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x = 2.4 時的一次導數值 原始範例方程式
f ( x) 2x 3x 5
一次微分式
2
f ' ( x) 4 x 3
各階微分式
6
一次微分式
f ' ( x) 4 x 3
兩次微分式 三次微分式 四次微分式
f ' ' ( x) 4 f ' ' ' ( x) 0 f ' ' ' ' ( x) 0
13
摘列4種一階導數之數值方法計算式 f i 1 f i f ' ( xi ) O ( h) h
f i 1 f i 1 f ' ( xi ) O(h 2 ) 2h
f i 2 4 f i 1 3 f i f ' ( xi ) O(h 2 ) 2h
xn
fn
19
3.8 45.28
2.6
26.32
2.8
29.08
3.0
32.00
3.2
35.08
3.4
38.32
3.6
41.72
20
4.0 49.00
21
4.2 52.88
22
4.4 56.92
23
4.6 61.12
24
4.8 65.48
25
5.0 70.00
原函數直接微分之結果
9
在
x = 2.4 時，一次導數的計算結果
泰勒級數展開
21
The
Taylor-Series Expansion
y( x) y( x0 ) y' ( x0 )(h)
h x x0
y" ( x0 ) 2 h 2!
y ' " ( x0 ) 3 h ... 3!
數值微分 – 寬間距數據
22
n xn
0
1 2
fn
5；f(1,1)
偽碼法 - 計算流程
15
宣告變數位元數：依需要宣告
如整數、實數、字元 是否需要倍準制等等
Open
開啟輸入與輸出指定路徑之檔案
偽碼法 - 計算流程
16
Read
讀入數據：
N = 26；數據點 Nn = 13；計算點 Xx = 2.4；計算點的值 x(i) , f(i) ， i=1,n；以迴圈讀入數據 選擇計算點Xx，確定 i = Nn 值
微分和積分 與 微分方程
張基昇製作
1
目錄
2
數值微分
小等間距數據 寬間距數據
• 寬等間距數據 • 寬不等間距數據
數值積分 微分方程
數值微分
3
數值微分
小等間距數據 寬等間距 寬不等間距
數值微分 – 小等間距數據
4
數值微分
小等間距數據
數值微分 – 小等間距數據
5
問：計算在
20
The
Taylor-Series Expansion
y( x) y( x0 ) y' ( x0 )(x x0 )
x x0 x x x x0 h x x0
y" ( x0 ) 2 ( x x0 ) 2!
y ' " ( x0 ) 3 ( x x0 ) ... 3!
Write
輸出計算結果
數值微分 – 寬間距數據
18
數值微分
寬等間距數據 寬不等間距數據
數值微分 – 寬間距數據
19
問：計算在
x = 2.4 時的一次導數值 數據之原始範例方程式
f ( x) 2x 3x 5
一次微分式
2
f ' ( x) 4 x 3
泰勒級數展開
偽碼法 - 計算流程
17
選擇計算式；依計算準確度選擇
Fd1i = (f(i+1) - f(i))/h Fd1i = (f(i+1) - f(i-1))/(2*h) Fd1i = (-f(i+2) + 4. * f(i+1) – 3. * f(i)) / (2.*h) ； Fd1i = (-f(i+2) + 8. * f(i+1) – 8. * f(i-1) + f(i-2)) / (12. * h)
f i 2 8 f i 1 8 f i 1 f i 2 f ' ( xi ) O(h 4 ) 12 h
偽碼法 - 計算流程
14
宣告矩陣：dimension
x(50)、f(50)，
兩變數都以一維向量宣告。 矩陣位址不可使用 0，亦即在數據點 n = 0 的 x = 0.0 和 f = 5.0 點，在矩陣是 放在 x(1) 與 f(1) 的變數中。 但在數值方法中，則由 n = 0 為起始， 做算式推衍與分析。
數據表
7
N
0
1
2
3
4
5
xn
fn
6
1.2 11.48
0.0
5.00
0.2
5.68
0.4
6.52
0.6
7.52
0.8
8.68
来自百度文库1.0
10.00
7
1.4 13.12
8
1.6 14.92
9
1.8 16.88
10
2.0 19.00
11
2.2 21.28
12
2.4 23.72
數據表
8
N
13
14
15
16
17
18
= (26.32 - 21.28) / (2 * 0.2) = 12.6
一階導數計算式
11
摘列4種一階導數之數值方法計算式
f 2 4 f1 3 f 0 2 f ' ( x0 ) O(h ) 2h
= (-29.08 + 4 * 26.32 - 3 * 23.72) / (2 * 0.2) = 12.6
f ' ( x) 4 x 3
f
’(x)= 4.* x + 3. = 4 * 2.4 +3 =12.6
一階導數計算式
10
摘列4種一階導數之數值方法計算式
f1 f 0 f ' ( x0 ) O ( h) h
= (26.32 - 23.72) / 0.2 = 13.0
f1 f 1 f ' ( x0 ) O( h 2 ) 2h
一階導數計算式
12
摘列4種一階導數之數值方法計算式
f 2 8 f1 8 f 1 f 2 f ' ( x0 ) O(h 4 ) 12h
= (-29.08 + 8 * 26.32 - 8 * 21.28 + 19.00) / (12 * 0.2) = 12.6
計算通式
10；f(2,1) 19；f(3,1)
n
0
1 2
xn
0
2 3
fn
5；f(1,1)
19；f(2,1) 32 ；f(3,1)
0
1 2
3
4 5
3
4 5
32；f(4,1)
49；f(5,1) 70；f(6,1)
3
4 5
4
5 6
49；f(4,1)
