线性代数标准化作业

作业成绩班级 姓名 序号第1次作业 行列式的性质本次作业目的熟悉行列式的性质；会用化三角法计算简单行列式。

1. 用行列式性质证明下列等式：(1) 1111111122222223333333a kb b c c a b c a kb b c c a b c a kb b c c a b c ++++=++23； 证 (2) 2y z z x x y x yz x yy z z x z x y z xx yy z yzx ++++++=+++； 证(3)()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++。

证作业成绩班级姓名序号第2次作业行列式展开克莱姆法则本次作业目的熟悉行列式展开法则和克莱姆法则；会熟练应用展开法则计算行列式；会用克莱姆法则解低阶方程组，讨论方程组的解。

1.1121234134124206D−−=−，求3132342A A A++。

解2. 计算下列行列式：(1) 1111 1111 1111 1111xxyy+−+−；解(2)222b c c a a ba b ca b c+++；解作业成绩班级 姓名 序号第3次作业 矩阵及其运算本次作业目的掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置和方阵的行列式及其运算规律。

1. 计算：(1) ；()123223−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠解(2) 111213112312222321332333()a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎞⎟⎟⎟⎠。

解2. 设，求3111123111,124111051⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−=−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝A B AB 解3. 已知11(1,2,3),1,,23⎛⎞==⎜⎝⎠αβ⎟，矩阵=A T αβ，其中T α是α的转置，求(为正整数)。

线性代数标准化作业2011.9学院 班级 姓名 学号第 三 章 作 业（向量组的线性相关性）1、填空题（1）设β=（3，- 4）， α1=（1，2）， α2=（-1，3），则β表成α1，α2的线性组合为 ；（2）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t ）线性相关，则t = ；（3）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t ）的秩为3，则参数t 应满足的条件是 ；2、选择题（1）设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则正确的结论是（ ）。

（A ）α1，α2，α3线性相关； （B ）α1，α2，α3线性无关； （C ）α1可由β，α2，α3线性表示； （D ）β可由α1，α2线性表示。

（2）设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。

（A ）α1，α2，α3 - α1； （B ）α1，α1+α2，α1+α3； （C ）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （D ）α1-α2，α2-α3，α3-α1。

3、求向量组123452313712024,,,,3283023743--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααα的秩，并求出它的一个极大无关组。

4、设β能由α1，α2，…，αm 线性表示，则表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αm 线性无关。

5、已知向量组123134*********, , , ,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ（1） 试验证α1，α2，α3是R 3的一个基；（2）β用这个基线性表示。

学院 班级 姓名 学号第 四 章 作 业（线性方程组）1、填空题（1）n 元线性方程组Ax =0有非零解时，它的每一个基础解系所含解向量的个数均为 ；（2）设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且R （A ）=n -1，则方程组Ax =0的通解为 ；2、选择题（1）设n 元线性方程组Ax =0的系数矩阵A 的秩为n -3，且α1，α2，α3为线性方程组Ax =0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax =0的基础解系为（ ）。

线性代数标准化作业普通⾼等教育“⼗⼀五”国家级规划教材经济管理数学基础系列线性代数标准化作业(C)吉林⼤学数学中⼼2012年9⽉学院班级姓名学号第⼀章作业（⾏列式）1、计算下列各⾏列式的值：（1）2116415012051422D--=----；（2）111122211112221111222D=；（3）112233100110011011b b b D b b b --= ----；（4）222b c c a a bD a b c a b c +++=；（5）3333333333333333aa Db b+-=+-；（6）11()11nDαβαβαβαβαβαβαβ++=≠++；（7）102201202013 D=.2、设4阶⾏列式的第2列元素依次为2、m、k、1，第2列元素的余⼦式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余⼦式依次为3、1、4、5，且⾏列式的值为2，求m、k的值.3、设a ,b ,c ,d 是不全为零的实数,证明线性⽅程组12341234123412340,0,0,0ax bx cx dx bx ax dx cx cx dx ax bx dx cx bx ax +++=??-+-=??--+=??+--=?仅有零解.4、已知齐次线性⽅程组123123123230,220,50x x x x x x x x x λ++=??+-=??-+=?有⾮零解，求λ的值.学院班级姓名学号第⼆章作业（1）（A +B ）（A -B ）=A 2-B 2；（）（2）若AX =AY ，则X =Y ，其中X 、Y 都是n ×m 矩阵；（）（3）若A 2=O ，则A =O ；（）（4）若AB =O ，则A =O 或B =O ；（）（5）(ABC )T = C T B T A T ；（）（6）(A+B )1- =A 1-+ B 1-。

（） 2、填空题（1）设3阶⽅阵Ｂ≠0，A =13524353t ??，且AB =O ，则t ＝；（2）设A ＝100220345??，A *为A 的伴随矩阵，则(A *)1-= ；（3）设A 为4阶标量矩阵，且|A |=16，则A ＝，A 1-＝， A *＝；（4）设A , B 均为n 阶⽅阵,且2+=()A B E ，其中A 为对称矩阵且可逆，求1T 1()--+-()A B E B A E ＝；（5）设A＝5200210000120011-，则│A│＝，A1-＝；（6）设实矩阵A33?＝≠)(ija O，0ij ijijA为ija的代数余⼦式），则│A│＝；（7）设A为4阶可逆⽅阵，且│A1-│＝2，则│3(A*)1-－2A│＝；（8）设A为2阶⽅阵，B为3阶⽅阵，且│A│＝1B＝21，则1(2)--O BA O＝；（9）设A＝111222333，则A100＝；（10）设A为5阶⽅阵，且A2 = O，则R(A*)＝__________. 3、选择题（1）若A，B为同阶⽅阵，且满⾜AB＝O，则有（）.（A）A＝O或B＝O；（B）|A|＝0或|B|＝0；（C）(A＋B)2＝A2＋B2；（D）A与B均可逆.（A）(AB)k＝A k B k；（B）|－AB|＝－|AB|；（C ）E 2－(AB )2＝（E －AB ）（E ＋AB ）；（D ）|A ＋B |＝|A |＋|B |.（4）已知A 为任意n 阶⽅阵，若有n 阶⽅阵B 使AB ＝BA ＝A ，则（）. （A ）B 为单位矩阵；（B ）B 为零⽅阵；（C ）B 1-＝A ；（D ）不⼀定.（5）若A ，B ，(B 1-+A 1-)为同阶可逆⽅阵，则(B 1-+A 1-)1-＝（）. （A ）B 1-+A 1-；（B ）B ＋A ；（C ）(B +A )1-；（D ）B (B +A )1-A . （6）设A 为3阶⽅阵，且|A |＝3，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的2，3两⾏得到矩阵B ，则||*BA ＝（）.（A ）27；（B ）－27；（C ）3；（D ）－3. 4、计算题:（1）431112315701-????; （2）()31,2,321??;（3）()211,2,13-??; （4）111213112312222321323333(, , )a a a x x x x a a a x a a a x;（5）12101031 01010121 00210023 00030003----.5、计算下列⽅阵的幂:（1）已知α=（1，2，3），β=（1，－1，2），A=αTβ，求A4 .（2）已知024003000A=轾，求A n.(3) 已知112224112----??A=，求A n .6、设3阶矩阵1122,2,3A=B=αβγγγγ，其中α，β，γ1，γ2均为3维⾏向量，且|A |=18，|B |=2，求|A -B |.7、设121132a b-A=,B=,若矩阵A 与B 可交换，求a 、b 的值.8、求下列矩阵的逆矩阵:（1）A＝1234 1134 1344 0101----；（2）A＝500000 000021 000053 010000 011000 011100.9、已知A＝210121012，C＝123421，求解下列矩阵⽅程：（1）AX=X+C ;(2)AXB=C．10、设矩阵300050,003-A=且满⾜ABA*+BA*+180E=O，求矩阵B.11、设A为n阶可逆矩阵，将A的第i⾏和第j⾏对换后得矩阵B，试证：（1）B可逆；（2）求AB-1。

线性代数标准化作业答案第一章：行列式基础必做题：（一） 一、填空题：1、3，n （n-1）；2、1222+++c b a ；3、70，-14；4、-3M ；5、1 二、选择题：1、C2、D3、D4、A5、C 三、计算题： 1、解：原式1111001)1()1(11111C 12111++++=--⋅-⋅-+--⋅-++cd ad ab abcd dc dc ba （）（展开按2、解：原式31323121)c b a ()c b a (000)c b a (0111)c b a (2cr r 2br r ba c 2c2c2b a c b 2b111)c b a (2222++=++-++-++------++----++++++++提公因子b a c ccb ac b b c b a c b a c b a r r r r四、解：))()()((0000001)(1111)()(c x b x a x c b a x cx bc ab b x a b a xc b a c b a x xcbc x b c b x c b a c b a x x f ---+++=------+++=+++=因,0)(=x f 故,,,c b a x =或)(c b a ++-。

基础必做题（二） 一、填空题：1、6，8；2、0；3、0，0；4、4；5、24 二、选择题：1、D ；2、C ；3、A ；4、A ；5、A,B,D 三、1、解：原式1)1)(1(10001011111)1(011111110111111)1(---=---=-=n n n n2、解：原式[][][]1)()1(00001)1(111)1(--⋅-+=---+=-+=n b a b n a ba b a b b b b n a abbb b a b b b b n a四、解：0111144342414==+++dbac bd d b c c b a A A A A五、解：1,0,1,20281142102,0321112112,20382141101,2038114202321321=======-==---==--==---=DD z DD y DD x D D D D 故提高选做题： 一、证明： 证法1：12113(0)2240,(1)22401111f f ====- 由罗尔定理知，至少存在一点ξ，使得()0,(0,1)f ξξ'=∈，故有一个小于1的正根。

经济数学基础线性代数标准化作业吉林大学数学中心2006.2学院班级姓名学号第一章作业（行列式）1、计算下列各行列式的值：（1）2116415012051422D--=----；（2）1111222111122211112221111222D=；（3）112233100110011011b b b D b b b --=----；（4）222b c c a a bD a b c a b c +++=；（5）1111111111111111a a D b b +-=+-；（6）11()11nDαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=≠++；（7）102200302004D= 。

2、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、3，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、2，且行列式的值为1，求m、k的值。

3、用克拉默法则解方程组123123123241,52,4 3.x x x x x x x x x+-=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩4、已知齐次线性方程组有非零解，求λ。

123123123230,220,50.x x x x x x x x xλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩学院 班级 姓名 学号第 二 章 作 业（矩阵）1、是非题（设A 、B 、C 均为n 阶的方阵） （1）（A +B ）（A -B ）=A 2-B 2； （ ） （2）若AX =AY ，则X =Y ，其中X 、Y 都是n ×m 矩阵； （ ） （3）若A 2=O ，则A =O ； （ ） （4）若AB =O ，则A =O ，或B =O ； （ ） （5）(ABC )T = C T B T A T 。

（ ）2、填空题（1）设3阶方阵Ｂ≠0，A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35342531t ,且AB =0，则t ＝ ；（2）设A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛543022001，A *为A 的伴随矩阵，则(A *)1-= ;（3）设A 为4阶数量矩阵，且|A |=16,则A ＝ ，A 1-＝ ， A *＝ ;（4）设A 1-＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8642，则A ＝ ，│4A 1-│＝ ，(A T )1-＝ ; （5）设A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1100210000120025，则│A │＝ ，A 1-＝ ; （6）设实矩阵A 33⨯＝≠)(ij a 0，且011≠a ，ij ij A a =（ij A 为ij a 的代数余子式），则│A │＝ ;（7）设A 为二阶方阵，B 为三阶方阵，且│A │＝1B＝21，则1(2)--O B A O ＝ ;（8）设A 为四阶可逆方阵，且│A 1-│＝2，则│3(A *)1-－2A │＝ ;（9）设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-133121，且A 6＝E ，则A 11＝ ； （10）设A 为5阶方阵，且A 2 = O ，则R （A *）=___________.3、选择题（1）设同阶方阵A 、B 、C 、E 满足关系式ABC =E ，则必有（ ） （A ）ACB =E ； （B ） CBA =E ； （C ） BAC =E ； （D ） BCA =E 。

《线性代数》作业参考答案一、选择题1．D 2．B 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．B 9 ．A 10．C 11．D 12．B 二、填空题1．相等2．;kn k m C C ⋅3．n 个线性无关的特征向量； 4．不变 5．t=-3 6．B AP P =-17．n n n λλλ 212)1()1(--8．1=k 9．1≠λ且2≠λ 10．2，-211．k=75-12．04321=+++a a a a13. -9 ； 14. 3 ； 15. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-03100302100201410001A 16. 81； 17. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212424212299； 18. 2；三、证明题1．证：由题设A 是三阶方阵，41=A ， 223131111)41(1)41()41(4121)2(A A A A A A A A A ==⋅===⋅-=-----*-。

2．证：由0432=--E A A ，即：E A A 432=-E E A A 4)3(=- E E A A =-)4341( 即A 可逆，且E A A 43411-=-。

3．证：由题设：E A A AA TT== E B B BB TT==所以2()()T T T T TA B BB A BA A B B A A B B A A A A B +=+=+=⋅+=-+即：0)1(2=++B A A 只有0=+B A 证毕。

4．因r n i A b A i -===,,2,1,0,0 γγ，则,b A i =η因此r n -ηηηη,,,,210 是方程组(*)的线性无关解。

设,0221100=++++--r n r n ηληληληλ 则,0)(2211010=+++++++---r n r n r n γλγλγληλλλ 两边左乘A 得，,0)(10=+++-b r n λλλ 有,010=+++-r n λλλ 于是,02211=+++--r n r n ηληληλ 可得r n -ηηηη,,,,210 线性无关。

线性代数作业提示与答案作业（1）一．k x x k x k x -====4321,0,, 二．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=2413212211,757975,767171k x k x k k x k k x三．1．阶梯形（不唯一）：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14010612007121002301，简化阶梯形⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100000211000001002701 秩为4；2．简化阶梯形为单位矩阵.四．1．其系数矩阵的行列式值为 2)1)(2(-+λλ（该方程组的系数矩阵为方阵，故可以借助于行列式来判定）当12≠-≠λλ,时，方程组只有零解，当2-=λ时，通解为=x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111k ；当1=λ时，通解为=x T T k k ]1,0,1[]0,1,1[21-+-；2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++----2200123230121211~2λλλλA ， 当2-≠λ时，方程组有唯一解；当2-=λ时，方程组有无穷解，通解为=x TT k ],,[],,[022111+.作业(2)一．1． =x 1，2，3； 2. !)(n n 11-- 3.-1204. ()()!)1(221n n n --- 5. 41322314a a a a 6. 2,0=x 7.abc 3- 8.12二．1．1； 2.以第二列、第三列分别减去第一列，再把第二列、第三列分别加到第一列上，得到333333222222111111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++=2323322111c b a c b a c b a 3． 0；（注：行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表示方法混淆，而且计算过程中用的是等号） 4．1222+++γβα作业(3)一．1．c; 2. d ; 3.a二．1.将第n ,,, 32列都加到第一列上，提出公因子∑=+ni iax 1，得到(∑=+ni i a x 1)1-n x.2.由第二列起，各列均减第一列，按第二行展开，得)!(22--n ．3．由第1-n 行至第一行，相继将前一行元素乘以1-后加到后一行上，得到.)1(01000010111112212)1(n nn n n n --=--4．按第一列展开，得到行列式的值为.)(n n n y x 11+-+三．3)(=A R （注：用矩阵的行初等变换化为梯矩阵，数非零行即可.注意矩阵的表示方法和变换过程中用到的是等价符号）作业(4)一. 1.()B A +32; 2. 24. 3. 232221x x x ++ ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡232313322212312121x x x x x x x x x x x x x x x ， 4. BA AB = 二. 1. a 2. a三. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10832082四. 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡---21426711. 2. 不能相乘. . 3.323223313113212112233322222111)()()(x x a a x x a a x x a a x a x a x a ++++++++作业(5)一.1.1-n a ； 2．0； 3．=A -1⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3405700021； 4. I ; 5．121-A二. 1. c; 2 .b; 3.b; 4. c; 5.d四. 1 五. n215-作业(6)一． 1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010,-1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010； 2. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2100010001,2,200010001 3. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-004010001,1.104010001 4. ()331-R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000103015. 列，[]3231,,3a a a a - 6. 相等二. 1．b ；2．c;三. 1．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-17162132130121A ； 2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-111110011100011000011A四. 1. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-4141B A X ， 2. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==-212942521B A X 作业(7)一. 1. b a 23=；2. 1221b a b a =；3．R )(A 2≤；4．0≠lm ； 二.1．a ; 2. b; 3.d;三 1a 能由23,a a 唯一地线性表示，4a 不能由123,,a a a 线性表示四．123123212,,[,,]123124B b b b a a a AD ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，因,5det =D ，故)()(B R A R =，从而321,,b b b 线性无关.作业(8)一．1．r ；2．相 3． 1，通解为=x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--100101010011121 n k k k二.1．d; 2．d ； 三.（1）412323aa a a =++，（2）又123,,a a a 线性无关，故123,,a a a 是向量组123,,a a a ,4a 的一个最大线性无关向量组.（3）123,,a a a ,4a 的秩和矩阵A =[123,,a a a ,4a ]的秩都为3.四．12341121014129321315101[,,,]~9315410003670000a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦,12,a a 是向量组的一个最大线性无关组.且31241211521,9933a a a a a a =-+=+.作业(9)一 1．T ],,[558 2．r ；12,,,ra a a L ； 3．n-r 二. 1.b; 2. b; 3. a ； 4. d ； 5.c ； 6.d 三. 证明123,,aa a ,4a 线性无关，向量[]1,2,7,4b T=在这组基下的坐标为4351--,,,.四． ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00007510072021~A ,基础解系为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=175072001221ξξ,,通解为=x 2211ξξk k + （注：先求出分量形式的通解，转化为向量形式的通解，容易得到基础解系。

第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---;解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(3)222111c b a cb a ;解222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).4. 计算下列各行列式:(1)7110025*******214; 解 7110251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-;解 2605232112131412-260503212213041224--=====cc 041203212213041224--=====rr000003212213041214=--=====r r .(3)efcf bf decd bd ae ac ab ---;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b ec b e c b ad f ---=a b c d e fa d fbc e 4111111111=---=.(4)dc b a 100110011001---.解dc b a100110011001---dc b a ab ar r 10011001101021---++=====d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cdc ad a ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 6. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213ab a b a a b a ab ac c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=yx z x z y zy x b a )(33+=.8. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解a a a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n行展开))1()1(10 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a n n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=an-a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x aa a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a aa a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n 第二章 矩阵及其运算 1. 计算下列乘积: (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.3.已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.5. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y . 7.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫.用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.8. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵. 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x . 19.设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 20. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114.21. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.22. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.3. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010********* 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211.5. (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BA X . 9. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量. 12.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r .(1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3. P106/第四章 向量组的线性相关性 1.已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------531400251552000751610421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示. 4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.5. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.9.设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.证明 由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3=b 1-b 2+b 3-a 4=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211.解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. 13. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5. 20.求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A ,于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x .取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .。

《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

线性代数作业习题第一章：行列式1、计算下列行列式1 2 2 … 2 22 2 2 … 2 22 23 … 2 2：：：：：2 2 2 … n-1 22 2 2 … 2 n解：首先利用每一行元素分别减去第二行元素得到：-1 0 0 0 2 2 2 00 0 1 00 0 0 2 00 0 0.......n-2可利用代数余子式求出：（-1）*2*（n-2）！2、计算下列行列式：|x y x+y||y x+y y||x+y y xl解：|x y x+y||y x+y y||x+y y x|=x|x+y y|+y(-1)| y y|+(x+y)| y x+y|| y x| |x+y x| |x+y y |=x(x2+xy-y2)-y(xy-xy-y2)+(x+y)(y2-x2-2xy-y2)=x(x2+xy-y2)-y(-y2)+(x+y)(-x2-2xy)=x3+x2y-xy2+y3-x3-x2y-2x2y-2xy2=y3-2x2y-3xy2=y(y2-2x2-3xy)3、计算下列行列式：1 2 -5 1-3 1 0 -62 0 -1 24 1 -7 6解：根据行（列）与行（列）之间互换，行列式值改变符号。

所以第一列与第二列互换，得出2 1 -5 11 -3 0 -60 2 -1 21 4 -7 6根据行列式倍加不变原理。

第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列，结果如下。

0 -7 9 -110 -7 7 -120 2 -1 21 4 -7 6根据行列式倍加不变原理。

第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列0 -7 9 -110 -7 7 -12- 0 2 -1 21 4 -7 6根据计算，得出= （-14）+49-62=-274、求二阶行列式1-x^2 2x----- -----1+X^2 1+X^2解：原式＝（[1-x2]2+4x2）/（1+x2）2＝（1+x2）2/（1+x2）2＝15、设A B为n阶方阵，满足ATA=AAT=E,BTB=BBT=E及|A|+|B|=0，求|A+B|解：原式＝（[1-x2]2+4x2）/（1+x2）2＝（1+x2）2/（1+x2）2＝1由已知, |A|^2=|B|^2 = 1所以|A|, |B| 等于1 或-1因为|A|+|B|=0所以|A||B|= -1所以有|A+B|= - |A||A+B||B|= - |A^T||A+B||B^T|= - |A^T AB^T+A^T BB^T|= - |B^T+A^T|= - |(A+B)^T|= - |A+B|.所以|A+B| = 0.第二章：矩阵1、已知矩阵A=[1 1 1][2 -1 0][1 0 1]B=[3 1 1][2 1 2][1 2 3 ] 求：AB解：AB=[1×3+1×2+1×1 1×1+1×1+1×2 1×1+1×2+1×32×3-1×2+0×1 2×1-1×1+0×2 2×1-1×2+0×31×3+0×2+1×1 1×1+0×2+1×2 1×1+0×2+1×3]=[6 4 6][ 4 3 4]2、设A=[2 2 3][1 -1 0][3 1 2] A*为A的伴随矩阵，求A(-1)A*解：AA*=|A|EA* = |A|A^-1所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2|A|=4AA*=|A|EA* = |A|A^-1所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2|A|=4A^-1=-1/2 -1/4 3/4-1/2 -5/4 3/41 1 -1(A^-1)^2=9/8 19/16 -21/1613/8 39/16 -33/16-2 -5/2 5/2所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2 =9/2 19/4 -21/413/2 39/4 -33/4-8 -10 103、判断关于逆矩阵（A+B）的逆等于不等于A的逆加B的逆解：一般不等于，反例：令A=B=E则(A+B)=2E，(A+B)逆=E/2而A逆+B逆=E+E=2E所以不等4、求矩阵的秩[1 3 2 a][2 -4 -1 b]其中a,b,c为任意实数解：r(A)=3因为[1 3 2][2－4－1][3－2 0]的行列式不为0，说明原矩阵有一个3阶子式不为0，秩至少是3；又因为原矩阵是3*4的矩阵，它的秩最多为3，所以答案就是35、一个方程组x+y+z=22x+y+3z=03y+4z=1求方程的解解：设A=[111213034]B=[21]A的逆阵为C=(1/7)*[5,1,-28,-4,1-6,3,1]x=C.B=1/7[817-11]第三章：向量空间1、已知α1=（1,1,2，-1）α2=（-2,1,0,0,）α3=（-1,2,0,1）又β满足3（α1-β）+2（α3+β）=5（α2+β）求β解：由题设，有3α1-3β+2α3+2β=5α2+5β3α1+2α3-5α2=6β(3,3,0,-3)+(-2,4,0,2)-(-10,5,0,0)=6β6β=(11,2,0,-1)β=(11/6,1/3,0,-1/6)2、设数域F上向量空间V的向量组{α1 , α2 , α3}线性无关，向量β1可由α1 , α2 , α3线性表示，而β2不能由α1 , α2 , α3线性表示。

第一章作业参考答案1-1. 求以下排列的逆序数：（1）134782695 （3）13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 解：（1）t=0+0+0+0+4+2+0+4=10（2）t=0+0+…+0+2+4+6+…+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-1)=(1)2(1)2n n n n -⨯=-1-2. 在6阶行列式的定义式中，以下的项各应带有什么符号？ （1）233142561465a a a a a a解：()12(234516)4,•3126454t t t t ====128t t t =+=为偶数，故该项带正号。

1-3. 用行列式的定义计算：（1）0004004304324321（3）0123100010001x x x a a a x a ---+解：（1）12412312400040043(1)(1)444425604324321tq q q a a a ++=-=-⨯⨯⨯⨯=∑ （3）1320123100010()(1)(1)001x x x x x x a x x a x a a a x a --=⨯⨯⨯++-⨯⨯⨯-⨯-+233432103210(1)(1)(1)(1)(1)a a x a x a x a x a +-⨯-⨯-⨯+-⨯-⨯=++++1-4. 计算下列行列式：（1） 1111111111111111--- （3）1200340000130051- （5）1111111111111111a a b b +-+- （7）n a b b b b a b b D b b b a=解：（1）11111111111102001(2)(2)(2)81111002011110002--==⨯-⨯-⨯-=-----（3）()120034001213(1423)113532001334510051-=⨯=⨯-⨯⨯-⨯-⨯=⎡⎤⎣⎦- （5）111111111111111000001111000011110000a a a a a aab a b a b b a b a b++----==+-------2221111110000000000000000a aa b a a a b b b bab+--===---（7）(1)(1)(1)n a b b b a n b a n b a n b b a b b b a bD b b b a b b a+-+-+-==111111100[(1)][(1)][(1)]()00000n ba b a b a n b a n b a n b a b bb a a b--=+-=+-=+---1-5. 证明：（1）332()xy x y y x y x x y x yx y ++=-++ （3）2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++证明：（1）2()2()2()xy x y x y x y x y yx y x y x y x x yxy x y x y +++++=+++1111112()2()00x y y x y x x y x x y x yx y yx=++=+-+--2332()[()]2()x y x y x y x y =+-+-=-+（3）22222222222222222222(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469a a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d ++++++++++++=++++++++++++222221262126021262126a ab bc cd d ++==++1-6. 计算下列行列式：（1）001000000100n a a D a a=（3）12311100002201(1)n n n n ------解：（1）2001000000000(1)10000000100100nn a a a a a D a aa a a==+-⨯⨯2nn a a-=-（3）123112321110001100002200022000001(1)0000(1)n nn n n n n ----=-------112323342101000(1)!(1)002002(1)n n n n n n n n +++++++++++--+===----1-7. 解下列方程：（1）24211231223()023152319x D x x -==-解：要使原方程有解，观察可知只有两种可能：①当221x -=时，即1x =±时，4()0D x = ②当295x -=时，即2x =±时，4()0D x = 综上所述，原方程的解为1，-1，2，-21-8. 设1578111120963437D --=--，试证：414243440A A A A +++=证明：根据拉普拉斯定理可知4142434411110A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯=即414243440A A A A +++=1-9. 用Cramer 法则解下列方程组：（1）123412423412342583692254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩解：该方程组的系数行列式为215113062702121476D ---==--，常数向量8950β⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭1815193068152120476D ---==--- 22851190610805121076D --==----3218113962702521406D --==-- 4215813092702151470D --==---312412343,•4,•1,•1D D D Dx x x x D D D D∴====-==-==1-10. （1）问λ取何值时，下列齐次方程组有非零解？12312313220300x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩解：要使原方程有解，由定理1.8知2223112001λλλλ=+-=- 解得11λ=或22λ=-。

（精选）线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< bdsfid="226" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

第一章 行列式 1.1 二阶、三阶行列式 一、计算下列行列式 1、22cos sin cos sin 1sin cos αααααα-=+=2、2220a abab ab b b=-= 3、4019219441105110=⋅=二、解方程1、010143=-x x x解：计算行列式得2430x x -+=，因此1,3x x ==2、100130123x x -= 解：计算行列式得3(1)023x x -=，得(1)(36)0x x --=，因此1,2x x ==1.2 n 阶行列式定义及性质 一、计算下列行列式1、2572572025057071012570349349=⋅= 2、1031002041031204314199200395100199239510012520003013006003013600130=⋅=⋅--=3、11110034212234820111120--===--4、1234540522295816106=-⋅=-⋅=---5、1234220030304004将第2、3、4列乘以-1加到第一列得82340200823419200300004-==-⋅⋅⋅=- 6、5111151111511115 将第2、3、4行全部加到第1行 888811111511151181151115111151115==⋅ 将第1行乘以-1加到第2、3、4行11110400851200400004=⋅= 二、计算下列行列式1、111111111-abac ae bd-cd de abcdef bfcf-ef -=-- 第1行加到第2、3行11102002(1)420020abcdef abcdef abcdef -==⋅-=2、00000000x y x y x y y x按第1列展开4400000000x y y x xy y x y x y x xy=⋅-=- 3、xy y x y x y x 00000000 按第4行展开4400000000x yxy xy x x y y x yxy=-⋅+=- 4、4433221100000000a b a b b a b a 按第1行展开22221331331423231423234400()()a b a b a b a b b a a a a a b b b b a a b b a b =⋅-=---14142323()()a a bb a a b b =--5、2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b ba a a a 第1列乘以-1加到第2、3、4列 2222212325212325212325212325a a a ab b b b cc c cd d d d ++++++=++++++ 第2列乘以-1加到第3、4列 222221222122021222122a ab bc cd d ++==++计算下列n 阶行列式：1、aba b a b a 00000000 按第1列展开 11000000(1)(1)0000n n n na b b a a b aba b ab++=+-=+-2、0111101111011110 将第2、3、…、n 行全部加到第1行1111111110111011(1)11011101111111n n n n n ----==-第1行乘以-1加到以下各行111110100(1)(1)(1)00100001n n n --=-=---- 3、1212121333122211111---n n n n n n范德蒙行列式 [][](1)(2)21(2)(3)2121n n n n =--⋅⋅--⋅⋅⋅⋅23223(2)(1)n n n n --=⋅⋅--4、已知62211765144334321-=，计算4241A A + 和 44434241A A A A +++.解：4142123411341343133443044110444041215671467414676111001000A A +===-==-=将上式设为1D414243441234334415671111A A A A +++=，此式设为2D ，可直接计算此行列式结果为3，也可按以下方法来做： 题目中的原行列式设为D 由行列式的性质得：121234123412342343344334433443442156715671567567112211002222111D D D +=+===则：2111()(612)322D D D =+=-+=三、解下列方程1、04321432143214321=++++x x x x 解：第1行乘以-1加到2、3、4行，得12340000000x x xx x x x+-=--将1、2、3列加到第4列得123100000000000x x x x+=将第2、3行交换，1、4行交换后得上三角形行列式，因此3(10)0x x +=，因此0x =，10x =-2、094321112=x x 解：此行列式是范德蒙行列式，得(32)(2)(3)0x x ---=因此2x =，3x =3、2323231111111111111123212512480114151141502512111x x x x x x x x x -++=解：由行列式的加法则232311111111124812480114150251211x x x x x x +=， 再相加23111112480139271x x x =，此行列式为范德蒙行列式 得(21)(31)(32)(1)(2)(3)0x x x ------= 因此1,2,3x x x ===1.4 克莱姆法则 一、解线性方程组1、1232493x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解：111123(21)(31)(32)2149D ==---=11112231349D ==-，21111234139D ==，31111221143D ==-解得11,2,22x y z =-==- 2、⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x解：1212135111D -=-=--- 12211135011D --=-=--，21212131011D -=-=---，3122211511D --==-- 解得1231,2,1x x x ===二、求一个二次多项式),(x f 使得.2)1(,3)1(,2)0(=-==f f f解：设2012()f x a a x a x =++，0012012(0)2(1)3(1)2f a f a a a f a a a ==⎧⎪==++⎨⎪-==-+⎩，解得01221212a a a ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 三、已知线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解，求λ的取值范围． 解：系数行列式为32111132(1)(2)011λλλλλλλ=-+=-+≠，因此1,2λλ≠≠-四、设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++0200z y x z y x z y x λλ有非零解，则λ应取何值？若线性方程组的右端变为2，3，2，则λ为何值时，新的线性方程组有唯一解？ 解：系数行列式为2111112(2)(1)12λλλλλλ-=--=-+ 则当1,2λλ=-=时方程组有非零解；若线性方程组的右端变为2，3，2，则当1,2λλ≠-≠时方程组有唯一解．第二章 矩阵2.1 矩阵定义及其运算 一、填空题1、设A 为三阶方阵，且4=A ，则21()2A =14. 说明：22231111()2444A A A === 2、))((22B A B A B A -+=-的充分必要条件是AB BA =.二、选择题1、设B A ,都是n 阶矩阵，则2222)(B AB A B A ++=+的充分必要条件是（ C ）.(A)A I = (B) 0=B (C) AB=BA (D)B A =2、设B A ,都是n 阶矩阵，则（ C ）. (A)B A B A +=+ (B) BA AB = (C)BA AB = (D) B A B A -=-3、设C B A ,,为n 阶矩阵，若CA AC BA AB ==,，则ABC 等于（ C ）.(A) ACB (B) CBA (C) BCA (D)CAB说明：由题意知矩阵B 与C 不能交换，因此只有（C ）正确．4、设B A ,都是n 阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是（ B ）.(A) A B +也是对称矩阵 (B) AB 也是对称矩阵(C)mmB A +(m 为正整数) 也是对称矩阵 (D)TTAB BA +也是对称矩阵理由：()TTTAB B A BA AB ==≠，因此（B ）错误．三、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2112A ,I 为二阶单位阵，B 满足I B BA 2+=, 求B .解：由I B BA 2+=得2BA B I -=，即()2B A I I -=，两边取行列式得22B A I ⋅-=，而11211A I -==-，因此2B =． 四、1、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=320131A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111202B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=311221C ，求;C B A +-C B A 23++-．结果为2591121114136-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1231A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2103B ，求222)(,,AB BA AB B A -+．结果为160511⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3303-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 66242034⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=143125A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=102023B ，求B A 52-，T AB ，T BA ．结果为251421687-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 19917--⎡⎤⎢⎥--⎣⎦ 19197--⎡⎤⎢⎥--⎣⎦4、计算()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111,3,2A ，()1,3,2111-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B结果为0 231231231-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦5、计算()112,3,11k⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭0k ;I =2311231231k ;-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦10k ;>五、设),(21I B A +=证明：2A =A 当且仅当2B I =． 证：必要性，已知2A =A ，即211()()42B I B I +=+，则2222B B I B I ++=+，得2B I =． 充分性，已知2B I=，则22211111111()()44244242A B I B B I I B I B I A =+=++=++=+=，因此2A =A ．2.2 逆矩阵 一、填空题1、设A 为三阶方阵，且2=A ，则12A -= 4 ，A *=4 ，1()A *-=14． 说明：113224A A--==，3114A A A A A -*-===，11*1()4A A-*-== 2、设A 为33⨯矩阵，B 为33⨯矩阵，||1,||2,A B ==-则B A = -8 ． 说明：38B A BA ==-3、设A 为n n ⨯矩阵，则||0A ≠是A 可逆的 充分必要 条件．4、已知A A =2，且A 可逆，则A =I ． 说明：等式两边同时左乘1A -5、A 为三阶方阵，其伴随阵为*A ，已知21=A ，则1*(3)2A A --=1627-． 说明：1*1111112(3)2(3)233A A A A A A A A -------=-=-=-=二、选择题1、若由AC AB =必能推出,C B =其中C B A ,,为同阶方阵，则A 应满足条件（ B ）（A ）0≠A （B ）0≠A （C ）0=A （D ）0=A2、设B A ,均为n 阶方阵，则必有（ C ） （A ）B A B A +=+ （B ）BA AB = （C ）BA AB = （D ）111)(---+=+B A B A三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321A ，可逆，1213122A --⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111211120B ，可逆，113511112022A ----⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2、解矩阵方程：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡311221434321X 解：12112313422--⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，134241121310--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 21212412711311313219101022X -⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、利用逆矩阵，解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=++.2,122,12132321x x x x x x x解：系数矩阵为111022110A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则111021112111A -⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=-- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭， 则1231110221131112221112x x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四、设方阵A 满足方程0422=+-I A A ．证明：I A +和I A 3-都可逆，并求他们的逆矩阵． 证：22()(3)232477A I A I A A I A A I I I+-=--=-+-=-因此，IA +和IA 3-都可逆，且11()(3)7A I A I -+=--，11(3)()7A I A I --=-+2.3 初等变换与初等矩阵 一、填空题20092008010100001111212111001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡＝111221111--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦． 说明：由于2001010100I ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2100001010I ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 因此20082009001111100111010212001212100111010111----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣二、选择题：1、设A 为n 阶可逆矩阵，则（ B ） （A ）若CB AB =，则C A =； （B ）A 总可以经过初等变换化为I ；（C ）()I A .对施行若干次初等变换，当A 变为I 时，I相应地变为1-A ； （D ）以上都不对． 说明：（B ）为定理，正确；（A ）少条件，若加上矩阵B 可逆，才能正确； （C ）将“初等变换”改为“初等行变换”才正确；2、设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，1010100001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P 则必有（ C ）（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--122212221，逆矩阵为：12212129221⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--121011322，逆矩阵为：143153164--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 3、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1234012300120001，逆矩阵为：100021*********1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦4、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000000000121n n aa a a ，其中，.,,3,2,1,0n i a i =≠1210001000000010000000100001n na a a a -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将最后1行调整到第1行121000000100010000001000010nn a a a a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11112111000000010000000100000010n n a a a a -----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300002010A ，求()1*A -解：由于*AA A I =，则()1*AAA-=，由6A =-，因此()1*010********A AA -⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭． 四、已知B A AB +=2，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=202040202B ，求矩阵1)(--I A ．解法1：由B A AB +=2得：2AB B A -=，即()2A I B A -=，此式两边同时左乘1)(--I A ，再右乘1A-，得111()2A I BA ---=（1） 再由B A AB +=2得：2AB A B-=，即(2)B I A B -=，两边同时右乘1A -，得1(2)B I BA --=，此式与（1）式结合得：10011()(2)0102100A I B I -⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪⎝⎭解法2：将B A AB +=2变形得20AB B A --=，可得()20A I B A --=，两边加2I 得：()222A I B A I I --+=，即()2()2A I B A I I ---=，则1()(2)2A IB I I --=，因此10011()(2)0102100A I B I -⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪⎝⎭．五、已知A BA B =-2，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=122101011A ，求矩阵B ．解：由A BA B =-2得：2AB B A +=，即(2)A I B A += 因此1(2)B A I A -=+，由1102121223A I -⎛⎫⎪+=- ⎪⎪⎝⎭，则1431(2)531641A I ---⎛⎫ ⎪+=-- ⎪⎪-⎝⎭，1962(2)10721283B A I A --⎛⎫ ⎪=+=- ⎪ ⎪--⎝⎭六、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100001010A AP P B 1-=，P 为三阶可逆矩阵,求220082A B -．解：2010010100100100010001001001A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则4A I =200812008111120081()()()()BP AP P AP P AP P AP P AP P IP I------=====因此，2008213221311B A I -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2.5 矩阵的秩 一、填空题1、 在秩是r 的矩阵中，所有的1r ≥+阶子式都 为0 ．2、设A 是54⨯矩阵，()3R A =，10002300456078910B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R AB = 3 ．说明：可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩． 3、从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则(),()R A R B 的秩的关系为()()R B R A ≤．4、设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k kA 111111111111, 秩3)(=A ，则=k -3 ． 说明：111111111111k k A k k=将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子3k +1111111(3)111111k k k k=+ 将第1行乘以-1加到以下各行31111010(3)(3)(1)001001k k k k k k -=+=+---，因此当1k =或3k =-时，()4R A <，但1k =时显然()1R A =，因此3k =-． 5、设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=5202401131102121321k A , 秩3)(=A ，则=k 1 ．说明：1231123112321205600010113011301111040333000202504430k k k A ⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢----⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢=→→⎢⎥⎢⎥⎢---⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢--⎣⎦⎣⎦⎣二、求下列矩阵的秩 1、100110011001312501280128113501360012A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()3R A =2、310211211121112111213102046504651344134404350000A ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ()2R A = 3、615021364013640136406150201941242235182351809798403504035001227110A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦10643106430241241902412419087990015787670027111200271112--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，()4R A =三、设1111222k A k kk-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，1）求A ；2）求秩)(A （要讨论）． 解：211111111110112222220022k k k A k kk k kkkkk ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦则222(1)(1)2(1)(1)A k k k k =--=+- 当1k ≠±时，()3R A =； 当1k =-时，()2R A =； 当1k =时，()1R A =．四、讨论矩阵的秩2312323211121A λλλμ-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦． 解：2233123212323211088531210442A λλλλλμλμλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---++⎣⎦⎣⎦232123208853000212λλλμλλλ-⎡⎤⎢⎥→-+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ 当12μ=且0λ=、1λ=、12λ=-时，()2R A =；其它情况，()3R A =．第三章 向量3.1 向量的概念及其运算 1、已知()()12=110,11TTαα=，-，0，，,()30,Tα=3，，-2求12αα-，23+3TT αα 及12332ααα+-.结果：121⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭[]915-014⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦2、已知1(3,5,7,9)α=,2(1,5,2,0)α=-,α满足1223ααα+=，求α.结果：754633⎛⎫---- ⎪⎝⎭3、设1232()3()5()αααααα-++=-，其中1(2,1,3,0)α=-，2(1,0,2,1)α=-，3(0,2,1,1)α=-，求α． 结果：741716363⎛⎫-⎪⎝⎭4、写出向量1234(1,1,0,4),(3,2,2,1),(0,4,5,1),(2,0,4,3)αααα=-=-=-=-的线性组合，其中：（1）12341,0,4,2k k k k ====- （2）12341,3,0,2k k k k =-===- 结果：1）()315122- 2）()145147--5、已知向量组1(8,3,1),(1,2,3,)T T βα=-=-，23(3,1,0),(1,1,1)T T αα=-=--问：向量β是否可以由向量123,,ααα线性表示？若可以，写出其表达式；解：设112233k k k αααβ++=即123131821133011k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得方程组：12312313382331k k k k k k k k -++=⎧⎪--=⎨⎪-=-⎩，用克拉默法则可得：1312111301D -=--=--，183131119101D =--=--，218123115311D -=-=--- 313821356301D -=-=- 123191556k k k =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 则向量β可以由向量123,,ααα线性表示，123191556αααβ-+-=．3.2 线性相关与线性无关1、判断向量组的线性相关性，并说明原因.1）2104,30010αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，线性相关．包含零向量的向量组都是线性相关的．2）214,031αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭线性无关．两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例．3）2111,1,1112αβγ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111190112--=-≠-，因此向量组线性无关．4）2134,4,0312αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关．αβγ+=5）10221,1,1,10133αβγη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关．向量个数大于向量维数，必线性相关． 2、填空题 1） 设向量组12(1,2,1),(1,0,2),TTαα==3(1,8,)Tk α=--线性相关，则k = 2说明：12110242018k k=-=--，则2k = 2） 设向量组12(,0,),(,,0),a c b c αα==3(0,,)a b α=线性无关，则,,a b c 必满足关系式0abc ≠说明：00200a cbc abc a b=≠ 3） 若n 维单位向量组12,,,n εεε可由向量组12,,,r ααα线性表示，则r ≥n说明：书72页推论1 3、选择题 1）向量组12,,,n ααα线性无关的充要条件是（C ）()A 向量组12,,,n ααα中必有两个向量的分量对应不成比例()B 向量组12,,,n ααα中不含零向量()C 向量组12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余的1n -个向量线性表示()D 存在全为零的数12,,,n k k k ，使得1122,n n k k k αααθ+++=2）设()11221,0,0,,(1,2,0,),αλαλ==3344(1,2,3,),(2,1,5,)αλαλ=-=-其中1234,,,λλλλ是任意实数，则（C ）()A 向量组123,,ααα总线性相关 ()B 向量组1234,,,αααα总线性相关 ()C 向量组123,,ααα总线性无关 ()D 向量组1234,,,αααα总线性无关4、已知向量组123,,ααα线性无关，证明： (1)112123,αααααα+++，线性无关证明：设112123123()()0k k k αααααα+++++= 即123123233()()0k k k k k k ααα+++++=，由123,,ααα线性无关得123233000k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，即12300k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此112123,αααααα+++，线性无关．(2)122331,αααααα---，线性相关证法1：设112223331()()()0k k k αααααα-+-+-=即131212323()()()0k k k k k k ααα-+-+-=，由123,,ααα线性无关得132132000k k k k k k -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，当1230k k k ==≠时方程组成立，因此122331,αααααα---，线性相关．证法2：由122331()()()0αααααα-+-+-=，得122331,αααααα---，线性相关．5、已知1(1,2,3),T α=2(1,1,4),T α=-3(3,3,2)T α=-，(4,5,5)T β=，问：向量β能否由向量组123,,ααα唯一线性表示？解：设123113421353425k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即方程组123123123342353425k k k k k k k k k -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩ 系数行列式12D =-，136D =-，212D =，30D =因此β可由向量组123,,ααα唯一线性表示，123βαα=-．3.3 向量组的秩 1、填空题（1）若1234(,,,)4R αααα=，则向量组123,,ααα是线性 无关说明：由1234(,,,)4R αααα=知1234,,,αααα线性无关，线性无关的向量组减少向量个数还是线性无关． （2）设向量组()I 的秩为1r ，向量组()II 的秩为2r ，且()()I II ≅，则1r 与2r 的关系为12r r = 2、选择题（1）若向量组12,,,r ααα是向量组12,,,,,r n αααα的极大线性无关组，则论断不正确．．．的是（ B ）()A n α可由12,,,r ααα线性表示 ()B 1α可由12,,,r r n ααα++线性表示()C 1α可由12,,,r ααα线性表示()D n α可由12,,,r r n ααα++线性表示（2）设n 维向量组12,,,s ααα的秩()r s <，则（ B ）()A 向量组12,,,s ααα线性无关 ()B 向量组12,,,s ααα线性相关()C 存在一个向量()1i i r α≤≤可以由其余向量线性表示()D 任一向量都不能由其余向量线性表示（3）若12,,,r i i i ααα和12,,,t j j j ααα都是向量组12,,,n ααα的极大线性无关组，则（C ）()A r n = ()B t n = ()C r t = ()D r t ≠3、求下列向量组的秩（必须有解题过程） （1）123(1,1,0),(0,2,0),(0,0,3)ααα===解：由110206003=，得向量组的秩为3． （2）12(1,1,1),(,1,1),T T a αα==23(1,,)T a a α= （要讨论） 解：222111111110110111101100a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭当0a ≠，1a ≠时秩为3； 当0a =时秩为2； 当1a =时秩为1；4、利用矩阵的初等变换求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示． （1）12(1,2,1,3),(4,1,5,6),αα==---3(1,3,4,7)α=---解：1411014114152130950101915409500000367018100000⎛⎛⎫ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝12,αα为极大线性无关组，且31211599ααα=-+． （2）12(1,1,2,4),(0,3,1,2)αα=-=,34(3,0,7,14),(1,2,2,0)αα==-,5(2,1,5,10)α=解：103121031210313021033130112172501101000421401002242000⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪⎪--- ⎪ ⎪ →→ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝10302011010001000000⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭124,,ααα为极大线性无关组，3123ααα=+，5122ααα=+5、已知向量组1234(1,2,1,3),(2,3,0,1),(3,5,1,1),(2,4,4,),T T T T k αααα=-===-的秩为3， 1）求k2）求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示． 解：（1）12321232123223540110011010140242001131105860036k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭123201100011009k ⎛⎫⎪⎪→ ⎪- ⎪-⎝⎭，9k =（2）123210121003011001100101001100110011000000000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123,,ααα为极大线性无关组，41233αααα=+-．6、设n 维单位向量12,,,n εεε可由n 维向量组12,,,n ααα线性表出，证明向量组12,,,n ααα线性无关．证明：由n 维单位向量12,,,n εεε可由n 维向量组12,,,n ααα线性表出，且n 维单位向量12,,,n ααα可由n 维向量组12,,,n εεε线性表出，因此这两个向量组等价，由12,,,n εεε的秩为n ，因此12,,,n ααα的秩为n ，因此12,,,n ααα线性无关．7、设()123,,3R ααα=，11223βαα=+，2234βαα=+，3135βαα=+，证明：123,,βββ线性无关． 证明：设1122330k k k βββ++=，即112223313(23)(4)(5)0k k k αααααα+++++=则131122233(2)(3)(45)0k k k k k k ααα+++++=由()123,,3R ααα=得：1312232030450k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，系数行列式201310220045=≠因此123,,βββ线性无关．8、设123(),,;I ααα1234(),,,II αααα1235(),,,III αααα，若各向量组的秩分别为： ()()3R I R II ==，()4R III =，证明：向量组12354,,,ααααα-的秩为4．证明：反证法，假设向量组12354,,,ααααα-的秩小于4， 由()3R I =知，123,,ααα线性无关，根据书69页定理5知：54αα-可由123,,ααα线性表示， 设为54112233k k k ααααα-=++，即51122334k k k ααααα=+++ （1）再由()3R II =，得1234,,,αααα线性相关，再由刚才定理知：4α可由123,,ααα线性表示，设为4112233αλαλαλα=++，代入（1）得：51122331122331112()(k k k k k ααααλαλαλαλα=+++++=++因此5α可由123,,ααα线性表示，则1235(),,,III αααα线性相关，与()4R III =矛盾．因此向量组12354,,,ααααα-的秩为4．3.4 向量空间 1、设111{(,,)|0}T n i n V x x x R x x =∀++=∈且211{(,,)|1}T n i n V x x x R x x =∀++∈且=问12V V ，是不是向量空间，为什么？解：1V 是向量空间，2V 不是向量空间．（大家自己证明） 2、向量(2,1,0)-在基)0,1,1(，(1,0,1)，)1,1,0(下的坐标是133,,222⎛⎫-- ⎪⎝⎭．说明：设方程123110*********k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解之即可．3、略4、试证：由12(0,1,1),(1,0,1),αα==3(1,1,0)α=生成的向量空间就是3R ，并求3R 的一组标准正交基．证：由0111010110≠，则12(0,1,1),(1,0,1),αα==3(1,1,0)α=线性无关，3R β∀∈，则123,,,αααβ为四个三维向量，必线性相关，且β可由123,,ααα线性表示，因此，123,,ααα所生成的向量空间为3R ． 由施密特正交化法：11011βα⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭，1222111110(,)1101(,)221112βαβαβββ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭13233312112221310(,)(,)111211(,)(,)2323011223βαβαβαββββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=--=---=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得：10γ⎛⎫⎪ ⎪=，2γ⎛⎫ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭，2γ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎝，为3R 空间的一个标准正交基．第四章 线性方程组 1、填空题1）线性方程组b AX =无解，且()3R A =， 则()(,)R A b 应满足 ＝4 ；线性方程组b AX =有解，且()3R A =，则()(,)R A b 应满足 ＝32）设A 是方阵，线性方程组X AX =有非零解的充要条件是0A I -=．说明：由X AX =，得()0A I X -=3）设n 元线性方程组θ=AX 有解，若()2R A n =-，则θ=AX 的解空间维数为 2 ． 说明：解空间的维数+()R A 结果为n ．4）设b AX =为四元非齐次线性方程组，()3R A =，123,,ααα是b AX =的三个非零解向量，()121,2,0,4,Tαα+=()321,0,0,1Tαα-=，则b AX =的通解为1(1,0,0,1)(,1,0,2)2TT k +．说明：由4-3＝1知该方程组对应的齐次线性方程组0AX =的基础解系中应包括一个向量，而()321,0,0,1Tαα-=是0AX =的一个解，因此齐次线性方程组的通解为32()k αα-，再由1A b α=，2A b α=，以上二式相加除以2知，122αα+是b AX =的一个特解，因此bAX =的通解为1232()2k αααα+-+1(1,0,0,1)(,1,0,2)2T T k =+5）若η既是非齐次线性方程组b AX =的解，又是3202X λ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则λ=43． 说明：由η是非齐次线性方程组b AX =的解，可知η为非零向量，因此3202X λ⎛⎫=⎪⎝⎭有非零解，则其系数行列式必为0，推出λ=43． 2、选择题1）若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0200321321321x x x x kx x x x kx 仅有零解，则（C ）()A 14-==k k 或 ()B 14=-=k k 或()C 14-≠≠k k 且 ()D 14≠-≠k k 且2）线性方程组m n A X b ⨯=有唯一解的条件是（B ）()A m n =()B ()(,)R A R A b n ==()C AX θ=只有零解 ()D ()A 、()B 、()C 都不对3）若方程组AX θ=中，方程的个数少于未知量的个数，则（B ）()A AX θ= 一定无解 ()B AX θ=必有非零解 ()C AX θ=仅有零解 ()D AX θ=的解不能确定3、求下列齐次线性方程组的基础解系 1）123123030x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩解：111111111113022011⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组化为：123230x x x x x ++=⎧⎨-=⎩，设31x =，解得21x =，12x =-，基础解系为：211-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2）12341234234030x x x x x x x x +-+=⎧⎨++-=⎩解：1234123413110145--⎛⎫⎛⎫→⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 方程组化为12342342340450x x x x x x x +-+=⎧⎨+-=⎩令341,0x x ==，解得：1211,4x x ==-，令340,1x x ==，解得：1214,5x x =-=，基础解系为：11410⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，14501-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4、求方程组1234123423451x x x x x x x x +++=⎧⎨-++=⎩ 的特解．解：12345123451111103234⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭方程组化为123423423453234x x x x x x x +++=⎧⎨---=-⎩，令240x x ==，得312,1x x ==-，因此方程组的一个特解为：1020-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 5、求下列线性方程组的通解1）1231231232026162x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=-⎨⎪--=-⎩解：112011201120216101210121116202420000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--→---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组化为：123232021x x x x x +-=⎧⎨+=⎩，设3x k =，得212x k =-，121241x k k k =-+=-，通解为：141201k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2）123412341234243231424x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-++=⎨⎪-+-=⎩解：1214312143122311107375063412140961780--⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ -→---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ------⎝⎭⎝⎭⎝121430737500155611-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭方程组化为：1234234342437375155611x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩选4x 为自由未知量并令14=x ，(注意此处特解的取法)解得0,1,3123===x x x ，于是该方程组的一个特解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1310η其导出组的同解方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=+-+056150737042434324321x x x x x x x x x ， 选4x 为自由未知量并令14=x ，解得1522,53,1556123-===x x x ，于是导出组的一个基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11556531522δ方程组通解为：221503153561151k ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭（3）四元线性方程组122410x x x x +=⎧⎨-=⎩解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=010*******B由 42)()(<==B R A R 知原方程组有无穷多组解．先求原方程组一个特解，选43,x x 为自由未知量并令0,043==x x ，得1,012==x x ，于是该方程组的一个特解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001η在其导出组中选43,x x 为自由未知量并令,0143⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 得，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0021x x 令 ,1043⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121x x ，于是导出组的一个基础解系为,01001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=δ,10112⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ故原方程组的通解为ηδδ++=2211k k x ，其中21,k k 为任意常数． 6、综合题（1） 已知三元非齐次线性方程组AX b =有特解T )2,0,1(1=η，T )1,2,1(2--=η，T )0,0,1(3=η，()1R A =，求方程组AX b =的通解.解：因为b AX =为三元方程组而1)(=A R ，所以0=AX 的基础解系中含有两个解向量，由解的性质，()()200,1223121=--=-ηηηη均是0=AX 的解，显然它们线性无关，可以构成0=AX 的一个基础解系． 由解的结构知bAX =的通解为()()1312211ηηηηη+-+-=k k x ，其中21,k k 为任意常数 即12201200322x k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）λ取何值时，齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？并求出一般解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由0111112=λλλλ可得1=λ，所以当1=λ时原方程组有非零解．当1=λ时，原方程组变为0321=++x x x ，选32,x x 为自由未知量并令并令,0132⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x 得，11-=x ， ,1032⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 得11-=x 于是方程组的一个基础解系为,0111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ,1012⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ通解为 2211δδk k x +=，其中21,k k 为任意常数． （3）λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=--+-=---0)3(14202)8(023)2(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？并求出其通解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由()()01331422812322=--=+------λλλλλ 可得1=λ或3=λ时原方程组有非零解． 当1=λ时，原方程组系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0000402314142271231，选3x 为自由未知量，取13=x ，得，,0221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 方程组的一个基础解系为,102⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ通解为 201x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中k 为任意常数．当3=λ时，原方程组系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----0001202312404802316142251231，选3x 为自由未知量，取23=x ，得，,1121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x 方程组的一个基础解系为,211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ通解为 112x k ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，其中k 为任意常数．（4）讨论当k取何值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+++23213213212)3(k kx x x k x kx x x x k kx 无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解． 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=322222130110111111213k k k k kk kkk kk k k k B()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+--→2131413100)2(1301122322k k k k k k kk 当 )()(B R A R ≠，即()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--021310413122k k k k ，2-=k 时，原方程组无解．当 3)()(==B R A R ，即()()041312≠--k k ，2,2,1-≠k 时，原方程组有唯一解．当32)()(<==B R A R ，即()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=--021310413122k k k k ，1=k 或者2=k 时，原方程组有无穷多解．当1=k 时，原方程组中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000030301111B ，选3x 为自由未知量，在对应的⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000300111'B 中令13=x 得 ,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 导出组的一个基础解系,101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=δ 在⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000030301111B 中令13=x 得,1121⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 一个特解,111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=η 于是方程组的通解为 ηδ+=k x ，其中k 为任意常数．当2=k 时，原方程组中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000103304211B ，选3x 为自由未知量，在对应的⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000003300211'B 中令13=x 得 ,1321⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 导出组的一个基础解系,113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ在⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000103304211B 中令03=x 得,31032221⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 一个特解,0310322⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=η 于是方程组的通解为 ηδ+=k x ，其中k 为任意常数．（5）已知线性方程组1231231234339ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩问方程组何时无解？何时有唯一解？何时有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解． 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a ab b b a a ab b b b b a B 341103003113411060203119131311411⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→b b ab a b a b b430041103114110300311当 )()(B R A R ≠，即⎩⎨⎧≠-=-0430b b ab ，0=b 或43,1≠=b a 时，原方程组无解．当 3)()(==B R A R ，即0≠-b ab ，0,1≠≠b a 时，原方程组有唯一解．当 32)()(<==B R A R ，即⎩⎨⎧=-=-0430b b ab ，1=a 且43=b 时，原方程组有无穷多解． 当1=a 且43=b 时，原方程组中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000401031431B ，选3x 为自由未知量，在对应的⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000001001431'B 中令13=x 得,0121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 导出组的一个基础解系,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ在⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000401031431B 中令03=x 得 ,4021⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 一个特解,040⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=η 于是方程组的通解为 ηδ+=k x ，其中k 为任意常数． （6）若123,,x x x 是方程组Ax =θ的基础解系，证明：1323122,2,2x x x x x x +++也是该方程组Ax =θ的基础解系．证明：由于()000223131=+=+=+Ax Ax x x A ，同理可以验证21322,2x x x x ++也是0=Ax 的解，由题设知0=Ax 的一个基础解系中含3个解向量，下面只需证明,231x x +21322,2x x x x ++是线性无关的．设()()()0222213322311=+++++x x k x x k x x k 整理得()()()0222321232131=+++++x k k x k k x k k由于123,,x x x 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+022020213231k k k k k k又系数行列式03011210101≠-==D ，故0321===k k k从而,231x x +21322,2x x x x ++线性无关，是方程组0=Ax 的一个基础解系．（7）设方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++3432124321143217438234bx x x x b x x x x b x x x x 证明：此方程组对任意实数321,,b b b 都有解，并且求它的一切解． 证明：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3132332144210342101111111171438234b b b b b b b b B⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---→32132378400342101111b b b b b b 由于 43)()(<==B R A R ，故对任意实数321,,b b b 原方程组都有解．对⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---→32132378400342101111b b b b b b B ，选4x 为自由未知量，在对应的⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→084000421001111'B 中令14=x 得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛203321x x x ，导出组的一个基础解系为,1203⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=δ在⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---→32132378400342101111b b b b b b B 中令04=x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛472453213123321321b b b b b b b b b x x x ，原方程组的一个特解,0472453213123321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+--=b b b b b b b b b η 于是方程组的通解为 ηδ+=k x ，其中k 为任意常数．（8）设12ηη与是m n A X b ⨯=（0b ≠）的两个不同的解，AX ξθ=是的一个非零解，证明：若()1R A n =-，则向量组12,,ξηη线性相关．证明：因为1)(-=n A R ，所以0=AX 的基础解系中只含有一个解向量．由解的性质，21ηη-是0=AX 的非零解，又题设中ξ是0=AX 的非零解，显然它们线性相关，即存在不全为零的数21,k k 满足()02211=+-ξηηk k ，整理得022111=+-ξηηk k k ， 从而向量组12,,ξηη线性相关．。