第9讲 圆锥曲线的综合问题
一、知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0消元(如消去y )，得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)；
②若a ≠0，Δ＝b 2
－4ac .
a ．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；
b ．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
c ．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长： |P 1P 2|＝（1＋k 2
）[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2] ＝1＋k 2
·|x 1－x 2| ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]
＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|．
(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
(3)直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，联立直线方程与曲线方程，消去y 得Ax 2
＋Bx ＋C
＝0，Δ＝B 2
－4AC >0，则|PQ |＝Δ（1＋k 2）
|A |
.
3．圆锥曲线的中点弦问题
遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．
在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a y 0；在双曲线x 2
a 2－
y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2
＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p
y 0．在使用根与系数关系时，要注意前提条件是
Δ≥0.
常用结论
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系的特点
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 二、教材衍化
1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2
＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
解析：选C.过(0，1)与抛物线y 2
＝4x 相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．
2．已知与向量v ＝(1，0)平行的直线l 与双曲线x 2
4－y 2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |
的最小值为________．
解析：由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 2
4
－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2
)，
所以x 1＝4（1＋m 2）＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2
， 所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2
≥4， 即当m ＝0时，|AB |有最小值4. 答案：4
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l 与抛物线y 2
＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2
－y 2
＝1一定相交．( )
(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( ) (5)过点(2，4)的直线与椭圆x 2
4＋y 2
＝1只有一条切线．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)没有发现直线过定点，导致运算量偏大； (2)不会用函数法解最值问题； (3)错用双曲线的几何性质．
1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系为( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
解析：选A.直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选A.
2．如图，两条距离为4的直线都与y 轴平行，它们与抛物线y 2
＝－2px (0＜p ＜14)和圆(x －4)2
＋y 2
＝9分别交于A ，B 和C ，D ，且抛物线的准线与圆相切，则当|AB |·|CD |取得最大值时，直线AB 的方程为________．
解析：根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得p
2＝1或7，又0＜p ＜14，故p ＝2，设
直线AB 的方程为x ＝－t (0＜t ＜3)，则直线CD 的方程为x ＝4－t ，则|AB |·|CD |＝
