f={<1,p>, <2,p>,<3,q>}, g={<p,b>,<q,b>}，求 g f 。
解： g f ={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
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二．复合函数
P153 定理4-2.2 两个函数的复合是一个函数。
证明：设： g: WZ ， f: XY，g在函数f左边可复合，即 f(X) W。
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一．逆函数
例：设A={1,2,3},B={a,b,c},f:A B为 f={<1,a>,<2,c>,<3,b>}
则 f-1={<a,1>,<c,2>,<b,3>} 。
若 f={<1,a>,<2,b>,<3,b>} 则f的逆关系 fc={<a,1>,<b,2>,<b,3>}就不是一个函数。 例: 设X={1,2,3}，Y={p,q}, Z={a,b},
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二．复合函数
P153 定理 4-2.3 令gof是一个复合函数 a)若g和f满射的，则gof是满射的。 b)若g和f是入射的，则gof是入射的。 c)若g和f是双射的，则gof是双射的。
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二．复合函数
定义4-2.3 函数f:X Y叫做常函数，如果存在某个 y0 Y,对于每个x X,都有f(x)= y0 ,即
a)(象存在性） 对于任意xX，因为f为函数，故必有唯一的序偶<x,y>使 y=f(x)成立，而f(x)f(X)即y=f(x)W 又因为g是函数，故对任意yW，必有唯一序偶<y,z>使 z=g(y)成立， 根据复合定义，<x,z>gof，即X中每个x对应Z中的某个z。
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b)(象唯一性) 假定gof中包含序偶<x,z1>和<x,z2>且z1z2， 这样在Y中必存在y1和y2，使得在f中有<x,y1>和<x,y2>, 在g中有<y1,z1>和<y2,z2>。 因为f是一个函数，故y1=y2。 于是g中有<y,z1>和<y,z2>，但g是一个函数，故z1=z2， 与假设z1z2矛盾 即有每个xX只能有唯一的<x,z>gof。
f -1 = {<y1, x1>, <y1, x2>, <y2, x3>} 显然只是关系而不是函数。因为y1对应两个值x1, x2。破坏了单值性。 在什么情况下函数的逆也是函数呢？
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一．逆函数
定理4-2.1 设 f ：X→Y是一个双射函数，那么f c为Y到X的
双射函数，即有f c ：Y→X 。
第三章 集合与关系
4-2 逆函数和复合函数 授课人：李朔 Email:chn.nj.
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一．逆函数
函数是一种特殊的关系, 若R是从X到Y的关系，则 逆关系Rc为从Y到X的关系，但对于任意给定一个 函数f，它的逆不一定是函数，例如函数
其逆
f = {<x1, y1>, <x2, y1>, <x3, y2>}
f(X)={y0}。 定义4-2.4 如果Ix={<x,x>|x X},则称函数Ix: X Y 为恒等函数。 由以上定义直接得到：定理4-2.4 设函数f: X Y, 则f=foIx =IYof。 定理4-2.5 如果函数f:X Y有逆函数f-1:Y X,则 f –1of=Ix 且f of –1 =IY
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定义4-2.1 设f ：X→Y是一个双射函数，称 Y→X 的双射函数f c为f的逆函数，记为f -1 。
定义4-2.2 设函数f ：X→Y, g：W→Z,若f (X)W， 则 g f ={<x,z>|xX∧zZ∧(y)(yY∧y= f (x)∧ z=g(y))},称g在函数f 的左边可复合。
证明：因f是函数，f -1是关系，故 dom f -1 = ranf = Y, ranf -1 = domf = X 对任一，设x1, x2X，使 <y, x1>, <y, x2> f –1，则 <x1, y>, <x2, y> f 由f为单射，故x1 = x2，即对任一yY, 有唯一x X与之对应， 故f -1为从有y到x的函数。 又因ran f -1 = X，故f -1: yx是满射。 对任y1, y2Y，y1≠y2，假设存在使 x = f-1(y1) = f-1(y2) 则<x, y1>, <x, y2>f，且y1≠y2 这与f为函数矛盾。故f -1 (y1 ) ≠ f -1 (y2),即f -1: YX为单射。 即f -1是双射。
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二．复合函数
P135定理4-2.6 若f : XY是一一对应函数，则 ( f -1)-1 = f。
证：因f是XY一一对应，故f -1 : YX也是一一对应函数， 因此(f -1)-1: X Y又为一一对应函数。易见 domf = dom ( f -1)-1 = X
求fog, gof , fof, gog, hof, goh, foh, fohog.
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二．复合函数
解：所求的复合函数都是RR的函数，且 fog (x) = f (g (x)) = (2x+1) + 3 = 2x+4 gof (x) = g (f (x)) = 2(x+3) + 1 = 2x+7 fof (x) = f (f (x)) = (x+3) + 3 = x+6 gog (x) = g (g (x)) = 2(2x+1) = 4x+3 hof (x) = h (f (x)) = (x+3)/2 goh (x) = g (h (x)) = (2x)/2 = x+1 foh (x) = f (h (x)) = (x/2) + 3 fohog (x) = fo(hog(x))=f (h(g (x))) = [ (2x+1)/2 ]+3 = x + (7/2) *函数的复合仍然是一个函数，故可求三个函数的复合。 *一般的我们有(foh)og= fo(hog)=fohog
由a),b)可知gof是一个函数。
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二．复合函数
*例：设, f (x) = x+2, g (x) = x-2, h (x) = 3x 则 gof = {<x, x> xR} hogof = {<x, 3x> xR}
*例：设f, g, h都为RR的函数பைடு நூலகம்且 f (x) = x+3, g (x) = 2x+1, h (x) = x/2
