人教课标版高中数学选修4-4《平面直角坐标系》教案-新版

一平面直角坐标系-人教A版选修4-4 坐标系与参数方程教案1. 基本概念1.1 平面直角坐标系平面直角坐标系是指在平面上建立起一个直角坐标系，将二维平面上的任意点都能用其坐标表示出来。

平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。

坐标轴的交点称为坐标原点O，x轴和y轴的正方向分别取向右和向上。

1.2 参数方程参数方程是指用含有参数的方程表示函数的方法。

其中，参数是自变量，函数的值是关于参数的函数。

通常用一组参数，如t、θ等来表示函数。

2. 教学目标本节课教学目标为：•掌握平面直角坐标系的建立方法，能将二维平面上的任意点用其坐标表示出来。

•掌握用参数方程描述平面曲线的方法，能解决相关应用问题。

3. 教学重点•平面直角坐标系的建立方法。

•参数方程的概念，应用与推导方法。

4. 教学难点•参数方程描述平面曲线的方法。

•参数方程在几何应用中的解题方法。

5. 教学内容及过程5.1 知识讲解5.1.1 平面直角坐标系要求学生掌握平面直角坐标系的建立方法，说出x轴和y轴的正方向，确定坐标原点，并会将二维平面上的任意点用其坐标表示出来。

5.1.2 参数方程要求学生掌握参数方程的概念，了解参数方程与常规方程的区别，掌握参数方程描述平面曲线的方法，并能解决相关应用问题。

5.2 课堂互动5.2.1 平面直角坐标系练习让学生在纸上绘制出平面直角坐标系并标注好坐标轴、坐标原点以及x轴和y 轴的正方向。

然后，教师可以随机给出几个点的坐标进行练习，并让学生互相交换练习答案。

5.2.2 参数方程的练习让学生练习参数方程的应用，例如让学生求出直线 y = 2x - 1 的参数方程，并根据所求出的参数方程进行绘制。

另外，也可以出一些实际应用中相关的问题，例如让学生通过参数方程求出某行星的轨道方程等。

5.3 课堂小结教师对本节课所讲内容进行总结，强调重点、难点内容，并进行提问、讨论。

同时，对本节课的拓展内容进行展示，并引导学生进行初步了解。

课 题: (第4课)极坐标与直角坐标的互化教学目标：1、掌握极坐标和直角坐标的互化关系式2、会实现极坐标和直角坐标之间的互化教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解教学难点：互化关系式的掌握教学方法：启发诱导，讲练结合。

教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？学生回顾理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解二、讲解新课：直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。

平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。

3互化公式的三个前提条件1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同.例4．（1）把点M 的极坐标)32,8(π化成直角坐标 （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标变式训练在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离例5.若以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系.(1)已知A 的极坐标),35,4(π求它的直角坐标, (2)已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和 求它们的极坐标.ρ(＞0,0≤θ＜2π)变式训练把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2) )4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A例6.在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,6(ππB A . 求A,B 中点的极坐标.三、课堂练习：在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -. 判断P N M ,,三点是否在一条直线上.四、课堂小结：1．互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2．互化公式的三个前提条件1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同.五、课外作业：作业：教材P15页12，13。

1、分析本节考纲要求课标要求：理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

2、分析近五年中高考题与本节知识的关联(2014重庆)已知直线l的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴线 l与曲线C的公共点的极经=ρ________.【答案】 5【解析】3、教学目标知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

4、重难点教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。

5、教法本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。

在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望，提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。

既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。

6、教学过程（一）、平面直角坐标系与曲线方程1、教师设问：问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？问题3：(1).如何把平面内的点与有序实数对(x,y)建立联系？(2).平面直角坐标系中点和有序实数对(x,y)是怎样的关系？问题4：如何研究曲线与方程间的关系？结合课本例子说明曲线与方程的关系？2、思考交流：(1).在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2,3)、 5为半径的圆的方程是什么？（2）.在平面直角坐标系中，圆心坐标为（a,b)半径为r的圆的方程是什么?3、学生活动：学生回顾并阅读课本，思考讨论交流。

教师准对问题讲解。

刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系（1）、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定（2）、平面直角坐标系：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

2019-2020年高中数学 1.1 平面直角坐标系教案 新人教A 版选修4-4课标解读1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用． 2．了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．3．能够建立适当的直角坐标系解决数学问题.1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ>0，y ′＝μ·y μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示．(2)在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：P ′(x ′，y ′)是变换后的点的坐标，P (x ，y )是变换前的点的坐标．1．如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？ 【提示】 ①如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x 轴，以端点或中点为原点．建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上． 2．如何确定坐标平面内点的坐标？【提示】 如图，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线段PM 、PN ，垂足分别为M 、N ，则M 的横坐标x 与N 的纵坐标y 对应的有序实数对(x ，y )即为点P 的坐标．3．如何理解点的坐标的伸缩变换？【提示】 在平面直角坐标系中，变换φ将点P (x ，y )变换到P ′(x ′，y ′)．当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横向压缩变换；当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时，是纵向压缩变换.运用坐标法解决平面几何问题已知▱ABCD ，求证：|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)．【思路探究】 从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A ，B ，C ，D 点的坐标，通过计算，证明几何结论．【自主解答】 法一 (坐标法)以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0,0)， 设B (a,0)，C (b ，c )，则AC 的中点E (b 2，c2)，由对称性知D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2， |AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2， |AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )，|AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ， ∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)． 法二 (向量法)在▱ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →，同理得BD →2＝|BD →|2 ＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC →， 以上两式相加，得 |AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB →＋BA →)＝2(|AB →|2＋|AD →|2)，即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)．1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．2．建立平面直角坐标系的方法步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是 利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明．(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程； (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且满足|BD |＝|CD |. 求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|BD |2)．【证明】 法一 以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .则A (0,0)，设B (a,0)，C (b ，c )，则D (a ＋b 2，c 2)，所以|AD |2＋|BD |2＝a ＋b 24＋c 24＋a －b 24＋c 24＝12(a 2＋b 2＋c 2)，|AB |2＋|AC |2＝a 2＋b 2＋c 2＝2(|AD |2＋|BD |2)．法二 延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得|AE |2＋|BC |2＝2(|AB |2＋|AC |2)，即(2|AD |)2＋(2|BD |)2＝2(|AB |2＋|AC |2)，所以|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|BD |2)．用坐标法解决实际问题2012年2月27日，由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米．某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【思路探究】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A 、B 、C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．【自主解答】设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上．k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)，∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．①又|PB |－|P A |＝4，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．②联立①②，解得P 点坐标为(8,53)．∴k P A ＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1．由于A 、B 、C 的相对位置一定，解决问题的关键是：如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解．2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．已知某荒漠上有两个定点A 、B ，它们相距2 km ，现准备在荒漠上开垦一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长？【解】 (1)设平行四边形的另两个顶点为C 、D ，由围墙总长为8 km 得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点)．以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD 面积最大，则C 、D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝23(km 2)．(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图．因此，由⎩⎨⎧y ＝33x ＋1x 24＋y23＝1⇒13x 2＋8x －32＝0，那么弦长＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝ 1＋332·－8132－4×－3213＝4813，故暂不加固的部分长4813km.已知伸缩变换求点的坐标和曲线方程在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A (13，－2)经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换后得到点B ′(－3，12)，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程；(4)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后所得曲线C ′的焦点坐标．【思路探究】 (1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，求得x ′，y ′，即用x ，y 表示x ′，y ′；(2)(3)(4)将求得的x ，y 代入原方程得x ′，y ′间的关系．【自主解答】 (1)设点A ′(x ′，y ′)．由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .又已知点A (13，－2)．于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1.∴变换后点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设B (x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，由于B ′(－3，12)，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，∴B (－1,1)为所求．(3)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×(13x ′)，所以y ′＝x ′，即y ＝x 为所求．(4)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1， 化简得x ′29－y ′216＝1，∴曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1.∴a 2＝9，b 2＝16，c 2＝25，因此曲线C ′的焦点F 1(5,0)，F 2(－5,0)．1．解答本题的关键：(1)是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；(2)是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解．2．伸缩变换前后的关系已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0y ′＝μy μ>0，则点的坐标与曲线的方程的关系为联系类型 变换前 变换后点P (x ，y ) (λx ，μy )曲线C f (x ，y )＝0 f (1λx ′，1μy ′)＝0若将例题中第(4)题改为：如果曲线C 经过φ变换后得到的曲线的方程为x 2＝18y ，那么能否求出曲线C 的焦点坐标和准线方程？请说明理由．【解】 设曲线C 上任意一点M (x ，y )，经过φ变换后对应点M ′(x ′，y ′)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 2. (*) 又M ′(x ′，y ′)在曲线x 2＝18y 上， ∴x ′2＝18y ′ ① 将(*)代入①式得(3x )2＝18×(12y )．即x 2＝y 为曲线C 的方程．可见仍是抛物线，其中p ＝12，抛物线x 2＝y 的焦点为F (0，14)．准线方程为y ＝－14.由条件求伸缩变换在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.【思路探究】 区分原方程和变换后的方程――→待定系数法设伸缩变换公式―→代入变换后的曲线方程―→与原曲线方程比较系数．【自主解答】 将变换后的椭圆的方程x 29＋y 24＝1改写为x ′29＋y ′24＝1，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0，y ′＝μy μ>0，代入上式．得λ2x 29＋μ2y 24＝1，即(λ3)2x 2＋(μ2)2y 2＝1.与x 2＋y 2＝1比较系数，得⎩⎨⎧λ32＝1，μ22＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝2. 所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .因此，先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.1．求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得．2．解题时，区分变换的前后方向是关键，必要时需要将变换后的曲线的方程改写成加注上(或下)标的未知数的方程形式．在同一平面坐标系中，求一个伸缩变换使其将曲线y ＝2sin x4变换为正弦曲线y ＝sin x .【解】 将变换后的曲线的方程y ＝sin x 改写为y ′＝sin x ′，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0，y ′＝μy μ>0，代入y ′＝sin x ′，∴μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx .比较与原曲线方程的系数，知⎩⎨⎧ λ＝14，1μ＝2，∴⎩⎨⎧λ＝14，μ＝12，所以伸缩变换为⎩⎨⎧x ′＝14x ，y ′＝12y .即先使曲线y ＝2sin x 4的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的14倍，得到曲线y ＝2sin x ；再将其横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，得正弦曲线y ＝sin x .(教材第8页习题1.1，第5题)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3xy ′＝y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋9y ′2＝9，求曲线C 的方程，并画出图象．(xx·郑州调研)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝14y 后，曲线C 变为曲线x ′216＋4y ′2＝1，求曲线C 的方程并画出图形．【命题意图】 本题主要考查曲线与方程，以及平面直角坐标系中的伸缩变换． 【解】 设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，变换后的点为M ′(x ′，y ′)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝14y ，且M ′(x ′，y ′)在曲线x ′216＋4y ′2＝1上， 得4x 216＋4y 216＝1， ∴x 2＋y 2＝4.因此曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，表示以O (0,0)为圆心，以2为半径的圆(如图所示).1．点P (－1,2)关于点A (1，－2)的对称点坐标为( ) A ．(3,6) B ．(3，－6) C ．(2，－4) D ．(－2,4)【解析】 设对称点的坐标为(x ，y )， 则x －1＝2，且y ＋2＝－4， ∴x ＝3，且y ＝－6. 【答案】 B2．如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象( )A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12B ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12【解析】 y ＝sin x ――→横坐标伸长为原来的2倍y ＝sin 12x ――→纵坐标压缩为原来的12y ＝12sin 12x .故选D. 【答案】 D3．将点P (－2,2)变换为点P ′(－6,1)的伸缩变换公式为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝13x y ′＝2yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y D.⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3xy ′＝2y 【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－6y ′＝1与⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝2代入到公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx y ′＝μy 中，有⎩⎪⎨⎪⎧－6＝λ·－2，1＝μ·2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝12.【答案】 C 4．将圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4xy ′＝3y 后的曲线方程为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y .得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′4，y ＝y ′3.代入到x 2＋y 2＝1，得x ′216＋y ′29＝1.∴变换后的曲线方程为x 216＋y 29＝1.【答案】x 216＋y 29＝1(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2,2)的距离，则点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【解析】 ∵M (2,2)在直线x ＋y －4＝0上，∴点P 的轨迹是过M 与直线x ＋y －4＝0垂直的直线． 【答案】 A2．若△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1,2)，B (2,3)，C (3,1)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 【解析】 |AB |＝2－12＋3－22＝2， |BC |＝3－22＋1－32＝5， |AC |＝3－12＋1－22＝5， |BC |＝|AC |≠|AB |，△ABC 为等腰三角形． 【答案】 A3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 后为( )A ．y ＝cos xB ．y ＝3cos 12xC ．y ＝2cos 13xD ．y ＝12cos 3x【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′. ∴y ′＝cos x ′，即曲线y ＝cos x . 【答案】 A4．将直线x ＋y ＝1变换为直线2x ＋3y ＝6的一个伸缩变换为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x y ′＝2y B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3yC.⎩⎨⎧x ′＝13x y ′＝12yD.⎩⎨⎧x ′＝12xy ′＝13y【解析】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，由(x ′，y ′)在直线2x ＋3y ＝6上，∴2x ′＋3y ′＝6，则2λx ＋3μy ＝6.因此λ3x ＋μ2y ＝1，与x ＋y ＝1比较，∴λ3＝1且μ2＝1，故λ＝3且μ＝2. 所求的变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若点P (－2 012,2 013)经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x2 013，y ′＝y2 012.后的点在曲线x ′y ′＝k 上，则k ＝________.【解析】 ∵P (－2 012,2 013)经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x2 013，y ′＝y2 012，得⎩⎨⎧x ′＝－2 0122 013，y ′＝2 0132 012.代入x ′y ′＝k ，得k ＝x ′y ′＝－1.【答案】 －16．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，则A 点的轨迹是________． 【解析】 取B 、C 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－2,0)、C (2,0)、D (0,0)．设A (x ，y )，则|AD |＝x 2＋y 2.注意到A 、B 、C 三点不能共线，化简即得轨迹方程：x 2＋y 2＝9(y ≠0)．【答案】 以BC 的中点为圆心，半径为3的圆(除去直线BC 与圆的两个交点) 三、解答题(每小题10分，共30分)7．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 2后的图形．(1)x 2－y 2＝1； (2)x 29＋y 28＝1. 【解】 由伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x3，y ′＝y2.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′.① (1)将①代入x 2－y 2＝1得9x ′2－4y ′2＝1，因此，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 2后，双曲线x 2－y 2＝1变成双曲线9x ′2－4y ′2＝1，如图(1)所示．(2)将①代入x 29＋y 28＝1得x ′2＋y ′22＝1，因此，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 2后，椭圆x 29＋y 24＝1变成椭圆x 2＋y 22＝1，如图(2)所示．8．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处．求城市B 处于危险区内的时间．【解】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40,0)， 以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区．台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝402＝20 2.求得|MN|＝2302－d2＝20(km)，故|MN|20＝1，所以城市B处于危险区的时间为1 h.9.图1－1－1学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图1－1－1，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M (0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)，观测点A (4,0)，B (6,0)同时跟踪航天器．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A ，B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647.因为D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17.∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )．根据题意可知⎩⎨⎧x 2100＋y 225＝1 ①y ＝－17x 2＋647②得4y 2－7y －36＝0，解得y ＝4或y ＝－94(不合题意)．∴y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)．∴C 点的坐标为(6,4)．|AC |＝25，|BC |＝4.所以当观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令． 教师备选10．已知A (－1,0)，B (1,0)，圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，在圆C 上是否分别存在一点P ，使|P A |2＋|PB |2取得最小值与最大值？若存在，求出点P 的坐标及相应的最值；若不存在，请说明理由．【解】 假设圆C 上分别存在一点P 使|P A |2＋|PB |2取得最小值和最大值，则由三角形的中线与边长的关系式得|P A |2＋|PB |2＝2(|PO |2＋|AO |2)＝2|PO |2＋2，可见，当|PO |分别取得最小值和最大值时，相应地|P A |2＋|PB |2分别取得最小值与最大值． 设直线OC 分别交圆C 于P 1，P 2， 则|P 1O |最小，|P 2O |最大，如图所示．由已知条件得|OC |＝32＋42＝5，r ＝2，于是|P 1O |＝|OC |－r ＝5－2＝3， |P 2O |＝|OC |＋r ＝5＋2＝7， 所以|P A |2＋|PB |2的最小值为2×32＋2＝20， 最大值为2×72＋2＝100. 下面求P 1，P 2的坐标：直线OC 的方程为y ＝43x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x .x －32＋y －42＝4，消去y 并整理得25x 2－150x ＋9×21＝0， ∴(5x －9)(5x －21)＝0，解得x 1＝95，x 2＝215，∴⎩⎨⎧x 1＝95，y 1＝125，或⎩⎨⎧x 2＝215，y 2＝285.∴P 1(95，125)，P 2(215，285)为所求．.。

人教课标版高中数学选修4-4第一讲 坐标系一 平面直角坐标系教案考纲要求 备考指津1.会画直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标． 2．掌握坐标平面内点的坐标特征． 3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析． 4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值. 中考题型以选择题、填空题为主，有时也作为函数综合题的一个方面来考查，难度较低．这部分知识常以生活实际为背景，与生活实际应用相联系进行命题，解题时往往要用数形结合、分类讨论等数学方法进行思考．考点一 平面直角坐标系与点的坐标特征1．平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相竖直的数轴的交点O 称为原点，水平的数轴叫x 轴(或横轴)，竖直的数轴叫y 轴(或纵轴)，整个坐标平面被x 轴、y 轴分割成四个象限． 2．各象限内点的坐标特征点P (x ，y )在第一象限x ＞0，y ＞0；点P (x ，y )在第二象限x ＜0，y ＞0；点P (x ，y )在第三象限x ＜0，y ＜0； 点P (x ，y )在第四象限x ＞0，y ＜0.3．坐标轴上的点的坐标的特征 点P (x ，y )在x 轴上y ＝0，x 为任意实数； 点P (x ，y )在y 轴上x ＝0，y 为任意实数；点P (x ，y )在坐标原点x ＝0，y ＝0.考点二 特殊点的坐标特征1．对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )．2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x 轴：横坐标不同，纵坐标相同；平行于y 轴：横坐标相同，纵坐标不同．3．各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相同，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数．考点三 距离与点的坐标的关系1．点与原点、点与坐标轴的距离(1)点P (a ，b )到x 轴的距离等于点P 的纵坐标的绝对值，即|b |；点P (a ，b )到y 轴的距离等于点P 的横坐标的绝对值，即|a |.(2)点P (a ，b )到原点的距离等于点P 的横、纵坐标的平方和的算术平方根，即a 2＋b 2.2．坐标轴上两点间的距离(1)在x轴上两点P1(x1,0)，P2(x2,0)间的距离|P1P2|＝|x1－x2|.(2)在y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)间的距离|Q1Q2|＝|y1－y2|.(3)在x轴上的点P1(x1,0)与y轴上的点Q1(0，y1)之间的距离|P1Q1|＝x12＋y12.考点四函数有关的概念及图象1．函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．2．常量和变量在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．3．函数的表示方法函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．4．函数图象的画法(1)列表：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)描点：以x的值为横坐标，对应y的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)连线：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．考点五函数自变量取值范围的确定确定自变量取值范围的方法：1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以三次方根出现时，它的取值范围为全体实数．3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．1．在平面直角坐标系中，点P(－1,3)位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．点A(2，－3)关于x轴的对称点的坐标为()．A．(2,3) B．(－2，－3) C．(－2,3) D．(2，－3)3．点P在第四象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P的坐标为__________．4．函数y＝1x－2的自变量x的取值范围是__________．5．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间内，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h)，航行的路程为s(km)，则s与t的函数图象大致是()．6．甲、乙两人准备在一段长为1 200 m的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4 m/s和6 m/s.起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离y (m)与时间t (s)的函数图象是( )．一、平面直角坐标系内点的坐标特征【例1】 在平面直角坐标系中，若点(2x ＋1，x －2)在第四象限，则x 的取值范围是( )．A ．x ＞－12B ．x ＜2C ．x ＜－12或x ＞2D ．－12＜x ＜2 解析：根据平面直角坐标系中点的坐标特征可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，x －2<0，解得－12＜x ＜2. 答案：D掌握平面直角坐标系中各象限及坐标轴上点的坐标特征，构造不等式(组)是解决此类问题的常用方法．在平面直角坐标系中，如果mn ＞0，那么点(m ，|n |)一定在( )．A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限二、距离与点坐标的关系【例2】 如图，直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上，其中，A 点坐标为(2，－1)，则△ABC 的面积为__________平方单位．解析：利用数轴得出B 点坐标为(4,3)，C 点坐标为(1,2)，然后利用割补法，结合点的坐标与距离的关系求出△ABC 的面积．答案：5图形的割补法是解决有关图形面积的常用方法，需要同学们在解题时合理地利用图形进行巧妙分割，此类题型的解法往往不唯一．三、函数图象的应用【例3】 如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离．．为s ，则s 关于t 的函数图象大致为( )．解析：本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s 与t 的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O 到点A 时，s 与t 成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A 到点B 时，s 不变；(3)当蚂蚁从点B 回到点O 时，s 与t 成一次函数关系，且回到点O 时，s 为零．答案：C利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，探求变量和函数之间的变化趋势，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题．四、函数自变量取值范围的确定【例4】 函数y ＝x ＋2x －2的自变量x 的取值范围是( )． A ．x ≥－2且x ≠2 B ．x ＞－2且x ≠2 C ．x ＝±2 D ．全体实数解析：要使函数有意义，必须同时满足二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不能为零，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －2≠0，解得x ≥－2且x ≠2. 答案：A求函数自变量的取值范围，往往通过解不等式或不等式组来确定．因此，掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，是求函数自变量取值范围的基础，同时要学会这种转化的思想方法．1．(2012四川成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P (－3,5)关于y 轴的对称点的坐标为( )．A ．(－3，－5)B ．(3,5)C ．(3，－5)D ．(5，－3)2．(2012重庆)2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行，小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t ，小丽与比赛现场的距离为s ，下面能反映s 与t 的函数关系的大致图象是( )．3．(2011广东湛江)如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB 的顶点O 在原点，点C 的坐标为(4,0)，点B 的纵坐标是－1，则顶点A 的坐标是( )．A ．(2，－1)B ．(1，－2)C ．(1,2)D ．(2,1)4．(2011内蒙古呼和浩特)函数y ＝1x ＋3中，自变量x 的取值范围为__________． 5．(2011江苏盐城)有六个学生分成甲、乙两组(每组三个人)，分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60 km 的博物馆参观，10分钟后到达距离学校12 km 处有一辆汽车出现故障，接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生，同时第二批学生步行12 km 后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇，当第二批学生到达博物馆时，恰好已到原计划时间．设汽车载人和空载时的速度分别保持不变，学生步行速度不变，汽车离开学校的路程s (千米)与汽车行驶时间t (分钟)之间的函数关系如图所示，假设学生上下车时间忽略不计．(1)汽车载人时的速度为__________km/min ；第一批学生到达博物馆用了__________分钟．(2)求汽车在回头接第二批学生途中(即空载时)的速度．(3)假设学生在步行途中不休息且步行速度每分钟减小0.04 km ，汽车载人时和空载时速度不变，问能否经过合理的安排，使得学生从学校出发全部到达目的地的时间比原计划时间早10分钟？如果能，请简要说出方案，并通过计算说明；如果不能，简要说明理由．1．如图所示，小手盖住的点的坐标可能为( )．A ．(5,2)B ．(－6,3)C ．(－4，－6)D ．(3，－4)2．若点P (a ，a －b )在第四象限，则点Q (b ，－a )在( )．A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．如图是中国象棋棋盘的一部分，若在点(1，－1)上，在点(3，－1)上，则的坐标是( )．A．(－1,1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－2,2)4．小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是()．5．点P(1,2)关于x轴的对称点P1的坐标是__________，点P(1,2)关于原点O的对称点P2的坐标是__________．6．已知一条直线l平行于x轴，P1(－2,3)，P2(x2，y2)是直线l上的两点，且P1，P2的距离为4，则P2的坐标为__________．7．如图所示，正方形ABCD的边长为10，点E在CB的延长线上，EB＝10，点P在边CD上运动(C，D两点除外)，EP与AB相交于点F，若CP＝x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是__________．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C坐标是(3,4)，求顶点B的坐标．9．在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，解决下面的问题：(1)请描述图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC通过哪些变换方法得到的？(2)若以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(－3,1)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．参考答案基础自主导学自主测试1．B 2.A 3.(3，－2) 4.x ≠2 5.C 6.C规律方法探究变式训练 A 知能优化训练中考回顾1．B 2.B 3.D 4.x ＞－35．(1)1.2 50 (2)1.8 km/min(3)解：能够合理安排．方案：从故障点开始，在第二批学生步行的同时出租车先把第一批学生送到途中放下，让他们步行，再回头接第二批学生，当两批学生同时到达博物馆，时间可提前10分钟． 理由：设从故障点开始第一批学生乘车t 1分钟，汽车回头时间为t 2分钟，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧1.2t 1＋0.2(t 1＋t 2)＝48，0.2(t 1＋t 2)＋1.8t ＝1.2t 1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝32，t 2＝16. 从出发到达博物馆的总时间为：10＋2×32＋16＝90(分钟)，即时间可提前100－90＝10(分钟)．模拟预测1．D 2.A 3.D 4.C 5．(1，－2) (－1，－2) 6.(2,3)或(－6,3)7．y ＝152x (0＜x ＜10) 8．(8,4) 9．解：(1)先将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，再向右平移5个单位得到△A ′B ′C ′(或先平移再旋转也可)．(2)D (0，－2)，E (－4，－4)，F (2，－3)．S △DEF ＝6×2－12×4×2－12×2×1－12×6×1＝4.。

一平面直角坐标系互动课堂重难突破本课时的重点是坐标法思想与坐标伸缩变换,难点是怎样建立适当的坐标系及注意问题,对坐标伸缩变换的理解与应用一、坐标法思想1.坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法.例如在平面直角坐标系中，根据确定直线位置的几何要素，我们可以探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.在空间坐标系中，通过高次方程的计算，使人们对一些星体的轨迹运动和变化规律有所了解和掌握.2.坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系等.对于不同类型的几何图形，选用相应的坐标系可以使建立的方程更加简单.如要确定体育馆内一个位置，建立柱坐标系就比较适合，通过柱坐标我们可以比较精确地找到这个位置的所在地.3.“坐标法”应贯穿解析几何教学的始终，帮助同学们不断地体会“数形结合”的思想方法.在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点.在通过代数方法研究几何对象的位置以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系.4.平面直角坐标系是解析几何的基础,同学们应在已有知识的基础上做好自我完善,从解决问题中提高学习兴趣,激发学习的积极性和主动性,养成不断探求知识、完善自我的良好个性品质.进一步理解平面直角坐标系在对实际问题的解决中的重要作用,会用平面直角坐标系解决实际问题.二、用数学知识和方法解决实际问题1.教材中从实际问题引入数学方法，逐步把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法加以解决.如：利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，此时还不能确定爆炸点的准确位置.再增设一个观测点C，利用B、C两处测得的爆炸声的时间相同，可以求出一条直线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.2.存在的问题:把实际问题归结为数学模型是需要一定功底的，而我们普遍存在着一些问题：(1)不喜欢应用性问题中烦琐的文字叙述，不愿读下去，勉强读完也弄不清题意;(2)学过的概念、公式、方法到解题时用不上，找不到数学关系式，思路不清，容易混淆;(3)平时学习中对应用性问题接触太少，所以学习感到困难，不知如何下手，也不愿多做，导致心理上不愿学等等我们应注意运用数学方法、思想、观点去观察和分析各种实际问题，从中抽象出数学知识和数学规律，建立数学模型，并运用数学知识进行正确的运算和推理.3.要善于在普通语言中寻找数量关系，找出哪些是已知量，哪些是未知量，哪些是直接未知量，哪些是间接未知量，用数学语言把这些数量关系表示出来.4.化实际问题为数学模型，一方面要深入分析实际问题中的空间形式和各种数量关系，另一方面在学习数学理论的过程中，要仔细体会和寻求这些理论对解决实际问题的指导作用，努力把它应用于现实世界，以解决人们迫切需要解决的实际问题三、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换1.设点P(x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎨⎧>='>='0,,0,μμλλy y x x 的作用下,点P (x ,y )对应到点P ＇(x ＇,y ＇),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.3.坐标伸缩变换与我们前面学的坐标变换之间的关系两者都是将平面图形进行伸缩平移的变换.实质是一样的.比如正弦曲线经过这两种变换后，所得图形的形状是没有改变的.在一定的变换规律下椭圆能够变成椭圆，也能够变成圆.只是说法上和认识上的一点不同我们结合函数y =A sin(ωx +φ)的图象的形成过程(与y =A cos(ωx +φ)相类似)，看看在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况吧.函数y =sin ωx ,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.平面直角坐标系伸缩变换认为是一个坐标伸缩过程：保持纵坐标不变，将x 轴进行压缩或伸长函数y =A sin x ,x ∈R （其中A >0,ω≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A ＞1时）或缩短（当0＜A ＜1时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到.平面直角坐标系伸缩变换认为是一个坐标伸缩过程：保持横坐标不变，将y 轴进行压缩或伸长由此看出，两者只是说法上的不同，本质上是一样的另外，我们应该注意到：通过一个表达式，平面直角坐标系中坐标伸缩变换将x 与y 的伸缩变换统一成一个式子了,即⎩⎨⎧>='>='.0,,0,μμλλy y x x 我们在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧.P ＇(x ＇,y ＇)是变换图形后的点的坐标，P (x ,y )是变换前图形的点的坐标.活学巧用【例1】 究竟以什么样的方法建立平面直角坐标系，才能够使方程最为简单呢？在建立坐标系的过程中我们应该注意什么呢？探究:一般情况下我们有这样一个建立坐标系的规律：（1）当题目中有两条互相垂直的直线,以这两直线为坐标轴;（2）当题目中有对称图形，以对称图形的对称轴为坐标轴;（3）当题目中有已知长度的线段,以线段所在直线为对称轴，以端点或中点为原点直角坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件，列出方程.在将几何条件转化为代数方程的过程中，要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用，还会用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等另外，在化简过程中，我们要注意运算和变形的合理性与准确性，避免“失解”和“增解”.这一步内容中学阶段不作要求（从理论上讲则是必要的），多数情况下不会有什么问题，但若遇特殊情况则应该适当予以说明.【例2】 (2005江苏高考) 如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =2PN ,试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程解析:本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立适当坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：PM =2PN ，即(PM )2=2(PN )2，结合图形,由勾股定理转化为PO 12-1=2(PO 22-1)，设P (x ，y ),由距离公式写出代数关系式，化简整理可得解:如图,以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O 1(-2,0),O 2(2,0).设P (x ,y )，则PM 2=PO 12-MO 12=(x +2)2+y 2-1.同理,PN 2=(x -2)2+y 2- ∵PM =2PN ，即(x +2)2+y 2-1=2［(x -2)2+y 2-1］，即x 2-12x +y 2+3=0，即(x -6)2+y 2=33. 这就是动点P 的轨迹方程点评:这道高考题是考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考查建立坐标系、数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识点，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.【例3】 (1)在同一平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 4,21后的图形. ①y 2=2x ;②y =3sin2x .(2)将曲线C 按伸缩变换公式⎩⎨⎧='='yy x x 3,2变换后的曲线方程为x ＇2+y ＇2=1,则曲线C 的方程为(A.19422=+yxB.14922=+yxC.4x 2+9y 2=36D.4x 2+9y 2=1解:(1)由伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧'='=⎪⎩⎪⎨⎧='='.41,2,4,21y y x x y y x x 得 (*) ①将(*)代入y 2=2x ,得(41y ＇)2=2·(2x ＇).∴y ＇2=64x ＇.∴经过伸缩变换后抛物线y 2=2x 变成了抛物线y ＇2=64x ＇. ②将(*)代入y =3sin2x ,得41y ＇=3sin2·(2x＇∴y ＇=12sin4x ＇.∴经过伸缩变换后,曲线y =3sin2x 变成了曲线y ＇=12sin4x ＇(2)将⎩⎨⎧='='yy x x 3,2代入方程x ＇2+y ＇2=1,得4x 2+9y2故选D.【例4】 在同一平面直角坐标系中，将直线x -2y =2变成直线2x ＇-y ＇=4，求满足图象变换的伸缩变换.解:设变换为⎩⎨⎧>='>='.0,,0,μμλλy y x x 代入方程2x ＇-y ＇=4,得2λx -μy =4,与x -2y =2比较系数得λ=1,μ=4. ∴⎩⎨⎧='=',4,y y x x 即直线x -2y =2上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的4倍可得到直线2x ＇-y ＇点评:(1)求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出其变换公式，我们将新旧坐标分清，代入对应的直线方程，然后比较系数就可得了.(2)原曲线的方程f(x ,y )=0,新曲线的方程g(x ＇,y ＇)=0,以及坐标伸缩变换公式⎩⎨⎧>='>='0,,0,μμλλy y x x 中,“知二可求一”. 【例5】 已知f 1(x )=cos x ,f 2(x )=cos ωx (ω>0),f 2(x )的图象可以看作是把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为(A.21B.2C.3D.31解析一:f 1(x )=cos x →f 2(x )=cos3x解析二:⎩⎨⎧'='=∴⎪⎩⎪⎨⎧='='.,3,,31y y x x y y x x 将其代入y =cos x ,得到y ＇=cos3x ＇,即f 2(x )=cos3x . 答案:C点评:本题直接考查变换规律：函数y =cos ωx ,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.应用时谨防出错.。

人教版高中选修4-4一平面直角坐标系课程设计一、设计目的本次课程设计旨在通过对一平面直角坐标系的学习和掌握，使学生能够熟练运用一平面直角坐标系解决各种数学问题，同时锻炼学生的逻辑思维能力和创新能力。

二、设计内容本次课程设计共分为五个部分，分别为：一、一平面直角坐标系的基本概念；二、一元二次方程的图像和性质；三、直线与圆的位置关系；四、正多边形的坐标和对称性；五、三角函数的概念和性质。

2.1 一平面直角坐标系的基本概念本部分主要介绍一平面直角坐标系的基本概念，包括坐标轴、坐标和坐标系等概念，同时讲解如何在一平面直角坐标系中表示点、线段、向量等数学概念，并通过实例演示如何计算两点之间的距离、点到直线的距离等问题。

2.2 一元二次方程的图像和性质本部分主要介绍一元二次方程的图像和性质，包括一元二次方程的标准式、顶点式和根式等，以及如何利用一平面直角坐标系表示一元二次方程的图像。

同时，通过实例演示如何求解一元二次方程的顶点、轴、对称轴等问题，培养学生分析和解决问题的能力。

2.3 直线与圆的位置关系本部分主要介绍直线与圆的位置关系，包括直线与圆的相离、相切和相交等情况，同时演示如何利用一平面直角坐标系求解直线与圆的位置关系的问题。

通过实例演示，培养学生观察和判断几何关系的能力，提高学生的实际应用能力。

2.4 正多边形的坐标和对称性本部分主要介绍正多边形的坐标和对称性，包括正三、四、五边形等多边形的坐标和对称性特点。

同时通过实例演示如何在一平面直角坐标系中表示正多边形的顶点和对称轴等问题，培养学生分类和归纳问题的能力。

2.5 三角函数的概念和性质本部分主要介绍三角函数的概念和性质，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、周期、对称性和图像等特性。

同时，演示如何利用一平面直角坐标系表示三角函数图像和解决三角函数的应用问题。

通过实例演示，培养学生掌握三角函数的基本技能，并锻炼学生的抽象思维和推理能力。

三、教学方法本次课程设计采用传统教学法与探究式教学法相结合的教学方法。

精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan教师学科教课设计[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校第一部分坐标系第 1 节：平面直角坐标系教课目的：1.理解平面直角坐标系的意义；掌握在平面直角坐标系中刻画点的地点的方法。

2.掌握坐标法解决几何问题的步骤；领会坐标系的作用。

教课要点：领会直角坐标系的作用。

教课难点：能够成立适合的直角坐标系,解决数学识题。

讲课种类：新讲课教课模式：启迪、引诱发现教课.教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：情境 1：为了保证宇宙飞船在预约的轨道上运转，并在按计划达成科学观察任务后，安全、正确的返回地球，从火箭升空的时辰开始，需要随时测定飞船在空中的地点机器运动的轨迹。

情境 2：运动会的开幕式上经常有大型集体操的表演，此中不停变化的背景图案是由看台上座位摆列齐整的人群不停翻着手中的一本画布组成的。

要出现正确的背景图案，需要弊端不一样的画布所在的地点。

问题 1：怎样刻画一个几何图形的地点？问题 2：怎样创立坐标系？二、学生活动学生回首刻画一个几何图形的地点，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P 都能够由唯一的实数x 确立2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条相互垂直的直线的交点为原点，并确立了胸怀单位和这两条直线的方向，就成立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点 P 都能够由唯一的实数对（ x,y）确立。

3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确立了胸怀单位和这三条直线方向，就成立了空间直角坐标系。

它使空间上任一点P 都可以由唯一的实数对（x,y,z）确立。

三、解说新课：1、成立坐标系是为了确立点的地点，所以，在所建的坐标系中应知足：随意一点都有确立的坐标与其对应；反之，依照一个点的坐标就能确立这个点的地点2、确立点的地点就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例 1 选择适合的平面直角坐标系，表示边长为 1 的正六边形的极点。

⼈教A版⾼中数学选修4-4第⼀讲1.1平⾯直⾓坐标系教案平⾯直⾓坐标系本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作⽤，掌握坐标法的解题步骤，会运⽤坐标法解决实际问题与⼏何问题.⼀、温故⽽知新1．到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹⽅程.回顾：⼆、重点、难点都在这⾥【问题1】：某信息中⼼接到位于正东、正西、正北⽅向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到⼀声巨响，正东观测点听到巨响的时间⽐它们晚4s.已知各观测点到中⼼的距离都是1020m.试确定巨响发⽣的位置.（假定声⾳传播的速度为340m/s ，各观测点均在同⼀平⾯上.）练⼀练：3．相距1400m 的A 、B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s.已知声速为340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？4．有三个信号检测中⼼A 、B 、C ，A 位于B 的正东，相距6千⽶，C 在B 的北偏西300，相距4千⽶.在A 测得⼀信号，4秒后B 、C 同时测得同⼀信号.试求信号源P 相对于信号A 的位置（假设信号传播速度为1千⽶/秒）.课前⼩测典型问题【问题2】：已知⊿ABC 的三边c b a ,,满⾜2225a c b=+，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，建⽴适当的平⾯直⾓坐标系探究BE 与CF 的位置关系.三、懂了，不等于会了5．选择适当的坐标系，表⽰边长为1的正三⾓形的三个顶点的坐标.6．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平⽅和为26，求点M 的轨迹.7．求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标.8．求证：三⾓形的三条⾼线交于⼀点.四、试试你的⾝⼿呀9．已知A （-2，0），B （2，0），则以AB 为斜边的直⾓三⾓形的顶点C 的轨迹⽅程是 . 10．已知A （-3，0），B（3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94，则点M 的轨迹⽅程是 .11．已知B 村位于A 村的正西⽅向1公⾥处，原计划经过B 村沿着北偏东600的⽅向埋设⼀条地下管线m.但在A 村的西北⽅向400⽶处，发现⼀古代⽂物遗址W.根据初步勘察的结果，⽂物管理部门将遗址W 周围100⽶范围划为禁区.试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？技能训练变式训练五、你有什么收获？写下你的⼼得应该记住的内容：重点内容：个⼈⼼得：12．在体育场排练团体操，甲、⼄两名同学所在位置的坐标分别为（2，1）、（3，2），丙同学所在位置的坐标为),5(a .若这三名同学所位置是在⼀条直线上，则a 的值为．13．到两坐标轴距离相等的点的轨迹⽅程是．14．已知直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是．本课⼩结七、记下你的疑惑4.1.1—第⼀课【问题1】解：巨响在信息中⼼的西偏北450⽅向，距离m 10680处，．【问题2】解：BE 与CF 互相垂直，解答见课本第4页. 1．轨迹是线段AB 的垂直平分线，轨迹⽅程是x y -=；2．轨迹是双曲线的左⽀，轨迹⽅程是)3(116922-<=-x y x ；本课质疑3．爆炸点在以A 、B 为焦点的双曲线上，双曲线⽅程为122990026010022=-y x ；4．点P 位于点A 的北偏东300，相距10千⽶的位置；5．答案不唯⼀.对于图（1），)23,0(),0,21(),0,21(C B A -；对于图（2），)23,21(),0,1(),0,0(C B A ；6．点M 的轨迹是以这两个定点的中点为圆⼼，2为半径的圆； 7．)31,3(),2,21(--； 8．如图，以AB 所在直线为x 轴，边AB 上的⾼CD 所在直线为y 轴建⽴直⾓坐标系.设),0(),0,(),0,(c C b B a A -，则bck a c k BC AC -==,.∵AC BE BC AD ⊥⊥,，∴c a k c b k BEAD -==,，∴直线AD 、BE 的⽅程分别为)(),(b x cay a x c b y --=+=，联⽴解得0=x .所以AD 、BE 的交点H 在y 轴上.因此，三⾓形的三条⾼线交于⼀点；9．)0(422≠=+y y x；10．)0(14922≠=-y y x ； 11．如图，以A 为原点，正东⽅向和正北⽅向分别为x 轴和y 轴的正⽅向建⽴直⾓坐标系，则A （0，0），B （-1000，0），)2200,2200(-W .由于直线m 的⽅程是010003=+-y x ，于是点W 到直线m 的距离为100)625(100>--=d ，所以埋设地下管线m 的计划可以不修改；12．4； 13．0=-y x ；14．（4，2）.。