边界条件对电磁波的影响
摘要：本文主要讨论平面边界条件对电磁波的作用。
开篇指出了研究本课题的背景及其相关概念；接着便列出了亥姆霍兹方程在直角坐标系当中的通解形式；然后讨论了无边界条件的电磁波的形式；接着讨论了边界条件与约束，这部分主要从三个方面讨论，即两平行导体面、矩形波导（四个导体平面）、谐振腔（六个导体平面）对电磁波的振幅、波矢的影响。
重点阐述了边界条件也就是约束对电磁波波形的影响；最后对计算结果进行分析得出结论从而引申到社会意义。
关键词：边界；电磁波；振幅；波长；电磁振荡
0 引言
边界条件在物理学中至关重要的作用，能够解决物理学中的很多问题，同时在数学计算中也有特别重要的作用。
由无界（没有边界）空间中的电磁波和导体中的电磁波可以知道电磁波主要是在绝缘介质中或者是在除了导体之外的空间中传播，只有非常非常小的一部分电磁能量能够进入导体的表层中。
在理想导体（电容率→∞）极限的前提条件下，电磁波就完全的被导体反射了，几乎就没有渗入导体的内部。
所以，导体的表层很明显就组成电磁波存在的界限。
这一种有边界的空间中传播的电磁波有着它自己独有的特点，并且非常广泛地运用于特别多的关于无线电技术以及其它技术的现实问题中，比如在有关微波的技术当中，就会经常的用到波导来进行电磁能量的传播。
波导以中空金属管的形式存在，电磁波在波导管内的空间进行传输，而金属的管壁又是电磁场存在的屏障又牵制着波导管内电磁波的固有形式或形状。
再比如在一些高频技术当中经常会用到谐振腔来形成特定频率的电磁振荡。
谐振腔以中空金属腔的形式存在，电磁波在谐振腔里以一定的频率进行振荡。
导体表面的边界条件在这种有界限的电磁波传播问题当中起着非常重要的作用。
而这种传播问题属于边界问题，在这一类问题所以，分析平面导体的边界条件对电磁波振幅、波矢的影响是有着特别重要的作用。
随着人们对电磁波的研究的愈来愈深入，电磁波在生活中应用的也越来越广泛。
就比如光学谐振腔可以看做是光波在谐振腔内进行往返反射因此能够提供光能进行反馈的空腔。
激光器的非常重要的一些部分，通常是用两块与工作介质的轴线相互垂直的平面反射镜或者是凹球面组成。
比如在高频技术当中经常会用到谐振腔来产生一些具有特殊频率的电磁振荡。
再比如超导谐振腔有着非常低的射频损耗,因此在很多的场合当中,它都有着潜在的使用价值,由超导材料制作的射频超导谐振腔(我们简单的把它叫做超导腔) ,在超导的状态下拥有表层上损耗小、电阻较低、品质因数高的特点。
波导，原来的意思其实就是指一种可以在可见光的波段中或在微波中能够进行传输电磁波的装置，广泛的在雷达、无线电通讯和导航等多种无线电领域中应用。
一般情况而言，波导专门指的是各类类型的空心的金属波导管和表层波波导，传输的电磁波将金属波导管完全的禁锢在了金属管内，又称作封闭波导；引导的电磁波则是被表面波波导束缚在了波导结构的周围，又称作开波导。
波导在控制中的应用（即波导开关）普遍的用在了电子系统的微波发射设备和微波测控过程当中。
谐振腔的作用是选择具有一致方向、特定频率的光作为最优先的放大，而抑制其他方向和频率的光。
1 直角坐标系当中亥姆霍兹方程的通解
在一起考虑存在依赖时间和空间的偏微分方程的物理问题的研究之中经常会出现亥姆霍兹方程。
因为亥姆霍兹方程和波动方程的关系，它会出现在物理学中的一些关于地震学、
电磁辐射和声学研究等领域里。
比如:电磁场中的 220E k E ∇+= (1.1) 220H k H ∇+= (1.2) 叫做是齐次亥姆霍兹方程。
这时候，根据麦克斯韦方程组，有: E i B ω∇⨯= (1.3) B i E E ωμεσμ∇⨯=-+ (1.4)
亥姆霍兹对(1.3)这个式子两边求旋度，然后考虑到(1.4)式，即可求得亥姆霍兹方程。
其中 :22k i σμωεω
=+为波数，当忽略传导电流时(也就是忽略(1.4)中E σμ项)，此时22k μεω=。
有的书上是具有22()k f ψ∇+=这种形式的双曲型偏微分方程。
式子中2∇称作拉普拉斯算子；ψ是待求的函数;2k 是常数;f 是源函数。
当f 等于零的时候就称作是齐次的亥姆霍兹方程;f 不等于零的时候就称作是非齐次的亥姆霍兹方程。
在电磁学当中，当这个函数随时间作简谐运动的时候,波动方程就变作了亥姆霍兹方程。
①在一维的问题当中，亥姆霍兹方程表示成：()()0222=+x E k x E dx d ； 这时它的通解表示为：()ikx x e E x E 0 =； 如果加上时间因子为：()t kx i x e E t E ω-=0),x （ ②在三维的问题当中，亥姆霍兹方程表示成：()()0r r 22=+∇ E k E 这时它的通解表示为：()()()()r ik e z E y E x E r E =； 如果加上时间因子为:()()()()()t i e z E y E x E r E ω-=r k
2 边界条件与约束
在讨论约束之前，先来看一下没有边界限制空间中的电磁波形式，在没有边界限制的空间当中，电磁波最最基础的存在方式便是平面电磁波，这种平面电磁波的磁场和电场都做的是横向振荡，这就是所谓的横电磁波（TEM )。
在没有电流和电荷分布的自由空间当中电
磁场的运动形式为： 0t
10122222222=∂∂-∇=∂∂-∇B c B t E c E 由导体当中的电磁波和没有界限空间中的电磁波可以知道电磁波主要是在绝缘介质内或者是在导体以外的空间中传播，只是非常非常小的一部分电磁能量渗入到了导体的表层里面。
在理想导体（电容率→∞）的极端前提下，电磁波就完全的被导体反射了，渗入导体的穿透深度几乎就等于零（几乎没有渗进去）。
因此，导体的表层就很自然的组成了电磁波存在的边界。
现在我们可以讨论导体表面的边界条件。
令1表示的是理想导体，2表示的是真空或者绝缘介质。
法线由导体指向介质中。
在理想导体下，导体的里面几乎没有电磁场的存在（应该说是导体内部足够深处实际上已经没有电磁场了）。
因此，就省略了角标为2的那一项，有110E H ==，用E 和H
表示介质一面处的场强，则存在着这样的边界条件： n e 0E ⨯= (2.0-1) n e H α⨯= (2.0-2)
如果这两个条件都满足后，另外两个条件：
x
y z a b
n e D σ∙=
(2.0-3)
0e n =∙B (2.0-4) 自然就满足了。
所以，在解出导体的边界问题时，只需要加上 (2.0-1)和(2.0-2)式。
条件(2.0-2)反映的是介质中导体表面上的高频电流与电磁波磁场强度的相互关系。
在解出介质中的电磁波以后，由这个式子就可以得到导体表面的电流的分布形式和特点。
所以说实际上真正影响着电磁波存在形式的是(2.0-1)式。
亥姆霍兹方程的通解加上条件0=∙∇E ,再加上(2.0-1)和(2.0-2)这两个边界条件以后，就得到这个边界问题的解。
综上，理想导体表面的边界条件可以形象的描述为：在导体的表层上，电场线和边界面正交，磁感应线和边界面相切，我们大家都可以用这个规律来考虑这种边界问题当中电磁波的图像的问题。
2.1平行的无限大导体平面
设两个导体面与y 轴垂直。
边界条件为两导体平面上：
0==z x E E 0=y H (2.1-1)
如果沿z 轴方向传播的电场沿着y 轴方向上偏振，那么这个平面波就进一步满足了导体板上的边界条件，从而能够在两个导体板的中间传播。
然而还有其他一种偏振的平面电磁波（E 和导体面进行相切）并不能完全满足以上的这些边界条件，因此就不能够在导体面之间存在传输了。
所以在这两个导体板之间能且只能传播一种偏振的横电磁波，也就是说只有一种确定的形式。
如果电磁波沿着z 轴的方向传播，根据理想导体的两个边界条件：①在理想导体的表面
上，电场线与导体的表层平行，磁场线则是和导体的表面垂直；②在导体的表面有0n n
E ∂=∂。
说明了电场强度沿着y 轴的方向，而磁场方向则是沿着x 轴的方向。
有： ()()()t z k i t z k i y z z e B B e e E E ωω---==x 00e
ˆˆ (2.1-2) 综上，我们可以发现：平行的无限大导体平面的电磁波形式跟没有边界条件的电磁波的形式是一样的，只是E 和k 值有了一定的约束。
2.2 波导
在微波（厘米波）的传输当中，为了减少传输过程当中可能的耗损及阻止电磁波向外面显露，传输电磁波能量经常会采用空心的金属管作为它的导波装置来运作，这就是我们常常所说的波导。
低频的电力系统经常用双线传输。
当频率变得高时，为了避免周围环境对电磁波的干扰以及电磁波向外面辐射的损耗，这时候就可以用同轴的传输线。
中空的导体管以及芯线组成了同轴的传输线，电磁波就在这两个导体之间的介质当中传播。
当频率变得更高的时候，内导线的焦耳损耗以及介质当中的热损耗就会变得更加严重，这时候就得用波导来替代同轴的传输线。
波导以一根空心的金属管形式存在，而它的截面形式常常就是矩形或者是圆形。
波导的传输适用于微波范围。
接下来我们大家一起来求解一下矩形波导内的电磁波解。
首先选择一个直角坐标系，如图所示，令波导的内壁面分别为0x =和x a =，0y =和y b =，这时候的z 轴是沿着传播方向的。
在一定的频率下，波导管管内的电磁波形式就是亥姆霍兹方程的形式，即
022=+∇E k E （2.2-1） μεω
=k （2.2-2）
满足条件0E ∇∙=
的解。
这个解在管壁上还需要同时符合以下的边界条件，也就是n e E 0⨯= 在切向的分量为零。
由于电磁波是在z 轴的方向上传播，所以它可能有传播因子z ik z i t e ω-。
所以，我们可以把电场E 取为： ()()z ik z e y x E z y E ,,,x = （2.2-3） 代入（2.2-1）式得 ()()
()0,,x 222222=-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x E k k y x E y z
用直角坐标分离变量，设()()()y Y x X y x u =, （2.2-4） （2.2-4）式可以分解成两个方程： 0222=+X k dx
X d x (2.2-5)
0d 222=+Y k dy
Y y (2.2-6) 22z 22k k k k y x =++ (2.2-7)
解上式，得到(),u x y 的特解：
()()()y k D y k C x k D x k C y x u y y x x sin cos sin cos ,2211++= (2.2-8)
1C ,1D ,2C 和2D 都是任意的常数。
当(),u x y 具体表示为E 的某一个特定的分量时，考虑
到这些边界条件：n e E 0⨯= 和n 0E n
∂=∂仍旧可以对这些常数进行一些限定。
例如边界条件是：y 0z E E ==，x 0E x
∂=∂(0,x a =) x 0z E E ==, y 0E y
∂=∂(0,y b =) (2.2-9) 由0x =和0y =面上的边界条件可以得到：
z ik y x x z ye k x k A E sin cos 1=
z ik y x z ye k x k A E cos sin 2y =
(2.2-10)
z ik y x z z ye k x k A E sin sin 3= 再者考虑到x a =和y b =这些面上的边界条件，就能够知道k x a 和y k b 必须为π的整数倍，也就是 m k x a π=，n y k b π=（,0,1,2......m n =） (2.2-11) m 和n 分别代表的是沿矩形两边的半波数目。
对解(2.2-10)式还必须加上一个条件0E ∇∙= 。
由这个条件可以得出：
1230x y z k A k A ik A +-= (2.2-12)
所以，在1A ，2A 和3A 这三者当中只有两个是单独存在的，也就是对于每一组（
,m n ）的值，都会有两种相互独立的波模。
在解出E 的值后，磁场H 由:
i i B E E k
μεω=-∇⨯=-⨯ (2.2-13) 给出:
i H E ωμ
=-∇⨯ (2.2-13) 由(2.2-12)这个式子，对于已经确定了的（,m n ）值，如果我们选择一种波模具有z 0E =，那么这个波模12y x
k A A k =-就可以全部的肯定了，所以其他一种波模必须得有z 0E ≠的条件。
由(2.2-13)式可以看出来，对于0z E =的波模，z 0H ≠。
因此，在波导内部传播的波有如下的特点：电场E 和磁场H 不能同时为横波。
我们为了方便区分经常就会选择一种波模为0z E =的波，叫做横电波（TE ），另一种波模为0z H =的波，叫做横磁波(TM ）。
TE 波和TM 波又按照（,m n ）值的不同而分为mn TE 波和mn TM 波。
通常而言，在波导当中这些波是可以叠加的。
综上，在波导管管中不可能同时存在着横电波（TE 波）和横磁波（TM 波），并且在波导管中，电磁波走的是折线。
此时电磁波的形式已不是固定形式，这时候的振幅是变化的，可以看作是这些波的叠加。
2.3 谐振腔
谐振腔是一种电子元器件。
用于产生振荡的电磁波。
从数学的角度来讲，是处理六个平面的约束问题。
在谐振腔的内部，电磁波不可能传播，却可以产生与谐振腔的几何尺寸有关的特定频率的电磁波。
在微波段经常使用。
接下来让我们一起研究一下矩形谐振腔内的电磁振荡。
如图，我们取金属壁的内表面分别是0x =和x =面1L ,0y =和2y L =面和0z =和3z L =面。
我们可以发现谐振腔内的电磁波的磁场和电场的任意一个直角分量都满足亥姆霍兹方程。
设(),,u x y z 为E 和H 的任意一个直角分量，有：
22k 0u u ∇+= （2.3-1）
z
x y
用分离变量法，令()()()(),,y u x y z X x Y Z z =
（2.3-2）
（2.3-1）式分解为三个常微分方程 1l 2
l 3l
0222=+X k dx
X d x （2.3-3） 0d 222=+Y k dy
Y y （2.3-4） 0d 222=+Z k dz
Z z （2.3-5）
μεω
2222k =++z y x k k （2.3-6）
由（2.3-3）,（2.3-4）,和（2.3-5）的解得出(),,u x y z 的驻波解 ()()()()
112233,,cos sin cos sin cos sin x x y y z z u x y z C k x D k x C k y D k y C k z D k z =+++ （2.3-5）
式中i C ，i D 为任意常数。
把(),,u x y z 这个解细化为E 的各个分量时，结合边界条件
0n e E ⨯= 和n 0E n
∂=∂两个式子就可以得到关于这几个常数的一些限定。
考虑到边界条件：1.0x = 1x L = 0y z E E == x 0E x
∂=∂ 2.0y = 2y L = x 0z E E == 0y E y
∂=∂ (2.3-6) 3.0z = 3z L = 0y x E E == z E z
∂∂=0 可得
x 123cos sin sin sin cos sin sin sin cos x y z y x y z z x y z E A k x k y k z
E A k x k y k z E A k x k y k z
===
(2.3-7)
再者考虑到1x L =,2y L =,3z L =这些面上的边界条件，得到123,,x y z k L k L k L 这些必须为π的整数倍，即: 1x m k L π=，2y n k L π=，3
z p k L π= (,,0,1,2,3......m n p =) (2.3-8) ,,m n p 这三个字母分别各自代表着矩形三个边所含的半波数目。
(2.3-7)式中含有三个任意常数1A ,2A 和3
A .由方程0E ∇∙= ，它们之间应该满足的关系是： 123k 0x y z A k A k A ++= (2.3-9)
因此，1A ,2A 和3A 中只有两个是独立的。
经常令1A 和2A 独立变化，3A 则由1A 和2A 表示，
比如3个振幅分别为110,x z k A A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，和220,y z k A A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，。
由我们所学过的数学知识可以知道，这两个向量是线性无关的。
因此，任意一个电场的三个分量的振幅组成的不管是什么向量，都可以用上述两个向量的线性组合来表示。
当满足 (2.3-8)和 (2.3-9)式这两式时，(2.3-7)式代表的是谐振腔内的一种谐振波模，或者我们可以叫做它是谐振腔内电磁场的一种本征振荡，并且对于每一组（,,m n p )的值，都
有着两个相互独立的偏振波模。
谐振频率可由（2.3-4）和 (2.3-8)这两式得出： 222m 123np m n p L L L πωμε⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2.3-10)
mnp ω称为谐振腔的本征频率。
由(2.3-7)和(2.3-9)这两式，如果m,n,p 这三个当中有两个是零的时候，那么场强0E =。
若123L L L ≥≥,那么最低频率的谐振波模就是（1，1，0），它的谐振频率也就为： 1102212111f 2L L με=
+ (2.3-11) 相应的电磁波波长为: 1102212
211L L λ=+ (2.3-12） 我们可以知道这个波长与谐振腔的线度是属于同一个数量级的。
在微波技术当中我们就会经常的用到谐振腔的最低波模来产生一定频率的电磁振荡。
谐振腔即是六个面的约束，这时候她已经变形了，电磁波在里面只能振荡不能传播，当不同频率的电磁波进入谐振腔后，与谐振腔频率相同的电磁波能量最大，因此能够产生共振，从而就可以过滤出来。
3 结论
在理想导体平面内，也就是无边界的导体平面内E 、k 以及ω均是任意的（也就是说都是不确定的，没有一点点的限制）；
而在两个无限大的导体平面内，电磁波只有一种确定的形式，此时的E 和k 有着特定的取值，但是此时ω是不确定的，这种情况下稍微有些约束；在波导中（四个导体平面）此时的E 、k 和ω均已确定，有了确定的波形了，电磁波走的是折线，根据以上计算得出在波导管中不可能同时存在TE 和TM 波；谐振腔即是六个面的约束，由于约束过大，这种情况下的E 、k 和ω都已经固定，所以在谐振腔内部，电磁波只能振荡不能传播，却可以产生于谐振腔的几何尺寸有关的特定频率的电磁波。
当不同频率的电磁波进入谐振腔后，与谐振腔频率相同的电磁波能量最大，产生共振，从而被过滤出来。
这里就折射了我们生活中的一些现象，理想情况即无法，每个人都不受任何的约束，历史经验告诉我们这种情况下社会将会是一盘散沙，人类是不会进步的，只能停留在原始人的阶段；当有了一定的规章制度之后（两个面的约束)，人们在法律允许的范围之内行驶自己的权利履行一定的义务，社会明显井然有序了很多，进步了许多；四个面的约束换言之就是道德约束，明显比法律约束范围窄，但是每个人都在道德约束范围内做事，那很明显就是乌托邦、世外桃源，也就是共同富裕的社会主义社会；而如果一个人遵循了太多的条条框框，那他也将没有什么作为，因为他的思想早已被束缚了，不能创新，可当今社会必将是一个创新的社会，这种人迟早会被社会淘汰。
这篇论文表面上是在讨论平面边界条件对电磁波的影响，但它早已突破了我们科学知识的范围，它启迪了我们做人的一些道理，无规矩不成方圆，但反之任何事都得适度。
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The influence of boundary condition on electromagnetic wave Abstract:This article focuses on the role of plane boundary conditions of electromagnetic wave. First points out the research background of this topic and the related concepts; And then lists the helmholtz equation in rectangular coordinate system of the general solution form; Then discuss without boundary conditions of electromagnetic wave form; Then discusses the boundary conditions and constraints, this part mainly discussed from three aspects, namely, two parallel conductor surface, rectangular waveguide (four conductor plane), cavity (six conductor plane) affect the amplitude of electromagnetic wave, the wave vector. Expounds the boundary condition is the constraint on the influence of the electromagnetic wave; Finally analyze the results concluded thus extended to the social significance.
Key words:boundary；electromagnetic wave；amplitude；wavelength；electromagnetic oscillation
致谢：这大学四年的学习生活即将结束，在这里，我要感谢所有曾经教导和帮助过我的老师和同学们，他们在我成长过程中起了非常重要的作用。
这篇文章之所以能够完成，我要非常感谢我的导师对我的指导，她很耐心的给我讲解了我在论文完成过程当中的一系列问题，包括了一些非常低级的问题。
