“建立概率模型”教学设计

2.2建立概率模型学习目标核心素养1.进一步掌握古典概型的概率计算公式．(重点)2．对于一个实际问题，尝试建立不同的概率模型来解决．(重点、难点)1.通过进一步运用古典概型的概率计算公式求解概率，提升数学运算素养．2．通过实际问题尝试建立不同的概率模型来解决，培养数学建模素养.由概率模型认识古典概型(1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．(2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．(3)树状图是进行列举的一种常用方法．思考：若一个试验是古典概型，它需要具备什么条件？[提示]若一个试验是古典概型，需具备以下两点：(1)有限性：首先判断试验的基本事件是否是有限个，若基本事件无限个，即不可数，则试验不是古典概型．(2)等可能性：其次考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则试验不是古典概型．1．一个家庭有两个小孩，则这两个小孩性别不同的概率为()A.34 B.12C.13 D.14B[这两个小孩的所有可能情况是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，共4种，其中性别不同的有两种，所以两个小孩性别不同的概率为24＝12.]2．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()A.112 B.512 C.712 D.56A[由题意知基本事件个数有12个，满足条件的基本事件个数就一个，故所求概率为P＝1 12.]3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56 B.25C.16 D.13A[先确定甲不输包含的基本事件，再根据概率公式计算．事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56.]4．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是()A．一定不会淋雨B．淋雨机会为3 4C．淋雨机会为12D．淋雨机会为14D[用A、B分别表示下雨和不下雨，用a、b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P＝1 4.]“有放回”与“不放回”的古典概型121连续取两次．(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．[解](1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件A由4个基本事件组成，因而P(A)＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝4 9.1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．[跟进训练]1．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是1 6.(1)求红色球的个数；(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲、乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．[解](1)设红色球有x个，依题意得x24＝16，解得x＝4，所以红色球有4个．(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，所以P(A)＝512.“有序”与“无序”问题察向上的点数．(1)求两数之积是6的倍数的概率；(2)设第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，y，则log x(2y)＝1的概率是多少？[解](1)此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由图①可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，所以P(A)＝1536＝512，即两数之积是6的倍数的概率为512.661218243036 551015202530 44812162024 3369121518 224681012 1123456积12345 6 (2)此问题中含有36个等可能基本事件，记“第一次，第二次抛掷向上的点数分别为x，y，且log x(2y)＝1”为事件B，则满足log x(2y)＝1的x，y有(2,1)，(4,2)，(6,3)三种情况，所以P(B)＝336＝112，即第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，y且满足log x(2y)＝1的概率是1 12.若问题与顺序有关，则(a1，a2)与(a2，a1)为两个不同的基本事件；若问题与顺序无关，则(a1，a2)与(a2，a1)表示同一个基本事件.[跟进训练]2．任意投掷两枚质地均匀，六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子．(1)求出现的点数相同的概率；(2)求出现的点数之和为奇数的概率．[解](1)任意投掷两枚骰子，由于骰子质地均匀，因此可以看成是等可能事件．其结果可表示为数组(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中i，j分别表示两枚骰子出现的点数，共有6×6＝36(种)，其中点数相同的数组为(i，i)(i＝1,2，…，6)，共有6种结果，故出现点数相同的概率为636＝16.(2)法一出现的点数之和为奇数由数组(奇，偶)、(偶，奇)组成(如(1,2)，(2,3)等)．由于每枚骰子的点数中有3个偶数，3个奇数，因此出现的点数之和为奇数的数组有3×3＋3×3＝18(个)，从而所求概率为1836＝12.法二由于每枚骰子的点数分奇、偶数各3个，而按第1枚、第2枚骰子出现的点数顺次写时有(奇数，奇数)、(奇数，偶数)、(偶数，奇数)、(偶数，偶数)这四种等可能结果，因此出现的点数之和为奇数的概率为24＝12.建立概率模型1．掷一粒均匀的骰子，若考虑向上的点数是多少，则这个随机试验的基本事件是什么？有多少个基本事件？其概率是多少？提示：基本事件为出现1,2,3,4,5,6点，共6个基本事件，这6个基本事件出现的可能性相同，其概率都为1 6.2．掷一粒均匀的骰子，若考虑向上的点数是奇数还是偶数，则这个随机试验的基本事件是什么？有多少个基本事件？其概率是多少？提示：基本事件为“向上的点数是奇数”和“向上的点数是偶数”，有2个基本事件，这2个基本事件是等可能性的，所以发生的概率都为0.5.3．在古典概型中，同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢？为什么？提示：不一定，因为一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验的结果)是人为规定的．只要基本事件的个数是有限的，每次试验只有一个基本事件出现，且发生是等可能的，就是一个古典概型．【例3】有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．[思路探究]用树形图表示所求事件的可能性，利用概率模型计算便可．[解]将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来，等可能基本事件共有24个．(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝1 24.(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝924＝38.(3)设事件C为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝824＝13.1．解答古典概型时，要抓住问题实质，建立合适的模型，以简化运算．2．本题属于对号入座问题，情况较为复杂，所包含的基本事件较多，为清楚地列举出所有可能的基本事件，可借助于树形图处理．[跟进训练]3．甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率．(1)甲在边上；(2)甲和乙都在边上；(3)甲和乙都不在边上．[解]利用树状图来列举基本事件，如图所示．由树状图可看出共有24个基本事件．(1)甲在边上有12种情形：(甲，乙，丙，丁), (甲，乙，丁，丙), (甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙), (甲，丁，乙，丙), (甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲), (丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲), (丁，乙，丙，甲), (丁，丙，乙，甲)，故甲在边上的概率为P＝1224＝12.(2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲，丙，丁，乙), (甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在边上的概率为P＝424＝16.(3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙), (丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P＝424＝16.对古典概型的认识一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，例如，在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验的基本事件只有两个：发芽、不发芽．而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，所以它不属于古典概型．又如，从规格直径为300±0.6 mm的一批合格产品中任意抽取一件，测量其直径d，测量值可能是从299.4 mm到300.6 mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个，因此这个试验也不属于古典概型.1．思考辨析(1)古典概型中所有的基本事件的个数是有限个．()(2)树状图是进行列举的一种常用方法．()(3)在建立概率模型时，所得的结果越少，问题越复杂．()(4)计算基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数时，所选择的观察角度必须统一．() [解析](1)√，由古典概型的特征知(1)正确．(2)√，用树状图进行列举直观形象．(3)×，结果越多问题就越复杂．(4)√，由古典概型的概率公式易知正确．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．甲、乙两人随意入住两间空房，则两人各住一间房的概率是________．12[设两间房分别为A，B，则基本事件有(A，A)，(A，B)，(B，A)，(B，B)共计4种，则两人各住一间房包含(A，B)，(B，A)两个基本事件，故所求概率为1 2.]3．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取一张卡片，则取得的卡号是7的倍数的概率是________．750[7的倍数用7n(n∈N＋)表示，则7n≤100，解得n≤1427，即在100以内有14个数是7的倍数，所以概率为14100＝750.]4．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，(1)从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)若有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．[解](1)设取出的2只球颜色不同为事件A.基本事件有(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)共6种，事件A包含5种，故P(A)＝5 6.(2)设两次取得球的颜色相同为事件B.基本事件有(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种，故所求概率为P(B)＝616＝38.。

2．2 建立概率模型“放回〞与“不放回〞问题[典例] 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．(1)假设每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)假设每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．[解] (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰好有一件次品〞这一事件，那么A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成．因而P (A )＝46＝23. (2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品〞这一事件，那么B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对基本事件的总数是有影响的．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．[活学活用]口袋中有6个除颜色外其余都相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中一次任意取出2球，求以下事件的概率：(1)事件A ＝“取出的2球都是白球〞；(2)事件B ＝“取出的2球一个是白球，另一个是红球〞．解：设4个白球的编号分别为1,2,3,4,2个红球的编号分别为5,6.从口袋中的6个球中任取2个球的所有基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个基本事件．(1)从口袋中的6个球中任取2个，所取的2球全是白球包含的基本事件共6个，分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 所以取出的2个球全是白球的概率P (A )＝615＝25. (2)从口袋中的6个球中任取2个，其中一个是红球，而另一个是白球包含的基本事件共8个，分别是(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)．所以取出的2个球一个是白球，另一个是红球的概率P (B )＝815. 建立概率模型解决问题[典例] 甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求以下事件的概率：(1)甲在边上；(2)甲和乙都在边上；(3)甲和乙都不在边上．[解] 利用树状图来列举基本事件，如下图．由树状图可看出共有24个基本事件．(1)甲在边上有12种情形：(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)．故甲在边上的概率为P ＝1224＝12. (2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在边上的概率为P＝424＝1 6.(3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P＝424＝16.对于一些比较复杂的古典概型问题，一般可以通过分类，有序地把事件包含的情况分别罗列出来，从而清晰地找出满足条件的情况．在列举时一定要注意合理分类，才能做到不重不漏，结果明了，而树状图那么是解决此类问题的较好方法．[活学活用]有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．解：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如下图的图形表示出来．a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位由图可知，所有的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上〞，那么事件A 只包含1个基本事件，所以P (A )＝124. (2)设事件B 为“这四人恰好都没坐自己的席位上〞，那么事件B 包含9个基本事件，所以P (B )＝924＝38. (3)设事件C 为“这四人恰有一位坐在自己的席位上〞，那么事件C 包含8个基本事件，所以P (C )＝824＝13. 古典概型的综合应用[典例] A B C 从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区A B C 数量 50 150 100(1)求这6件样品中来自(2)假设在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．[解] (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2，那么抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区〞，那么事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}共4个．所以P (D )＝415.即这2件商品来自相同地区的概率为415.(1)概率问题常常与统计问题结合在一起考查，在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算． (2)涉及方程或者函数的有关概率问题，考查的是如何计算要求的事件A 所包含的基本事件的个数，通常需要将函数与方程的知识应用其中．解决此类问题，只需要利用函数、方程知识找出满足条件的参数的X 围，从而确定基本事件的个数，最后利用古典概型的概率计算公式进行计算．[活学活用]把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解的情况，解答以下各题：(1)求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正数解的概率．解：假设第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b 记为有序数值组(a ，b )，那么所有可能出现的结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)，(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)，(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，共36种．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b x ＝6－2b ，2a －b y ＝2a －3，(1)假设方程组只有一个解，那么b ≠2a ，满足b ＝2a 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故适合b ≠2a 的有36－3＝33个．其概率为：P 1＝3336＝1112. (2)方程组只有正数解，需满足b －2a ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6－2b 2a －b ＞0，y ＝2a －32a －b ＞0.分两种情况：当2a ＞b 时，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞32，b ＜3，当2a ＜b 时，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜32，b ＞3.易得包含的基本事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率P 2＝1336.[层级一 学业水平达标] 1．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，那么这两数之和等于4的概率是( ) A.23B.12C.13D.16解析：选C 从A ，B 中各任意取一个数记为(x ，y )，那么有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个基本事件．而这两数之和为4的有(2,2)，(3,1)，共2个基本事件．又从A ，B 中各任意取一个数的结果是等可能的，故所求的概率为26＝13. 2．某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课，那么体育课不排在第一节的概率为( )A.14B.13C.12D.34解析：选D 我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个基本事件，因此体育课不排在第一节的概率为34. 3．一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，假设第一次摸到的球的编号为x ，第二次摸到的球的编号为y ，构成数对(x ，y )，那么所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.316B.18C.118D.16 解析：选A 由题意可知两次摸球得到的所有数对(x ，y )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足xy ＝4的数对有(1,4)，(2,2)，(4,1)，共3个．故所求事件的概率为316. 4．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，那么他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：所有的基本事件有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)，共9种，其中颜色相同的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种，故所求的概率为39＝13. 答案：13[层级二 应试能力达标]对应配套卷P1011．从装有两个白球和一个红球的袋中逐个不放回地摸两个球，那么摸出的两个小球中恰有一个红球的概率为( )A.13B.23C.16D.12解析：选B 不放回地摸出两球共有6种情况，即(白1，红)，(白2，红)，(白1，白2)，(白2，白1)，(红，白1)，(红，白2)，而恰有一个红球的结果有4个．所以P ＝23. 2．在5X 卡片上分别写1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，那么得到的数能被2或5整除的概率是( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8解析：选C 一个数能否被2或5整除取决于个位数字，故可只考虑个位数字的情况．因为组成的五位数中，个位数共有1,2,3,4,5五种情况，其中个位数为2,4时能被2整除，个位数为5时能被5整除．故所求概率为P ＝35＝0.6. 3．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3,4}．假设|a －b |≤1，那么称甲、乙“心有灵犀〞．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀〞的概率为( )A.58B.18C.38D.14解析：选A 甲、乙所猜数字的情况有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16种情况，其中满足|a －b |≤1的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)共10种情况，故所求概率为1016＝58. 4．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，那么所得的两条直线相互垂直的概率是( )A.318B.418C.518D.618 解析：选C 正方形四个顶点可以确定6条直线，甲、乙各自任选一条共有36个基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，其包括10个基本事件，所以所求概率等于1036＝518. 5.如下图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，那么甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．解析：从图中的数据知甲组数据的平均数为88＋89＋90＋91＋925＝90. 假设甲、乙两组平均数相等，那么有90×5－(83＋83＋87＋99)＝98.假设甲组的平均成绩超过乙组的平均成绩，那么被污损的数字可为0,1，…，7，共8种情况，故其概率P ＝810＝45.答案：456．设集合P ＝{－2，－1,0,1,2}，x ∈P 且y ∈P ，那么点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为________．解析：以(x ，y )为基本事件，用列表法或坐标轴法可知满足x ∈P 且y ∈P 的基本事件有25个，且每个基本事件发生的可能性都相等．点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部，那么x ，y ∈{－1,1,0}，用列表法或坐标轴法可知满足x ∈{－1，1,0}且y ∈{－1,1,0}的基本事件有9个．所以点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为925. 答案：9257．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排合影，那么甲站在乙的左边的概率为________． 解析：我们不考虑丙、丁、戊具体站在什么位置，只考虑甲、乙的相对位置，只有甲站在乙的左边和甲站在乙的右边，共2个等可能发生的结果，因此甲站在乙的左边的概率为12. 答案：128．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，蓝色球3个．假设从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是16. (1)求红色球的个数；(2)假设将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率． 解：(1)设红色球有x 个，依题意得x 24＝16，解得x ＝4， ∴红色球有4个．(2)记“甲取出的球的编号比乙的大〞为事件A ，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．事件A 包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，∴P (A )＝512. 9．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量)[80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数(个) 5 10 20 15(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)由题意知苹果的样本总数n ＝50，在[90,95)的频数是20，∴苹果的重量在[90,95)的频率是2050＝0.4. (2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x 个，那么从重量在[95,100)的苹果中抽取(4－x )个．∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5,15，∴5∶15＝x ∶(4－x )，解得x ＝1.即重量在[80,85)的有1个．(3)在(2)中抽出的4个苹果中，重量在[80,85)中有1个，记为a ，重量在[95,100)中有3个，记为b 1，b 2，b 3，任取2个，有：ab 1，ab 2，ab 3，b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3，共6种不同方法．记基本事件总数为n ，那么n ＝6，其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A ，事件A 包含的基本事件为ab 1，ab 2，ab 3，共3个，由古典概型的概率计算公式得P (A )＝36＝12.10．某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．假设S ≤4, 那么该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5word11 / 11(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中， 随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中， 每件产品的综合指标S 都等于4〞， 求事件B 发生的概率．解：(1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为10＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，那么事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25.。

§2.2建立概率模型教学设计一、教材的地位和作用本节课是高中数学必修三第三章概率的第二节古典概率模型的第二课时，是在随机事件的概率之后，几何概率模型之前，学生对古典概率模型的特点有了初步的认识，对于同一个实验，建立不同的概率模型，培养学生发散思维能力，让学生体会数学文化价值，进一步深入的理解古典概率模型，为其它概率的学习奠定基础，加深对概率和随机事件的理解，体会随机事件和确定事件的不同，有利于解释生活中的一些问题。

二、学情分析：高一文科班学生，数学基础整体偏弱，其中有二十多名学生数学基础较差，优点在于学生听讲还比较认真，学习态度比较端正，因此在教学设计中，必须抓好基本概念，帮助学生理清概念内涵脉络，低起点，小步走，异步达标，对于培养优秀学生要通过课后训练来逐步实现，因此在课后配备古典概率模型核心素养检测试题。

三、教学目标1.知识与技能（1）进一步正确理解古典概率模型的两大特点，能从实际问题中识别和抽象出古典概率模型。

（2）会用列举法计算一些随机事件的基本事件及其发生的概率，进一步掌握古典概率模型的概率公式根据实际问题建立适当的概率模型解决简单的实际问题。

（3）会2.过程与方法（1）通过掷骰子问题的分析以及例2的学习，经历对同一个问题从不同的角度分析，建立不同的古典概率模型，感知应用数学解决问题的方法，发展学生提出问题，分析问题和解决问题的能力。

（2）通过模拟实验解决摸奖公平问题的过程，转化为例2用古典概率模型来解决问题，探究数学解决问题的方法。

（3）对于同一个实际问题，通过不同角度的思考，建立不同的概率模型，使问题的解决不断地简化，发展学生的发散思维能力，体验求简意识，发展学生批判性思维的能力。

3.情感态度价值观：通过本节课的学习，增强学生数学建模意识，树立学生数学应用意识，体会数学的应用价值与社会价值。

4.本节课程内容涉及的核心素养和数学文化：本节课的引入以生活中的抓阄摸奖为素材让学生体会数学源于生活，数学文化根植于我们的生活，本节课涉及到了数学建模意识（古典概率模型），数学应用、数学抽象和数学逻辑推理等。

建立概率模型日期：学习目标：能根据古典概型的特征建立概率模型来解简单的实际问题；重点难点：概率模型的建立；学习过程：一、自学课本，解决思考交流及课后练习；二、交流探究：1、在建立概率模型时，对把什么看作一个基本事件（即一个试验结果）有何要求？2、树状图有何用途？3、列举试验的所有基本事件时，应注意的问题是什么？对于试验的所有基本事件列举时应注意：（1）按合理的标准分类；（2）每一类按顺序将全部结果都列出来；（3）不重不漏；4、求事件A的概率P（A）的步骤为：（1）判断事件A是否为古典概型若是，则进行下列步骤；（2）求事件A的基本事件的总个数N；（3）求事件A中包含的基本事件的个数n；（4）求事件A的概率，即P（A）=nN；三、学以致用：1、从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是A、15B、25C、310D、7102、从2个男生和2个女生中挑选2人参加者智力竞赛，至少有一个女生参加的概率是A、16B、12C、13D、563、一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的8个球，从中有放回地每次取一个球，共取2 次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为A、132B、164C、332D、3644、从1，2，3，4，5这5个数字中任怪2个数字，则（1）这两个数字都是奇数的概率为；（2）这两个数字之和为偶数的概率为5、一个三位数字的密码锁，每位上的数字都在0到9这10个数字中任选，某人忘了密码的最后一个号码，那么此人开锁时，在对好前面两位密码后，随意拨动最后一个数字，恰好能开锁的概率是 ；6、为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况分别是：5，6，7，8，9，10。

把这6名学生的得分看成一个总体。

（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。

《建立概率模型》本节教材通过四种模型的所有可能结果数越来越少，调动起学生思考探究的兴趣，教师在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较，提高学生分析和解决问题的能力。

解决实际应用问题时，要转化为数学问题来解决，即建立数学模型，这是高中数学的重要内容之一，也是高考的必考内容，同样解决概率问题也要建立概率模型。

【知识与能力目标】根据需要会建立合理的概率模型解决一些实际问题，理解概率模型的特点及应用。

【过程与方法目标】经历用不同的模型及各种方法使学生能建立概率模型来解决实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】通过建立概率模型，培养学生的应用能力。

【教学重点】会应用所学的知识建立合理的概率模型。

【教学难点】古典概率模型的实际应用。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）,求（1）甲乙平局的概率；（2）甲赢的概率；（3）乙赢的概率。

设计意图:从生活实际切入，激发了学生的学习兴趣，又为新知作好铺垫。

二、研探新知，建构概念1.电子白板投影出上面实例。

甲乙甲乙甲乙锤子锤子锤子锤剪刀剪刀剪刀布剪刀布布布2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。

由概率模型认识古典概型(1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型。

(2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单。

(3)树状图是进行列举的一种常用方法。

设计意图:在自主探究，合作交流中构建新知，体验从不同的角度理解古典概型的特点，从而突出重点。

三、质疑答辩，发展思维1.举例：口袋里装有2个白球和2个黑球, 这4个球除颜色外完全相同, 4个人按顺序依次从中摸出一球, 试计算第二个人摸到白球的概率。

2010-2011学年度第二学期高一数学导学案 编号：043 班级： 姓名： 学习小组： 层级编码： 组内评价： 教师评价：1编制：张华 审核： 包科领导： 年级主任： 使用时间：§2.2 建立概率模型【学习目标】1. 能从生活实例中抽象出古典概型，建立模型求解。

2．建立概率模型求随机事件的概率，学会列举法、数形结合法计算概率。

3. 体会概率意义，培养建模意识，提高分析问题、解决问题的能力。

【重点.难点】重点：建立古典概率模型。

难点：准确建模并求解。

【使用说明与学法指导】1.结合问题导学，自学课本134-138页，用红色笔勾勒出疑惑点，独立完成探究题，并归纳总结；2.针对预习自学探究出的疑惑点，交流、讨论，解答疑惑；3.带*的为重点班c 层选做题。

【问题导学】1．下列试验属于古典概型吗？为什么？（1）任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件； （2）明天是否下雨；（3）在适宜条件下一粒种子是否发芽； （4）某时间段内某路段是否发生交通事故； （5）抛掷一枚骰子朝上的点是奇数点；（6）向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的； （7）3名学生排一排，甲、乙站在一起； （8）甲乙两人做出拳游戏（锤子，剪刀，布）2．具有（1） ；（2） ； 这样两个特点的概率模型称为古典概型。

3．古典概型的概率计算公式为P （A ）= 。

4．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，常用的方法是 。

5．有5根细木棒，长度分别为1，3，5，7，9（cm ），从中任取三根，能搭成三角形的概率是 。

6．一批产品有100个零件，其中5件次品，从中任意抽取一件产品，抽到次品的概率为 。

7．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是 。

【合作探究】1．甲乙丙三人中任选两名课代表，甲选中的概率为 。

2．3名学生排一排，甲乙不站在一起的概率为 。

2．2 建立概率模型错误!教学分析本节教科书通过例2的四种模型的所有可能结果数越来越少,调动起学生思考探究的兴趣；教师在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较，提高学生分析和解决问题的能力．三维目标1．使学生能建立概率模型来解决简单的实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力．2．通过学习建立概率模型,培养学生的应用能力．重点难点教学重点:建立古典概型．教学难点：建立古典概型．课时安排1课时错误!导入新课思路1。

计算事件发生概率的大小时，要建立概率模型，把什么看成一个基本事件是人为规定的．今天我们学习如何建立概率模型，教师点出课题．思路2。

解决实际应用问题时，要转化为数学问题来解决,即建立数学模型，这是高中数学的重点内容之一，也是高考的必考内容，同样解决概率问题也要建立概率模型，教师点出课题．推进新课错误!错误!1．回顾解应用题的步骤？2．什么样的概率属于古典概型？讨论结果：1.解应用题的一般程序：(1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系,这一关是基础．(2)建:将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型,正确进行建“模”是关键的一关．（3）解:求解数学模型,得到数学结论．一要充分注意数学模型中元素的实际意义,更要注意巧思妙作，优化过程．（4）答:将数学结论还原给实际问题的结果．2．同时满足以下两个条件的概率属于古典概型：(1)试验的所有基本事件只有有限个,每次试验只出现其中一个基本事件;（2)每一次试验中，每个基本事件出现的可能性相等．错误!思路1例口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球．试计算第二个人摸到白球的概率．分析：我们只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数．为此考虑用列举法列出所有可能结果．解法一：用A表示事件“第二个人摸到白球”．把2个白球编上序号1，2；2个黑球也编上序号1，2。

2018版高中数学第三章概率3.2.2 建立概率模型学案北师大版必修3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章概率3.2.2 建立概率模型学案北师大版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.2.2 建立概率模型1．进一步掌握古典概型的概率计算公式．(重点)2．对于一个实际问题,尝试建立不同的概率模型来解决．（重点、难点)［基础·初探］教材整理概率模型阅读教材P134～P137“思考交流”以上部分，完成下列问题．由概率模型认识古典概型（1）一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现,只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．（2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．(3）树状图是进行列举的一种常用方法．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1）古典概型中所有的基本事件的个数是有限个．（）(2)树状图是进行列举的一种常用方法．（）（3)在建立概率模型时，所得的结果越少,问题越复杂．( ）（4）计算基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数时，所选择的观察角度必须统一．( )【解析】(1)√，由古典概型的特征知（1)正确．(2)√,用树状图进行列举直观形象．（3)×，结果越多问题就越复杂．(4)√，由古典概型的概率公式易知正确．【答案】(1）√(2）√（3）×（4）√［小组合作型］“有放回”与“不放回”的古典概型.121【导学号：63580037】（1）若每次取出后不放回，连续取两次,求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2）若每次取出后又放回,求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．【精彩点拨】利用列举法列举出所有可能出现的事件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．【自主解答】(1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为（a1，a）,（a1,b1），(a2，a1),(a2，b1），(b1，a1），(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次2取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件,则A＝｛（a1,b1），(a2，b1)，(b1，a1),（b1，a2）}．事件A由4个基本事件组成．因而P（A)＝错误!＝错误!。

北师大版高中必修32.2建立概率模型课程设计一、教学目标1.了解概率模型的基本概念和性质2.掌握一些常见的离散型和连续型的概率模型3.学会利用概率模型分析和解决实际问题二、教学内容1. 概率模型的概念和分类（1）概率的概念：随机试验、样本空间、事件、概率（2）概率分布的分类：离散型概率模型、连续型概率模型2. 常见的概率模型（1）离散型概率模型：0-1分布、二项分布、泊松分布（2）连续型概率模型：正态分布、t分布、F分布、卡方分布3. 举例分析实际问题（1）利用0-1分布模型分析硬币抛掷问题（2）利用二项分布模型分析文本分类问题（3）利用正态分布模型分析身高体重问题三、教学重点和难点1.概率模型的概念和分类2.连续型概率模型的使用3.实际问题的分析和解决四、教学方法1.讲授法2.分组讨论3.案例分析4.实验操作五、教学过程1. 课堂讲授（1）概率模型的基本概念和性质（2）离散型概率模型的概念和性质（3）连续型概率模型的概念和性质（4）实际问题的分析和解决2. 分组讨论（1）根据老师布置的问题进行讨论（2）学生分成小组进行讨论，回答问题并给出解题过程3. 案例分析（1）老师给出一个实际问题（2）学生分析问题，并用所学的概率模型解决问题4. 实验操作（1）老师布置实验任务（2）学生在实验室中进行实验操作，并记录实验数据六、教学评价1. 学生自评（1）学生自拟题目，运用所学知识解决问题（2）学生总结所学内容，结合实际应用进行思考2. 老师评价（1）老师从作业和课堂表现等方面对学生进行评价（2）老师听取学生的意见，针对性改进教学方法七、教学资源1.教材：《高中数学32》2.教具：投影仪、电脑、台式计算机3.实验器材：数学实验室设备八、教学反思本次教学中，我注重思维方法的培养，提高学生的问题解决能力，鼓励学生思考和交流。

同时，我也发现学生对于概率模型应用较为生疏，需要更多的练习和示范。

在教学方法上，需要在课堂上更多地引导学生进行实验和案例分析，提高学生的动手能力。

高中数学概率模型讲解教案1. 了解概率的基本概念和性质；2. 掌握概率的计算方法；3. 能够运用概率模型解决实际问题。

教学重点：1. 概率的基本概念；2. 概率的计算方法；3. 概率模型的应用。

教学难点：1. 概率计算中的复杂问题；2. 概率模型的实际应用。

教学准备：1. 教师准备教案、教材和课件资料；2. 学生准备笔记、教材和课件资料。

教学过程：一、引言（5分钟）教师首先引入概率的概念，介绍概率在日常生活中的应用，并说明学习本节课内容的重要性。

二、概率的基本概念（15分钟）1. 定义概率；2. 概率的性质；3. 概率的计算公式。

三、概率的计算方法（20分钟）1.古典概率计算方法；2.几何概率计算方法；3.条件概率计算方法；4.事件独立性的概率计算方法。

四、概率模型的应用（20分钟）1. 掷骰子的概率计算；2. 抽取不同颜色球的概率计算；3. 生日悖论的概率计算。

五、练习与讨论（15分钟）教师布置几道概率计算题目，学生跟着思考并计算，然后进行讨论与答疑。

六、总结与评价（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并对学生的学习情况进行评价。

七、作业布置（5分钟）教师布置相关练习题目作业，以巩固本节课所学内容。

教学反思：本节课通过概率的基本概念介绍和计算方法讲解，引导学生了解概率的应用，并通过实例让学生掌握概率计算方法。

同时，通过练习与讨论，加深学生对概率模型的理解和应用能力。

在未来的教学中，可以结合更多实际问题，让学生通过实践应用概率模型解决实际问题，提高学生的综合素质和实践能力。

3.2.2 建立概率模型1．进一步掌握古典概型的概率计算公式．(重点) 2．对于一个实际问题，尝试建立不同的概率模型来解决．(重点、难点)[基础·初探]教材整理概率模型阅读教材P134～P137“思考交流”以上部分，完成下列问题．由概率模型认识古典概型(1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是，就是一个古典概型．等可能的去考虑一个实际问题，可以(2)从不同的角度来解决，而所古典概型将问题转化为不同的得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．(3)树状图是进行列举的一种常用方法．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)古典概型中所有的基本事件的个数是有限个．( )(2)树状图是进行列举的一种常用方法．( )(3)在建立概率模型时，所得的结果越少，问题越复杂．( )(4)计算基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数时，所选择的观察角度必须统一．( )【解析】(1)√，由古典概型的特征知(1)正确．(2)√，用树状图进行列举直观形象．(3)×，结果越多问题就越复杂．(4)√，由古典概型的概率公式易知正确．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√[小组合作型]121.【导学号：63580037】(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．【精彩点拨】 利用列举法列举出所有可能出现的事件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．【自主解答】 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成．因而P (A )＝46＝23. (2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取． 2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．[再练一题]1．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是16.。

2．2 建立概率模型学习目标 1.能建立概率模型解决简单的实际问题.2.能认识和理解对于同一个随机试验，可以根据需要来建立我们需要的概率模型.3.学会选用比较简单、适用的概率模型解决实际生活中有关概率的问题．知识点一基本事件的相对性思考掷一粒均匀的骰子，计算“向上的点数为奇数”的概率，可以怎样规定基本事件？梳理一般地，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是________，并且它们的发生是____________，就是一个古典概型．知识点二同一问题的不同概率模型思考在“知识点一”的思考中，规定不同的基本事件，“向上的点数为奇数”的概率分别是多少？相等吗？梳理从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的__________来解决，而所得到的________的所有可能结果越少，问题的解决就变得越________．类型一基本事件的相对性例1 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．反思与感悟“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．跟踪训练1 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．类型二概率模型的多角度构建例2 口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球．试计算第二个人摸到白球的概率．反思与感悟 当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果更利于模型的建立与解答．跟踪训练2 假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A 、C 、J 、K 、S ，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用，如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： (1)女孩K 得到一个职位； (2)女孩K 和S 各自得到一个职位．1．有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克，将牌正面向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为( ) A.35 B.25 C.15 D.452．某农科院在2×2的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( )A.23B.12C.16D.133．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )A.310B.112C.4564D.384．从甲、乙、丙、丁4名同学中选出3人参加数学竞赛，其中甲不被选中的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.345．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为________.1．对同一个概率问题，如果从不同的角度去考虑，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而得到古典概型的所有可能的结果越少，问题的解决就越简单．因而在平时的学习中要多积累从不同的角度解决问题的方法，逐步达到活用． 2．基本事件总数的确定方法：(1)列举法：此法适合于较简单的试验，就是把基本事件一一列举出来；(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求； (3)列表法：列表法也是列举法的一种，这种方法能够清楚地显示基本事件的总数，不会出现重复或遗漏；(4)分析法：分析法能解决基本事件总数较大的概率问题．3．在计算基本事件的总数时，由于分不清“有序”和“无序”，因而常常导致出现“重算”或“漏算”的错误．解决这一问题的有效方法是交换次序，看是否对结果有影响，并合理使用分步法．答案精析问题导学 知识点一思考 可以规定向上的点数为1,2,3,4,5,6共6个基本事件；也可以规定“向上的点数为奇数”、“向上的点数为偶数”共2个基本事件． 梳理有限的 等可能的 知识点二思考 若按6个基本事件，“向上的点数为奇数”有3个基本事件，故概率为36＝12；若按2个基本事件，则概率为12，两种方法结果相同．梳理古典概型 古典概型 简单 题型探究例1 解 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”，这一事件，所以A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．因为事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.跟踪训练1 解 设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A 包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个． (1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P (A )＝1890＝15.(2)有放回取球时，总的基本事件数为100，故P (A )＝18100＝950.例2 解 方法一 需要找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数．解题过程如下：用A 表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来如图：由图可知，试验的所有可能结果数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以，这24种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有12种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝1224＝12.方法二 把2个白球编上序号1、2，两个黑球也编上序号1、2,4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有可能的结果如图所示：由图可知，试验的所有结果数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有6种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝612＝12.方法三 由于4个球除颜色外完全相同，如果对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，4个人按顺序依次从袋中摸出一球，所有可能的结果如图所示：由图可知，试验的所有结果数是6，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这6种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有3种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝36＝12.方法四 只考虑第二个人摸出的球的情况．第二个人可能摸到口袋中的任何一个，共4种结果，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这4种结果出现的可能性相同，其中，摸到白球的结果有2种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝24＝12.跟踪训练2 解 5个人仅有3人被录用结果共有10种，如图所示，由于5个人被录用的机会相等，所以这10种结果出现的可能性相同．(1)女孩K 被录用的结果有6种，所以她得到一个职位的概率为35.(2)女孩K 和S 都被录用的结果有3种，所以K 和S 各自得到一个职位的概率为310. 当堂训练1．A [从5张牌中任抽一张，共有5种可能的结果，抽到红心的可能结果有3个．∴P ＝35.]2．D [如图给4块试验田分别标号A1、A2、B 1、B 2.基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(B 1，B 2)共6种基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻”(记为事件A )的基本事件有(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，共2个． ∴P (A )＝26＝13，故选D.]3．D [设3个元素为a ，b ，c ，则所有子集共8个，∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }，含2个元素的子集共3个，故所求概率为38.]4．A [基本事件有甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁，共4个．甲不被选中的事件为乙丙丁，∴P ＝14.]5．0.4 [10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因此，所求的频率为410＝0.4.]。

教学课题：2.2 建立概率模型三维目标：1．知识与技能：理解古典概型及其概率计算公式，能够根据古典概型的特征从生活实例中抽象出古典概型，建立模型求解.2．过程与方法：通过建立概率模型求概率，让学生学会列举法、数形结合法计算概率，培养学生建模意识.3．情感、态度与价值观：通过实例让学生体会概率意义的同时，感受与他人合作，初步形成正确的价值观，提高科学地分析问题、解决问题的能力教学重点：建立古典概率模型.教学难点：准确建模并求解.教学课时：1课时教学过程：一．引入复习回顾：古典概型的定义、特征及计算公式.师：一个随机试验连同它的基本事件究竟就构成了一个概率模型.一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件（即一次试验结果）是人为规定的. 我们只要求：每次试验有一个并且只有一个基本事件出现.只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型.我们可以从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得的古典概型的所有可能结果数越少，问题的解决就变得越简单.今天这节课，我们就来研究古典概率模型的建立.二．新知例（教材例2）口袋里装有2个白球和2个红球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球. 试计算第二个人摸到白球的概率.模型1 用A表示事件“第二个人摸到白球”. 把2个白球编上序号1,2；2个红球也编上序号1,2. 于是，4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来（如下图）.第 1 页共3 页第 2 页 共 3 页由图可知：212412)(==A P 模型2：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以我们可以只考虑前两人摸球的情况. 前两人依次从袋中摸出1个球的所有可能结果可用树状图列举出来（如下图）由图可知：21126)(==A P 模型3：因为袋中的4个球除颜色外完全相同，因此，可以对2个白球和2个红球不加区别，这样建立的模型的所有可能结果数就会更少，由此可得：由图可知：2163)(==A P 模型4：只考虑第二个人摸出的球的情况，他可能摸到4个球中的任何一个，这4种结果出现的可能性是相同的. 第二个人摸到白球的结果有2种，因此“第二个人摸到白球”的概率为：2142)(==A P . 思考交流：计算第k （k=1,3,4）个人摸到白球的概率，得到的结果说明什么问题？第 3 页 共 3 页 三．练习1.一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）有4种花色（梅花、方块、红心、黑桃），每一种花色有13张牌（A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K ）. 方块和红心称为红色牌，梅花和黑桃称为黑色牌. 从一副扑克牌中随机选取1张，计算下列事件的概率：⑴这张牌是A ；⑵这张牌是K,Q 或J ；⑶这张牌是红色A ；⑷这张牌是梅花；⑸这张牌是黑色牌.2.小军、小燕和小明是同班同学，假设他们三人早上到校先后的可能性是相同的.⑴事件“小燕比小明先到校”的概率是多少？⑵事件“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率是多少？四．小结利用古典概型解决应用题，合理建立概率模型，其方法有：数形结合、坐标法、列举法、转化等.五．检测训练1.甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲选中的概率为（ ） A.21 B.31 C.32 D.1 2.掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得偶数点的概率是 .3.在6个零件中，有4个正品和2个次品，从中不放回地任取2个，恰好都是正品的概率是 .4.100张卡片上分别写有1,2,3,…,100，计算：⑴任取其中1张，这张卡片上写的数是6的倍数的结果有多少种？⑵任取其中1张，这张卡片上写的数是6的倍数的概率是多少？5.一只口袋装有形状、大小都相同的6只小球，其中有2只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，试求：⑴2只都是红球的概率；⑵2只球同色的概率；⑶“恰有1只是白球”是“2只球都是白球”概率的几倍？6.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A.31B.21C.32D.43 7.某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘面被分成20等份，其中1份是红色，2份是黄色，4份是绿色，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就分别可以获得100元、50元、20元的购物券，某顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？8.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌都齐全的概率是多少？。

建立概率模型解决实际问题确定版教学详案龚彪建立概率模型解决实际问题教学实例武汉市汉铁高级中学龚彪建立概率模型解决实际问题教学实例一、教学设计1. 教学目的：通过实际问题使学生初步理解现实世界上大量事件的不确定性，同时能够运用概率知识进行一些简单的判断和决策.利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象，体会概率模型的作用及运用概率思想思考和解决问题.2. 教学重点：建立概率模型解决实际问题3. 教学难点：建立概率模型二、课堂实录同学们，我们日常生活中的很多实际问题都可以转化为数学问题.下面我们一起看一个生活中的视频.视频播放.老师：视频播放了海豚在设计的水池中吹气泡泡，请问每次都能成功吗？成功吹气泡泡的可能性有多大呢？今天对于这个问题我想和同学们共同思考.请同学们看导学案上的例题1，分析题意，找到解决问题的相关信息.例1：某海洋世界公园中，海豚在水池中自由游弋时，表演吹气泡泡的节目，现在水池的长30米，宽20米，水深6米，不妨假设当海豚嘴尖离水池的池壁、池底及水面的距离不少于1米时能成功的吹气泡泡，求海豚能成功吹气泡泡的概率？老师：下面请同学们审题后回答四个问题：1. 海豚能吹气泡泡的区域？2. 海豚能成功吹气泡泡的区域？3. 用什么数学知识求解？4. 怎样求解？老师：海豚能吹气泡泡的区域？学生：水池中含水的区域（图形演示）.老师：海豚能成功吹气泡泡的区域？学生：海豚嘴尖离池壁、池底及水面的距离不少于1米（图形演示）.老师：用什么数学知识求解？学生：用几何概型的公式.老师：为什么可以用几何概型的公式？学生：因为海豚在水中自由游弋，所以其嘴尖在水池中的任何位置是等可能的，且嘴尖位置有无数种可能性.因此可以根据题意建立几何概型.老师：非常正确.这个分析过程就是建立概率模型过程.老师：该题怎样利用几何概型公式求解呢？学生：25146203041828==P老师：很好.这个计算过程就是模型求解的过程.老师：例题1解题的思路是将实际问题经过审题建立概率模型，然后通过数学知识对模型求解.老师：我们有了这种解题思路之后，请同学们再看一个实际问题.视频播放：随着经济的高速发展，不少大型城市进行汽车限牌政策，严重影响了轿车的销售量，从而影响了轿车生产商销售利润，为了保证销售利润，各轿车生产商不得不面临生产策略的调整.老师：在当前大背景下，某轿车生产商也面临着生产策略的调整，今天我们就从该企业入手，请同学们出谋划策，解决导学案上的例题2.例2：受轿车在保修期内维修费用等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已出售的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？老师：下面请同学们认真审题，分析例题2中的主要信息及其联系.学生思考2分钟.老师：本题需要我们解决的问题是什么？学生：选择生产何种品牌的轿车.老师：解决此问题由什么来确定？学生：甲、乙两种品牌轿车经济效益的大小比较.老师：与利润相关的条件有哪些？学生：每辆轿车利润与轿车数量的对应关系.老师：从厂家的角度考虑，你认为应该如何求利润呢？学生：1×2+2×3+3×45=143万元1.8×5+2.9×45=139.5万元老师：这种解法可以，是利用样本总利润的大小关系来估计总体总利润的大小关系.但是这种解法有一定的局限性，我们能不能直接考察总体的某些数字特征呢？老师：对于甲品牌在总体中每辆轿车的利润的取值可能为1万元、2万元或3万元为随机变量，且每个取值在总体中所占的比例不同，因此可以建立以每辆轿车的利润为随机变量的分布列模型.这样我们就可以求出每辆汽车利润的期望，即总体中每辆轿车的平均利润.经过以上分析，下面我们一起来完成具体的解题过程.解：生产一辆甲品牌轿车利润为X 1 万元，生产一辆乙品牌轿车利润为X 2万元X 1求502的依据：古典概型.在样本中，任取一辆轿车有50个基本事件，利润为1万元这个事件包含了2个基本事件，因此利用古典概型求解.86.250453503250211=?+?+?=EX （万元） X 2的分布列：79.250459.25058.12=+?=EX (万元）∴生产甲品牌轿车.同学们，我们一起来回顾下例题2的解题思路：通过审题得知：总体中每辆轿车利润为随机变量，且每个取值在总体中所占的比例不同，因此建立了随机变量分布列模型，然后求出随机变量的期望得到实际问题的解.老师：下面请同学们再看一个实际问题.播放视频：湖北省某市周边有着丰富的水资源条件，为了充分利用现有资源来改善居民用电困难，计划在某水库建一座水电站.老师：下面请同学们根据该市政府提供的相关数据资料，帮助该市政府解决例题3的问题？例3：湖北省某市计划在当地水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立，水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 的限制，并有如下关系：800万元，欲使水电站年总利润均值达到最大，应安装发电机多少台？老师：下面请同学们认真审题分析例题3中的主要信息及其联系.学生审题老师：本题需要我们解决的问题是什么？学生：确定安装发电机的台数；老师：可以安装多少台？学生：1台、2台或3台.老师：解决此问题由什么来确定？学生：安装不同台数时水电站年总利润均值的大小比较；老师：那年总利润由什么来确定？学生：发电机运行与未运行的台数；老师：最多运行的台数又受什么的限制呢？学生：年入流量；老师：那也就是说年总利润为随机变量，并且根据题意每个取值在总体中所占的比例不同.因此建立以以年总利润为随机变量的分布列模型.然后求出年总利润的期望.下面我们一起听听一个同学对例题3的分析.设年总利润为Y 万元安装2=EY （万元）学生完成：安装1台：5000=Y （万元）安装3台：（万元）∴安装2台发电机.课堂小结：老师：今天我们一共解决了三个实际问题，每一个问题都来源于生活实例，通过审题建立概率模型利用数学知识求解模型，然后还原成实际问题的解.通过本节课的学习，你有哪些收获？三、课后反思可取之处：一是通过问题的提出，能积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃；二是学生通过本节课的学习，初步有了建立概率模型的意识；三是通过三个实际问题，学生体会到数学来源于生活又服务于生活。

2．2建立概率模型三维目标1．知识与技能(1)使学生进一步掌握古典概型的概率计算公式．(2)能建立概率模型解决实际问题．2．过程与方法根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．3．情感、态度与价值观概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神．重点：建立概率模型解决古典概型在实际生活中的应用．难点：古典概型中比较复杂的背景问题的概率求值问题．教学建议本节课是在学生已掌握了古典概型的定义及能够解决简单的概率求值问题的基础上学习的，教师可以例题为主线，通过学生自己动手发现问题，引导学生自主解决．教学流程创设情境，引入新课，通过掷骰子试验建立古典概率模型⇒引导学生分析探究建立概率模型后每次试验的基本事件，掌握树状图是列举基本事件的常用方法⇒通过例1及变式训练掌握“有放回”与“不放回”的古典概型的区别及相应概率的求法与技巧⇒通过例2及变式训练掌握运用树状图解决“有序”与“无序”的古典概型的方法技巧⇒通过例3及变式训练，使学生掌握运用数形结合的方法解决所建立概率模型的技巧⇒归纳整理课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正如何观察分析试验中的等可能结果？【提示】 一次试验中的“等可能结果”实际是针对特定的观察角度而言的，例如：甲、乙、丙三名同学排成一排，计算甲站在中间的概率时，若从三个同学的站位来看，共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，若仅从甲的站位来看，则只有三种结果，即站左边、中间或右边．1．一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．2．从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．3．树状图是进行列举的一种常用方法.例1 121(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．【思路探究】 分别利用列举法列举出可能出现的条件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．解 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成．因而P (A )＝46＝23. (2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49. 规律方法1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．变式训练一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．解 设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A 包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个．(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P (A )＝1890＝945＝15. (2)有放回取球时，总的基本事件为100，故P (A )＝18100＝950. 类型2 “有序”与“无序”的古典概型例2图3－2－1求：(1)3个矩形颜色都相同的概率； (2)3个矩形颜色都不同的概率．【思路探究】 由涂色的有序性可画出树状图解题．解 所有可能的基本事件共有27个，如图所示：红红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄黄红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄蓝红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A ，由图知，事件A 的基本事件有3个，故P (A )＝327＝19. (2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B ，由图知，事件B 的基本事件有6个，故P (B )＝627＝29. 规律方法1．本题列出全部可能的结果采用的是树状图，对于试验结果不太多的情况，都可采用此法．2．列出基本事件时要注意问题是否与顺序有关．变式训练将甲、乙两枚骰子先后各抛掷一次，a ，b 分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所得的点数，若把点P (a ，b )落在不等式组{ x >0，y >0，x ＋y ≤4所表示的平面区域的事件记为A ，求P (A )． 解 利用直角坐标系表示基本事件数及不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由图可知基本事件数为36个，落在不等式组所表示的平面区域的点共有6个，所以P (A )＝636＝16.类型3建立概率模型例3 (1)求点数之和出现7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．【思路探究】 明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求出，可借图来确定基本事件总数．解 如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和出现7点”为事件A ，从图中可以看出事件A 包含的基本事件共6个，(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)，故P (A )＝636＝16. (2)记“出现两个4点”为事件B .从图中可以看出事件B 包含的基本事件只有1个，即(4,4)，故P (B )＝136. (3)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的基本事件共12个，(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)，故P (C )＝1236＝13. 规律方法1．求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便准确地找出某事件所包含的基本事件总数．2．数形结合能使解决问题的过程变得形象直观，给问题的解决带来方便．变式训练某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？解 由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A ，B ，C ，D ，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A ，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列举法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E .由上表可知，可能结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P (E )＝412＝13. 易错易误辨析知识性错误致误典例 设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球．(1)求这2只球都是白球的概率；(2)求这2只球中1只是白球1只是黑球的概率．【错解】 一次摸出2只球，观察结果的颜色只能是(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种情况．(1)用A 表示“2只球都是白球”这一事件，则A ＝{(白，白)}，所以P (A )＝13. (2)用B 表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B ＝{(白，黑)}，所以P (B )＝13. 【错因分析】 在上述错解中(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种结果的出现不是等可能的．【防范措施】 弄清基本事件总数有哪些，注意每个基本事件的出现是等可能的．【正解】 我们不妨把4只白球标以1,2,3,4号，2只黑球标以5,6号，则基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,1)，(2,3)，…，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，…，(6,5)，共30个．(1)用A 表示“2只球都是白球”这一事件，则A ＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}共12个．所以P (A )＝1230＝25. (2)用B 表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B ＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)}，共16个．所以P (B )＝1630＝815. 课堂小结1．注意区分古典概型中有无放回及有无顺序问题．2．建立概率模型，常用列举法、列表法、树状图法求出基本事件的总数，从而解决问题．当堂检测1．下列不属于古典概型的性质的是( )A ．所有基本事件的个数是有限个B ．每个基本事件发生的可能性相等C ．任两个基本事件不能同时发生D ．可能有2个基本事件发生的可能性不相等【解析】 古典概型的特征之一就是每个基本事件发生的可能性相等．【答案】 D2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.15【解析】 该试验共4个基本事件，所求事件包含2个基本事件，∴其概率P ＝12. 【答案】 A3．从1,2,3，…，20中任取一个数，它恰好是3的倍数的概率是( )A.320B.14C.310D.15【解析】 从1,2,3，…，20中任取一个数共有20种基本事件，其中是3的倍数是3,6,9,12,15,18共6种基本事件，由古典概型概率公式得是3的倍数的概率是620＝310. 【答案】 C4．一个家庭中有两个小孩，设生男还是生女是等可能的，求此家庭中两小孩均为女孩的概率．解 所有的基本事件是：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)共4个，均为女孩的基本事件只有1个，故此家庭中两个均为女孩的概率为P ＝14＝0.25.。