用构造法求数列的通项公式
求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用
例1:（06年福建高考题）数列{}
=+==+n n n n a a a a a 则中12,1,11 ( ) A ．n 2 B ．12+n C ．12-n D ．12+n
解法1：121+=+n n a a
)1(22211+=+=+∴+n n n a a a
又211=+a
21
11=++∴+n n a a {}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列
12,22211-=∴=⋅=+-n n n n n a a ,所以选C
解法2
归纳总结：若数列{}n a 满足q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数），则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列，并利用对应项相等求λ的值，求通项公式。
例2：数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,3,11221-===++，则=n a 。
解：)(2112n n n n a a a a -=-+++
212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列。
112--=-n n n a a ，（n>1）
n>1时
122
1211
222)()()(211
12211-=--=++++=+-++-+-=-----n n
n n n n n n n a a a a a a a a
显然n=1时满足上式 ∴=n a 12-n
小结：先构造{}n n a a --1等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，
例3：已知数列{}n a 中)3(,32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n 求这个数列的通项公式。 解：2132--+=n n n a a a
)(3211---+=+∴n n n n a a a a
又{}121,7-+=+n n a a a a 形成首项为7，公比为3的等比数列，
则2137--⨯=+n n n a a ………………………①
又)3(3211-----=-n n n n a a a a ，
13312-=-a a ，{}13--n n a a 形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列
则21)1()13(3---⋅-=-n n n a a ………………………②
①+⨯3②11)1(13374---⋅+⨯=n n n a
11)1(4
13347---+⨯=∴n n n a 小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。
例4：设数列{}n a 的前项和为n n n n S a S =-22,若成立，(1)求证：{}
12-⋅-n n n a 是等比数列。(2)求这个数列的通项公式
证明：(1)当2,)1(2,1111=∴-=-⋅=a a b a b n
又n n n S b a b ⋅-=-⋅)1(2 ………………………①
111)1(2+++⋅-=-⋅∴n n n S b a b ………………………②
②—①11)1(2++⋅-=-⋅-⋅n n n n a b a b a b
n n n a b a 21+⋅=∴+
当2=b 时，有n n n a a 221+=+
)2(22)1(222)1(11-+⋅-⋅=⨯+-+=⨯+-∴n n n n n n n n a n a n a
又12111=--a
{}
12-⋅-∴n n n a 为首项为1，公比为2的等比数列，
(2)
1112)1(,22---⋅+=∴=⋅-n n n n n n a n a
小结：本题构造非常特殊，
要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。
例5：数列{}n a 满足111232,3++⋅+==n n n a a a ，则=n a
A ．n n 2)13(⋅-
B ．12
)36(-⋅-n n C ．12)12(3+⋅-n n D ．12)23(-⋅-n n 解：322,2321111+=∴⨯+=++++n n n n n n n a a a a 232,322111==-∴++a a a n
n n n 又 ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∴n n
a 2构成了一个首项这23，公差为3的等差数列， 2333)1(232
-=⨯-+=∴n n a n n 112)36()2
33(22--⨯-=-⋅⨯=n n n n n a 所以选B 。 小结：构造等比数列，注意形n n a 2，当1+→n n 时，变为112
++n n a 。 例6：已知函数)0(,)2()(2≥+
=x x x f ，又数列{}n a 中21=a ，其前n 项和为,n S )(*∈N n ，对所有大于1的自然数n 都有)(1-=n n S f S ，求数列{}n a 的通项公式。 解：2
112)2()(,)2()(+==+=--n n n S S f S x x f 2,211=-∴+=∴--n n n n S S S S
211==a S
{}
n S ∴是首项为2，公差为2的等差数列。
22,22)!(2n S n n S n n =∴=-+=。
2≥n 时，24)1(22221-=--=-=-n n n S S a n n n
且当1=n 时，21421-⨯==a 符合条件
