第 1 页 共 1 页 拓扑学 A 卷
注：一、二题答在试题上，三题答在答题纸上. 一、填空题（每小题2分，共20分）
1，实数空间R 的度量是 .
2，设X 是拓扑空间，则它的开集的个数最少为 . 3，拓扑学的中心任务是研究 .
4，设X ={ 0, 1}，拓扑ℑ={φ，{0}，X }，则 1 的邻域系为 .
5，R 是实数空间，A ={
1
n
}n Z +∈，则()d A = . 6，设X 是拓扑空间，A X ⊂，若()A ∂={2，3}，则('A ∂)= .
7，设{1,2,3,4}X =，拓扑{,{1},{2.3},}X φℑ=，{2,4}Y =，则Y
ℑ= .
8，平庸空间的任何一个商空间都是 空间.
9，设1C ，2C 是拓扑空间X 仅有的两个不同的连通分支，则12C C = .
10，设X 是拓扑空间，A X ⊂，A 的邻域的定义是 .
二、选择题（每小题4分，共32分）
1，下列（ ）不是R 中的开集.
A. [0, )+∞
B. (3,- 0)
C. (3,- 0) (0, )+∞
D. (,-∞ )+∞
2，设{,X a = }b ，则X 有（ ）个拓扑. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3，设X 是拓扑空间，D X ⊂，则下列关系正确的为（ ）.
A. ()d D D ⊂
B. D D ⊂
C. D D ⊂
D. ()D D ∂⊂
4，设X 是多于一点的平庸空间，{}i x 为X 中的序列，下列说法正确的是（ ）.
A. {}i x 不收敛
B. {}i x 收敛且极限唯一
C. {}i x 收敛但极限不唯一
D. {}i x 可能收敛也可能不收敛
5，设1{(,1)12}Y x x =-≤≤，2{(,1)}Y x x R =∈，3{(0,)}Y y y R =∈，下列（ ）是2R 的连通子集.
A . 12Y Y B. 23Y Y C. 31Y Y D. 123Y Y Y 6，设X 是离散拓扑空间，且{1,2,3}X =，则X 的连通分支的个数是（ ）.
A . 1 B. 2 C. 3 D. 4
7，下列（ ）可遗传.
A. 平庸空间
B. 连通空间
C. Lindeloff 空间
D. 4T 空间
8，设{1,2,3}X =，拓扑{,{1},{2.3},}X φℑ=，则(,)X ℑ不是（ ）.
A. 2A 空间
B. 可分空间
C. 1T 空间
D. 正则空间
三、证明题(每小题8分，共48分）
1，证明：仅含有有限个点的度量空间都是离散的度量空间.
2，设(,)X ℑ是拓扑空间，∞是任何一个不属于X 的元素, 令
{}X X *=∞ , {{}}{}A A φ*ℑ=∞∈ℑ .
证明: (,)X *
*
ℑ是拓扑空间.
3，设X , Y 是拓扑空间，证明：积空间X Y ⨯同肧于积空间Y X ⨯.
4，设Y 是多于一个点的离散空间，证明：若X 为连通空间，则每一个连续映射
:f X Y →都是常值映射。
5，设X 是一不可数集，拓扑{'u X u ℑ=⊂可数}{}φ . 证明：(,)X ℑ不是1A 空间.
6，设X 是0T 空间，Y 是拓扑空间. 证明：如果:f X Y →为同肧映射, 则Y 也是0T 空间.
