圆锥曲线的七种常考题型
题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：
（1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用
（1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题
例1、动圆M 与圆C 1：()2
2
136x y ++=内切,与圆C 2：()2
2
14x y -+=外切,求圆心M 的
轨迹方程。
例2、8=表示的曲线是
题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由2
2
x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由2
2
x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题
例1、已知方程1212
2=-+-m
y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是
例2、k 为何值时,方程
1592
2=---k
y k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线.
题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解
2、12PF m PF n ==，，2
2
m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题
例1、椭圆x a y
b
a b 222
210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ，
求21PF F ∆的面积。
例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且
6021=∠PF F ，
31221=∆PF F S ．求该双曲线的标准方程
题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法
1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；
2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；
3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题
例1、已知1F 、2F 是双曲线122
22=-b
y a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作
正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. 324+
B. 13-
C.
2
1
3+ D. 13+ 例2、双曲线)00(122
22>>=-b a b
y a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其
上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3)
B.(]13，
C.(3,+∞)
D.[)3,+∞
例3、椭圆G ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在
点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围；
例4、已知双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞
题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系
点在椭圆内⇔122
22<+b y a x
点在椭圆上⇔122
22=+b y a x
点在椭圆外⇔122
22>+b
y a x
2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：
∆>0⇔相交
∆=0⇔相切 （需要注意二次项系数为0的情况） ∆<0⇔相离
3、弦长公式： =
AB )(11212212x x k x x k -+=-+a
k ∆
+=2
1 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+
a k
∆+=211
4、圆锥曲线的中点弦问题： 1、韦达定理： 2、点差法：
（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简 （2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系
典型例题
例1、双曲线x 2－4y 2=4的弦AB －被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程.
例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l :x+y=1交于A,B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|=22，O 为坐标原点，OC 的斜率为2
2
，求椭圆的方程。
题型六：动点轨迹方程：
1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
2、求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：直接利用条件建立
之间的关系
；
例1、如已知动点P 到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
例2、如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）
，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，
以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 例3、由动点P 向圆
作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600
，则动点
P 的轨迹方程为
