2019-2020年九年级数学上册第28章圆28.5弧长和扇形面积的计算
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知|识|目|标
1．通过对扇形的认识，探索弧长公式及扇形的面积公式，能够利用公式计算弧长及扇形的面积．
2．通过对圆锥侧面展开图的探究，知道圆锥的侧面积和展开图扇形面积之间的关系，会计算圆锥的侧面积．
目标一掌握弧长及扇形面积的计算公式
例1 教材补充例题如图28－5－1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转120°至△A′B′C的位置，则点A经过的路线的长度是( )
图28－5－1
A.32π
3
B．4 3 C．8 D.
8π
3
【归纳总结】利用弧长公式解题的“三个步骤”
第一步：从问题中找出公式所涉及三个量(弧长、弧所对的圆心角、半径)中的两个；
第二步：把已知的两个量代入弧长公式；
第三步：求出公式中的未知量．
例2 教材补充例题如图28－5－2，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形BAD的面积为________．
图28－5－2
例3 教材补充例题如图28－5－3，点A ，B ，C 在⊙O 上．若∠BAC ＝45°，OB ＝2，则图中阴影部分的面积为( )
图28－5－3
A ．π－4 B.23π－1 C ．π－2 D.2π
3－2
【归纳总结】求图形面积的方法
求图形面积的方法一般有两种，规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则利用割补、旋转、平移等方法，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积或规则图形面积的和或差进行计算．
目标二 掌握圆锥的有关计算
例4 教材补充例题如图28－5－4，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥底面圆的直径是60 cm ，则这块扇形铁皮的半径是( )
图28－5－4
A ．40 cm
B ．50 cm
C ．60 cm
D ．80 cm
【归纳总结】圆锥和侧面展开图之间的“两个对应” (1)圆锥的母线与展开后扇形的半径对应； (2)展开后扇形的弧长与圆锥底面圆周长对应．
根据这两个对应关系列方程求解是解决这两者转换问题的主要方法．
知识点一 扇形的概念及弧长的计算公式
一条弧和__________________所组成的图形叫做扇形．
如图28－5－5，在⊙O 中，半径为r ，扇形AOB 的圆心角是n °，则AB ︵
的长度为________．
图28－5－5
知识点二 扇形的面积公式
若扇形的圆心角为n °，所在圆的半径为r ，则这个扇形的面积为______．若扇形的弧长为l ，则它的面积为________．
知识点三 圆锥的相关概念 1．有关的概念
(1)圆锥的母线：圆锥的顶点与______________的连线叫做圆锥的母线(如图28－5－6中的线段AB)．
(2)圆锥的高：圆锥的顶点与______________的线段叫做圆锥的高(如图28－5－6中的线段AO)．
图28－5－6
2．圆锥的侧面积和表面积
(1)圆锥的侧面展开图是________； (2)圆锥的表面积＝侧面积＋底面积．
已知扇形的圆心角为45°，半径长为12 cm ，求该扇形的弧长． 解：l ＝n πr 2
360＝45π×12
2
360
＝18π(cm )．
上面的解答过程正确吗？如果不正确，错在哪里？请你写出正确的解答过程．
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详解详析
【目标突破】
例1 D [解析] ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AC ＝2BC ＝4，
∴点A 经过的路线的长是120π×4180＝8π
3.
故选D.
例2 25 [解析] ∵正方形的边长为5，∴DB ︵的长为10，∴S 扇形BAD ＝12lr ＝1
2×10×5＝25.
例3 C [解析] ∵∠BAC＝45°，∴∠BOC ＝90°.∵OB ＝2，∴图中阴影部分的面积为S 扇形BOC －S △BOC ＝
90×22
×π360－1
2
OB·OC＝π－2.故选C. 例4 A [解析] 圆锥的底面周长为π×60＝60π(cm)，所以扇形的弧长为60π cm.根据扇形的弧长公式可得270πr
180
＝60π，解得r ＝40.
【总结反思】
[小结]
知识点一 经过这条弧端点的两条半径 n πr
180
知识点二 n πr 2
360 1
2
lr
知识点三 1.(1)底面圆周上任意一点 (2)底面圆心之间 2．(1)扇形
[反思] 解：不正确，混淆了弧长公式与扇形的面积公式． 正解：l ＝n πr 180＝45π×12
180＝3π(cm )．
