浙江师范大学《高等数学（一）》（上册）考试卷
考试类别 闭 卷 使用学生 考试时间 120 分钟 出卷时间 2006 年 2 月 22日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理
一、 选择题（每小题1分，共6分）。
1. 设函数552()6kx f x x -=+，且1
lim ()3
x f x →∞=，则=k （ ） A ．
12 B ．12- C ． 1
3
D ． 3 2. 设(0)0f =，(0)3f '=，则当0x →时，()f x 是x 的 （ ）
A ．低阶无穷小量
B 同阶无穷小量
C ．高阶无穷小量
D ．等价无穷小量 3. 函数cos y x x =-在(),-∞+∞上（ ）
A ．单调减少
B ．单调增加
C ．为奇函数
D ．为偶函数 4. 设()2sin ()x f x '=，则()d f x x =⎰（ ）
A. 2sin x C +
B. 22cos x x C +
C. 2cos x C +
D. 2cos x C -+ 5. 若()f x 4x -=，0()()d x
x f t t Φ=⎰，则
d
[()]d x x
Φ=（ ） A. 5
4x -- B. 5
4x - C. 4
x - D. 3
3
x --
6. 设函数f()sin 3x x kx =+，且1
f ()2
π'=，则=k （ ）
A ． 52-
B ．12
C ．32
D ．72
二、 填空题（每小题2分，共16分）
1. 若3lim 1+e x
x k x →∞
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则=k ① . 2. 曲线sin 2y x =在点(0,0)处的切线的方程是. ② . 3. 设()f x 为e x -的一个原函数，则()f x '= ③ . 4. 函数2sin y x =，则 d y = ④ . 5. 若 2arctan y x =，则(1)y ' ⑤ . 6. 2
2e d x x x ⎰ ⑥
7. 曲线323y x =+的拐点为 ⑦ . 8.
2d a
a
x x -⎰
= ⑧
三、 计算题（每小题10分，共60分） 1.求1
7lim(
)1
x x x x -→∞
++ 2.已知隐函数()y y x =由方程22y
x y x +=确定，求d d y x
. 3.计算定积分2π
0cos d x x x ⎰.
4.已知参数方程2cos x t y t ⎧=⎨=⎩，求导数d d y
x 和22d d y x .
5.设0,1()1,1x f x x x
≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求2
0()d f x x ⎰ 6.求()e x f x x -=在区间[]0,3上的最大值和最小值。 四、 证明题（8分）
设()f x 为可导的偶函数，求证()f x '为奇函数. 五、 应用题（10分）
求由抛物线 25y x =-与直线3x y +=所围图形的面积.
《高等数学（一）》（上册）
试题答案及评分参考（06.3.5）
一、选择题（每小题1分，共6分）
1、D
2、B
3、A
4、A
5、C
6、D
二、填空题（每小题2分，共16分）
①3 ② 2y x = ③ e x
- ④ 2
2cos d x x x ⑤1 ⑥ 2
e x C +
⑦()0,3 ⑧2
23
a
三、计算题（每小题10分，共60分）
1.求1
7lim(
)1
x x x x -→∞
++ 解 原极限=1
)1
61(lim -∞
→++
x x x （4分） =2
6
61)1
61])1
61[(lim -+∞→++
++x x x x （ （7分） =6e （10分）
2.已知隐函数()y y x =由方程22y x y x +=确定，求
d d y
x .
解 两边对x 求导，得222xy y
x yy x
'-'+= （6分）
即3
2d 2d 2y y x x x x y
+=-+ （10分） 3.计算定积分2π
0cos d x x x ⎰.
解 原式=2π
0dsin x x ⎰ （3分） []2π
2π
00sin sin d x x x x =-⎰ （7分） []2π
0cos 0x == （10 分）
4.已知参数方程2cos x t y t
⎧=⎨=⎩，求导数d d y x 和22d d y x .
解 因因d sin d y t t =-，d 2d x t t =，故
d sin d sin d 2d 2y t t t
x t t t
--==
（5分）
即 sin d sin 2d 2t t t
y t t t
--'==
， 2d 1sin 1cos sin d 22y t t t t
t t t ''-⎛⎫=-=-⋅ ⎪
⎝⎭ （8分） 223
d d cos sin d d 4y y t t t
x x t '-+== （10分） 5.设0,1()1,1x f x x x
≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求2
0()d f x x ⎰ 解
22
1
1
()d d f x x x x
=⎰
⎰
（5分） []2
1ln ln 2x ==（10分）
6.求()e x f x x -=在区间[]0,3上的最大值和最小值。 解
因()e e (1)e x x x f x x x ---'=-=-，故由()0f x '=，得驻点1x =，（4分）
因此()e x f x x -=在区间[]0,3上的最大值为1
e
，最小值为0（10分） 四、证明题（8分）设()f x 为可导的偶函数，求证()f x '为奇函数.
证 根据题意 ()()f x f x -= （3分） 上式两边对x 求导，得()()()f x x f x '''--= （6分）
