合肥一中自主招生数学试卷(含答案[1]

2024-2025学年第一学期合肥一中高三数学素质拓展三满分：150分时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合ππ{|0π},|,Z 32k A B k ααββ⎧⎫=<<==+∈⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．π2⎧⎫⎨⎩⎭B ．π,6π2⎧⎫⎨⎩⎭C ．ππ5π626⎧⎫⎨⎬⎩⎭,,D ．π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭2．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()43P ,-，则3πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．24253．已知()1sin 3αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（）A ．16B ．13C ．12D ．234．函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．1()cos f x x xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．1()sin f x x xx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．1()ln f x x xx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1()cos f x x xx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足23bc a =，且72b c a +=，则sin A =（）A B ．8C ．23D ．386．已知函数()212ln 22=--f x x ax x 在1,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．(),4-∞D ．(],4∞-7．已知函数()π2sin 21,06f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的定义域为[]0,π，在定义域内存在唯一0x ，使得()03f x =，则ω的取值范围为（）A ．113,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．113,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．17,66⎡⎤⎢⎣⎦8．已知定义域为R 的函数()f x ，满足()()()()()11f x f y f x y f x f y --++=，且()()00,10f f ≠-=，则以下选项错误的是（）A ．()10f =B ．()f x 图象关于()2,0对称C ．()f x 图象关于()1,0对称D ．()f x 为偶函数二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题是真命题的是（）A ．若1a b >>，则11a b b a+>+B ．函数228y x x =--的零点是(2,0)-和(4,0)C ．2320x x -+<是2x <成立的充分不必要条件D ．若x ∈R ，则函数y =210．设ω为正实数，已知函数()π4sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．当1ω=时，函数()f x 的图象的一条对称轴为5π6x =B ．已知()14f x =-，()24f x =，且12x x -的最小值为π2，则2ω=C ．当2ω=时,函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数()4cos2g x x =D ．若()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是10,3⎛⎤⎥⎝⎦11．已知函数()22tan sin cos 1tan xf x x x x=+-+，则（）A ．()f x 的图象关于直线πx =对称B ．()f x 是周期函数，且其中一个周期是π2C ．()f x 的值域是1,1⎤-⎦D ．()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知()f x 是偶函数，当0x >时，()21xf x =-，则21log 3f ⎛⎫=⎪⎝⎭.13．当[]0,2πx ∈时，曲线sin y x =与π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为.14．已知函数()e e 2sin 1x x f x x -=--+，不等式()22023e (2ln )2xf a x f x x -++≤对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数π()sin 2cos cos 2sin (0||)2f x x x ϕϕϕ=+<<，对x ∀∈R ，有π()|(|3f x f ≤．(1)求ϕ的值及()f x 的单调递增区间；(2)若00π1[0,],(43)x f x ∈=时，求0sin 2x ．16．已知函数()ln f x x a x =-．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间；(3)若关于x 的方程ln 0x a x -=有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x ，求证：()01a x a ->．17．已知函数2())12cos(0,0π)2x f x x ωϕωϕωϕ+=++-><<为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π．(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当π[,π]4x ∈-时，求方程2()()60g x g x ++=的所有根之和．18．已知函数cos 1(),()x f x g x ax x x==-．(1)若函数2()cos 1h x x ax =+-在(0,)+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 和函数()g x 的图象没有公共点，求实数a 的取值范围．19．当一个函数值域内任意一个函数值y 都有且只有一个自变量x 与之对应时，可以把这个函数的函数值y 作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x 作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数．例如，由3,R y x x =∈，得,R 3yx y =∈，通常用x 表示自变量，则写成,R 3x y x =∈，我们称3,R y x x =∈与,R 3xy x =∈互为反函数．已知函数()f x 与()g x 互为反函数，若,A B 两点在曲线()y f x =上，,C D 两点在曲线()y g x =上，以,,,A B C D四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线y x =垂直，则我们称这个矩形为()f x 与()g x 的“关联矩形”．(1)若函数()f x =11,4A y ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线()y f x =上，求以点A 为一个顶点的“关联矩形”的面积．(2)若函数()ln f x x =，且()f x 与()g x 的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S ．证明：2122S ⎫>⎪⎭．1ln 20-<）1．C【分析】由集合的交集运算即可求解.【详解】因为ππ{|0π},|,Z 32k A B k ααββ⎧⎫=<<==+∈⎨⎬⎩⎭，所以ππ5π,626A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,，故选：C.2．D【分析】利用三角函数的定义先计算sin ,cos αα，再根据诱导公式和二倍角公式计算即可.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()43P ,-，所以4cos 5α==-，3sin 5α=，则3π424cos 2sin 22sin cos 2255253αααα⎛⎫⎛⎫-=-=-=-⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D ．3．D【分析】先应用同角三角函数公式切化弦，再应用两角和与差的正弦公式计算即可.【详解】由tan 3tan αβ=，得sin sin 3cos cos αβαβ=，所以sin cos 3cos sin αβαβ=，又()1sin sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，所以1cos sin 6αβ=，1sin cos 2αβ=，所以()2sin sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．故选：D.4．D【分析】由(0,1)x ∈时()0f x <即可排除A ；由奇偶性可排除B ；1x =时1ln x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0，则可排除C ，故答案可求.【详解】对于A ，当(0,1)x ∈时，()0f x <，排除A ；对于B ，因为11()sin()sin f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ，所以函数1()sin f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，当0x >时，由1ln x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0，得1x =，排除C ，故选：D ．5．B【分析】由已知及余弦定理求cos A ，再应用平方关系求正弦值.【详解】由题设222222222496()274cos 2268a a abc a b c bc a A bc bc a --+-+--====，由三角形内角性质，知sin 8A =.故选：B 6．C【分析】将问题转化为导函数在区间1,42⎛⎫⎪⎝⎭上大于零有解，分离参数结合二次函数的性质计算范围即可.【详解】由题意知()22f x ax x -'=-，问题等价于′>0在区间1,42⎛⎫⎪⎝⎭上有解，即2222111222a x x x ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭有解，而111,4,224x x ⎛⎫⎛⎫∈⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质知211112,4222x ⎛⎫⎡⎫--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，即4a <.故选：C.7．C【分析】化简函数()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求得πππ2,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，根据题意，列出不等式ππ5π2π262ω≤+<，即可求解.【详解】由函数()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为[]0,πx ∈，可得πππ22π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 的定义域为[]0,π，在定义域内存在唯一0x ，使得()03f x =，则满足ππ5π2π262ω≤+<，解得1766ω≤<，所以ω的取值范围为17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C.8．B【分析】由赋值法令1,0x y ==可判断A ；由赋值法令0x y ==可判断B ；由赋值法令1y =，结合对称性的性质可判断C ；由赋值法令1y =-结合偶函数的定义可判断D.【详解】对于A ，令1,0x y ==，则()(0)1(1)(1)(0)f f f f f +=，所以1=0，故A 正确；对于B ，令0x y ==，则()(1)1(0)(0)(0)f f f f f +=，即2(0)(0)f f =，解得：()00f =或()01f =，因为()00f ≠，所以()01f =，令1x y ==，()(0)0(2)(1)(1)f f f f f +=，所以(2)1f =-，所以()f x 图象不关于2,0对称，故B 错误；对于C ，令1y =，则有()()()()()1011f x f f x f x f -++=即()()110f x f x -++=，故()f x 图象关于1,0对称，故C 正确.对于D ，令1y =-，则有()()()()()1211f x f f x f x f -+-=-即()()110f x f x --+-=，即()()11f x f x -=-，即()()()11f x f x f x =--=-，因为函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故D 正确.故选：B.9．AC【分析】对A ，根据函数1y x x=-的单调性即可判断；对B ，根据零点的定义即可判断；对C ，根据充分不必要条件的判断即可得到答案；对D ，根据对勾函数的单调性即可判断.【详解】对A ，因为函数1,y x y x ==-在()0,∞+上均单调递增，则1y x x=-在()0,∞+上单调递增，若1a b >>，则11a b a b ->-，即11a b b a+>+，故A 正确；对B ，令2280y x x =--=，解得2x =-或4，则其零点为2-或4，故B 错误；对C ，由2320x x -+<，解得12x <<，而{}|12x x << {}|2x x <，则2320x x -+<是2x <成立的充分不必要条件，故C 正确；对D，令t =，则2t ≥，则1y t t =+，2t ≥，根据对勾函数的单调性知：1y t t=+在[)2,+∞上单调递增，即min 15222y =+=，故D 错误.故选：AC.10．BCD【分析】根据正弦函数的对称轴公式计算判断A ，根据函数最值结合函数的图象特征得出参数判断B,应用平移化简结合诱导公式得出函数判断C,结合正弦函数的单调性列出不等式计算判断D.【详解】A 选项，当1ω=时，函数()f x 的图象的对称轴为πππ,k Z 32x k +=+∈,即ππ,Z 6x k k =+∈,不能取到5π6x =,A 错误；B 选项，1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12minπ22T x x -==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==，B 正确；C 选项，当2ω=时,函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数()πππ4sin 24sin 24cos21232g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确；D 选项，∵ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则πππππ,36323x ωωω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，若()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，则0πππ632πππ232ωωω⎧⎪>⎪⎪-+≥-⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解得10,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，D 正确；故选：BCD.11．ACD【分析】对于A ，检验()()2πf x f x -=即可判断；对于B ，由()01f =，π2f ⎛⎫⎪⎝⎭无意义，即可判断；对于C ，原函数化简为()21524f x ⎫=-+⎪⎭，利用二次函数的性质即可判断；对于D ，利用复合函数的单调性可判断.【详解】对于A ，()f x 的定义域πππ,π,22D k k k ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭Z ，根据解析式，易知对任意x D ∈，()()2πf x f x -=，A 正确；对于B ，由()01f =，π2f ⎛⎫⎪⎝⎭无意义，可知()π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在0x =时不成立，B 错误；对于C ，()22222tan 2cos tan sin cos 1tan cossin x x xf x x x xx x=+-=++()215sin21sin2124x x ⎫==-++=-+⎪⎭，因为1≤()11f x ≤≤，C 正确；对于D ，ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时sin2y x =单调递减，()21524f x ⎫=--+⎪⎭单调递增，D 正确，故选：ACD ．12．2【分析】运用偶函数性质，结合对数运算性质计算即可.【详解】()f x 是偶函数，()()()2log 3122221log log 3log 3log 32123f f f f -⎛⎫==-==-= ⎪⎝⎭.故答案为：2.13．4【分析】分别画出两个函数在[]0,2π的函数图象即可判断交点的个数.【详解】sin y x =与π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π的图象如图所示，由图可知，其交点个数有4个.故答案为：4.14．12023【分析】先证明()e e 2sin x xg x x -=--为奇函数，再利用导数证明()g x 为增函数，结合函数性质化简不等式可得22023e 2ln x a x x x ≤--，再利用导数求2e 2ln x x x x --的最小值可得结论.【详解】设()()1g x f x =-，由()e e 2sin 1x x f x x -=--+，可得()e e 2sin x xg x x -=--，函数()e e 2sin x xg x x -=--的定义域为R ，函数()g x 的定义域关于原点对称，又()()()e e 2sin x xg x x g x --=---=-，所以函数()g x 为奇函数，因为()e e 2cos 22cos 0+x xg x x x -'=-≥-≥，当且仅当0x =时取等号，所以函数()g x 为增函数，不等式()22023e (2ln )2x f a x f x x -++≤可化为()22023e 11(2ln )xf a x f x x --≤-+，故()22023e (2ln )(2ln )xg a x g x x g x x -≤-+=--，所以22023e 2ln x a x x x -≤--，所以22023e 2ln x a x x x ≤--，由已知()2min2023e 2ln xa x x x≤--，其中(0,)x ∈+∞，设()2e 2ln xh x x x x =--，(0,)x ∈+∞，则()()()22222e e 1xxx x h x x x x x x++'=+-=-令()0h x '=，可得2e 10x x -=，设()2e 1xx x ϕ=-，(0,)x ∈+∞，则()()22e 0xx x x ϕ'=+>，所以()2e 1xx x ϕ=-在(0,)+∞上单调递增，又()010ϕ=-<，()11e 10ϕ=->，所以存在()10,1x ∈，使得()0x ϕ=，所以当10x x <<时，()0h x '<，函数()h x 在()10,x 上单调递减，当1x x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,x +∞上单调递增，所以当1x x =时，()2e 2ln x h x x x x =--取最小值，最小值为12111e 2ln x x x x --，其中121e 10xx -=所以11211112023e 2ln 1ln e 1xx a x x x x -≤--=--=，所以12023a ≤，所以a 的最大值为12023.故答案为：12023.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过变形，并结合函数性质将原不等式化简为22023e 2ln x a x x x -≤--，再根据恒成立问题的处理方法求解.15．(1)π6ϕ=-，单调递增区间为ππ[π,π]()63k k k -++∈Z ；【分析】（1）由π()|(|3f x f ≤，得当π3x =时，()f x 取得最值，结合三角函数的图象性质可得ϕ的值和()f x 的单调递增区间.（2）将02x 表示为0ππ(2)66x -+，利用两角和差公式化简得到结果.【详解】（1）依题意，()sin(2)f x x ϕ=+，由π()|()|3f x f ≤，得当π3x =时，()f x 取得最值，则ππ2π,32k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得ππ,6k k ϕ=-+∈Z ，又π0||2ϕ<<，则π6ϕ=-，因此()πsin(2)6f x x =-，由πππ2π22π,262k x k k -+≤-≤+∈Z ，得ππππ,63k x k k -+≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]()63k k k -++∈Z .（2）由()00π1π[0,(,sin(2)436)x f x f x x ∈==-，得00ππππ12[,],sin(2)66363x x -∈--=，则0πcos(2)63x -=，所以0000ππππππsin 2sin[(2sin(2)cos cos(2666666x x x x =-+=-+-11332=+⋅=.16．(1)()10a x y a --+=(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解；（2）由()x af x x'-=，分0a ≤和0a >两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间；（3）分析可得要证0(1)a x a ->，00ln 10x x -->，令000()ln 1g x x x =--，利用导数证得0()0g x >，即可得证．【详解】（1）()ln f x x a x =-，()11f =，()1af x x'=-，()11f a '=-，所以在点1,1处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--，整理得：()10a x y a --+=；（2）函数()ln f x x a x =-定义域为0,+∞，()1a x a f x x x'-=-=当0a ≤时，′≥0，此时()f x 在0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，此时在(0,)a 上′<0，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞上′>0，()f x 在(,)a +∞单调递增，综上：0a ≤时，()f x 的递增区间为0,+∞，无递减区间；0a >时，()f x 的递减区间为(0,)a ，递增区间为(,)a +∞；（3）由（2）可知，当0a >时，()ln 0f x x a x =-=才有两个不相等的实根，且00x >，则要证0(1)a x a ->，即证011a a x ->，即证0111a x ->，而00ln 0x a x -=，则000(1ln xa x x =≠，否则方程不成立），所以即证000ln 11x x x ->，化简得00ln 10x x -->，令000()ln 1g x x x =--，则000011()1x g x x x -'=-=，当001x <<时，00()g x '<，所以0()g x 在0,1单调递减，当01x >时，0()0g x '>，所以0()g x 在1,+∞单调递增，所以()()010g x g ≥=，而01x ≠，所以0()0g x >，所以0(1)a x a ->，得证．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明0111a x ->即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明000ln 11x x x ->，利用构造函数的方法即可.17．(1)()2sin f x x =；(2)5π3.【分析】（1）利用三角恒等变换将函数()f x 化简得π()2sin()6f x x ωϕ=+-，再利用给定性质求出,ωϕ.（2）由三角函数图象变换得π()2sin(2)3g x x =-，再利用正弦函数性质，结合一元二次方程求出零点即可..【详解】（1）依题意，函数π()sin()cos()2sin()6f x x x x ωϕωϕωϕ+-+=+-，由函数()f x 为奇函数，得π,6k k ϕπ-=∈Z ，又(0,π)ϕ∈，则π6ϕ=，由函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π，得()f x 的周期2π2πT ω==，解得1ω=，所以函数()f x 的解析式是()2sin f x x =.（2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得π2sin()3y x =-的图象，再把横坐标缩小为原来的12，得到函数π()2sin(2)3g x x =-，由方程2()()60g x g x ++=，2()2g x -≤≤，解得()g x =即πsin(2)3x -=当π[,π]4x ∈-时，π5π5π2[,]363x -∈-，则2233ππx -=-或π3-或4π3或5π3，即原方程有四个实数根，不妨设为1234,,,x x x x ，因此1234ππππ2ππ4π5π2222()2π33333333x x x x -+-+-+-=-+-++=，解得12345π3x x x x +++=，所以原方程所有根之和为5π3.18．(1)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)()1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求导，利用导函数()sin 20h x x ax '=-+≥在(0,)+∞上恒成立，分离变量转化即可求解.（2）将问题转化为2()cos 10h x x ax =+-=没有实数根，求导，利用导数确定函数的单调性,分类讨论，进而结合零点存在性定理即可求解.【详解】（1）由2()cos 1h x x ax =+-，可得()sin 2h x x ax '=-+，因为函数2()cos 1h x x ax =+-在(0,)+∞上为增函数，所以()sin 20h x x ax '=-+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，即sin 2xa x≥对(0,)x ∈+∞恒成立，令()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥，所以()sin x x x ϕ=-在(0,)+∞单调递增，所以()(0)x ϕϕ>，即sin 0x x ->，所以sin 1xx<，所以21a ≥，解得12a ≥，所以实数a 的取值范围为1[,)2+∞；（2）因为函数()f x 和函数()g x 的图象没有公共点，所以()()f x g x =，即cos 1x ax x x=-无实根，所以当0x ≠时，2()cos 10h x x ax =+-=无实根，因为22()cos()()1cos 1()h x x a x x ax h x -=-+--=+-=，即()h x 是偶函数，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,)+∞上无实根.，()2sin h x ax x '=-，记()()2sin m x h x ax x '==-，则()2cos m x a x '=-，①当0a <时，20ax <，又1cos 1x -≤≤，则cos 10x -≤，所以2()cos 10h x x ax =+-<，满足()0h x =在上无实根.②当0a =时，()cos 10h x x =-=在(0,)+∞上有实根，不合题意，舍去.③当12a ≥时，()2cos 0m x a x '=-≥，所以()2sin m x ax x =-在(0,)+∞单调递增，则()(0)0h x h ''>=，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h >=，满足2()cos 10h x x ax =+-=在(0,)+∞上无实根.④当102a <<时，因为()2cos m x a x '=-在π(0,)2上单调递增，且π(0)210,()202m a m a ''=-<=>，则存在唯一的0π(0,2x ∈，使00()2cos 0m x a x '=-=，当x 变化时，()h x '的变化情况如下：x0(0,)x 0x 0π(,)2x ()m x -+()()m x h x '=单调递减极小值单调递增所以当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h ''<=，则()h x 在0(0,)x 单调递减，则()(0)0h x h <=，又因为2(2π)4πh a =，且()h x 在(0,)+∞上连续，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,2π)上有实根，不合题意.综上可知，实数a 的取值范围是1(,0)[,)2-∞⋃+∞.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.19．(1)18+；(2)证明见解析.【分析】（1）先求出点A 坐标，再求函数()f x 的反函数和A 关于直线y x =对称的点D ，由此可求直线AC 的方程，从而计算S AD AC =即可得解.（2）设()()()()34112234,ln ,,ln ,,e ,,e x xA x xB x xC xD x ，12430,x x x x <<<，再证明111e 2ln 0x x x -+=，利用导数工具证明112x >，求面积解析式，借助单调性证明结论..【详解】（1）因为点11,4A y ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线()f x =所以112y ==，即11,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()f x =()()20g x x x =≥，则函数()f x 和()g x 图象关于直线y x =对称，设A 关于直线y x =对称的点为D ，则D 在曲线()g x 上，且11,24D ⎛⎫⎪⎝⎭，114211124ADk -==--，则AD ==，由题意以及由()f x =AC AD ⊥，则1AC k =，直线AC 的方程为14y x =+，联立方程组214y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得12x =或12x =（舍去），则,C AC ==⎝⎭，则该“关联矩形”的面积41448S AD AC ==.（2）证明：由=ln 得其反函数为()e xg x =，所以()f x 和()g x 图象关于直线y x =对称，且由其性质可知()()0f x g x -<，根据对称性可设,A D 关于直线y x =对称，,B C 关于直线y x =对称，则AB AD ⊥，设()()()()34112234,ln ,,ln ,,e ,,e x xA x xB x xC xD x ，其中12430,x x x x <<<，则4132ln ,ln x x x x ==，3421,e e x xx x ==，因为“关联矩形”是正方形，所以1AB DC k k ==，1AD BC k k ==-，所以)))212123ln ln ,AB x x x x BC x x =---，由AB BC =，得132ln x x x ==，所以132e e x xx ==，所以由2123ln ln x x x x -=-得3111e ln x x x x -=-即111e 2ln 0xx x -+=.对于函数()e 1,0x t x x x =-->，则()e 10,0xt x x =->>'，故函数()t x 在0,+∞上单调递增，故()()00t x t >=即e 1x x >+，令()e 2ln xh x x x =-+，则()1111e 2ln 0xh x x x =-+=且()11e 212120x h x x x x =+->++-+'≥->，则ℎ在0,+∞上单调递增，所以11ln202h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以112x >，因为()()1222211||22e x S AB x x x ==-=-，令()e x x x ϕ=-，则()e 1xx ϕ'=-，当∈0,+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，则()11111e 022xx x ϕϕ⎛⎫=->=> ⎪⎝⎭，从而()122112e 22x S x ⎫=->⎪⎭.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键1是正确处理()()()()34112234,ln ,,ln ,,e ,,e x x A x x B x x C x D x 四点的关系，从而根据四点之间的关系结合AB BC =得到111e 2ln 0x x x -+=，关键点2是建立函数()e 2ln x h x x x =-+并利用导数工具研究其单调性从而由()10h x =和102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭得112x >，从而借助()1221||2e x S AB x ==-的单调性得证()122112e 22x S x ⎫=->⎪⎭.。

安徽省合肥XX中学自主招生数学试卷一、选择题（本大提共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知a＝，b＝，则二次根式的值是（）A．6B．7C．8D．92．（5分）已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与坐标轴围成面积为6的三角形，则满足条件的函数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．（5分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或205．（5分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|的值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，则下列式子一定正确的是（）A．a2+b2+c2≥ab+bc+ac B．＜C．D．a3+b3＜c37．（5分）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3B．C．D．28．（5分）半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大提共7题，每小题5分，共35）9．（5分）若分式方程＝a无解，则a的值为．10．（5分）已知一列数a1，a2，a3，…满足a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，依此类推，则a1，a2，…，a，这个数的积为．11．（5分）某公司加工252个零件，计划若干天完成，加工了2天后，由于改进新技术，每天可多加工9个零件，因此提前1天完成任务，则原计划完成任务的天数为．12．（5分）已知函数y＝x2﹣2mx+4（m是实数）与x轴两交点的横坐标为x1，x2，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，则m的范围是．13．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于．14．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，内取一点P，且AP＝AC＝a，BP＝CP＝b（b＜a），则＝．15．（5分）足球运动员在足球场上，常需要带球跑到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端的夹角是射门角．如果点A，B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ABC就是射门角，在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性越大，如图（1）（2）（3）是运动员带球跑动的三种常见路线（用直线L表示），则下列说法：①如图（1），AB∥L，当运动员在线段AB的垂直平分线与L的交点C处射门时，进球的可能性最大；②如图（2）AB⊥L垂足为D，设AB＝2a，BD＝b，当运动员在离底线AB的距离为的点C处（即CD＝）射门时，进球可能性最大．③如图（3），AB与L交于点Q，设AB中点为O，当点C满足OQ＝CQ时，运动员在点C处射门时，进球的可能性最大．④如图（3），过点C作直线L的垂线与线段AB的垂直平分线交于点M，当M恰好是△ABC的外心时，运动员在点C处射门时，进球可能性最大．其中正确的序号是（写出所有正确的序号）三、解答题（本大题共5小题，共75分）16．（12分）若，求的值．17．（13分）某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍．已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元．（1）若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择？（2）若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳．求n的最大值．18．（13分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．19．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．20．（14分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．安徽省合肥168中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大提共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知a＝，b＝，则二次根式的值是（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵a＝＝（﹣）2＝4﹣，b＝＝＝4+，∴ab＝（4+）（4﹣）＝1，∴＝＝＝＝＝＝9．故选：D．2．（5分）已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为关于x的不等式组有解，可得：，所以得出a＞5，因为a取≤9的整数，可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，所以使关于x的不等式组有解的概率为，故选：C．3．（5分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与坐标轴围成面积为6的三角形，则满足条件的函数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：把A（1，3）代入y＝kx+b中，得3＝k+b，∴b＝3﹣k，∴一次函数的解析式为：y＝kx+3﹣k，∴一次函数图象与坐标轴的交点为（0，3﹣k），（，0），∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与坐标轴围成三角形的面积为6，∴，解得，k＝﹣3，或k＝9，∴k的值有3个，∴满足条件的函数有3个．故选：B．4．（5分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或20【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．5．（5分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|的值是（）A．B．C．D．【解答】解：y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），∴A n（，0），B n（，0），∴|A n B n|＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|＝+++…+＝1﹣＝，故选：C．6．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，则下列式子一定正确的是（）A．a2+b2+c2≥ab+bc+ac B．＜C．D．a3+b3＜c3【解答】解：A、由三角形三边关系可得：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0，可得：2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），可得：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0，故选项正确；B、由三角形三边关系不一定得出a+b＞c，＜，可得＜，＞，选项错误；C、由三角形三边关系不一定得出a＞b＞c，由，可得：a＞b＞c，选项错误；D、由三角形三边关系不一定得出a3+b3＜c3，选项错误；故选：A．7．（5分）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3B．C．D．2【解答】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故选：D．8．（5分）半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB是直径，∴AB＝5，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，且BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3，∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴△ACB∽△PCQ，∴，∴CQ＝，∴当PC最大时，CQ有最大值，∴PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝，故选：B．二、填空题（本大提共7题，每小题5分，共35）9．（5分）若分式方程＝a无解，则a的值为1或﹣1．【解答】解：去分母得：x﹣a＝ax+a，即（a﹣1）x＝﹣2a，显然a＝1时，方程无解；由分式方程无解，得到x+1＝0，即x＝﹣1，把x＝﹣1代入整式方程得：﹣a+1＝﹣2a，解得：a＝﹣1，综上，a的值为1或﹣1，故答案为：1或﹣110．（5分）已知一列数a1，a2，a3，…满足a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，依此类推，则a1，a2，…，a，这个数的积为．【解答】解：a1＝，a2＝，＝2，a3＝＝﹣1，a4＝＝，…，依此类推，发现每3个数为一组一个循环，前3个数的乘积为：2×（﹣1）＝﹣1，所以÷3＝672…1，则a1，a2，…，a，这个数的积为（﹣1）672×＝．故答案为：．11．（5分）某公司加工252个零件，计划若干天完成，加工了2天后，由于改进新技术，每天可多加工9个零件，因此提前1天完成任务，则原计划完成任务的天数为7．【解答】解：设原计划每天加工x个零件．由题意得：+2+1＝，整理得：x2+27x﹣2268＝0．解得：x1＝36，x2＝﹣63（不合题意舍去）．经检验：x＝36是原方程的解．当x＝36时，＝7，即原计划7天完成，故答案为：7．12．（5分）已知函数y＝x2﹣2mx+4（m是实数）与x轴两交点的横坐标为x1，x2，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，则m的范围是2＜m＜．【解答】解：由题意得：△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×4＞0，解得：m＞2或m＜﹣2①，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣＝m，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，1＜（x1+x2）＜，而x＝﹣＝﹣＝m＝（x1+x2），即1＜m＜②，联立①②并解得：2＜m＜，故答案为：2＜m＜．13．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于﹣6．【解答】解：过点C作CE⊥y轴，垂足为E，∵A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），∴OA＝OB＝1，∠OAB＝∠OBA＝45°，∵ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠CBE＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠BCE，∴△AOB∽△BEC，∴＝＝，又∵BC＝2AB，∴BE＝CE＝2，OE＝OB+BE＝1+2＝3，∴点C（﹣2，3），代入反比例函数关系式得，k＝﹣2×3＝﹣6，故答案为：﹣6．14．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，内取一点P，且AP＝AC＝a，BP＝CP＝b（b＜a），则＝．【解答】解：如图：过点P作PD⊥BC与点D，作PE⊥AC于点E，可得矩形PDCE，有PD＝EC，PE＝CD，∵PC＝PB，PD⊥BC，∴DC＝DB＝BC＝AC＝a，∴PE＝CD＝a，Rt△AEP中，AP＝AC＝a，PE＝a，∴AE＝a，∴EC＝AC﹣AE＝a﹣a＝a．∴PD＝EC＝a，Rt△CDP中，PD2+CD2＝CP2，∴（a）2+（）2＝b2，∴a2+a2＝b2，∴a2＝b2，∴（2﹣）a2＝b2．∴＝2﹣，∴＝＝＝．故答案是：．15．（5分）足球运动员在足球场上，常需要带球跑到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端的夹角是射门角．如果点A，B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ABC就是射门角，在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性越大，如图（1）（2）（3）是运动员带球跑动的三种常见路线（用直线L表示），则下列说法：①如图（1），AB∥L，当运动员在线段AB的垂直平分线与L的交点C处射门时，进球的可能性最大；②如图（2）AB⊥L垂足为D，设AB＝2a，BD＝b，当运动员在离底线AB的距离为的点C处（即CD＝）射门时，进球可能性最大．③如图（3），AB与L交于点Q，设AB中点为O，当点C满足OQ＝CQ时，运动员在点C处射门时，进球的可能性最大．④如图（3），过点C作直线L的垂线与线段AB的垂直平分线交于点M，当M恰好是△ABC的外心时，运动员在点C处射门时，进球可能性最大．其中正确的序号是①②④（写出所有正确的序号）【解答】解：①作△ABC的外接圆圆O，过C作圆O的切线，由圆的切线性质可得，当△ABC等腰三角形的时候，∠ACB最大，所以正确；②当△DBC∽△DAC时，∠ACB最大，此时，CD2＝BD•AD＝b（2a+b）＝2ab+b2，CD＝，所以正确；③④过点C作l的垂线，交AB垂直平分线于M，当M恰好是△ABC的外心时，∠ACB最大，所以③错误，④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共5小题，共75分）16．（12分）若，求的值．【解答】解：∵＝﹣，∴x＝a+﹣2，∵x≥0，∴≥，∴a≥1，≤1，原式＝，＝，＝，＝，当a≥时，原式＝＝a2；当a＜时与a≥1，≤1相矛盾．综上所述，原二次根式的值为：a2．故答案为：a2．17．（13分）某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍．已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元．（1）若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择？（2）若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳．求n的最大值．【解答】解：（1）设购进x条长跳绳，则购进2x条中跳绳，（200﹣x﹣2x）条短跳绳，依题意，得：，解得：22≤x≤26．∵x为正整数，∴x＝23，24，25，26，∴学校共有4种购买方案可供选择．（2）设可以购买a条长跳绳，则购进2a条中跳绳，（n﹣a﹣2a）条短跳绳，依题意，得：，化简，得：，∴13a＝4（375﹣n），∴a为4的倍数，设a＝4k，则n＝375﹣13k，∴375﹣13k≤36k，∴k≥7，∴k的最小值为8，n的最大值为271．18．（13分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠P AD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△P AD，∴，即，∴r＝4，即⊙O的半径为4．19．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．【解答】解：（1）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），∵m≠0，∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）设C1：y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y＝x2﹣x﹣．如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝x﹣，设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），PQ＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ＝PQ•OB＝×（﹣x2+x）×3＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，S△PBC有最大值，Smax＝，×（）2﹣﹣＝﹣，P（，﹣）；（3）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，顶点M坐标（1，﹣4m），当x＝0时，y＝﹣3m，∴D（0，﹣3m），B（3，0），∴DM2＝（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2＝m2+1，MB2＝（3﹣1）2+（0+4m）2＝16m2+4，BD2＝（3﹣0）2+（0+3m）2＝9m2+9，当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2＝MB2或DM2+MB2＝BD2．①DM2+BD2＝MB2时有：m2+1+9m2+9＝16m2+4，解得m＝﹣1（∵m＜0，∴m＝1舍去）；②DM2+MB2＝BD2时有：m2+1+16m2+4＝9m2+9，解得m＝﹣（m＝舍去）．综上，m＝﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．20．（14分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（，6）．（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ．又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．∴．∴m＝（0＜t＜11）．（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴，∵PC′＝PC＝11﹣t，PE＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6﹣m，∴AC′＝＝，∴，∴，∴3（6﹣m）2＝（3﹣m）（11﹣t）2，∵m＝，∴3（﹣t2+t）2＝（3﹣t2+t﹣6）（11﹣t）2，∴t2（11﹣t）2＝（﹣t2+t﹣3）（11﹣t）2，∴t2＝﹣t2+t﹣3，∴3t2﹣22t+36＝0，解得：t1＝，t2＝，点P的坐标为（，6）或（，6）．法二：∵∠BPO＝∠OPC′＝∠POC′，∴OC′＝PC′＝PC＝11﹣t，过点P作PE⊥OA于点E，则PE＝BO＝6，OE＝BP＝t，∴EC′＝11﹣2t，在Rt△PEC′中，PE2+EC′2＝PC′2，即（11﹣t）2＝62+（11﹣2t）2，解得：t1＝，t2＝．点P的坐标为（，6）或（，6）．。

安徽省合肥一中2024届高三最后一卷数 学（考试时间：150分钟 满分：120分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时､每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知向量()()2,3,1,3a b ==-，则2a b -=（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知复数z 满足()1i 2i z ⋅+=-，则z =（ ）A13i 22+ B.13i 22- C. 13i 22--D. 13i 22-+3. 已知焦点在x，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. 2213x y +=B. 2219x y += C. 22197x y +=D. 2213628x y +=..4. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3314,2S a ==，则4a =（ ） A. 1B.23或-1 C. 23-D. 23-或1 5. 已知α为三角形的内角，且cos α=sin 2α=（ ）A.B.C.D.6. 甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（ ） A. 36种B. 48种C. 54种D. 64种7. 已知四棱锥P ABCD -的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD ====，PAB 为正三角形，且面PAB ⊥面ABCD ，则该球的表面积为（ ） A.13π3B. 16πC.52π3D. 20π8. 过()0,M p 且倾斜角为π,π2αα⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B 作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，若直线MN 的倾斜角为β.则()tan αβ-的最小值为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据： 年份x 1 2 3 4 5 6 7 收入y2.93.3364.44.85.25.9则下列命题正确的有（ ） A. 年收入的均值为4.3 B. 年收入的方差为1.2 C. 年收入的上四分位数为5D. 若y 与x 可用回归直线方程0.5ˆˆyx a =+来模拟，则ˆ 2.3a = .10. 已知函数()2cos sin f x x x x ωωω=-(0)>ω，则下列命题正确有（ ）A. 当2ω=时，5π24x =是()y f x =的一条对称轴 B. 若()()122f x f x -=，且12minπx x -=，则12ω=C. 存在()0,1ω∈，使得()f x 的图象向左平移π6个单位得到的函数为偶函数 D. 若()f x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的范围为72,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭11. 已知函数()()e ,ln xf xg x x ==-，则下列命题正确的有（ ） A. 若()g x ax ≥恒成立，则1a e≤-B. 若()y f x =与1y ax =-相切，则2e a =C. 存在实数a 使得()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值D. 存在实数a 使得方程()f x x a -=与()x g x a +=有相同的根且所有的根构成等差数列第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知集合{}220A x x x =∈--≤N∣，集合(){}22210B x x a x a a =-+++=∣，若B A ⊆，则=a __________.13. 过()1,2P 的直线l 被曲线2240x x y -+=所截得的线段长度为l 的方程为__________. 14. 在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,tan sin sin b c A B C ≠=+，则以下结论正确的有__________.①20,11a b c ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪+⎝⎭；②211a b c ⎛⎫∈ +⎝⎭；③2b c a +⎫∈⎪⎭；④2b c a ⎛+∈ ⎝；⑤a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是线段1A B 上的动点.的（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11A BC ； （2）1PB 与平面11A BC，求PB 的长. 16. 甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立. （1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X 的数学期望()E X 为多少？（保留小数点后一位）（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率. 17 ()()ex af x a -=∈R .（1）若()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，求0x ； （2）对任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，求a 的取值范围.18. 已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上焦点为(，下顶点为A，渐近线方程是y =，过20,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭点的直线交双曲线上支于,P Q 两点，,AP AQ 分别交直线23y =于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）求C 的方程；（2）求证：,,,M N O A 四点共圆； （3）求（2）中的圆的半径r 的取值范围.19. 给定自然数n 且2n ≥，设12,,,n x x x 均为正数，1ni i x T ==∑（T 为常数），11n i ni i nx x T x T x -==--∑.如果函数()f x 在区间I 上恒有()0f x ''>，则称函数()f x 为凸函数.凸函数()f x具有性质：.()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑. （1）判断()1xf x x=-，()0,1x ∈是否为凸函数，并证明； （2）设()1,2,,ii x y i n T== ，证明：111111n n y y n -≤---； （3）求nnx T x -的最小值.参考答案一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量()()2,3,1,3a b ==-，则2a b -=（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解.【详解】()()()22,32,64,3,25a b a b -=--=--== ，故选：D.2. 已知复数z 满足()1i 2i z ⋅+=-，则z =（ ）A. 13i 22+B.13i 22- C. 13i 22--D. 13i 22-+【答案】A 【解析】【分析】根据题设求出z ，从而求出z 的值. 【详解】由题知，()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ----====-++-， 所以13i 22z =+.故选：A3. 已知焦点在x，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. 2213x y +=B. 2219x y += C. 22197x y +=D. 2213628x y +=【答案】C 【解析】【分析】根据离心率和焦距可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可得2b ，即可得方程.【详解】由题意可知：2c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 则2927b =-=，所以该椭圆的方程为22197x y +=.故选：C.4. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3314,2S a ==，则4a =（ ） A 1B.23或-1 C. 23-D. 23-或1 【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解.【详解】依题意，10a ≠，因为314,S =2312a a q ==，12112(1),a a a q ∴+==+故2610q q --=，故12q =或1,3q =- 当12q =时，431a a q ==；当1,3q =-4323a a q ==-；..42 3a∴=-或1.故选：D5. 已知α为三角形的内角，且cosα=sin2α=（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用降幂公式得到答案.【详解】因为α为三角形的内角，cosα=所以sin2α======.故选：B6. 甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（）A. 36种B. 48种C. 54种D. 64种【答案】A【解析】【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解.【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为3211334233A A A A A36-=种，故选：A.7. 已知四棱锥P ABCD-的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD====，PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，则该球的表面积为（）A.13π3B. 16πC.52π3D. 20π【答案】C 【解析】【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明O 到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】如图，取AD 的中点E ，取AB 的中点G ，连接EG 、PG ，在线段PG 上取一点F ，使13FG PG =， 过点E 作平面ABCD 的垂线OE ，使OE FG =，连接OF ，易知四边形ABCD 是等腰梯形，ABE 、BCE 、CDE 均为等边三角形， 所以2AE BE CE DE ====， 因为OE ⊥平面ABCD ，所以90OEA OEB OEC OED ∠=∠=∠=∠=︒， 所以OA OB OC OD ===，因为PAB 为正三角形，G 为AB 的中点， 所以PG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PG ⊂平面PAB ， 所以PG ⊥平面ABCD ， 因为OE ⊥平面ABCD ， 所以//PG OE ，即//FG OE又因为OE FG =，所以四边形OEGF 为平行四边形， 所以//OF EG ，因为ABE 为正三角形，G 为AB 的中点， 所以EG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，EG ⊂平面ABCD ， 所以EG ⊥平面PAB ，所以OF ⊥平面PAB ， 又因为F 是ABP 的外心，所以FA FB FP ==， 所以OA OB OP ==，所以O 即为四棱锥外接球的球心，因为13OE FG PG ===2AE =，所以R OA ====所以22524π4ππ3S R ==⋅=， 故选：C.8. 过()0,M p 且倾斜角为π,π2αα⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B 作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，若直线MN 的倾斜角为β.则()tan αβ-的最小值为（ ）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】首先画出平面图形，求出tan tan 2k k αβ'⋅=⋅=-的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将()tan αβ-化简为()2k k ⎛⎫-+-⎪⎝⎭的形式，由基本不等式即可求得最值. 【详解】如图，设()00,N x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，由于曲线2:2x C y p=，则x y p '=，所以在A 点的切线方程为111()x y y x x p-=-，同理在B 点的切线方程为222()x y y x x p-=-， 由于N 点是两切线的交点，所以1010120202()()x y y x x px y y x x p⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，则AB l 为()000000()2xx xy y x x y y y x x p y y p p-=-⇒-=-⇒=+，且过()0,M p ， 0y p ∴=-且0tan x k pα==，设02tan ,2p k k k x β''==-∴⋅=-， ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-∴-=+()21k k k k k k -⎛⎫==-+-≥ ⎪+⋅⎝⎭''当且仅当k =时“=”成立， 故选：C.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据： 年份x 1 2 3 4 5 6 7 收入y2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（ ） A. 年收入的均值为4.3 B. 年收入的方差为1.2 C. 年收入的上四分位数为5D. 若y 与x 可用回归直线方程0.5ˆˆyx a =+来模拟，则ˆ 2.3a =【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据平均数定义运算求解；对于B ：根据方差公式分析求解；对于C ：根据百分位数的定义分析求解；对于D ：根据线性回归方程必过样本中心点分析求解. 【详解】对于选项A ：由题意可得：年收入的均值 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.94.37y ++++++==，故A正确；对于选项B ：由题意可得： 年份x 1 2 3 4 5 6 7 收入y2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 ()2y y -1.9610.490.010.250.812.56所以年收入的方差21.9610.490.010.250.812.567.081.277s ++++++==≠，故В错误；对于选项C ：因为70.75 5.25⨯=，所以年收入的上四分位数为第6个数据，是5.2，故C 错误； 对于选项D ：因为年份的平均数123456747++++++==x ，即样本中心点为()4,4.3，所以0.5 4.30.523ˆ4.ay x =-=-⨯=，故D 正确； 故选：AD.10. 已知函数()2cos sin f x x x x ωωω=-(0)>ω，则下列命题正确的有（ ）A. 当2ω=时，5π24x =是()y f x =的一条对称轴 B. 若()()122f x f x -=，且12minπx x -=，则12ω=C. 存在()0,1ω∈，使得()f x 的图象向左平移π6个单位得到的函数为偶函数 D. 若()f x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的范围为72,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BD 【解析】【分析】首先对函数表达式进行化简，A 选项，将2ω=，5π24x =代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B 选项，由题设知，π为半个周期；C 选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D 选项，求出π26x ω+的范围，再确定区间右端点π2π6ω+的范围，从而求出ω的范围.【详解】()1cos 211π1cos 2=sin 222262x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭ 对于A ，当2ω=时，()π1sin 462f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 所以55ππ11πsin 246622f ⎛⎫⎛⎫=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π24x =不是()y f x =的一条对称轴，故A 错误； 对于B ，由题意知，2πT =，所以22π2πω=， 又因为0ω>，所以12ω=，故B 正确； 对于C ，()f x 向左平移π6个单位后，得到()ππ1ππ1sin 2sin 2662362g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 假设()g x 为偶函数，则ππππ362k ω+=+，Z k ∈， 解得13k ω=+，Z k ∈而(0,1)ω∈，所以假设不成立，故C 错误； 对于D ，[]0,πx ∈时，πππ2,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 令()π1=sin 2062f x x ω⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 则π1sin 262x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()f x 在[]0,π上恰有5个零点， 所以π25π29π2π,666ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得72,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故D 正确 故选：BD.11. 已知函数()()e ,ln xf xg x x ==-，则下列命题正确的有（ ）A. 若()g x ax ≥恒成立，则1a e≤-B. 若()y f x =与1y ax =-相切，则2e a =C. 存在实数a 使得()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值D. 存在实数a 使得方程()f x x a -=与()x g x a +=有相同的根且所有的根构成等差数列 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：原题意等价于ln xa x ≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x=->，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解；对于B ：对()y f x =求得，结合导数的几何意义列式分析可得()1ln 1a a -=-，代入2e a =检验即可；对于C ：取1a =，利用导数求最值，进而分析判断；对于D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象，设交点为()(),M m h m ，结合图象分析可知从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m ，进而可得结果.【详解】对于选项A ，若()g x ax ≥，则ln x ax -≥，且0x >，可得ln xa x≤-， 可知原题意等价于ln xa x≤-在()0,∞+内恒成立， 令()ln ,0x h x x x =->，则()2ln 1x h x x ='-， 令()0h x '>，解得0e x <<；令()0h x '<，解得e x >；可知()y h x =在()0,e 内单调递减，在()e,∞+内单调递增，则()()1e eh x h ≤=-， 所以1a e≤-，故A 正确；对于选项B ：因为()e xf x =，则()e xf x '=，.设切点为()00,ex P x ，则切线斜率()0=ex k f x '=，可得切线方程为()000ee x x y x x -=-，即()000e e 1x x y x x =+-，由题意可得()000e e 11xx a x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，整理得()1ln 1a a -=-，显然2e a =不满足上式，故B 错误；对于选项C ：例如1a =，构建()()e xh x f x x x =-=-，则()e 1xh x '=-，令()0h x '>，解得0x >；令()0h x '<，解得0x <； 可知()y h x =在(),0∞-内单调递减，在()0,∞+内单调递增， 可知()y h x =的最小值为()01h =；构建()()ln ,0x g x x x x x ϕ=+=-+>，则()111x x x xϕ-=-+='， 令()0x ϕ'>，解得1x >；令()0x ϕ'<，解得01x <<； 可知()y x ϕ=在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增， 可知()y x ϕ=的最小值为()11G =，可知()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值1，故C 正确； 对于选项D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象大致如下：设交点为()(),M m h m ，易知01m <<，由图象可知：当直线y a =与曲线()y h x =和曲线()y x ϕ=共有三个不同的交点时，直线y a =必经过点()(),M m h m ，即()a h m =.因为()()h m m ϕ=，所以e ln m m m m -=-，即e 2ln 0m m m -+=.令()()()h x x a h m ϕ===，得e ln e x m x x x m -=-=-，解得x m =或e m x =， 由01m <<得1e m m <<.所以当直线y a =与曲线()y h x =和()y x ϕ=共有三个不同的交点时， 从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m .因为e 2ln 0m m m -+=，即e ln 2m m m +=，所以ln ,,e m m m 成等差数列，故D 正确； 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知集合{}220A x x x =∈--≤N∣，集合(){}22210B x x a x a a =-+++=∣，若B A ⊆，则=a __________. 【答案】0或1 【解析】【分析】根据题意先求集合,A B ，结合包含关系分析求解.【详解】由题意可知：{}{}{}220120,1,2A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=NN ∣∣， (){}{}22210,1B x x a x a a a a =-+++==+∣，因为BA ⊆，可知{}0,1B =或{}1,2B =，可得0a =或1a =.故答案为：0或1.13. 过()1,2P 的直线l 被曲线2240x x y -+=所截得的线段长度为l 的方程为__________. 【答案】1x =或34110x y +-= 【解析】【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案.【详解】由曲线2240x x y -+=知，该曲线为圆 ()2224x y -+=且圆心为()2,0，半径为2r =.当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，此时圆心到直线的距离为1d =.根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：l ==，满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为：()12y k x =-+，即20kx y k --+=圆心到直线的距离为dl =根据垂径定理2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得，222=，解得 34k =- 此时直线方程为34110x y +-=. 故答案为：1x =或34110x y +-=.14. 在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,tan sin sin b c A B C ≠=+，则以下结论正确的有__________.①20,11a b c ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪+⎝⎭；②211a b c ⎛⎫∈ +⎝⎭；③2b c a +⎫∈⎪⎭；④2b c a ⎛+∈ ⎝；⑤a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.【答案】⑤ 【解析】【分析】依题意可得sin sin sin cos A B C A =+，利用正弦定理将角化边得到cos ab c A=+，将上式两边平方，再由余弦定理得到2220cos a b c A+-=，最后由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】因为tan sin sin A B C =+，即sin sin sin cos AB C A=+， 由正弦定理可得cos ab c A=+，所以22222cos a b c bc A=++，又2222cos bc A b c a +-=， 所以()()22222222cos 2cos cos cos a b c A bc A b c A b c a A=++=+++-，所以()2221cos 0cos a b c A A ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以()cos 1,1A ∈-，则1cos 0A +≠，所以2220cos a b c A+-=，()222cos a b c A =+，又b c ≠，所以222b c bc +>， 所以()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-，所以2222b c a +>，则a >a ∞⎫∈+⎪⎪⎭. 故答案为：⑤【点睛】关键点点睛：本题关键是余弦定理的灵活应用，第一次得到2220cos a b c A+-=，再由基本不等式得到()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是线段1A B 上的动点.（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11A BC ；（2）1PB 与平面11A BC ，求PB 的长.【答案】（1）证明见解析（2）PB =【解析】【分析】（1）根据题意可得111A C DD ⊥，1111AC B D ⊥，进而可证11A C ⊥平面11BDD B ，即可得结果； （2）设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB，利用等体积法可得1EB =可得1EB =. 【小问1详解】因为1DD ⊥平面1111D C B A ，且11AC ⊂平面1111D C B A ，可得111A C DD ⊥， 四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥， 且111111,B D DD D B D ⋂=，1DD ⊂平面11BDD B ，可得11A C ⊥平面11BDD B ， 且11AC ⊂平面11A BC ，所以平面11BDD B ⊥平面11A BC . 【小问2详解】设1B 在平面11A BC 上射影点为E ，连接1,EP EB ，可知11A BC V是以边长为11A BC S ==V ， 因为111111B A BC B A B C V V --=，即1111222332EB ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得1EB = 设1PB 与平面11A BC 所成的角的大小为θ，的则11sinEBPBθ===，可得1PB=，在1BPB△中，由余弦定理得，222111π2cos4PB BB PB BB PB=+-⨯⨯，即224PB=+-，解得PB=.16. 甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立. （1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X的数学期望()E X为多少？（保留小数点后一位）（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率.【答案】（1）2.6 （2）0.34464【解析】【分析】（1）分析可知X的可能取值为2，3，结合条件概率求()()2,3P X P X==，进而可得期望；（2）根据题意分析乙胜的情况，结合独立事件概率乘法公式分析求解.【小问1详解】记“乙已经赢得比赛”为事件A，则()120.20.2C0.20.80.20.104P A=⨯+⨯⨯⨯=，由题意可知：X的可能取值为2，3，则有：()()12C0.20.20.80.20.2582,30.104130.10413P X P X⨯⨯⨯⨯======，所以X的数学期望()583423 2.6131313E X=⨯+⨯=≈.【小问2详解】由题意可知：每局乙赢的概率00.2p=，则()()()()2321110200030004000C1C1C1P A p p p p p p p p p p⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()415000C1p p p⎡⎤+-⎣⎦()()()()234200000121314151p p p p p⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦()()()()()22340.21210.2310.2410.2510.2⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦0.048.6160.34464=⨯=，所以乙胜的概率0.34464.17. ()()ex af x a -=∈R .（1）若()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，求0x ； （2）对任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）1（2）πln2,42∞⎛⎤-+⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求得()e x af x -'=，得到()00e x a f x -='且()00e x a f x -=，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意，转化为e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()e sin x ag x x -=-，当0a ≤时，符合题意；若0a >，求得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，利用导数求得()g x '的单调性，结合()π00,02g g ⎛⎫<> '⎪⎝⎭'，得到存在唯一的0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，得出()g x 的单调性和极小值，进而求得a 的取值范围. 【小问1详解】 由函数()e x af x -=，可得()e x af x -'=，所以()00ex af x -='且()00ex af x -=，即切线的斜率为0e x a -，切点为()00e,x aA x -因为()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点， 可得000e 0ex a x ax ---=-，解得01x =.【小问2详解】任意[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，即e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立， 令()[)esi ,0,n x ag x x x -=∈-+∞，若0a ≤，则0x a -≥，可得e 1x a -≥，所以()e sin 1sin 0x ag x x x -=-≥-≥，符合题意；若0a >，可得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，则()e sin x a h x x -+'=，的当0πx ≤≤时，()0h x '>，()g x '在[]0,π递增，而()π2π0e 10,e 02a ag g --⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭''，所以，存在唯一的[]0π0,0,π2x ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，使得()000e cos 0x ag x x --'==， 所以，当00x x <<时，()0g x '<，()g x 在()00,x 递减，当0πx x <<时，()0g x '>，()g x 在区间()0,πx 递增， 故当0x x =，函数()g x 取得极小值()00000e sin cos sin 0x ag x x x x -=-=-≥，所以0π04x <≤，此时，00lncos x a x -=，可得00πlncos 4a x x =-≤- 即πln2042a <≤+； 当πx >时，()πln 2142e sin e1e1e 10x x ax ag x x ----=-≥-≥-≥->，因而πln2042a <≤+，符合题意， 综上所述，实数a 的取值范围是求πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．18. 已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上焦点为(，下顶点为A ，渐近线方程是y =，过20,3B ⎛⎫⎪⎝⎭点的直线交双曲线上支于,P Q 两点，,AP AQ 分别交直线23y =于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）求C 的方程；（2）求证：,,,M N O A 四点共圆； （3）求（2）中的圆的半径r 的取值范围.【答案】（1）22142-=y x（2）证明见解析 （3）5.3⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据题意得到关于,,a b c 的方程组，解出即可；（2）方法一：设直线2:3PQ y kx =+，联立双曲线方程得到韦达定理式，求出11836M x x y =+， 22836N x x y =+，最后计算并证明出BO BA BM BN =即可；方法二：转化为证明出1OM AN k k =，同法一设线联立得到韦达定理式，再整体代入计算出1OM AN k k =即可； （3）设圆心为T ，计算出(),1T k -，根据r =k 的范围即可.【小问1详解】由题，222ac a b c b==+=，解得224,2a b ==， 所以C 的方程为22142-=y x .【小问2详解】（方法一）设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩， 解得21629k <<，且()()1212222243243239,223292k k x x x x k k kk -+====----，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，()()1212121288643636922x x x x BM BN y y y y =⨯=++++()()()121221212126464864922939x x x x y y k x x k x x ==+++++()()()22223292641632846499399232k k k k k k -==⋅+⋅+--，22162339BO BA ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，则BO BA BM BN =， 所以,,,M N O A 四点共圆.（方法二）设,OM AN 的倾斜角分别为,αβ.由对称性， 不妨设PQ 的斜率0k >，此时,αβ均为锐角， 所以,,,M N O A 四点共圆πAOM ANM ∠∠⇔+=，ππ2αβ⎛⎫⇔++= ⎪⎝⎭ππ,,0,22αβαβ⎛⎫⇔+=∈ ⎪⎝⎭tan tan 1αβ⇔=1OM AN k k ⇔=设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420,990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩解得21629k <<， ()()121222324,9232kx x x x k k =-+=---，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，121222,4OM AN AQ y y k k k x x ++=== ()21212121212121288864223339444OM ANkx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭=⋅== ()()()2222328464399232132492kk k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎣⎦所以,,,M N O A 四点共圆.【小问3详解】设圆心为T ，则1T y =-，121212124448823636333M N T x x x x x x x y y kx kx ⎛⎫⎪+==+=+ ⎪++ ⎪++⎝⎭()()()()()()221212221212223284822392324438643284643339399232kk kx x x x k k k k k x x k x x k k kk ⋅+⋅++--==⋅=+++⋅+⋅+--，(),1T k∴-，因为21629k <<，则5.3r ⎛= ⎝ 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法得到韦达定理式，然后利用四点共圆的充要条件代入计算证明即可，第三问的关键是得到圆心坐标，从而得到r =19. 给定自然数n 且2n ≥，设12,,,n x x x 均为正数，1ni i x T ==∑（T 为常数），11n i ni i nx x T x T x -==--∑.如果函数()f x 在区间I 上恒有()0f x ''>，则称函数()f x 为凸函数.凸函数()f x 具有性质：()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑. （1）判断()1xf x x=-，()0,1x ∈是否为凸函数，并证明； （2）设()1,2,,ii x y i n T== ，证明：111111n n y y n -≤---； （3）求nnx T x -的最小值.【答案】（1）()f x 在()0,1上为凸函数，证明见解析（2）证明见解析 （3. 【解析】【分析】（1）对()f x 求导之后，再求二阶导数，证明()0f x ''>即可得出结论；（2）根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑；将11n i n i i nx x T x T x -==--∑中的分子、分母同时除以T ，得到()111n ni i n y f y y -==-∑；加上1111n ni i n n i i y y y y -===-=-∑∑，利用以上条件得到一个关于n y 与n的不等式，变形后即可得出结论.（3）设ii x y T=，将n n x T x -转化为1n n y y -，判断其单调性，将问题转化为求n y 的最小值；利用（2）的结论，求出n y 的最小值，代入1nny y -即可得出答案. 【小问1详解】()f x 在()0,1上为凸函数.证明：由题知，()22(1(1)())(11)x f x x x x ==-'----，所以()43(1)(11)2()2f x x x x =-'=--'，因为()0,1x ∈，所以10x ->，()0f x ''>， 所以()f x 在()0,1上为凸函数. 【小问2详解】 证明：因为ii x y T=()1,2,,i n = ， 所以11111nnn i i ii i i x Ty x TT T =======∑∑∑， 由题知11n i n i i nx x T x T x -==--∑，分子分母同时除以T ， 得1111i nn i n i x x TT x x T T-==--∑，所以1111n i ni i n y y y y -==--∑，即()111n n ii n y f y y -==-∑， 根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑，所以111111111111n i n i n ni i y y n n y y n -=-=-⋅≥----∑∑，又因为1111n niinn i i y y yy -===-=-∑∑，所以1(11111))111(11(11)n n n n n n y y y n n y n y y n ⋅---⋅≥=------⋅--，两边同时乘以n 1-，得(1)(111()1)n n n n y n y y n y --≥----， 因为()1,2,,i x n T i <= ，所以(0,1)ii x y T=∈， 又因为2n ≥，所以(1)(1011(1))n n n n y n y y n y --≥>----， 两边同时取倒数，得11(11(1))1)(111n n n n n y n y y n y y n ----≤=-----， 所以111111n n y y n -≤---，即111111n n y y n -≤---. 【小问3详解】设i i x y T =()1,2,,i n = ，则n n xy T=，且()0,1n y ∈， 所以11111nn n n n n nx x y T x T x y y T===-----，随n y 增大而增大， 由（2）知，111111n n y y n -≤---， 所以()2111n n n n y y y n n y -⋅--≤--， 所以()2(34)210n n y n n y n --+-≤-， 当2n =时，120n y -+≤，12n y ≥，所以1111n n nx T x y =-≥--，当且仅当1212y y ==时，等号成立， 当3n ≥n y ≤≤所以1n n n n x y T x y =≥--====，当且仅当12111n n y y y y n --=====- 时，等号成立， 当2n =时，最小值为1，满足上式，所以n n x T x -. 【点睛】关键点点睛：第2问的关键是将条件中x 转化为y ，紧紧围绕凸函数的性质来做文章；第3问关键是将nn x T x -转化为1n ny y -，利用第2问的结论，求出n y 的最小值.。

省内院校自主招生试题及答案合肥一中2010物理合肥一中2010数学蚌埠二中2010数学一、选择题（每小题5分，共30分。

每小题均给出了A、B、C、D的四个选项，其中有且只有[来源:学科网] 一个选项是正确的，不填、多填或错填均得０分）1、有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的ODCBA结果如图所示。

如果记6的对面的数字为a ，2的对面的数字为b ，那么b a +的值为A ．3B ．7C ．8D ．112、右图是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图像（收支差额=车票收入-支出费用） 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车 票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格。

下面A ．①反映了建议（2），③反映了建议（1） B ．①反映了建议（1），③反映了建议（2） C ．②反映了建议（1），④反映了建议（2） D ．④反映了建议（1），②反映了建议（2）3、已知函数))((3n x m x y ---=，并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 的两个根，则 实数b a n m ,,,的大小关系可能是A ．n b a m <<<B ．b n a m <<<C ．n b m a <<<D ．b n m a <<< 4、记n S =n a a a +++ 21，令12nn S S S T n+++=，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”。

已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为A ．200４B ．2006C ．2008D ．20105、以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后 与直径AB 交于点D ，若32=DBAD ，且10=AB ，则CB 的长为A ． 54B ．34C ． 24D ．46、某汽车维修公司的维修点环形分布如图。

2021年合肥一中自主招生?科学素养?测试数学试题〔总分值：150分〕一、选择题：〔本大题共4小题，每题8分，共32分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项正确的．〕1.如图一张圆桌旁有四个座位，A,B,C,D 四人随机坐在四个座位上，A 那么D 与相邻的概率是〔 〕2.3A B. 12 C. 14 D. 292. 小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的外表〔不考虑接缝〕，如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为〔 〕A ．40B ．30+22C ．202D ．10+1023.在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD 的位置如下图，点A 的坐标为〔1,0〕, 点D 的坐标为〔1,0〕,延长CB 交x 轴与A 1，作作第二个正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作第二个正方形 A 2B 2C 2C 1•••，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为〔 〕A. 200935()2 B. 200895()4 C. 401835()2 D. 201095()44.如图，在△ABC 中，AB=10，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA,CB 分别相交于点P,Q ，那么线段PQ 长度为〔 〕A.4.75B.4.8C.5D.42二、填空题〔本大题共有5小题，每题10分，共50分〕5.某县为了了解“五·一〞期间该县常住居民的出游情况，有关部门随机调查了1600名居民，并根据调查结果绘制了如下统计图：假设该县常住居民共24万人，那么估计该县常住居民中，利用“五·一〞期间出游采集开展信息的人数约为 万人。

6.点P(x,y)位于第二象限，并且y ≤x+4,x,y 为整数，符合上述条件的点P 共有 个。

7. 如图，菱形OABC,点C 在直线y=x 经过点A ，菱形OABC 的面积是2，假设反比例函数的图象经过点B,那么此反比例函数表达式为 。

2025届合肥市第一中学高三六校第一次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<2．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 3．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos B <的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C ．22D ．249．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒11．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．612．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ） A ．17B ．4C ．2D ．117+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

合肥一中2024~2025学年度高三第二次教学质量检测数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．2．命题“，使”的否定是（ ）A ．，使B ．不存在，使C ．，使D ．，使3．函数的部分图象大致为（ ）A ．B．{}2,1,0,1,2M =--(){}22log 1N y y x ==+{}2,1--{}2,1,0--{}0,1,2{}1,0-x ∃∈R 210x x +-≠x ∃∈R 210x x +-=x ∈R 210x x +-≠x ∀∉R 210x x +-=x ∀∈R 210x x +-=()3sin 1x x f x x =+C ．D ．4．“曲线恒在直线的下方”的一个充分不必要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．5．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ）（参考数据：，）A ．0.2B ．0.18C ．0.15D ．0.146．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）A ．B ．4C ．D ．8．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知平面向量，，且，则（ ）ln y x =y x b =+1b >-1e b -<<-10b -<<0b <0e KD D I I -=K D D I 0I D 40%K ln 20.7≈ln 5 1.6≈ABC △A B C a bc a =()(()sin sin sin sin A B b c B C -+=+ABC △π3π4π5π()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π6x =()f x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ω3292152O ABC △0OA OB OC ++= M OBC △AM xAB y AC =+ 2x y +1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,251,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,a m = ()1,1b =- 22a b a b +=-A ．B ．C ．D ．10．已知，若对任意的，不等式恒成立，则（ ）A ．B ．C ．的最小值为32D ．的最小值为11．已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数的一个对称中心为B ．C ．函数为周期函数，且一个周期为4D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则______．13．已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为______．14．定义表示实数，中的较大者，若，，是正实数，则的最小值是______．四、解答题：本题共5小题，第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，，求的面积；2m =π,3a b = a b ⊥ a =1b >()1,x ∈+∞32440ax x abx b +--≤0a <216a b =216a b +24a ab a b +++8-()f x R ()()()11F x f x x =+-+()()231G x f x =+-()f x ()2,1()01f =-()f x ()()()()()012345f f f f f ++++=π4tan 43α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos 2α=()22log ,012,04x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩()f x a =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<()2312432x x x x x +-{}max ,x y x y a b c 123max ,max ,max ,a b c b c a ⎧⎫⎧⎫⎧⎫++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭ABC △A B C a b c ()2222cos 02a b c c b A b+--+=4a =8b c +=ABC △（2）若角为钝角，求的取值范围．16．（15分）已知函数．（Ⅰ）当时，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．17．（15分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m ，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ．（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m ）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m ）．参考公式：．参考数据：，．18．（17分）已知函数．（1）当时，，求实数的取值范围；（2）若，求证：；（3）若，，为正实数，且，求证：．19．（17分）已知实数集，定义：（与可以相同）．记为集合C c b()()()ln 1f x x x a x a R =+-∈0a =x ()f x m =1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦m ()f x 1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦min t m H H t h t sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=πsin 0.207915≈πsin 0.065448≈()sin f x x =0x ≥()f x ax ≤a π02αβ<<<()()()cos f f βαβαα-<-*n ∈N 00a =12,,,n a a a 121n a a a +++= 1π12n i =≤<{}12,,,n X x x x = {},i j i j X X x x x x X ⊗=∈i x j x X中的元素个数．（1）若，请直接给出和；（2）若均为正数，且，求的最小值；（3）若，求证：．合肥一中2024~2025学年度高三第二次教学质量检测数学参考试卷1．A【详解】，所以阴影部分．故选：A ．2．D【详解】命题“，使”的否定是，使．故选：D ．3．A【详解】易知函数的定义域为，故可排除C ，D ；又，，所以可排除B ，故选：A ．4．C【详解】由曲线恒在直线下方，可得，恒成立，即所以“曲线恒在直线的下方”的充要条件是，故选：C ．5．C 【详解】依题意得，，化成对数式，，解得，．故选：C ．6．C【详解】因为，且，所以，由正弦定理，可得，即，X {}1,2,3,6X =X X ⊗X X ⊗12,,,n x x x 300X X ⊗=X 11X =17X X ⊗≥{}0N y y =≥(){}2,1M N =--R ðx ∃∈R 210x x +-≠x ∀∈R 210x x +-=()3sin 1x x f x x =+{}1x x ≠-π14->-3ππsin π4404ππ1144f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭-==> ⎪⎝⎭⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln y x =y x b =+ln x x b <+ln b x x >-1b >-ln y x =y x b =+1b >-6040%e K D I I -==26ln ln 2ln 50.95K -==-≈-0.15K ≈a =()(()sin sin sin sin A B b c B C -+=+()()()sin sin sin sin A B a b c B C -+=+()()()a b a b c b c -+=+222a b c bc =++所以，又因，所以，所以外接圆的半径为．．故选：C ．7．A【详解】由的图象关于直线对称可得，，解得或，，由于在上没有最小值，所以，所以，故选：A ．8．C【详解】因为内一点，，所以为的重心，又在内（不含边界），且当与重合时，最小，此时所以，即，当与重合时，最大，此时，所以，，即，因为在内且不含边界，所以取开区间，即，故选：C ．二．多选题9．ACD【详解】由，，可得，，2221cos 22b c a A bc +-==-()0,πA ∈2π3A =ABC △22sin a A ==2π24πS =⋅=()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π6x =ππππ642k ω+=±+k ∈Z 362k ω=+962k ω=-+k ∈Z ()f x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭π5π0544ωω≤⇒<≤32ω=ABC △0OA OB OC ++= O ABC △M OBC △M O 2x y +()21113233AM AB AC AB AC AB AC λμ⎡⎤=+=⨯+=+⎢⎥⎣⎦ 13x y ==21x y +=M C 2x y +AM AC = 0x =1y =22x y +=M OBC △()21,2x y +∈()2,a m = ()1,1b =- ()24,2a b m +=- ()20,2a b m -=+由，可得，解得，故A 正确；由，可得，故D 正确；又，则，，故B 错误，C 正确．故选：ACD ．10．ABD【详解】因为，即恒成立，又因为，，所以当，当时，，因为对任意的，不等式恒成立，所以当时，，当时，，所以对于函数，必有，单调递减，且零点为，所以，所以，所以A 正确，B 正确；对于C ，因为，所以所以，当且仅当，即时取等号，与条件不符，所以C 错误；对于D ，，令，当且仅当时，等号成立．则原式，22a b a b +=- ()()221622m m +-=+2m =()2,2a = a == cos ,0a b a b a b ⋅=== π,2a b = a b ⊥ 32440ax x abx b +--≤()()240ax x b +-≤1b >1x >1x <<20x b -<x >20x b ->()1,x ∈+∞32440ax x abx b +--≤0x <<40ax +≥x >40ax +≤4y ax =+0a <x =40+=216a b =40=a =216161632a b b b +=+≥=1616b b=1b =216164a ab a b b b b b ⎛⎛⎫+++=-=+- ⎪ ⎝⎭⎝216448b b ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭m =4m ≥4b =()2484m m m =--≥由二次函数的性质可得的最小值为，此时，，所以D 正确，故选：ABD ．11．ABD【详解】对于A ，因为为奇函数，所以，即，所以，所以，所以函数的图象关于点对称，所以A 正确，对于B ，在中，令，得，得，因为函数为偶函数，所以，所以，所以，令，则，所以，得，所以B 正确，对于C ，因为函数的图象关于点对称，，所以，所以，所以4不是的周期，所以C 错误，对于D ，在中令，则，令，则，因为，所以，因为，所以，所以D 正确，故选：ABD ．三．填空题（共1小题）12．．【详解】因为，所以，可得，则．故答案为：．()2484y m m m =--≥8-4b =2a =-()()231G x f x =+-()()G x G x -=-()()231231f x f x ⎡⎤--=-+-⎣⎦()()23232f x f x -++=()()222f x f x -++=()f x ()2,1()()222f x f x -++=0x =()222f =()21f =()()()11F x f x x =+-+()()F x F x -=()()()()1111f x x f x x ---=+-+()()112f x f x x +--=1x =()()202f f -=()102f -=()01f =-()f x ()2,1()01f =-()43f =()()04f f ≠()f x ()()222f x f x -++=1x =()()132f f +=2x =()()042f f +=()01f =-()43f =()21f =()()()()()012345f f f f f ++++=2425-π4tan 43α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭tan 141tan 3αα+=--tan 7α=22222222cos sin 1tan 1724cos 2cos sin 1tan 1725ααααααα---====-+++2425-13．．【详解】作出函数图像可得，从而得，且，从而得，原式，令，，，令，则，，在单调递增，，最大值为．14．【详解】按和分类：记，当时，当且仅当，，时，等号成立；当时，，12981222x x +=-2324log log x x -=341x x =(]23log 1,2x -∈(]312,4x ∈∴()23122322331122x x x x x x +=-=+ 232312y x x =+(]312,4x ∈ (]2314,16x ∴∈231t x =()2f t t t=+(]4,16t ∈()f t )+∞()9129,28f t ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦∴12983c a ≤3c a ≥123max ,max ,max ,M a b c b c a ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭3c a ≤23235333a a M a a c a a a ≥++≥++=+≥=a =b =c =3c a ≥2325M a c c c c c c c ≥++≥++=+≥=当且仅当，，时，等号成立．综上所述，的最小值是四．解答题15．（13分）【详解】（1）由和正弦定理得，，因，则有，因，，则，又，故．由余弦定理，，代入得，，因，则有，即得，故的面积（2）由正弦定理，可得，因，代入化简得：．因为钝角，故由可得，则，即，故的取值范围是．16．（15分）【详解】（Ⅰ）当时，，，由，，故可列表：a =b =c =M ()2cos cos 0c b A a C -+=()sin 2sin cos sin cos 0C B A A C -+=()()sin cos sin cos sin sin πsin C A A C A C B B +=+=-=()sin 12cos 0B A -=0πB <<sin 0B >1cos 2A =0πA <<π3A =2222cos a b c bc A =+-2216b c bc +-=8b c +=()2316b c bc +-=16bc =ABC △11sin 1622S bc A ==⨯=sin sin b c B C =sin sin c C b B =2π3C B =-2πsin sin 13sin sin 2B cC b B B ⎛⎫- ⎪⎝⎭====C π022ππ32B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩π06B <<0tan B <<32>2c b >c b ()2,+∞0a =()ln f x x x x =-()ln 11ln f x x x =+-='∴()0132f x x ⎧>⎪⎨≤≤⎪⎩'ln 013132x x x >⎧⎪⇔⇔<≤⎨≤≤⎪⎩()0111232f x x x ⎧'<⎪⇔≤<⎨≤≤⎪⎩13，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根时；（Ⅱ），由得．①当，即时，，在上为增函数，；②当，即时，在上，为减函数，在上，为增函数，；③当，即时，，在上为减函数，．综上所述，．17．【详解】如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．x121,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,3y '-+y11ln222--]1-Z3ln33-11ln 203ln 3322--<<- ∴x ()f x m =1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦111ln 222m -<≤--()()ln 0f x x a x =+>'()0f x '=ax e -=1aee -<1a >()0f x '>()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()min 12a f x f e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭1a e e e -≤≤11a -≤≤1,a e e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦()0f x '<()f x ,a e e -⎡⎤⎣⎦()0f x '>()f x ()()mina af x f e e --==-aee ->1a <-()0f x '<()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()min e f x f ea ==()min2,1,11,1a a a e f x e a ea a --⎧>⎪⎪=--≤≤⎨⎪<-⎪⎩P O x（1）设时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min ，可知座舱转动的角速度约，由题意可得，．（2）如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则．经过后甲距离地面的高度为，点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为．则甲、乙距离地面的高度差，利用，可得，．当（或），即（或22.8）时，的最大值为．所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m ．18．（17分）【详解】（1）首先，，故，设，则，，由，可知当时，，在区间上单调递增，故，满足；当时，由在区间上单调递增，且，，故存在，使得，且时，，单调递减，此时，，与题设矛盾．综上所述，实数的取值范围．0min t =()0,55P -OP π2-πrad min 15ππ55sin 65152H t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭030t ≤≤A B 2ππ4824AOB ∠==min t 1ππ55sin 65152H t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭B A πrad 242π13π55sin 651524H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12πππ13πππ13ππ55sin sin 55sin sin 15215241522415h H H t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=πππ110sinsin 481548h t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭030t ≤≤πππ15482t -=3π27.8t ≈h π110sin 7.248≈ππ122f a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭2πa ≥()sin g x ax x =-0x ∀≥()0g x ≥()cos g x a x =-'1a ≥()0g x '≥()g x []0,+∞()()00g x g ≥=21πa ≤<()g x 'π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()010g a =-<'π02g a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭'0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00g x '=()00,x x ∈()0g x '<()g x ()()00g x g <=a [)1,+∞（2）由，可知，即故只要证设，，则，在区间上单调递增，即，，故原不等式成立．（3）一方面，由于，故可令，其中，，结合第（2）问的结论，，另一方面，()()()()()cos cos cos f f f f βαβααββαααα-<-⇔-<-π02αβ<<<cos cos βαββ>()()cos cos f f ββαβββ-<-()()cos cos f f βββααα-<-()()cos g x f x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()cos cos sin sin 0g x x x x x x x =--=>'()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()()g g αβ<()()cos cos f f βββααα-<-01121201n a a a a a a a =<<+<<+++= 012π02n θθθθ=<<<<= 12sin i i a a a θ=+++ 1,2,,i n =1ni =1ni ==111sin sin cos ni i i i θθθ-=--=∑()()1110111cos πcos 2nni i i i i n i i i θθθθθθθθ---==--<=-=-=∑∑1ni =()()1011112nii i i i n a a a a a a a =-+≥++++++++∑1011121nii i i i na a a a a a a =-+=++++++++∑，综上可得，．19．（17分）【详解】（1），；（2）一方面，积有个，另一方面，积有个，故，当中所有元素互素时，等号成立．要使得时，最小，可令中所有元素互素，此时，，解得：，故的最小值为24；（3）考虑集合中所有元素变为原来的相反数时，集合不改变，不妨设中正数个数不少于负数个数．①当中元素均为非负数时，设，于是，，此时，集合中至少有，，，…，，，，…，这18个元素，即；②当中元素至少有一个为负数时，设是中全体元素，且，于是，．由是中的个元素，且非正数；又是中的7个元素，且为正数，故中元素不少于17个，即；另外，当时，满足，11ni i a ===∑1π12i n=≤<{}1,2,3,4,6,9,12,18,36X X ⊗=9X X ⊗=i i x x ⋅n ()i j i j x x x x ⋅≠()21C 2nn n -=()()1122n n n n X X n -+⊗≤+=X 300X X ⊗=X X ()13002n n +=24n =X X X X ⊗X X 12110x x x ≤<<< 1223242113111011x x x x x x x x x x x x <<<<<<< X X ⊗12x x 23x x 24x x 211x x 311x x 411x x 1011x x 18X X ⊗≥X 11120l l k z z z y y y -<<<<<<< …X ()11k l k l +=≥6k ≥1112123k k k l k z y z y z y z y z y z y >>>>>>> X X ⊗110k l +-=23242526364656y y y y y y y y y y y y y y <<<<<<X X ⊗X X ⊗17X X ⊗≥{}2340,1,2,2,2,2X =±±±±±{}23456780,1,2,2,2,2,2,2,2,2X X ⊗=-±±±±±±±-17X X ⊗=故．17X X ⊗≥。

一道关于直角坐标的题目。

几个定义，出租车只能在街道（网格线）内行驶，且从一个路口（格点）到另一个路口，必须是最短距离，2个街区之间的最短距离称为“出租车距离”，图中每个小正方形的边长为1个单位。

可以发现从原点O
到（2，-1）的出租车距离为3，最短距离有3条。

从原点O到（2，2）的出租车距离为4，最短路线有6条。

求从坐标（1，-2）到坐标（3，36）的最短路线有多少条。

求从原点O到坐标（n,n)有多少条最短路线
不会的别乱插嘴谢谢
问题补充：
麻烦你们看清楚题目，我问的是最短路线有多少条不是最短距离最短距离我早就会了谢谢
答案：从（0，0）到（2，38）所有最短路的条数为780种;
从（0，0）到（n，n）所有最短路的条数见图片
解：首先，根据图示可以看出从（1，-2）到坐标（3，36）的最短路线的条数与从O到坐标（2, 38)的最短路线的条数的条数是相等的。

下面看从（0，0）到（2，38），很显然最短距离为2+38=40，即向右至少要走2个单位长度，向上至少要走38个单位长度，两个方向是独立的，从（0，0）到（2，38）所有最短路的条数相当于在2+38步中，先选出2步向右，共有40*39*1/2=780种不同选法，则余下的全部向上。

即从（0，0）到（2，38）所有最短路的条数为780种。

安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期第四次素质拓展数学试题一、单选题1．设集合R U =，集合()22{|20},{|log 1}M x x x N x y x =-≥==-，则{|2}x x <=（）A ．M N ⋃B ．()U N M ðC ．U ()M N ðD ．()U M N ð2．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．3．已知△ABC 满足AB 2＝AB ·AC ＋BA·BC ＋CA ·CB ，则△ABC 是（）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4．已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点()1,3，则b 的值为（）A ．3B ．3-C ．5D ．5-5．下列叙述中正确的个数是：（）①若a ，b ，c 为平面向量，则()()a b c a b c ⋅=⋅ ；②向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与a垂直；③()3,a m =-，()4,3b = ，若a 与b 的夹角是钝角，则实数m 的取值范围是4m <④.记b e b= ，则向量a 在向量b 上的投影向量为()a e e⋅ A ．0B ．1C ．2D ．36．若一元二次不等式21110a x b x c ++>，22220a x b x c ++<的解集分别为M 、N ，1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 均不为0，M 、N 既不是R 也不是∅，则“M N =”是“111222a b c a b c ==”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A ．15[,24B ．13[,]24C ．1(0,2D ．(0,2]8．定义域在上的奇函数()1222x x af x +-+=+.若存在π,04θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得)()2cos cos 0ff k θθθ+->成立，则实数k 的取值范围为（）.A ．()2,∞+B ．3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．(),2∞-D ．3,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭二、多选题9．已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的有（）A ．²²a b >B ．2b a a b+>C ．11a b b a->-D ．()()11baa b +>+10．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则（）A ．()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．函数f (x )的图象关于7π12x =对称C ．函数f (x )的图象关于π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数f (x )在π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11．已知实数x ，y 满足e0x yyx++=，则（）A ．当0y <时，0x y +=B ．当0x <时，0x y +=C ．当0x y +≠时，2y x ->D ．当0x y +≠时，10xy -<<三、填空题12．已知α是三角形的内角，若2cos cos2sin2ααα=-，则tan α=．13．已知函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，则实数a =．14．圆1O 与圆2O 半径分别为1和2，两圆外切于点P ，点A ，B 分别为圆12,O O 上的动点，120APB ∠=︒，则PA PB ⋅的最小值为.四、解答题15．已知函数()πππsin cos sin 632f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小值，及()f x 取最小值时的x 的值；(2)将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，若()65g α=-，且π5π,612α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求cos 2α的值.16．在平面四边形ABCD 中，,1,30BC CD AC AD ACD ∠⊥===︒.(1)求CD 的长；(2)若ABC V 为锐角三角形，求BC 的取值范围.17．已知函数()()ln 1f x a x x=+-(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()()21ln f x a a a <-+.18．如图，半圆O 的直径为4cm ，A 为直径延长线上的点，4cm OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .设AOB α∠=.(1)问：B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出面积的最大值.(2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy ）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC 的长取最大值时，求AOC ∠.(3)求AOC △面积的最大值.19．意大利画家达⋅芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数()e e ch 2x x x -+=的图象，定义双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：()()22ch sh 1x x -=，②倍元关系：()()()sh 22sh ch x x x =⋅.(1)求曲线()ch x 在2x =处的切线斜率；(2)若对任意0x >，都有()()()()()1sh ch 2sin 2cos x a x x x x a x --+≥--恒成立，求实数a 的取值范围：(3)（i ）证明：当0x >时，()sh x x >；（ii ）证明：()()()*22sh sh sh 2sh 1432N 111tan121tan tan tan23n nn n n n⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++>-∈+ .。

2024-2025学年第一学期合肥一中高三数学素质拓展三满分：150分时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合ππ{|0π},|,Z 32k A B k ααββ⎧⎫=<<==+∈⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．π2⎧⎫⎨⎩⎭B ．π,6π2⎧⎫⎨⎩⎭C ．ππ5π626⎧⎫⎨⎬⎩⎭,,D ．π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭2．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()43P ,-，则3πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．24253．已知()1sin 3αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（）A ．16B ．13C ．12D ．234．函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．1()cos f x x xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．1()sin f x x xx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．1()ln f x x xx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1()cos f x x xx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足23bc a =，且72b c a +=，则sin A =（）A B ．8C ．23D ．386．已知函数()212ln 22=--f x x ax x 在1,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．(),4-∞D ．(],4∞-7．已知函数()π2sin 21,06f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的定义域为[]0,π，在定义域内存在唯一0x ，使得()03f x =，则ω的取值范围为（）A ．113,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．113,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．17,66⎡⎤⎢⎣⎦8．已知定义域为R 的函数()f x ，满足()()()()()11f x f y f x y f x f y --++=，且()()00,10f f ≠-=，则以下选项错误的是（）A ．()10f =B ．()f x 图象关于()2,0对称C ．()f x 图象关于()1,0对称D ．()f x 为偶函数二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题是真命题的是（）A ．若1a b >>，则11a b b a+>+B ．函数228y x x =--的零点是(2,0)-和(4,0)C ．2320x x -+<是2x <成立的充分不必要条件D ．若x ∈R ，则函数y =210．设ω为正实数，已知函数()π4sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．当1ω=时，函数()f x 的图象的一条对称轴为5π6x =B ．已知()14f x =-，()24f x =，且12x x -的最小值为π2，则2ω=C ．当2ω=时,函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数()4cos2g x x =D ．若()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是10,3⎛⎤⎥⎝⎦11．已知函数()22tan sin cos 1tan xf x x x x=+-+，则（）A ．()f x 的图象关于直线πx =对称B ．()f x 是周期函数，且其中一个周期是π2C ．()f x 的值域是1,1⎤-⎦D ．()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知()f x 是偶函数，当0x >时，()21xf x =-，则21log 3f ⎛⎫=⎪⎝⎭.13．当[]0,2πx ∈时，曲线sin y x =与π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为.14．已知函数()e e 2sin 1x x f x x -=--+，不等式()22023e (2ln )2xf a x f x x -++≤对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数π()sin 2cos cos 2sin (0||)2f x x x ϕϕϕ=+<<，对x ∀∈R ，有π()|(|3f x f ≤．(1)求ϕ的值及()f x 的单调递增区间；(2)若00π1[0,],(43)x f x ∈=时，求0sin 2x ．16．已知函数()ln f x x a x =-．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间；(3)若关于x 的方程ln 0x a x -=有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x ，求证：()01a x a ->．17．已知函数2())12cos(0,0π)2x f x x ωϕωϕωϕ+=++-><<为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π．(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当π[,π]4x ∈-时，求方程2()()60g x g x ++=的所有根之和．18．已知函数cos 1(),()x f x g x ax x x==-．(1)若函数2()cos 1h x x ax =+-在(0,)+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 和函数()g x 的图象没有公共点，求实数a 的取值范围．19．当一个函数值域内任意一个函数值y 都有且只有一个自变量x 与之对应时，可以把这个函数的函数值y 作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x 作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数．例如，由3,R y x x =∈，得,R 3yx y =∈，通常用x 表示自变量，则写成,R 3x y x =∈，我们称3,R y x x =∈与,R 3xy x =∈互为反函数．已知函数()f x 与()g x 互为反函数，若,A B 两点在曲线()y f x =上，,C D 两点在曲线()y g x =上，以,,,A B C D四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线y x =垂直，则我们称这个矩形为()f x 与()g x 的“关联矩形”．(1)若函数()f x =11,4A y ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线()y f x =上，求以点A 为一个顶点的“关联矩形”的面积．(2)若函数()ln f x x =，且()f x 与()g x 的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S ．证明：2122S ⎫>⎪⎭．1ln 20-<）1．C【分析】由集合的交集运算即可求解.【详解】因为ππ{|0π},|,Z 32k A B k ααββ⎧⎫=<<==+∈⎨⎬⎩⎭，所以ππ5π,626A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,，故选：C.2．D【分析】利用三角函数的定义先计算sin ,cos αα，再根据诱导公式和二倍角公式计算即可.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()43P ,-，所以4cos 5α==-，3sin 5α=，则3π424cos 2sin 22sin cos 2255253αααα⎛⎫⎛⎫-=-=-=-⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D ．3．D【分析】先应用同角三角函数公式切化弦，再应用两角和与差的正弦公式计算即可.【详解】由tan 3tan αβ=，得sin sin 3cos cos αβαβ=，所以sin cos 3cos sin αβαβ=，又()1sin sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，所以1cos sin 6αβ=，1sin cos 2αβ=，所以()2sin sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．故选：D.4．D【分析】由(0,1)x ∈时()0f x <即可排除A ；由奇偶性可排除B ；1x =时1ln x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0，则可排除C ，故答案可求.【详解】对于A ，当(0,1)x ∈时，()0f x <，排除A ；对于B ，因为11()sin()sin f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ，所以函数1()sin f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，当0x >时，由1ln x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0，得1x =，排除C ，故选：D ．5．B【分析】由已知及余弦定理求cos A ，再应用平方关系求正弦值.【详解】由题设222222222496()274cos 2268a a abc a b c bc a A bc bc a --+-+--====，由三角形内角性质，知sin 8A =.故选：B 6．C【分析】将问题转化为导函数在区间1,42⎛⎫⎪⎝⎭上大于零有解，分离参数结合二次函数的性质计算范围即可.【详解】由题意知()22f x ax x -'=-，问题等价于′>0在区间1,42⎛⎫⎪⎝⎭上有解，即2222111222a x x x ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭有解，而111,4,224x x ⎛⎫⎛⎫∈⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质知211112,4222x ⎛⎫⎡⎫--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，即4a <.故选：C.7．C【分析】化简函数()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求得πππ2,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，根据题意，列出不等式ππ5π2π262ω≤+<，即可求解.【详解】由函数()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为[]0,πx ∈，可得πππ22π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 的定义域为[]0,π，在定义域内存在唯一0x ，使得()03f x =，则满足ππ5π2π262ω≤+<，解得1766ω≤<，所以ω的取值范围为17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C.8．B【分析】由赋值法令1,0x y ==可判断A ；由赋值法令0x y ==可判断B ；由赋值法令1y =，结合对称性的性质可判断C ；由赋值法令1y =-结合偶函数的定义可判断D.【详解】对于A ，令1,0x y ==，则()(0)1(1)(1)(0)f f f f f +=，所以1=0，故A 正确；对于B ，令0x y ==，则()(1)1(0)(0)(0)f f f f f +=，即2(0)(0)f f =，解得：()00f =或()01f =，因为()00f ≠，所以()01f =，令1x y ==，()(0)0(2)(1)(1)f f f f f +=，所以(2)1f =-，所以()f x 图象不关于2,0对称，故B 错误；对于C ，令1y =，则有()()()()()1011f x f f x f x f -++=即()()110f x f x -++=，故()f x 图象关于1,0对称，故C 正确.对于D ，令1y =-，则有()()()()()1211f x f f x f x f -+-=-即()()110f x f x --+-=，即()()11f x f x -=-，即()()()11f x f x f x =--=-，因为函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故D 正确.故选：B.9．AC【分析】对A ，根据函数1y x x=-的单调性即可判断；对B ，根据零点的定义即可判断；对C ，根据充分不必要条件的判断即可得到答案；对D ，根据对勾函数的单调性即可判断.【详解】对A ，因为函数1,y x y x ==-在()0,∞+上均单调递增，则1y x x=-在()0,∞+上单调递增，若1a b >>，则11a b a b ->-，即11a b b a+>+，故A 正确；对B ，令2280y x x =--=，解得2x =-或4，则其零点为2-或4，故B 错误；对C ，由2320x x -+<，解得12x <<，而{}|12x x << {}|2x x <，则2320x x -+<是2x <成立的充分不必要条件，故C 正确；对D，令t =，则2t ≥，则1y t t =+，2t ≥，根据对勾函数的单调性知：1y t t=+在[)2,+∞上单调递增，即min 15222y =+=，故D 错误.故选：AC.10．BCD【分析】根据正弦函数的对称轴公式计算判断A ，根据函数最值结合函数的图象特征得出参数判断B,应用平移化简结合诱导公式得出函数判断C,结合正弦函数的单调性列出不等式计算判断D.【详解】A 选项，当1ω=时，函数()f x 的图象的对称轴为πππ,k Z 32x k +=+∈,即ππ,Z 6x k k =+∈,不能取到5π6x =,A 错误；B 选项，1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12minπ22T x x -==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==，B 正确；C 选项，当2ω=时,函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数()πππ4sin 24sin 24cos21232g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确；D 选项，∵ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则πππππ,36323x ωωω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，若()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，则0πππ632πππ232ωωω⎧⎪>⎪⎪-+≥-⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解得10,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，D 正确；故选：BCD.11．ACD【分析】对于A ，检验()()2πf x f x -=即可判断；对于B ，由()01f =，π2f ⎛⎫⎪⎝⎭无意义，即可判断；对于C ，原函数化简为()21524f x ⎫=-+⎪⎭，利用二次函数的性质即可判断；对于D ，利用复合函数的单调性可判断.【详解】对于A ，()f x 的定义域πππ,π,22D k k k ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭Z ，根据解析式，易知对任意x D ∈，()()2πf x f x -=，A 正确；对于B ，由()01f =，π2f ⎛⎫⎪⎝⎭无意义，可知()π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在0x =时不成立，B 错误；对于C ，()22222tan 2cos tan sin cos 1tan cossin x x xf x x x xx x=+-=++()215sin21sin2124x x ⎫==-++=-+⎪⎭，因为1≤()11f x ≤≤，C 正确；对于D ，ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时sin2y x =单调递减，()21524f x ⎫=--+⎪⎭单调递增，D 正确，故选：ACD ．12．2【分析】运用偶函数性质，结合对数运算性质计算即可.【详解】()f x 是偶函数，()()()2log 3122221log log 3log 3log 32123f f f f -⎛⎫==-==-= ⎪⎝⎭.故答案为：2.13．4【分析】分别画出两个函数在[]0,2π的函数图象即可判断交点的个数.【详解】sin y x =与π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π的图象如图所示，由图可知，其交点个数有4个.故答案为：4.14．12023【分析】先证明()e e 2sin x xg x x -=--为奇函数，再利用导数证明()g x 为增函数，结合函数性质化简不等式可得22023e 2ln x a x x x ≤--，再利用导数求2e 2ln x x x x --的最小值可得结论.【详解】设()()1g x f x =-，由()e e 2sin 1x x f x x -=--+，可得()e e 2sin x xg x x -=--，函数()e e 2sin x xg x x -=--的定义域为R ，函数()g x 的定义域关于原点对称，又()()()e e 2sin x xg x x g x --=---=-，所以函数()g x 为奇函数，因为()e e 2cos 22cos 0+x xg x x x -'=-≥-≥，当且仅当0x =时取等号，所以函数()g x 为增函数，不等式()22023e (2ln )2x f a x f x x -++≤可化为()22023e 11(2ln )xf a x f x x --≤-+，故()22023e (2ln )(2ln )xg a x g x x g x x -≤-+=--，所以22023e 2ln x a x x x -≤--，所以22023e 2ln x a x x x ≤--，由已知()2min2023e 2ln xa x x x≤--，其中(0,)x ∈+∞，设()2e 2ln xh x x x x =--，(0,)x ∈+∞，则()()()22222e e 1xxx x h x x x x x x++'=+-=-令()0h x '=，可得2e 10x x -=，设()2e 1xx x ϕ=-，(0,)x ∈+∞，则()()22e 0xx x x ϕ'=+>，所以()2e 1xx x ϕ=-在(0,)+∞上单调递增，又()010ϕ=-<，()11e 10ϕ=->，所以存在()10,1x ∈，使得()0x ϕ=，所以当10x x <<时，()0h x '<，函数()h x 在()10,x 上单调递减，当1x x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,x +∞上单调递增，所以当1x x =时，()2e 2ln x h x x x x =--取最小值，最小值为12111e 2ln x x x x --，其中121e 10xx -=所以11211112023e 2ln 1ln e 1xx a x x x x -≤--=--=，所以12023a ≤，所以a 的最大值为12023.故答案为：12023.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过变形，并结合函数性质将原不等式化简为22023e 2ln x a x x x -≤--，再根据恒成立问题的处理方法求解.15．(1)π6ϕ=-，单调递增区间为ππ[π,π]()63k k k -++∈Z ；【分析】（1）由π()|(|3f x f ≤，得当π3x =时，()f x 取得最值，结合三角函数的图象性质可得ϕ的值和()f x 的单调递增区间.（2）将02x 表示为0ππ(2)66x -+，利用两角和差公式化简得到结果.【详解】（1）依题意，()sin(2)f x x ϕ=+，由π()|()|3f x f ≤，得当π3x =时，()f x 取得最值，则ππ2π,32k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得ππ,6k k ϕ=-+∈Z ，又π0||2ϕ<<，则π6ϕ=-，因此()πsin(2)6f x x =-，由πππ2π22π,262k x k k -+≤-≤+∈Z ，得ππππ,63k x k k -+≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]()63k k k -++∈Z .（2）由()00π1π[0,(,sin(2)436)x f x f x x ∈==-，得00ππππ12[,],sin(2)66363x x -∈--=，则0πcos(2)63x -=，所以0000ππππππsin 2sin[(2sin(2)cos cos(2666666x x x x =-+=-+-11332=+⋅=.16．(1)()10a x y a --+=(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解；（2）由()x af x x'-=，分0a ≤和0a >两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间；（3）分析可得要证0(1)a x a ->，00ln 10x x -->，令000()ln 1g x x x =--，利用导数证得0()0g x >，即可得证．【详解】（1）()ln f x x a x =-，()11f =，()1af x x'=-，()11f a '=-，所以在点1,1处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--，整理得：()10a x y a --+=；（2）函数()ln f x x a x =-定义域为0,+∞，()1a x a f x x x'-=-=当0a ≤时，′≥0，此时()f x 在0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，此时在(0,)a 上′<0，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞上′>0，()f x 在(,)a +∞单调递增，综上：0a ≤时，()f x 的递增区间为0,+∞，无递减区间；0a >时，()f x 的递减区间为(0,)a ，递增区间为(,)a +∞；（3）由（2）可知，当0a >时，()ln 0f x x a x =-=才有两个不相等的实根，且00x >，则要证0(1)a x a ->，即证011a a x ->，即证0111a x ->，而00ln 0x a x -=，则000(1ln xa x x =≠，否则方程不成立），所以即证000ln 11x x x ->，化简得00ln 10x x -->，令000()ln 1g x x x =--，则000011()1x g x x x -'=-=，当001x <<时，00()g x '<，所以0()g x 在0,1单调递减，当01x >时，0()0g x '>，所以0()g x 在1,+∞单调递增，所以()()010g x g ≥=，而01x ≠，所以0()0g x >，所以0(1)a x a ->，得证．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明0111a x ->即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明000ln 11x x x ->，利用构造函数的方法即可.17．(1)()2sin f x x =；(2)5π3.【分析】（1）利用三角恒等变换将函数()f x 化简得π()2sin()6f x x ωϕ=+-，再利用给定性质求出,ωϕ.（2）由三角函数图象变换得π()2sin(2)3g x x =-，再利用正弦函数性质，结合一元二次方程求出零点即可..【详解】（1）依题意，函数π()sin()cos()2sin()6f x x x x ωϕωϕωϕ+-+=+-，由函数()f x 为奇函数，得π,6k k ϕπ-=∈Z ，又(0,π)ϕ∈，则π6ϕ=，由函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π，得()f x 的周期2π2πT ω==，解得1ω=，所以函数()f x 的解析式是()2sin f x x =.（2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得π2sin()3y x =-的图象，再把横坐标缩小为原来的12，得到函数π()2sin(2)3g x x =-，由方程2()()60g x g x ++=，2()2g x -≤≤，解得()g x =即πsin(2)3x -=当π[,π]4x ∈-时，π5π5π2[,]363x -∈-，则2233ππx -=-或π3-或4π3或5π3，即原方程有四个实数根，不妨设为1234,,,x x x x ，因此1234ππππ2ππ4π5π2222()2π33333333x x x x -+-+-+-=-+-++=，解得12345π3x x x x +++=，所以原方程所有根之和为5π3.18．(1)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)()1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求导，利用导函数()sin 20h x x ax '=-+≥在(0,)+∞上恒成立，分离变量转化即可求解.（2）将问题转化为2()cos 10h x x ax =+-=没有实数根，求导，利用导数确定函数的单调性,分类讨论，进而结合零点存在性定理即可求解.【详解】（1）由2()cos 1h x x ax =+-，可得()sin 2h x x ax '=-+，因为函数2()cos 1h x x ax =+-在(0,)+∞上为增函数，所以()sin 20h x x ax '=-+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，即sin 2xa x≥对(0,)x ∈+∞恒成立，令()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥，所以()sin x x x ϕ=-在(0,)+∞单调递增，所以()(0)x ϕϕ>，即sin 0x x ->，所以sin 1xx<，所以21a ≥，解得12a ≥，所以实数a 的取值范围为1[,)2+∞；（2）因为函数()f x 和函数()g x 的图象没有公共点，所以()()f x g x =，即cos 1x ax x x=-无实根，所以当0x ≠时，2()cos 10h x x ax =+-=无实根，因为22()cos()()1cos 1()h x x a x x ax h x -=-+--=+-=，即()h x 是偶函数，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,)+∞上无实根.，()2sin h x ax x '=-，记()()2sin m x h x ax x '==-，则()2cos m x a x '=-，①当0a <时，20ax <，又1cos 1x -≤≤，则cos 10x -≤，所以2()cos 10h x x ax =+-<，满足()0h x =在上无实根.②当0a =时，()cos 10h x x =-=在(0,)+∞上有实根，不合题意，舍去.③当12a ≥时，()2cos 0m x a x '=-≥，所以()2sin m x ax x =-在(0,)+∞单调递增，则()(0)0h x h ''>=，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h >=，满足2()cos 10h x x ax =+-=在(0,)+∞上无实根.④当102a <<时，因为()2cos m x a x '=-在π(0,)2上单调递增，且π(0)210,()202m a m a ''=-<=>，则存在唯一的0π(0,2x ∈，使00()2cos 0m x a x '=-=，当x 变化时，()h x '的变化情况如下：x0(0,)x 0x 0π(,)2x ()m x -+()()m x h x '=单调递减极小值单调递增所以当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h ''<=，则()h x 在0(0,)x 单调递减，则()(0)0h x h <=，又因为2(2π)4πh a =，且()h x 在(0,)+∞上连续，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,2π)上有实根，不合题意.综上可知，实数a 的取值范围是1(,0)[,)2-∞⋃+∞.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.19．(1)18+；(2)证明见解析.【分析】（1）先求出点A 坐标，再求函数()f x 的反函数和A 关于直线y x =对称的点D ，由此可求直线AC 的方程，从而计算S AD AC =即可得解.（2）设()()()()34112234,ln ,,ln ,,e ,,e x xA x xB x xC xD x ，12430,x x x x <<<，再证明111e 2ln 0x x x -+=，利用导数工具证明112x >，求面积解析式，借助单调性证明结论..【详解】（1）因为点11,4A y ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线()f x =所以112y ==，即11,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()f x =()()20g x x x =≥，则函数()f x 和()g x 图象关于直线y x =对称，设A 关于直线y x =对称的点为D ，则D 在曲线()g x 上，且11,24D ⎛⎫⎪⎝⎭，114211124ADk -==--，则AD ==，由题意以及由()f x =AC AD ⊥，则1AC k =，直线AC 的方程为14y x =+，联立方程组214y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得12x =或12x =（舍去），则,C AC ==⎝⎭，则该“关联矩形”的面积41448S AD AC ==.（2）证明：由=ln 得其反函数为()e xg x =，所以()f x 和()g x 图象关于直线y x =对称，且由其性质可知()()0f x g x -<，根据对称性可设,A D 关于直线y x =对称，,B C 关于直线y x =对称，则AB AD ⊥，设()()()()34112234,ln ,,ln ,,e ,,e x xA x xB x xC xD x ，其中12430,x x x x <<<，则4132ln ,ln x x x x ==，3421,e e x xx x ==，因为“关联矩形”是正方形，所以1AB DC k k ==，1AD BC k k ==-，所以)))212123ln ln ,AB x x x x BC x x =---，由AB BC =，得132ln x x x ==，所以132e e x xx ==，所以由2123ln ln x x x x -=-得3111e ln x x x x -=-即111e 2ln 0xx x -+=.对于函数()e 1,0x t x x x =-->，则()e 10,0xt x x =->>'，故函数()t x 在0,+∞上单调递增，故()()00t x t >=即e 1x x >+，令()e 2ln xh x x x =-+，则()1111e 2ln 0xh x x x =-+=且()11e 212120x h x x x x =+->++-+'≥->，则ℎ在0,+∞上单调递增，所以11ln202h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以112x >，因为()()1222211||22e x S AB x x x ==-=-，令()e x x x ϕ=-，则()e 1xx ϕ'=-，当∈0,+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，则()11111e 022xx x ϕϕ⎛⎫=->=> ⎪⎝⎭，从而()122112e 22x S x ⎫=->⎪⎭.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键1是正确处理()()()()34112234,ln ,,ln ,,e ,,e x x A x x B x x C x D x 四点的关系，从而根据四点之间的关系结合AB BC =得到111e 2ln 0x x x -+=，关键点2是建立函数()e 2ln x h x x x =-+并利用导数工具研究其单调性从而由()10h x =和102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭得112x >，从而借助()1221||2e x S AB x ==-的单调性得证()122112e 22x S x ⎫=->⎪⎭.。