高一数学必修4课件：1.2.1.2三角函数线

怎样用有向线段表示正弦 函数值？
sin y r=1 sin y 几何表示 sin MP
r cos x r=1 cos x 几何表示 cos OM
r
三角函数线
y
Ｔ 有向线段MP叫做角 的正弦线.
任
P
有向线段OM叫做角 的余弦线.
意 角
O Ｍ Ａ有x 向线有段向M线P段能角,OA不MT,的能叫AT正用做都切有角称呢向为的？线三正段角切表函线示数. 线.
P(x,y) sin y tan y
函
r
r
x
数

O
M x
cos x
r
议一议：是否可以在角的终边上取一
个特殊点 P，使得三角函数值的表达式更
为简单？ y
能不能用线段表示纵坐标？
怎样才能做到这一点？
Ｍ
O
角 的终边 . r=1
P(x,y)
共识 为了用线段来表示负数，
x 我们需要对线段重新定义.
函
3
O
x
数
数学应用
思考：根据单位圆中的三角函数线，探究：
任 （１）正弦函数、余弦函数、正切函数的值域；
意 （２）正弦、余弦函数在区间[0,2 ]上的单调性；
角 的 三
（３）正切函数在区间 ( , )上的单调性.
22
解：根据单位圆中的三角函数线，得：
角 （１）正弦、余弦、正切函数的值域分别 函 为[1,1]，[1,1] ，(,)； 数
本节课到此结束，感谢各位的光临！
课堂小结：
１．三角函数线的作法；
任 ２．利用三角函数线的直观性解决三角函数的
意 角 的
有关性质.
布置作业：

数学 必修4 A
第一章 三角函数
(4)过点 A 作 x 轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于 点 T.
(5)有向线段 MP，OM，AT 即分别为角的正弦线，余弦线 和正切线．
数学 必修4 A
第一章 三角函数
2．把握 4 个要点 理解三角函数线应注意以下四点 (1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位 圆外； (2)方向：正弦线由垂足指向 α 的终边与单位圆的交点；余 弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与 α 的终边(或其 延长线)的交点；
第一章 三角函数
第一章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.1 三角函数线及应用(2)
数学 必修4 A
第一章 三角函数
掌握几个要点
题知 点识知点识判巩断固
提能达标过关
数学 必修4 A
第一章 三角函数
掌握几个要点
数学 必修4 A
第一章 三角函数
1．掌握 1 个作法 三角函数线的作法 (1)作平面直角坐标系和角的终边． (2)作单位圆，与角的终边的交点为 P，与 x 轴正半轴的交 点为 A. (3)过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M.
图①
图②
(2)作出34π 的正切线 AT 如图②所示．
数学 必修4 A
第一章 三角函数
知识点二 利用三角函数线比较三角函数值大小 3．下列关系式中正确的是( ) A．sin 10°<cos 10°<sin 160° B．sin 160°<sin 10°<cos 10° C．sin 10°<sin 160°<cos 10° D．sin 160°<cos 10°<sin 10° 解析：选 C 在同一单位圆中画出 10°和 160°的三角函数 线，易得 sin 10°<sin 160°<cos 10°.故选 C.

π 5π (2)如图所示，在 0～2π 内作出正切值等于 1 的角：4和 4 ， 则在图中所示的阴影区域内的每个角 x(不包括终边在 y 轴上的 角)均满足 tanx≤1.
π 5π π 所以所求的角 x 的集合为： {x|2kπ＋2<x≤ 4 ＋2kπ 或－2＋ π π π 2kπ<x≤4＋2kπ，k∈Z}＝{x|kπ－2<x≤kπ＋4，k∈Z}．
cos OM tan AT
O P
A(1,0)
α的终边
终边落在第四象限
y
α
sin MP
M A(1,0)
O
P
T
x
cos OM tan AT
α的终边
α的终边 y P α
M
三角函数线
y α的终边 P T x
A(1,0) T
α
O y
O
M A(1,0)
x
sin MP cos OM
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
用 途
三角函数线的具体作用 :
1.比较两个三角函数值的大小
实例
剖析
3π 例1、作出 2π 的正弦线、余弦线和正切线.. 4 3
解：在直角坐标系中作单位圆如图示 2
y y
以x轴的正半轴为始边作出 的角， 3 其终边与单位圆交于P点，作PM x轴，垂足
为M，由单位圆与x轴的正半轴的交点A作 x轴的垂线, 与OP的反向延长线交于T点，
P

M 第2课时 三角函数线
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UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做1】 如图,P是角α的终边与单位圆的交点,PM⊥x轴于
M,AT和A'T'均是单位圆的切线,则角α的( )
A.正弦线是PM,正切线是A'T' B.正弦线是MP,正切线是A'T' C.正弦线是MP,正切线是AT D.正弦线是PM,正切线是AT 答案:C
-7-
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
三角函数线的应用 剖析:三角函数线是三角函数值的直观表达形式,从三角函数线
的方向可以看出三角函数值的符号,从三角函数线的长度可以看出 三角函数值的绝对值的大小.三角函数线的主要作用是解三角方程 和不等式、证明三角不等式、求函数的定义域及其比较大小,同时 它也是以后画三角函数图象的基础.
-13-
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题型一 题型二 题型三
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-14-
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D典例透析
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【变式训练 2】 已知 cos α≥ , 试求出角������的集合 . 解:
如图 ,在平面直角坐标系内作直线 x= 2������π +
π ,������∈Z 3 1 2
1 交单位圆于A,B 2
两点 ,当 α 的
π 3
终边落在阴影部分时 ,cos α≥ , 所以角α 的集合为 ������ 2������π明目标、知重点
π 6
+ 2������π 或������ =
5π 6
+ 2������π,������∈Z .
反思形如sin α=m,cos α=n,tan α=t的等式,可借助三角函数线写出 α组成的集合.其步骤是:(1)在单位圆中画出α的终边;(2)在[0,2π)内 找出满足条件的角 ;(3)用终边相同的角的集合写出角. 明目标、知重点
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三角函数线的应用 剖析:三角函数线是三角函数值的直观表达形式,从三角函数线 的方向可以看出三角函数值的符号,从三角函数线的长度可以看出 三角函数值的绝对值的大小.三角函数线的主要作用是解三角方程 和不等式、证明三角不等式、求函数的定义域及其比较大小,同时 它也是以后画三角函数图象的基础.
明目标、知重点
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反思解简单的三角不等式时,常借助于三角函数线,转化为求终边 在某区域内的角的范围.

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 2】 利用正弦线比较 sin1，sin 1.2，sin 1.5 的大小关系 是( )．
A．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 解析 ∵1,1.2,1.5
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
1 解 如图(1)作直线 y＝2交单位圆于 P、Q，则 OP、OQ 为角 α 的终边． 如图(2)所示，当 α 的终边是 OP 时，角 α 的正弦线为 MP，余 弦线为 OM，正切线为 AT. 当 α 的终边为 OQ 时，角 α 的正弦线为 NQ，余弦线为 ON，正 切线为 AT′.
(1)
(2)
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规律方法
作三角函数线关键是依据三角函数线的定义，三角
函数的定义不仅给出了什么是正弦线、余弦线、正切线．同时 也给出了角 α 的三角函数线的画法即先找到 P、M、T 点，再画 出 MP、OM、AT.
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活页规范训练
1 1 【变式 1】 若将例题中“sin α＝2”改为 cos α＝2， 如何画出角 α 的终边． 解 1 如图作直线 x＝ 交单位圆于 M、N.则 OM、ON 为角 α 的 2
如上图，过(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或α
正切线 终边的反向延长线于T，有向线段 正切线 即为 AT
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并由此写出角α的集合． 3 (1)sinα≥ 2 ； 1 (2)cosα≤－2.
分析
3 1 先作出sinα＝ 和cosα＝－ 时角α的终 2 2
边，然后结合图形解不等式．
解
3 (1)作直线y＝ 交单位圆于A，B，连接OA，OB， 2
则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为
于是有sinα＝________，cosα＝________，tanα＝ ________.单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的 ________，________，________，统称为________.
1.方向 自我校对 2.MP 线 OM AT 正弦
余弦线
正切线
三角函数线
名师讲解
要求找到与所要研究的问题相应的几何解释，再由图形的相 关性质来解决问题.
变式训练3
利用三角函数线证明：
π 若0<α<2，则sinα＋cosα>1.
证明 如下图，设∠POM＝α.
则sinα＝MP，cosα＝OM， 在Rt△POM中，有MP＋OM>OP. 即sinα＋cosα>1.
易错探究
例4
有下列命题：
(4)当角α的终边落在x轴上时，M与P重合，A与T重合， 此时正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y轴上 时，O与M重合，余弦线变成一个点，过A的切线平行于y 轴，不能与角α的终边相交，所以，此时正切线不存在． 2．三角函数线主要作用 三角函数线主要用于解三角不等式及比较同角异名三角 函数值的大小，同时也是以后学习三角函数的图像与性质的 基础.
第一章
三角函数
§1.2任意角的三角函数
1．2.1 任意角的三角函数 第二课时 三角函数线及其应用

[活学活用] 作出－94π的正弦线、余弦线和正切线． 解：如图所示，
－94π的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT.
[例 2]
分别比较
sin23π与
sin45π；cos23π与
cos45π；tan23π与
4π tan 5
的大小．
[解] 在直角坐标系中作单位圆如图所
示．以 x 轴非负半轴为始边作23π的终边与单位
第二课时 三角函数线及其应用
[提出问题] 在平面直角坐标系中，任意角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM⊥x 轴，过 A(1,0)作 AT⊥x 轴，交终边或其反向延长线于点 T. 问题 1：根据上面的叙述画出 α 分别取 135°，30°，225°和－ 60°时的图形．
提示：
问题 2：由上面的图形结合三角函数定义，可以得到 sin α， cos α，tan α 与 MP，OM，AT 的关系吗？
[成功破障]
已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的
终边在
()
A．直线y＝x上
B．直线y＝－x上
C．直线y＝x上或直线y＝－x上 D．x轴上或y轴上 答案：C
则 sin23π>sin45π；OM>OM′，符号相同，则 cos23π>cos45π；AT<AT′，
符号相同，则
2π 4π tan 3 <tan 5 .
[类题通法] 利用三角函数线比较大小的步骤 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三 步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度； ③确定有向线段的正负．
故 α 的范围是α76π＋2kπ<α<116π＋2kπ，k∈Z .
(2)如图②，过点

1 2
分析 :先作出直线 y= 与单位圆的交点P,Q,再连接 OP,OQ 即 得.
-10-
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 利用三角函数线,写出满足 tan α=-1 的角 α 的 集合. 解 :因为角 α 的正切值等于 -1, 所以 AT=-1,在单位圆上过点 A(1,0)的切线与直线 y=-1 交于点 T, 连接 OT,OT 所在直线与单位圆交于 P1,P2 两点 ,OP1,OP2 是角 α 的终边 ,则角 α 的取值集合是 ������ ������ = 2������π + = ������ ������
第2课时
三角函数线
1.了解三角函数线的定义和意义. 2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.掌握三角函数线的简单应用.
-3-
-4-
-5-
-6-
-7-
-8-
题型一
题型二
题型三
题型一
解三角方程
1 的角������的终边 , 2
【例 1】 在单位圆中画出满足 sin α= 并写出������组成的集合 .
π 6 7π (������ ∈ Z). 6 1 2 π 6 1 2 7π ,∠ 6
即原不等式的解集是
π 7π ������ 2������π- ≤ ������ ≤ 2������π + ,������∈Z . 6 6
-13-
题型一
题型二
பைடு நூலகம்
题型三
【变式训练 2】 已知 cos 解:
1 α≥ , 试求出角������的集合 . 2
如图 ,在平面直角坐标系内作直线 x= 交单位圆于A,B 两点 ,当 α 的 终边落在阴影部分时,cos α≥ , 所以角α 的集合为 ������ 2������π- ≤ ������ ≤ 2������π + ,������∈Z

α的
(Ⅳ) 终边
二、单位圆中的三角函数线 带方向的线段称为有向线段。
规定：有向线段与坐标轴同向时数量为 正，反向时数量为负。
如图，单位圆与角α的终边交于点P(x,y)，与x轴交于点A；
，过P点作PM⊥x轴，垂足为M；
注意：正弦线、余弦线、正切线
过A点作AT⊥x轴，与OP的延长线交于点T。 都是有向线段，有正负之分.
不查表，比较大小。
2
（２）cos 3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
2π 3 4π 5
y 1
o 1x
题型五：利用三角函数线比较三角函数值的大小
不查表，比较大小。
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
2π 3 4π 5
y 1
tan 2π < tan 4π
2
规律方法：
3
3
-1
利用三角函数线解三角不等式的步骤：
第一步：在直角坐标系内，以原点为圆心作出单位圆；
第二步：作出三角函数值对应的三角函数线；
第三步：作出三角函数线对应的两个角；
第四步：根据不等式的范围，写出角的取值范围.
“三角函数线法”是解三角不等式最好的方法，需牢固掌握.
x1 2
y
1
3
1
O
x
(2k , 2k 5 )k Z
6
6
6
-1
2 sin 1
2
[2k 7 , 2k ]k Z
6
6
y

1
6
y
1
2
O 1x

第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.

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3．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线 段的方向表示三角函数值的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线 段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重．
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4．利用三角函数线解三角不等式的方法 正 弦 、 对于 sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是 余 弦 型 寻求恰当的点，只需作直线 y＝b 或 x＝a 与单位圆相交， 不 等 式 连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方 的解法 向即可确定相应的范围 正切型
P(x , y)
y 因为tan = x=AT，所以AT是角的正切线．
A
x
P(x , y)
T
图 示 ：
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三角函数线 把有向线段MP，OM，AT，分别叫做角的正弦线、余弦
线、正切线，统称为三角函数线.
作三角函数线的步骤：
⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P．
⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过点A(1, 0)作x轴的垂线与角的终边(或反向延长线)交于点T．
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2．若 a＝sin 4，b＝cos 4，则 a，b 的大 小关系为
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3．设π4＜α＜π2，试比较角 α 的正弦线、余弦线和正切线的长度．如 果π2＜α＜34π，上述长度关系又如何？
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[解] 如图所示，当π4＜α＜π2时，角 α 的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT，显然在长度上，AT＞MP＞OM；当π2＜α＜34π时， 角 α 的正弦线为 M′P′，余弦线为 OM′，正切线为 AT′，显然在长度上， AT′＞M′P′＞OM′.
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想一想： 有向线段OM， MO， AT， TA ，MP， AO的符号是怎样的？

第一章 1.2 .1
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[解析] (1)由题可知759°23′8″为第一象限角，∴ sin759°23′8″>0；
－759°23′8″为第四象限角，sin(－759°23′8″)<0，－ 153π为第三象限角tan(－135π)>0，471π为第四象限角cos471π>0.
第一章 1.2 .1
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空白部分，此时若 OA 取6π，则 OB 应为－6π.(3)解简单的三角不 等式时，常借助于三角函数线，转化为终边在某区域内的角的 范围．如本题转化为求终边在优弧A︵B对应的扇形区域内角的范 围．
第一章 1.2 .1
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随堂应用练习 课后强化作业
第一章 1.2 .1
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课前自主预习
第一章 1.2 .1
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温故知新
1．角α的终边经过P(2,3)，则有( )
A．sinα＝2
13 13
B．cosα＝
13 2
C．sinα＝3
13 13
D．tanα＝23
第一章 1.2 .1
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3．在下列各式中填上适当的不等号： (1)sin759°28′8″________0； (2)sin(－759°23′8″)________0； (3)tan(－153π)________0；
41 (4)cos 7 π________0. [答案] > < > >
[答案] D
第一章 1.2 .1

B．
α
|
α
=
kπ
+
π 6
,
k
Ζ
β
|
β
=
kπ
+
π 6
,
k
Ζ.
C．若a是第二象限的角，则 sin 2 0 .
D．第四象限的角可表示为:
α
|
2kπ
+
3π 2
<
α
<
2kπ,
y
y 叫α的正弦
P(x, y)
sin α y
x叫α的余弦
O
x
cos x
y 叫α的正切 x tan y
x
思考：
对应关系sin y，cos x ，tan y (x 0)
都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标x或坐标
的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦 函数和正切函数，并统称为三角函数，在弧度制中， 这三个三角函数的定义域分别是什么？
tan(α + k 2π) = tanα
(k z).
利用公式一，作用在于可将求任意角的 三角函数值，转化为求0～２π （或0°～ 360°)范围内的三角函数值.
例6：求下列三角函数的值.
(1)cos 17π ; 4
(2)sin 9π tan 7π .
4
3
解：(1)cos 17π = cos π = 1
P(4,-3) ａ的终边
事实上: 三角函数也可定义为
设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则
sin α y r
的终边 P(ｘ，ｙ) y
cos x
r
tan y
x
r
o
x