宁波中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练

【答案】见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据切线长定理即可得出结论； （2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论； ②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论； ③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论． 【详解】 性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由： 如图 1，已知：四边形 ABCD 的四边 AB，BC，CD，DA 都于⊙O 相切于 G，F，E，H． 求证：AD+BC=AB+CD． 证明：∵ AB，AD 和⊙O 相切，∴ AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH， ∴ AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等． 故答案为：圆外切四边形的对边和相等； 性质应用：①∵ 根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等． ∵ 平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边 的距离相等． 故答案为：B，D；
∵ AE 是⊙O 的切线， ABO ABD OBD 90 . ABD CBO .
∵ OB、OC 是⊙O 的半径，OB=OC. ∴ C CBO . ∴ C ABD .
∵ E C ，∴ E ABD . ∴ OE∥ BD.
（2）由（1）可得 sin∠ C= ∠ DBA= 2 ，在 Rt△ OBE 中, sin∠ C = BD 2 ,OC=5，
5
CD 5
BD 4∴ CBD EBO 90
∵ E C ，△ CBD∽ △ EBO.
∴ BD CD BO EO
∴
EO
25
.
2
∵ OE∥ BD，CO=OD，
∴ CF=FB.
∴ OF 1 BD 2 . 2
∴ EF OE OF 21 2
7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 AB .
1 用直尺和圆规作出 AB 所在圆的圆心 O； ( 要求保留作图痕迹，不写作法 ) 2 若 AB 的中点 C 到弦 AB 的距离为 20m，AB 80m ，求 AB 所在圆的半径．
【答案】(1)见解析；（2）50m 【解析】
分析： 1 连结 AC、BC，分别作 AC 和 BC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点 O，如
图 1；
2 连接 OA，OC，OC 交 AB 于 D，如图 2，根据垂径定理的推论，由 C 为 AB 的中点得
到 OC AB，AD BD 1 AB 40 ，则 CD 20，设 O 的半径为 r，在 Rt OAD 2
（2）当⊙O 的半径为 5， sin DBA 2 时，求 EF 的长. 5
【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为 21 2
【解析】 试题分析：（1）连接 OB，利用已知条件和切线的性质证明； （2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.
试题解析：（1）连接 OB， ∵ CD 为⊙O 的直径 ， CBD CBO OBD 90.
（3）如图 3，连接 OG，连接 AD，
∵ BG∥ DF，
∴ ∠ CBG=∠ CDF=30°，
∵ AB=AC，
∴ ∠ ABC=∠ C=75°，
∴ ∠ OBG=75°﹣30°=45°，
∵ OG=OB，
∴ ∠ OGB=∠ OBG=45°，
∴ ∠ BOG=90°，
∴
BG
的长度= 90 8 180
=4π．
【点睛】 本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式 等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
宁波中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练
一、圆的综合
1．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距
离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相
切．以此类推，如图 1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形
（性质探究）如图 1，试探究圆外切四边形的 ABCD 两组对边 AB，CD 与 BC，AD 之间的数
【答案】（1）证明见解析（2）8-4 3 （3）4π
【解析】 【分析】 （1）如图 1，连接 AD，OD，由 AB 为⊙O 的直径，可得 AD⊥BC，再根据 AB=AC，可得 BD=DC，再根据 OA=OB，则可得 OD∥ AC，继而可得 DE⊥OD，问题得证；
（2）如图 2，连接 BF，根据已知可推导得出 DE= 1 BF，CE=EF，根据∠ A=30°，AB=16，可 2
【解析】 【分析】 首先利用三边及⊙O 的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出 AB+AD=13，然后利 用切线的性质求出 BD 的长即可解答. 【详解】 设⊙O 分别切△ ABD 的边 AD、AB、BD 于点 G、E、F； 平行四边形 ABCD 的面积为 S；
则 S=2S△ ABD=2× 1 (AB·OE+BD·OF+AD·OG)= 3 （AB+AD+BD）； 2
∵ 平行四边形 ABCD 的周长为 26， ∴ AB+AD=13，
∴ S= 3 (13+BD)；连接 OA；
由题意得：∠ OAE=30°， ∴ AG=AE=3；同理可证 DF=DG，BF=BE； ∴ DF+BF=DG+BE=13﹣3﹣3=7， 即 BD=7，
∴ S= 3 （13+7）=20 3 ． 即平行四边形 ABCD 的面积为 20 3 ．
（3）连接 OD,交 AC 于 H.简要思路如下：设 OH 为 1，则 BC 为 2，OB=OD= 2 ， DH= 2 1, 然后根据相似三角形的性质可求解.
试题解析：（1）∵ D 是 的中点 ∴ AD=DC ∴ ∠ CBD=∠ ABD ∴ BD 平分∠ ABC （2）提示：延长 BC 与 AD 相交于点 F, 证明△ BCE≌ △ ACF, BE=AF=2AD
3．如图，已知△ ABC 中，AB=AC，∠ A=30°，AB=16，以 AB 为直径的⊙O 与 BC 边相交于点 D，与 AC 交于点 F，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求 CE 的长； （3）过点 B 作 BG∥ DF，交⊙O 于点 G，求弧 BG 的长．
得 BF=8，继而得 DE=4，由 DE 为⊙O 的切线，可得 ED2=EF•AE，即 42=CE•（16﹣CE），继 而可求得 CE 长； （3）如图 3，连接 OG，连接 AD，由 BG∥ DF，可得∠ CBG=∠ CDF=30°，再根据 AB=AC，可 推导得出∠ OBG=45°，由 OG=OB，可得∠ OGB=45°，从而可得∠ BOG=90°，根据弧长公式即
此时 DM 与⊙O 的位置关系是相离；
③∵ AD=8，直径的长度相等，∴ 当 DM 与⊙O 相切时，点 D 在⊙O 上，故此时可得 α=∠ NAD=90°．
点睛：此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含 30°角的直角 三角形进行计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点 D 的位置，有一定难度． 6．如图，CD 为⊙O 的直径，点 B 在⊙O 上，连接 BC、BD，过点 B 的切线 AE 与 CD 的延长 线交于点 A，∠AEO ∠C ，OE 交 BC 于点 F. （1）求证：OE∥ BD；
②∵ 圆外切四边形 ABCD，∴ AB+CD=AD+BC． ∵ AB=12，CD=8，∴ AD+BC=12+8=20，∴ 四边形的周长是 AB+CD+AD+BC=20+20=40． 故答案为：40； ③∵ 相邻的三条边的比为 5：4：7，∴ 设此三边为 5x，4x，7x，根据圆外切四边形的性质 得：第四边为 5x+7x﹣4x=8x． ∵ 圆外切四边形的周长为 48cm，∴ 4x+5x+7x+8x=24x=48，∴ x=2，∴ 此四边形的四边为 4x=8cm，5x=10cm，7x=14cm，8x=16cm．
中利用勾股定理得到 r2 (r 20)2 402 ，然后解方程即可．
详解： 1 如图 1，
点 O 为所Βιβλιοθήκη Baidu；
2 连接 OA，OC，OC 交 AB 于 D，如图 2，
C 为 AB 的中点， OC AB ， AD BD 1 AB 40 ，
2 设 O 的半径为 r，则 OA r，OD OD CD r 20， 在 Rt OAD 中， OA2 OD2 AD2 ， r2 (r 20)2 402 ，解得 r 50 ， 即 AB 所在圆的半径是 50m．
∵ AB 为⊙O 的直径，
∴ ∠ AFB=90°，
∴ BF∥ DE，
∵ CD=BD，
∴ DE= 1 BF，CE=EF， 2
∵ ∠ A=30°，AB=16，
∴ BF=8，
∴ DE=4，
∵ DE 为⊙O 的切线，
∴ ED2=EF•AE，
∴ 42=CE•（16﹣CE），
∴ CE=8﹣4 3 ，CE=8+4 3 （不合题意舍去）；
（2）①连接 OA、OF，由题意得，∠ NAD=30°，∠ DAM=30°，故可得∠ OAM=30°， ∠ DAM=30°，则∠ OAF=60°，又∵ OA=OF，∴ △ OAF 是等边三角形，∵ OA=4，∴ AF=OA=4；
②连接 B'F，此时∠ NAD=60°，∵ AB'=8，∠ DAM=30°，∴ AF=AB'cos∠ DAM=8× =4 ；
可求得 BG 的长度.
【详解】 （1）如图 1，连接 AD，OD； ∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠ ADB=90°，即 AD⊥BC， ∵ AB=AC， ∴ BD=DC， ∵ OA=OB， ∴ OD∥ AC， ∵ DE⊥AC， ∴ DE⊥OD， ∴ ∠ ODE=∠ DEA=90°， ∴ DE 为⊙O 的切线； （2）如图 2，连接 BF，
②当 α=60°时，求出线段 AF 的长；判断此时 DM 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
③当 α=
°时，DM 与⊙O 相切．
【答案】（1）2 （2）①2②2 ，相离③当 α=90°时，DM 与⊙O 相切 【解析】（1）连接 BE，∵ AC 是正方形 ABCD 的对角线，∴ ∠ BAC=45°，∴ △ AEB 是等腰直 角三角形，又∵ AB=8，∴ AE=4 ；
（3）连接 OD,交 AC 于 H.简要思路如下：
设 OH 为 1，则 BC 为 2，OB=OD= 2 ，
DE DH DH= 2 1, BE = BC
DE
=
2 1
BE 2
5．如图 1，以边长为 4 的正方形纸片 ABCD 的边 AB 为直径作⊙O，交对角线 AC 于点 E．
（1）图 1 中，线段 AE=
；
（2）如图 2，在图 1 的基础上，以点 A 为端点作∠ DAM=30°，交 CD 于点 M，沿 AM 将四
边形 ABCM 剪掉，使 Rt△ ADM 绕点 A 逆时针旋转（如图 3），设旋转角为 α（0°＜α＜
150°），在旋转过程中 AD 与⊙O 交于点 F．
①当 α=30°时，请求出线段 AF 的长；
4．如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是 的中点，D 是 的中点，AC 与 BD 相交于点 E.
（1）求证：BD 平分∠ ABC； （2）求证：BE=2AD；
（3）求 DE 的值. BE
【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3） 2 1 2
【解析】 试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦 AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角 的性质求解即可； （2）延长 BC 与 AD 相交于点 F, 证明△ BCE≌ △ ACF, 根据全等三角形的性质可得 BE=AF=2AD；
【点睛】 本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩 形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关 键．
2．已知▱ABCD 的周长为 26，∠ ABC=120°，BD 为一条对角线，⊙O 内切于△ ABD，E，F，G
为切点，已知⊙O 的半径为 3 ．求▱ABCD 的面积． 【答案】20 3
量关系
猜想结论：
（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（利用图 1，写出已知、求证、证明）
（性质应用）
①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形
（填序号）
A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形
②如图 2，圆外切四边形 ABCD，且 AB=12，CD=8，则四边形的周长是
．
③圆外切四边形的周长为 48cm，相邻的三条边的比为 5：4：7，求四边形各边的长．