弹性理论基础答案
【篇一：弹性力学基础习题答案nnnn1】
/p> 2.1计算：(1)?pi?iq?qj?jk，(2)epqieijkajk，(3)eijpeklpbkiblj。解：(1)?pi?iq?qj?jk
(2)epqieijkajk
2.2证明：若aij
(3)eijpeklpbkiblj
??pq?qj?jk??pj?jk??pk;
?(?ik?jl??il?jk)bkiblj?biibjj?bjibij。
?(?pj?qk??pk?qj)ajk?apq?aqp;
?aji，则eijkajk?0。
证：2eijkajk?eijkajk?eikjakj?eijkajk?eijkakj?eijkajk?eijkajk?0。
2.3设a、b和c是三个矢量，试证明：
a?aa?ba?c
b?ab?bb?c?[a,b,c]2 c?ac?bc?c
a?aa?ba?caiaiaibiaicia1a2a3a1b1c1
2
证：b?ab?bb?c?biaibibibici?b1b2b3a2b2c2?[a,b,c]。
c?ac?bc?cciaicibicicic1c2c3a3b3c3
2.4设a、b、c和d是四个矢量，证明：
(a?b)?(c?d)?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c)
证：
(a?b)?(c?d)?aibjeijkek?cldmelmnen?aibjcldmeijkelmk ?aibjcld m(?il?jm??im?jl)?(aici)(bjdj)?(aidi)(bjcj) ?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c )。
2.5设有矢量u?uiei。原坐标系绕z轴转动?系，如图2.4所示。试
求矢量u在新坐标系中的分量。
解：?1?1?cos?，?1?2?sin?，?1?3?0，?2?1??sin?，?2?2?cos ?，?2?3?0，?3?1?0，?3?2?0，?3?3?1。
u1???1?iui?u1cos??u2sin?，
图2.4
1
u2???2?iui??u1sin??u2cos?，
u3???3?iui?u3。
2.6设有二阶张量t?tijei?ej。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量t在新坐标系
中的分量t1?1?、t1?2?、t1?3?和t3?3?。解：变换系数同上题。 t1?1???1?i?1?jtij?
t11?t222?t11?t222cos2??t12?t
212
sin2?， t1?2??t12?t21?t12?t21t?t
22cos2??22112
sin2?，
t1?3??t13cos??t23sin?， t3?3??t33。
2.7设有3n
个数ai1i2
???in
，对任意m阶张量bj1j2???jm
，定义
ci1i2???inj1j2???jm
?ai1i2
???in
bj1j2
???jm
若ci1i2???inj1j2???jm为n?m阶张量，试证明
ai1i2
???in
是n阶张量。
证：为书写简单起见，取n?2，m?2，则 cijkl?aijbkl，
在新坐标系中，有
ci?j?k?l??ai?j?bk?l?(a)
因为cijkl和bkl是张量，所以有
ci?j?k?l???i?i?j?j?k?k?l?lcijkl??i?i?j?jaij?k?k?l?lbkl??i?i?j?j aijbk?l?
比较上式和式(a)，得
(ai?j???i?i?j?jaij)bk?l??0
由于b是任意张量，故上式成立的充要条件是 ai?j???i?i?j?jaij
即aij是张量。 2.8设
a为二阶张量，试证明i??a?tra。
证：i??a?ei?ei??ajkej?ek=ajk(ei?ej)(ei?ek)=ajk?ij?ik=aii=tra。
2.9设a为矢量，a为二阶张量，试证明：
2
(1)a?a??(at?a)t，(2)a?a??(a?at)t 证：(1) ?(at?a)t
??(ajiei?ej?akek)t??(ajiei?akejknen)t
??ajnakejkiei?en
??(ajiakejknei?en)t (2) ?(a?at)t
?akek?ajnej?en?a?a。
??(aiei?akjej?ek)t??(akjaieijnen?ek)t
??(anjaieijken?ek)?anjen?aiejikek
?anjen?ej?aiei?a?a
2.10已知张量t具有矩阵
?123?
[t]??456?
?789???
求t的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。
解：t的对称部分具有矩阵
?135?
1 ([t]?[t]t)??357?， 2?579?
??
t的反对称部分具有矩阵
?0?1?2?
1 ([t]?[t]t)??10?1?。 2?210?
??
2.11已知二阶张量t的矩阵为
?3?10?[t]???130?
?001???
求t的特征值和特征矢量。
3???10解：?13??0?(1??)[(3??)2?1]?0
001??
由上式解得三个特征值为?1?4，?2?2，?3?1。
将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为
3
a11?e
2)，ae1+e2)，a3?e3。
2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：
a??i??m?m，b?m?n?n?m
