2017上海高考数学试题(Word版含解析)

2017年上海市高考数学试卷
2017.6
一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =
2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m =
3. 不等式的解集为
4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于
5. 已知复数z 满足，则||z =
6. 设双曲线(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该
双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =
7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐
标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为 8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若为 奇函数，则1()2f x -=的解为
9. 已知四个函数：① y x =-；② ；③ 3
y x =；④ 12
y x =. 从中任选
2个，则事
件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于
任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则 11. 设1a 、2a ∈R ，且1211
22sin 2sin(2)
αα+=++，则12|10|παα--的最小值
等于
12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的
点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点
P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“
”的点
分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式D 为（ ） A. B. C. D. 14. 在数列{}n a 中，，*n ∈N ，则lim n n a →∞
（ ）
A. 等于1
2- B. 等于0 C. 等于12
D. 不存在
15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，
则“存在*k ∈N ，
使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A. 0a ≥
B. 0b ≤
C. 0c =
D.
20a b c -+=
16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆和. P 为1C 上的动
点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）
A. 2个
B. 4个
C. 8个
D. 无穷个
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和
AC 的长分别为4和2，侧棱
1AA 的长为5.
（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；
（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 及平面ABC 所成角的大小.
18. 已知函数221()cos sin 2
f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边
a =，角B 所对边5
b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.
19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），
其中4
515,13
10470,4
n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是
前n 个月的
累计投放量及累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量
24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到
最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于
上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点. （1）若
P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；
（2）设，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横
坐标；
（3）若||||MA MP =，直线AQ 及Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，
4PQ PM
=，
求直线AQ 的方程.
21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.
（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；
（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；
（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值.
函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.
2017年上海市高考数学试卷
2017.6
一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B = 【解析】{3,4}A B =
2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m = 【解析】3m =
3. 不等式的解集为
【解析】111100x x x
->⇒<⇒<，解集为(,0)-∞
4. 已知球的体积为36π
，则该球主视图的面积等于 【解析】3436393
r r S πππ=⇒=⇒= 5. 已知复数z 满足，则||z = 【解析】23||z z z =-⇒=⇒=6. 设双曲线(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若
1||5PF =，
则2||PF =
【解析】226||11a PF =⇒=
7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐
标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为 【解析】(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-
8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若为 奇函数，则1()2f x -=的解为
【解析】()31(2)918x f x f =-+⇒=-+=-，∴1()2f x -=的解为8x =- 9. 已知四个函数：① y x =-；② ；③ 3
y x =；④ 12
y x =. 从中任选
2个，则事
件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为
10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于
任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则 【解析】2
22149161491612341234lg()
()2lg()
n
n
a b n n b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b =⇒=⇒=⇒
=
11. 设1a 、2a ∈R ，且
1211
22sin 2sin(2)
αα+=++，则12|10|παα--的最小值
等于 【解析】，，∴
1211
12sin 2sin(2)
αα==++，
即12sin sin(2)1αα==-，∴，，
12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的
点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点
P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“
”的点
分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为 【解析】1P 、3P
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式D 为（ ）
A. B. C. D. 【解析】C
14. 在数列{}n a 中，，*n ∈N ，则lim n n a →∞
（ ）
A. 等于12-
B. 等于0
C. 等于12
D. 不存在 【解析】B
15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，
则“存在*k ∈N ，
使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A. 0a ≥
B. 0b ≤
C. 0c =
D.
20a b c -+=
【解析】A
16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆和. P 为1C 上的动
点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）
A. 2个
B. 4个
C. 8个
D. 无穷个
【解析】D
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和
AC 的长分别为4和2，侧棱
1AA 的长为5.
（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 及平面ABC 所成角的大小. 【解析】（1）20V S h =⋅= （2），线面角为
18. 已知函数221
()cos sin 2
f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边
a =，角B 所对边5
b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.
【解析】（1），(0,)x π∈，单调递增区间为
（2），∴225191
cos 2252
c A c c +-=
=⇒=⋅⋅或3c =， 根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，
19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），
其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪
=⎨-+≥⎪⎩
，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是
前n 个月的
累计投放量及累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量
24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到
最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【解析】（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-=
（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大
12341234(42050)38(647)42
()()[965]8782
22
a a a a
b b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+
-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.
20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上
异于
上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点. （1）若
P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；
（2）设，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；
（3）若||||MA MP =，直线AQ 及Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，
4PQ PM
=，
求直线AQ 的方程.
【解析】（1）联立及222x y +=，可得
（2）设(,0)M m ，28
3833(,1)(,)055555
MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=或1m =
8283864629(,)(,)0555********
PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=
（3）设00(,)P x y ，线段AP 的中垂线及x 轴的交点即，∵4PQ PM =， ∴，∵2AQ AC =，∴，代入并联立椭圆方程， 解得，，∴，∴直线AQ 的方程为
21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.
（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；
（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；
（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值.
函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.
【解析】（1）0a ≥；（2）略；（3）略.。