二次函数根的判别式与韦达定理

X1X2＞0 X1+X2＞0
两个负根
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＜0
①当Δ＞0，即a＜1时，方程有两个不等实根
x1 1 1 a
x2 1 1 a
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
分类讨论是初中数学中重要的思想方法.
根与系数的关系（韦达定理）的发现过程
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0
例1 、 判定方程根的情况（其中a为常数） 如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x2－ax－1＝0 （2）x2－2x＋a＝0．
解（1）Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，
所以方程一定有两个不等的实数根
x1 a
a2 4 2
x2 a
a2 4 2
（2）Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
4a 2
= 4a2
=
c a
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= -
b a
,
X1x2=
c a
注：能用公式的前提条件为b2-4ac≥0
特殊情况：当二次项系数a=1 时
如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，
那么
X1+X2=
例4、若x1和x2分别是方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x1－x2|的值；
7 2
（2）求
11 x12 x22
的值； 37 9
（3）求x13＋x23的值；
－ 215
8
（4）求 x1 x2 的值 x2 x1
例5、若关于x的方程x2－x＋a－4＝0的一根 大于零、另一根小于零，求实数a取值范围．
补讲：方程mx 2 2mx m 1 0(m 0)
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知,
{ △= 4m2 4m(m 1) 0
x1 x2

m 1 m

0
{即 m>0 ∴0<m<1 m-1<0
常用结论2：
一正根，
两个 △＞0 X1X2＜0
解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2＝a－4＜0,得 a＜4，
∴a的取值范围是a＜4．
常用结论1:若ax2bxc0 (a0 0)时 （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.
方程
两根
x1
x2
两根和 两根积
X1+x2
x1x2
x2-7x+12=0
3
4
7 12
x2+3x-4=0 2x2+3x-2=0
1 -4
1
-2
2
-3 - 4
3
2-
-1
通过上面几个方程的解的情况，你又发现了什么结论？
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）来说， 当△= b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）来说， b2－4ac称为根的判别式，记为：△
（1）当△=b2－4ac＞0时，原方程有两个不相等实数根
x1，2＝
b
b2 4ac 2a
（2）当△=b2－4ac＝0时，原方程有两个相等实数根
b x1＝x2＝－ 2a
（3）当△=b2－4ac＜0时， 原方程没有实数根．
∴x1＝－ 由 （－
3 535）＋2＝－
k ，得 5
k＝－7．
6 5
例3、已知关于x方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比
两个根的积大21，求m的值． 解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得
x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4． ∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21， 即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21， 化简，得 m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17． 当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，满足Δ＞0； 当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＜0(舍)． 综上，m＝17．

p 1
=
－P
q
X1X2 = 1 =
q
例2 、已知方程 5x2 kx 6 0
的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×22＋k×2－6＝0，k＝－7．
3
方所程以为，5方x2程－的7x另－一6＝个0根，为解－得x31＝，2k，的x值2＝为－－75．
解法二：设方程另一个根为x51，则 2x1＝－
x1 b b2 4ac 2a
b b2 4ac x2
2a
则 X1+x2=
b b2 4ac 2a
b b2 4ac
+
2a
=
2b 2a
=- b a
X1x2 =
b b2 4ac ● b b2 4ac
2a
2a
=
(b)2 ( b2 4ac)2 4ac
二次函数
判别式与韦达定理
复习巩固:
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
X=
b
b2 4ac 2a
(b2-4ac≥0)
利用求根公式解下列方程：
（1） x2 2x 3 0
( 2 ) x2 2x 1 0
( 3 ) x2 2x 3 0
通过上面几个方程的解的情况，你发现了什么结论？