）如果函数的定义域和值域都是,求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）由题意先求得a、b的值，可得函数的解析式，利用指数函数的性质求得函数的值域．（2）根据函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求得a、b的值，可得a+b的值．【详解】（1）函数的图象经过点所以,所以,因为，即，所以故的值域为；（2）当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得,无解．当0<a<1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为减函数，由题意得,解得,所以a＋b＝.【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，指数函数的单调性与特殊点，属于基础题．20.据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：，为月份已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元．（1）求的解析式；（2）求此商品的价格超过8万元的月份.【答案】（1）；（2）2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元【解析】【分析】（1）由已知条件可得，，即，，即可得函数解析式；（2）由题意可得，再解此三角不等式，再取整数解即可.【详解】解：（1）由题可知，，.又，，.（*）又过点，代入（*）式得，，，.又，，.（2）令，，，，可得，.又，，，故2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法及解三角不等式，重点考查了运算能力，属中档题.21.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.（Ⅰ）写出函数的解析式；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；【答案】（1）.（(2).【解析】分析：（1）根据图像变换得函数的解析式；（2）先求在值域，再转化研究对应二次不等式在恒成立，结合二次函数图像可得，解不等式可得实数的取值范围；(3)转化研究对应函数图像在一个周期上的交点，再根据周期性确定实数和正整数，详解：（Ⅰ）；（Ⅱ）设则，可化，设，，则的图象是开口向上的抛物线一段，当且仅当，即，所以的取值范围是. 注：该小题也可采用分离参数求解.点睛：本题主要考查函数的图象变换规律，函数的恒成立问题.22.已知函数（且）.（1）判断函数的奇偶性并说明理由；（2）当时，判断函数在上的单调性，并利用单调性的定义证明；（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）奇函数，理由见详解；（2）单调递减，过程见详解；（3）存在.【解析】【分析】（1）先由函数解析式求出定义域，再由，求出，根据函数奇偶性的概念，即可得出结果；（2）先令，用单调性的定义，即可判断的单调性，再由复合函数单调性的判定原则，即可得出结果；（3）先假设存在满足条件的实数，由题意得出，，推出是方程的两根，进而得到在上有两个不同解，根据一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求出结果.【详解】（1）由解得或，即函数的定义域为；又，所以，因此，所以，所以函数为奇函数；（2）令，任取，则，因为，，，所以，即函数在上单调递增；又，所以单调递减，根据同增异减的原则，可得：在上单调递减；（3）假设存在实数，使得当的定义域为时，值域为，由，可得；所以，因此是方程的两根，即在上有两个不同解，设，则，解得.所以存在，使得当的定义域为时，值域为.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定，单调性的判定，以及由函数定义域与值域求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型.。