高等数学试卷及答案(一)
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⼤⼀⾼等数学期末考试试卷及答案详解⼤⼀⾼等数学期末考试试卷(⼀)⼀、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0,(),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h →--的值为(). (A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. (3分)定积分22ππ-?的值为().(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)⼀定可导(C)可能可导 (D)必⽆极限⼆、填空题(共12分)1.(3分)平⾯上过点(0,1),且在任意⼀点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线⽅程为 .2. (3分) 1241(sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 201lim sin x x x→= . 4. (3分) 3223y x x =-的极⼤值为 .三、计算题(共42分) 1. (6分)求20ln(15)lim.sin 3x x x x →+2. (6分)设2,1y x =+求.y '3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x xe x ?≤?=+??+>?5. (6分)设函数()y f x =由⽅程0cos 0yxte dt tdt +=??所确定,求.dy6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +?7. (6分)求极限3lim 1.2nn n →∞+四、解答题(共28分)1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. (7分)求由曲线cos 22y x x ππ??=-≤≤与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转⼀周所得旋转体的体积.3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线⽅程.4. (7分)求函数y x =+[5,1]-上的最⼩值和最⼤值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bbab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?(⼆)⼀、填空题(每⼩题3分,共18分) 1.设函数()23122+--=x x x x f ,则1=x 是()x f 的第类间断点.2.函数()21ln x y +=,则='y.3. =?+∞→xx x x 21lim.4.曲线xy 1=在点2,21处的切线⽅程为 . 5.函数2332x x y -=在[]4,1-上的最⼤值,最⼩值 . 6.=+?dx xx21arctan . ⼆、单项选择题(每⼩题4分,共20分) 1.数列{}n x 有界是它收敛的() . () A 必要但⾮充分条件; () B 充分但⾮必要条件; () C 充分必要条件; () D ⽆关条件. 2.下列各式正确的是() .() A C e dx e x x +=--?; () B C xxdx +=?1ln ; () C ()C x dx x +-=-?21ln 2211; () D C x dx xx +=?ln ln ln 1. 3.设()x f 在[]b a ,上,()0>'x f 且()0>''x f ,则曲线()x f y =在[]b a ,上.() A 沿x 轴正向上升且为凹的; () B 沿x 轴正向下降且为凹的;() C 沿x 轴正向上升且为凸的; () D 沿x 轴正向下降且为凸的.4.设()x x x f ln =,则()x f 在0=x 处的导数().() A 等于1; () B 等于1-; () C 等于0; () D 不存在.5.已知()2lim 1=+→x f x ,以下结论正确的是().() A 函数在1=x 处有定义且()21=f ; () B 函数在1=x 处的某去⼼邻域内有定义;() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义;() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.三、计算(每⼩题6分,共36分) 1.求极限:xx x 1sin lim 20→. 2. 已知()21ln x y +=,求y '. 3. 求函数x x y sin =()0>x 的导数.4. ?+dx xx 221. 5. ?xdx x cos .6.⽅程yxx y 11=确定函数()x f y =,求y '.四、(10分)已知2x e 为()x f 的⼀个原函数,求()?dx x f x 2.五、(6分)求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、(10分)设()()C e x dx x f x++='?1,求()x f .(三)⼀、填空题(本题共5⼩题,每⼩题4分,共20分).(1) 21(cos lim x x x → e1.(2)曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平⾏的切线⽅程为1-=x y . (3)已知xxxeef -=')(,且0)1(=f , 则=)(x f =)(x f 2)(ln 21x .(4)曲线132+=x x y 的斜渐近线⽅程为 .9131-=x y(5)微分⽅程522(1)1'-=++y y x x 的通解为.)1()1(32227+++=x C x y⼆、选择题 (本题共5⼩题,每⼩题4分,共20分). (1)下列积分结果正确的是( D )(A) 0111=?-dx x (B) 21112-=?-dx x(C) +∞=?∞+141dx x (D) +∞=?∞+11dx x(2)函数)(x f 在],[b a 内有定义,其导数)('x f 的图形如图1-1所⽰,则( D ).(A)21,x x 都是极值点. (B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点.(C) 1x 是极值点.,())(,22x f x(D) ())(,11x f x 是拐点,2x 是极值点图1-1(3)函数212e e e x x xy y y x '''--=(B )23e .xy y y '''--= (C )23e .x y y y x '''+-= (D )23e .xy y y '''+-=(4)设)(x f 在0x 处可导,则()()000limh f x f x h h →--为( A ). (A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .(5)下列等式中正确的结果是( A ).(A) (())().f x dx f x '=? (B) ()().=?df x f x (C) [()]().d f x dx f x =(D) ()().fx dx f x '=?三、计算题(本题共4⼩题,每⼩题6分,共24分). 1.求极限) ln 11(lim 1x x x x --→.解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→ 1分=x x x xx ln 1ln lim1+-→ 2分= xx x x x x ln 1ln lim1+-→ 1分分2.⽅程??+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数,求dx dy 与2 2dx y d .解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= (3分) .sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= (6分)3. 4. 计算不定积分.222(1) =2arctan 2 =2d x C =----------+------+---------??分分(分4.计算定积分?++3011dx xx.解 ??-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ?+--=30)11(dx x (3分)35)1(3(或令t x =+1)四、解答题(本题共4⼩题,共29分).1.(本题6分)解微分⽅程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解:特征⽅程分特征解.分次⽅程的通解Y =C 分令分代⼊解得,所以分所以所求通解C 分2.(本题7分)⼀个横放着的圆柱形⽔桶(如图4-1),桶内盛有半桶⽔,设桶的底半径为R ,⽔的⽐重为γ,计算桶的⼀端⾯上所受的压⼒.解:建⽴坐标系如图22022220322203*********RRRP gx R x dx g R x d R x g R x g R ρρρρ=----------=---------=--------=----------------??分()分[()]分分3. (本题8分)设()f x 在[,]a b 上有连续的导数,()()0f a f b ==,且2()1baf x dx =?,试求()()b a222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222b b aab a b b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------解:分分分分4. (本题8分)过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平⾯图形D. (1) (3) 求D 的⾯积A;(2) (4) 求D 绕直线e x =旋转⼀周所得旋转体的体积V.解:(1) 设切点的横坐标为0x ,则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线⽅程是).(1ln 000x x x x y -+=1分yxyO1e 1D由该切线过原点知 01ln 0=-x ,从⽽.0e x =所以该切线的⽅程为.1x e y =平⾯图形D 的⾯积 ?-=-=10.121)(e dy ey e A y 2分(2)切线xe y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三⾓形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π= 2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 2102)(?-=π, 1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=?e e dy e e e V V V y πππ 1分五、证明题(本题共1⼩题,共7分).1.证明对于任意的实数x ,1x e x ≥+.解法⼀:2112xe e x x xξ=++≥+解法⼆:设() 1.x f x e x =--则(0)0.f = 1分因为() 1.xf x e '=- 1分当0x ≥时,()0.f x '≥()f x 单调增加,()(0)0.f x f ≥= 2分当0x ≤时,()0.f x '≤()f x 单调增加,()(0)0.f x f ≥= 2分所以对于任意的实数x ,()0.f x ≥即1x e x ≥+。
完整)高等数学考试题库(附答案)高数》试卷1(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分)。
1.下列各组函数中,是相同的函数的是()。
A)f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnxB)f(x)=|x|和g(x)=x^2C)f(x)=x和g(x)=x^2/xD)f(x)=2|x|和g(x)=1/x答案:A2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续,则a=()。
A)1B)0C)-1D)2答案:A3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为()。
A)y=x-1B)y=-(x+1)C)y=(lnx-1)(x-1)D)y=x答案:C4.设函数f(x)=|x|,则函数在点x=0处()。
A)连续且可导B)连续且可微C)连续不可导D)不连续不可微答案:A5.点x=0是函数y=x的()。
A)驻点但非极值点B)拐点C)驻点且是拐点D)驻点且是极值点答案:A6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是()。
A)只有水平渐近线B)只有垂直渐近线C)既有水平渐近线又有垂直渐近线D)既无水平渐近线又无垂直渐近线答案:B7.∫f'(1/x^2)dx的结果是()。
A)f(1/x)+CB)-f(x)+CC)f(-1/x)+CD)-f(-x)+C答案:C8.∫ex+e^(-x)dx的结果是()。
A)arctan(e^x)+CB)arctan(e^(-x))+CC)ex-e^(-x)+CD)ln(ex+e^(-x))+C答案:D9.下列定积分为零的是()。
A)∫π/4^π/2 sinxdxB)∫0^π/2 xarcsinxdxC)∫-2^1 (4x+1)/(x^2+x+1)dxD)∫0^π (x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx答案:A10.设f(x)为连续函数,则∫f'(2x)dx等于()。
A)f(1)-f(0)B)f(2)-f(0)C)f(1)-f(2)D)f(2)-f(1)答案:B二.填空题(每题4分,共20分)。
《高数》试卷1(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分).1.下列各组函数中,是相同的函数的是(). (A )2ln 2ln f x xg x x和(B )||f x x 和2g x x(C )f xx 和2g xx(D )||x f xx和g x12.函数sin 420ln 10x x f xxax在0x 处连续,则a().(A )0 (B )14(C )1 (D )23.曲线ln y x x 的平行于直线10x y 的切线方程为(). (A )1y x (B )(1)yx (C )ln 11y x x (D )y x4.设函数||f x x ,则函数在点0x处().(A )连续且可导(B )连续且可微(C )连续不可导(D )不连续不可微5.点0x 是函数4yx 的().(A )驻点但非极值点(B )拐点(C )驻点且是拐点(D )驻点且是极值点6.曲线1||yx 的渐近线情况是().(A )只有水平渐近线(B )只有垂直渐近线(C )既有水平渐近线又有垂直渐近线(D )既无水平渐近线又无垂直渐近线7.211fdx x x 的结果是().(A )1f C x(B )1fC x(C )1fC x(D )1fCx8.xxdxe e的结果是().(A )arctan xeC (B )arctan xe C (C )xxeeC (D )ln()xxee C9.下列定积分为零的是().(A )424arctan 1x dx x(B )44arcsin x x dx (C )112xxee dx (D )121sin xx x dx10.设f x 为连续函数,则102f x dx 等于().(A )20f f (B )1112f f (C )1202f f (D )10f f 二.填空题(每题4分,共20分)1.设函数2100xex f xx a x在0x 处连续,则a.2.已知曲线y f x 在2x处的切线的倾斜角为56,则2f .3.21x yx的垂直渐近线有条.4.21ln dx x x.5.422sin cos x x x dx.三.计算(每小题5分,共30分)1.求极限①21limxxx x ②2sin 1limx xx x x e 2.求曲线ln yx y 所确定的隐函数的导数x y .3.求不定积分①13dx x x ②220dx a xa③xxe dx四.应用题(每题10分,共20分)1.作出函数323yxx 的图像.2.求曲线22yx 和直线4y x 所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一.选择题1.B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7.D 8.A 9.A 10.C 二.填空题1.22.333.24.arctanln x c5.2三.计算题1①2e②162.11xyx y3. ①11ln||23xCx②22ln||x a x C③1xe x C四.应用题1.略2.18S《高数》试卷2(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分)1.下列各组函数中,是相同函数的是().(A)f x x 和2g x x(B) 211xf xx 和1y x (C)f xx 和22(sin cos )g xx xx (D)2ln f x x 和2ln g x x2.设函数2sin 21112111x x x fxx xx,则1lim x f x ().(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数y f x 在点0x 处可导,且fx >0, 曲线则yf x 在点00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }.(A)(B)2(C)锐角(D)钝角4.曲线ln y x 上某点的切线平行于直线23y x ,则该点坐标是().(A)12,ln2(B)12,ln2(C) 1,ln 22(D)1,ln 225.函数2xy x e 及图象在1,2内是().(A)单调减少且是凸的(B)单调增加且是凸的(C)单调减少且是凹的(D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是().(A) 若0x 为函数y f x 的驻点,则0x 必为函数y f x 的极值点. (B) 函数y f x 导数不存在的点,一定不是函数y f x 的极值点.(C) 若函数y f x 在0x 处取得极值,且0f x 存在,则必有0fx =0.(D) 若函数yf x 在0x 处连续,则0fx 一定存在.7.设函数y f x 的一个原函数为12xx e ,则f x =().(A) 121x x e (B)12xx e (C)121xx e (D) 12xxe8.若f x dx F x c ,则sin cos xf x dx ( ).(A)sin F xc(B)sin F xc (C) cos F xc(D)cos F x c9.设F x 为连续函数,则102x fdx =().(A)10f f (B)21f f (C)220f f (D) 1202ff 10.定积分badx a b 在几何上的表示().(A) 线段长b a (B) 线段长a b (C) 矩形面积1a b (D) 矩形面积1b a 二.填空题(每题4分,共20分)1.设2ln 101cos 0xx f xxax, 在0x 连续,则a =________.2.设2sin y x , 则dy _________________sin d x .3.函数211x yx的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分ln x xdx ______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x___________.三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:①10lim 12xx x ②arctan 2lim 1xx x2.求由方程1yyxe 所确定的隐函数的导数x y .3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx②220dx a xa③2xx e dx四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313yx x 的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线:22,yx y x 所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题:CDCDB CADDD 二填空题: 1.-22.2sinx3.34.2211ln 24x x x c5.2三.计算题:1. ①2e②12.2yxey y 3.①3sec 3x c②22lnxaxc③222xxx ec四.应用题:1.略2.13S《高数》试卷3(上)一、填空题(每小题3分, 共24分)1.函数219y x的定义域为________________________.2.设函数sin 4,0,0xx f xxa x , 则当a=_________时, f x 在0x 处连续.3. 函数221()32x f x xx的无穷型间断点为________________.4.设()f x 可导, ()xyf e , 则____________.y5. 221lim_________________.25xx xx6.321421sin 1x x dx xx=______________.7.20_______________________.x td e dtdx 8. 30yyy是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1.01limsin xx ex;2. 233lim9x x x; 3.1lim 1.2xxx三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分) 1. 2x yx , 求(0)y . 2. cos xy e, 求dy .3. 设x yxye, 求dy dx.四、求下列积分(每小题5分, 共15分)1.12sin x dx x.2.ln(1)x x dx .3.120xe dx五、(8分)求曲线1cos x t yt在2t处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x直线0,0y x 和1x 所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程6130y yy的通解.八、(7分)求微分方程xy ye x满足初始条件10y 的特解.《高数》试卷3参考答案一.1.3x2.4a 3.2x 4.'()xxe f e 5.126.07.22x xe8.二阶二.1.原式=0lim1x x x2.311lim 36x x3.原式=112221lim[(1)]2xx e x三.1.221','(0)(2)2y y x2.cos sin xdyxe dx3.两边对x 求写:'(1')x yyxy ey 'x yx yey xy y y xexxy四.1.原式=lim2cos x x C2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x xx d x x d x x =22111lim(1)lim(1)(1)221221x xxx dxx x dxx x=221lim(1)[lim(1)]222xx x x x C3.原式=12212111(2)(1)222xx e d x ee五.sin 1,122dy dy ttt ydxdx且.切线:1,1022y x y x 即法线:1(),1022y x yx 即六.1221013(1)()22Sxdxx x 1122425210(1)(21)228()5315Vx dx x xdxxxx 七.特征方程:231261332(cos2sin 2)xrr riyeC x C x 八.11()dxdxxxx ye e e dxC 1[(1)]xx e C x由10,yxC1xx yex《高数》试卷4(上)一、选择题(每小题3分)1、函数2)1ln(x x y 的定义域是(). A 1,2 B1,2 C 1,2 D1,22、极限xxe lim 的值是().A 、B 、C 、D 、不存在3、211)1sin(limxx x(). A 、1B 、C 、21D 、214、曲线23xxy 在点)0,1(处的切线方程是()A 、)1(2x y B 、)1(4x y C 、14xyD 、)1(3x y 5、下列各微分式正确的是().A 、)(2x d xdx B 、)2(sin 2cos x d xdxC 、)5(x d dx D 、22)()(dx x d 6、设C x dxx f 2cos2)(,则)(x f ().A 、2sin xB 、2sinxC 、Cx2sinD 、2sin2x 7、dx xx ln 2(). A 、C x x 22ln 212B 、Cx 2)ln 2(21C 、Cxln 2ln D 、Cxx 2ln 18、曲线2xy,1x ,0y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积V().A 、104dx x B 、1ydy C 、10)1(dyy D 、14)1(dxx 9、11dx eexx().A 、21lne B 、22lne C 、31lne D 、221lne 10、微分方程xey yy22的一个特解为().A 、xe y273B 、xey73C 、xxey272D 、xey272二、填空题(每小题4分)1、设函数xxe y ,则y;2、如果322sin 3lim 0xmx x , 则m.3、113cos xdxx ;4、微分方程044yyy 的通解是. 5、函数x x x f 2)(在区间4,0上的最大值是,最小值是;三、计算题(每小题5分)1、求极限xxx x11lim;2、求x xysin ln cot 212的导数;3、求函数1133xx y的微分;4、求不定积分11xdx ;5、求定积分eedx x 1ln ;6、解方程21xy x dxdy ;四、应用题(每小题10分)1、求抛物线2xy与22x y 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数323xxy 的图象.参考答案一、1、C ;2、D ;3、C ;4、B ;5、C ;6、B ;7、B ;8、A ;9、A ;10、D ;二、1、xe x )2(;2、94;3、;4、xex C C y221)(;5、8,0三、1、1;2、x 3cot ;3、dxxx 232)1(6;4、C x x )11ln(212;5、)12(2e;6、Cxy2212;四、1、38;2、图略《高数》试卷5(上)一、选择题(每小题3分)1、函数)1lg(12xxy 的定义域是().A 、,01,2B 、),0(0,1C 、),0()0,1(D 、),1(2、下列各式中,极限存在的是().A 、x x c o s lim 0B 、x xarctan lim C 、x xsin lim D 、xx2lim 3、xxxx )1(lim ().A 、eB 、2eC 、1D 、e14、曲线x x y ln 的平行于直线01y x 的切线方程是().A 、xyB 、)1)(1(ln x x yC 、1x yD 、)1(xy 5、已知x x y 3sin ,则dy ().A 、dx x x )3sin 33cos (B 、dx x x x )3cos 33(sinC 、dxx x)3sin 3(cos D 、dxx x x)3cos 3(sin 6、下列等式成立的是().A 、Cxdx x 111B 、Cx a dxa xxln C 、C x xdxsin cos D 、Cxxdx 211tan7、计算xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是(). A 、C e x sin B 、Cx e x cos sin C 、C xe x sin sin D 、C x e x )1(sin sin 8、曲线2x y,1x ,0y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积V (). A 、104dx x B 、10ydyC 、10)1(dyy D 、104)1(dx x 9、设a ﹥0,则dx x a a022(). A 、2a B 、22a C 、241a 0 D 、241a 10、方程()是一阶线性微分方程. A 、0ln 2x y yx B 、0y e y x C 、0sin )1(2y y y x D 、0)6(2dy x y dxy x 二、填空题(每小题4分)1、设0,0,1)(x b ax x e x f x ,则有)(lim 0x f x ,)(lim 0x f x ;2、设x xe y ,则y;3、函数)1ln()(2x x f 在区间2,1的最大值是,最小值是;4、113cos xdxx ;5、微分方程023y y y 的通解是 .三、计算题(每小题5分)1、求极限)2311(lim 21x x x x ;2、求x x y arccos 12的导数;3、求函数21x xy 的微分;4、求不定积分dx x x ln 21;5、求定积分eedx x 1ln ;6、求方程y xy y x 2满足初始条件4)21(y 的特解.四、应用题(每小题10分)1、求由曲线22x y 和直线0y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数49623x x x y 的图象.参考答案(B卷)一、1、B ;2、A ;3、D ;4、C ;5、B ;6、C ;7、D ;8、A ;9、D ;10、B. 二、1、2,b ;2、x e x )2(;3、5ln ,0;4、0;5、x x e C e C 221. 三、1、31;2、1arccos 12x x x;3、dxx x 221)1(1;4、C x ln 22;5、)12(2e ;6、x e x y 122;四、1、29;2、图略。
高数试题1(上)及答案一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分).1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ).(A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()g x =(C )()f x x = 和 ()2g x =(D )()||x f x x=和 ()g x =1 2.函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续,则a =( ).(A )0 (B )14(C )1 (D )23.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ).(A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ).(A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微5.点0x =是函数4y x =的( ).(A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点6.曲线1||y x =的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是( ). (A )1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(B )1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(C )1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(D )1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8.x x dxe e -+⎰的结果是( ).(A )arctan xe C + (B )arctan xeC -+ (C )x x e e C --+ (D )ln()x x e e C -++9.下列定积分为零的是( ).(A )424arctan 1x dx x ππ-+⎰ (B )44arcsin x x dx ππ-⎰ (C )112x xe e dx --+⎰ (D )()121sin x x x dx -+⎰ 10.设()f x 为连续函数,则()12f x dx '⎰等于( ).(A )()()20f f - (B )()()11102f f -⎡⎤⎣⎦(C )()()1202f f -⎡⎤⎣⎦(D )()()10f f -二.填空题(每题4分,共20分)1.设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则a =.2.已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π,则()2f '=.3.21xy x =-的垂直渐近线有条. 4.()21ln dxx x =+⎰.5.()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三.计算(每小题5分,共30分) 1.求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim x x x x x e →-- 2.求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3.求不定积分 ①()()13dx x x ++⎰②()0a > ③x xe dx -⎰四.应用题(每题10分,共20分) 1. 作出函数323y x x =-的图像.2.求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一.选择题1.B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7.D 8.A 9.A 10.C 二.填空题1.2-2.33-3.24.arctan ln x c+5.2三.计算题1①2e②162.11xyx y'=+-3. ①11ln||23xCx+++②22ln||x a x C-++③()1xe x C--++四.应用题1.略2.18S=《高数》试卷2(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩,则()1lim x f x →=( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导,且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121xx e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰②)0a > ③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线:22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题:CDCDB CADDD二填空题:1.-2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π 三.计算题:1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc + ②()22ln x a x c +++ ③()222x x x e c -++四.应用题:1.略 2.13S =《高数》试卷3(上)一、 填空题(每小题3分, 共24分)1. 函数219y x=-的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin xx e x →-; 2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120xedx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解.八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一.1.3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写:'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且 切线:1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线:1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4(上)一、选择题(每小题3分) 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是( ).A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是( ).A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x ( ).A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是( ) A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是( ).A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ,则 =)(x f ( ).A 、2sinxB 、 2sin x -C 、 C x +2sinD 、2sin 2x -7、⎰=+dx xx ln 2( ).A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C x x++-2ln 18、曲线2x y = ,1=x ,0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V ( ). A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx( ). A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为( ).A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题(每小题4分)1、设函数xxe y =,则 =''y ; 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ;4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ,最小值是 ;三、计算题(每小题5分) 1、求极限 x x x x --+→11lim 0; 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数;3、求函数 1133+-=x x y 的微分; 4、求不定积分⎰++11x dx ;5、求定积分⎰eedx x 1ln ; 6、解方程21xy xdx dy -=;四、应用题(每小题10分)1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ; 2、D ; 3、C ; 4、B ; 5、C ; 6、B ; 7、B ; 8、A ; 9、A ; 10、D ;二、1、xe x )2(+; 2、94 ; 3、0 ; 4、xe x C C y 221)(-+= ; 5、8,0三、1、 1; 2、x 3cot - ; 3、dx x x 232)1(6+ ;4、C x x +++-+)11ln(212;5、)12(2e- ; 6、C x y =-+2212 ; 四、1、38; 2、图略《高数》试卷5(上)一、选择题(每小题3分) 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是( ).A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中,极限存在的是( ).A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim ( ). A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是( ). A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ,则=dy ( ).A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是( ).A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a xx ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是( ).A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ,1=x ,0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V ( ). A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0,则=-⎰dx x a a22( ).A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π 10、方程( )是一阶线性微分方程.A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题(每小题4分)1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ,则有=-→)(lim 0x f x ,=+→)(lim 0x f x ;2、设 xxe y = ,则 =''y ;3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ,最小值是 ;4、=⎰-113cos xdx x;5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题(每小题5分) 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ;2、求 x x y arccos 12-= 的导数;3、求函数21xx y -=的微分;4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ;5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ;6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题(每小题10分)1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案(B 卷)一、1、B ; 2、A ; 3、D ; 4、C ; 5、B ; 6、C ; 7、D ; 8、A ; 9、D ; 10、B.二、1、 2 ,b ; 2、xe x )2(+ ; 3、 5ln ,0 ; 4、0 ; 5、xxeC e C 221+.三、1、31 ; 2、1arccos 12---x x x ; 3、dx xx 221)1(1-- ; 4、C x ++ln 22 ; 5、)12(2e- ; 6、x e x y 122-= ;四、1、 29; 2、图略《高等数学》试卷1(下)一.选择题(3分⨯10)1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ).A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2,则有( ).A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是( ).A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是( ).A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是( ). A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =,则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz=( ).A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛,则( ). A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为( ).A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是( ).A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y = 二.填空题(4分⨯5)1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ,则=∂∂∂yx z 2_____________________________.4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题(5分⨯6)1.设v e z usin =,而y x v xy u +==,,求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定,求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径).5.求微分方程xe y y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题(10分⨯2)1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍,且曲线过点⎪⎭⎫⎝⎛31,1,求此曲线方程 .《高数》试卷2(下)一.选择题(3分⨯10)1.点()1,3,41M ,()2,1,72M 的距离=21M M ( ). A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ,则两平面的夹角为( ). A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为( ).A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为( ). A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为( ). A.0 B.1 C.1- D.216.设223y xy x z ++=,则()=∂∂2,1xz ( ).A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的,则( ).A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为( ).A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是( ). A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.cxe y = B.xce y = C.xe y = D.xcxe y = 二.填空题(4分⨯5)1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行,则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________. 3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________. 4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题(5分⨯6)1.设k j b k j i a32,2+=-+=,求.b a ⨯2.设22uv v u z -=,而y x v y x u sin ,cos ==,求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定,求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图,求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+(0>a )所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题(10分⨯2) 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图,以初速度0v 将质点铅直上抛,不计阻力,求质点的运动规律().t x x =(提示:g dt x d -=22.当0=t 时,有0x x =,0v dtdx=)《高等数学》试卷3(下)一、选择题(本题共10小题,每题3分,共30分) 1、二阶行列式 2 -3 的值为( )4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ,则a 与b 的向量积为( ) A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P (-1、-2、1)到平面x+2y-2z-5=0的距离为( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点(1,4π)处的两个偏导数分别为( ) A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ,则yzx z ∂∂∂∂,分别为( ) A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点,半径为R ,面密度为22y x +=μ的薄板的质量为( )(面积A=2R π)A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 2217、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为( )A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为( )A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是( ) A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为( ) A 、-2,-1 B 、2,1 C 、-2,1 D 、1,-2 二、填空题(本题共5小题,每题4分,共20分) 1、直线L 1:x=y=z 与直线L 2:的夹角为z y x =-+=-1321___________。
《高等数学(一)》期末考试试卷(A 卷)适用班级:一、填空题(每空2分,共20分)函数211x y x -=-的连续区间是 ,1x =是 间断点.设()f x 在(),-∞+∞上连续,且()13f =,则()01lim ln 1x f x x →⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦.函数1xy e =当x → 时为无穷大量,当x → 时为无穷小量. 若()12f '=,则极限()()11limh f h f h→--= .5.函数22ln y x x =-的极小值为 .若()()f x dx F x C =+⎰,则()sin cos f d θθθ=⎰.已知()f x 的一个原函数是ln x ,则()=f x .= .二、单项选择题(每小题3分,共30分) 1.下列函数对中不为同一个函数的是( ).A.x x x f ⋅=)(,3)(x x g =B.x e x f ln )(=,x x g =)(C.()0()1f x x =-,22()sin cos g x x x =+ D. x x f ln 3)(=,3ln )(x x g = 2.下列等式正确的是 ( ) A. sin lim1x x x →∞= B. 0sin lim 1x xx→=C. 01lim sin 1x x x →=D. 1lim sin 0x x x→∞=3. 下列叙述正确的是( )A. 若函数()y f x =在点x 处可导,则函数()y f x =在点x 处必连续.B. 若函数()y f x =在点x 处连续,则函数()y f x =在点x 处必可导.C. 若函数()y f x =在点x 处不可导,则函数()y f x =在点x 处不连续.D. 若曲线()y f x =在点x 处有切线,则函数()y f x =在点x 处必可导. 4. 当0x →时,无穷小量2sin x x -是x 的( ) A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶无穷小但不是等价无穷小 D. 等价无穷小 5. 0x =是sgn x 的( ).A. 连续点B. 可去间断点C. 无穷间断点D. 跳跃间断点 6.下列等式成立的是( )A. d=B. ()()cos cos d d cos x x e e x =C. ()22d d ln 11xx x ⎡⎤-=⎣⎦- D. ()d +1d x x x = 7.下列结论正确的是( )A. 驻点一定是极值点B. 极大值一定大于极小值C. 可导函数的极值点一定是驻点D. 二阶导数等于零的点一定不是极值点8. d x e x -=⎰( )A. x e -B. x e C -+C. x e --D. x e C --+9. ln d 2xx =⎰( )A. ln 2x x x C -+B. ln 42xx x C -+C. ln 22x x x C -+D. ln 2xx x C ++10. 已知()()F x f x '=,则下列等式正确的是( ) A.()()d f x dx f x dx dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ B. ()()d F x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰C. ()()f x dx F x C '=+⎰D. ()()f x dx F x C =+⎰三、解答题(每小题7分,共42分) 1.计算011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 2. 计算()()2ln 1lim ln 1x x x →+∞++3. 设)4ln(2x x y -+=,求d y .4. 计算34cos d sin x x x⎰.5.计算x . 6. 计算3d x xe x ⎰.四、讨论题(8分)求()213sin cos ,00,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数()f x '.。
贵州大学高等数学试卷及答案第一部分:选择题1. 在直角坐标系中,直线y = 2x + 1与x轴交于点A,与y轴交于点B。
则点A和点B的坐标分别是()。
A. (0,1)B. (1,0)C. (-1,0)D. (0,-1)2. 设函数f(x) = x^2 - 2x - 3,则f(-1)的值为()。
A. -4B. -2C. 0D. 23. 函数f(x) = |x - 2|的图像关于直线x = a对称,则实数a的值为()。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知实数a = -2 + √3,则a的倒数为()。
A. -√3/2 + 1/2B. √3/2 + 1/2C. -√3/2 - 1/2D. √3/2 - 1/25. 若x*y = 3x - y,则3*2的值等于()。
A. 1B. 2C. 3D. 6第二部分:填空题6. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c,其中a ≠ 0,若f(1) = 2, f(-1) = 6, f(2) = 1,则函数f(x)的解析式为 ______________。
7. 设实数a为圆心在点(1,2)、半径为3的圆上一点的横坐标,实数b为圆心在点(1,2)、半径为3的圆上一点的纵坐标,则直线y = ax + b 与圆x^2 + y^2 - 2x - 4y + 7 = 0有 __________ 个公共点。
8. 将曲线y = x^3 - 2x + 1绕y轴旋转一周,所得的旋转体的体积为__________。
第三部分:解答题9. 求函数y = |x - 2| - |x + 1|的图像。
解:首先,我们将y代入到函数中,并对x的取值范围进行分段讨论,得到以下结果:当x ≤ -1时,y = |x - 2| - |x + 1| = -(x - 2) - (x + 1) = -2x + 1当-1 < x ≤ 2时,y = |x - 2| - |x + 1| = -(x - 2) - (x + 1) = -2当x > 2时,y = |x - 2| - |x + 1| = (x - 2) - (x + 1) = -3因此,将以上结果汇总,得到函数y = |x - 2| - |x + 1|的图像如下:(插入函数图像)10. 计算曲线y = x^3 - 3x的弧长,其中x的取值范围为[0, 2]。
范文范例参考《高数》试卷1(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题 3 分,共 30 分).1.下列各组函数中,是相同的函数的是().(A )f x ln x2和 g x2ln x( B)(C )f x x 和g x2x(D )f x| x | 和g x x2f x| x |g x1和xsin x 4 2x02.函数f x ln 1x在 x 0 处连续,则a() .a x0(A )0( B)1(D)2(C)143.曲线y x ln x 的平行于直线 x y 1 0 的切线方程为() .(A )y x 1( B)y( x 1)(C )y ln x 1x 1(D)y x 4.设函数f x| x |,则函数在点x0 处() .(A )连续且可导( B)连续且可微( C )连续不可导( D)不连续不可微5.点x0 是函数y x4的().(A )驻点但非极值点(B)拐点(C)驻点且是拐点(D)驻点且是极值点6.曲线y1) .的渐近线情况是(| x |(A )只有水平渐近线( B)只有垂直渐近线( C )既有水平渐近线又有垂直渐近线(D )既无水平渐近线又无垂直渐近线7.f11). x x2dx 的结果是((A )1C1C1C (D) f1f( B)f( C )f C x x x x8.dxxe e x的结果是().(A )arctane xC()arctan exC(C)xexC(D)xex)CB e ln( e9.下列定积分为零的是() .(A )4arctanx dx(B)4x arcsin x dx (C) 1e x e x1x2x sin x dx 1x212dx (D)44110 .设f x为连续函数,则1f 2x dx 等于() . 0(A )f 2f0(B)1f 11 f 0 (C)1f 2 f 0 (D) f 1 f 0 22二.填空题(每题 4 分,共 20 分)f x e 2x1x0在 x 0处连续,则 a1.设函数x.a x02.已知曲线 y f x在 x 2 处的切线的倾斜角为5,则 f2. 6x3. y的垂直渐近线有条.x 2 14.dx. x 1ln2 x5.2x4 sin x cosx dx.2WORD 格式整理范文范例参考三.计算(每小题 5 分,共 30分)1.求极限12 xx sin x① lim x② limx x e x2x x 012.求曲线y ln x y 所确定的隐函数的导数y x.3.求不定积分①dx②dx a0③ xe x dxx1x 3x2a2四.应用题(每题10 分,共 20 分)1.作出函数y x33x2的图像.2.求曲线y22x 和直线 y x 4 所围图形的面积.WORD 格式整理范文范例参考《高数》试卷 1 参考答案一.选择题1.B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7. D 8.A 9.A 10. C二.填空题1. 22 .3 24. arctanln x c5.23.3三.计算题1① e 2② 12. y x16 xy 13. ① 1 ln |x 1| C ② ln | x 2a 2x | C③ e x x 1 C2x 3四.应用题1.略2.S 18《高数》试卷2(上)一. 选择题 ( 将答案代号填入括号内 ,每题 3 分,共 30 分 )1.下列各组函数中 ,是相同函数的是 ().(A)f xx 和 g xx 2(B)f xx 2 1 和 y x 1x 1(C)f xx 和 g xx(sin 2 x cos 2 x)(D)f xln x 2 和 g x2ln xsin 2 x 1x1 x12.设函数 fx2x 1,则 limf x().x 2x11x1(A) 0(B)1(C)2(D) 不存在3.设函数 y f x 在点 x 0 处可导,且 fx >0, 曲线则 yf x 在点 x 0 , f x 0处的切线的倾斜角为 {}.(A)0 (B)2(C)锐角(D)钝角4.曲线 y ln x 上某点的切线平行于直线 y 2x 3 ,则该点坐标是 ().(A)2,ln1(B)2, ln1(C)1,ln 2(D)1 , ln 222225.函数y x2e x及图象在1,2 内是().(A) 单调减少且是凸的(B)单调增加且是凸的(C) 单调减少且是凹的(D) 单调增加且是凹的6.以下结论正确的是 ().(A)若 x0为函数y f x的驻点 ,则x0必为函数y f x的极值点 .(B)函数 y f x 导数不存在的点,一定不是函数 y f x的极值点 .(C)若函数 y f x在 x0处取得极值,且f x0存在,则必有 f x0=0.(D)若函数 y f x在 x0处连续,则f x0一定存在 .WORD 格式整理范文范例参考17.设函数 y f x的一个原函数为x2e x,则f x=().1111(A) 2 x 1 e x(B)2x e x(C)2x 1 e x(D)2xe x8.若 f x dx F x c ,则 sin xf cosx dx().(A) F sin x c(B)F sin x c(C)F cos x c(D)F cos x c9.设 F x1f xdx =().为连续函数 , 则2(A) f1f0(B) 2f1f0(C)2 f 2f0 (D) 2 f1f0210. 定积分ba b 在几何上的表示(). dxa(A) 线段长b a(B)线段长 a b (C)矩形面积a b 1 (D)矩形面积b a1二.填空题 (每题 4 分,共 20 分)ln1x2x 0, 在x01.设 f x1cos x连续 ,则a =________.a x02.设 y sin 2x ,则 dy_________________ d sin x .3.函数 yx1的水平和垂直渐近线共有_______条 . x214.不定积分x ln xdx______________________.5.定积分1x2 sin x1___________. 11x2dx三.计算题 (每小题 5 分,共 30分 )1.求下列极限 :① lim12x 1② lim2arctanxx1x 0xx2.求由方程 y1xe y所确定的隐函数的导数y x.3.求下列不定积分 :① tan x sec3xdx②dx a0③x2e x dxx2a2四.应用题 (每题 10 分,共 20 分)1.作出函数 y1x3x 的图象.(要求列出表格)32.计算由两条抛物线:y2x, y x2所围成的图形的面积.WORD 格式整理范文范例参考《高数》试卷 2 参考答案一.选择题: CDCDB CADDD二填空题: 1. -2 2. 2sin x 3.3 4.1x2 ln x1x2c 5.242三. 计算题: 1.2②1 2.y e y① ex y23.① sec3 x c② ln x2a2x c③ x22x 2 e x c3四.应用题: 1.略 2.S 13《高数》试卷3(上)一、填空题 (每小题 3分,共 24分)1.函数 y1的定义域为 ________________________.9x22.设函数 f x sin 4x , x0则当 a =_________时, f x 在 x0处连续 .x,a,x03.函数 f (x)x2x21的无穷型间断点为 ________________. 3x24.设 f ( x) 可导,y f (e x ) ,则 y____________.5.limx21_________________. 2x2x5x6.1x3 sin 2 x dx =______________.1 x4x217.d x2e t dt_______________________.dx 08.y y y30 是_______阶微分方程.二、求下列极限 ( 每小题 5 分,共15分)xx 1x311.lim e;2.lim;3.lim12.x 0sin x x 3x9x2x 三、求下列导数或微分 (每小题 5分, 共15分)1.yx x,求 y (0) . 2.y e cos x ,求 dy . 2求dy.3.设 xy e x y ,dx四、求下列积分(每小题 5分, 共15分)1.12sin x dx . 2.x ln(1x)dx . x3.1e2x dx五、 (8 分 )求曲线xtcost在 t处的切线与法线方程 . y12WORD 格式整理范文范例参考六、 (8 分 )求由曲线 yx 21, 直线 y 0, x 0 和 x 1所围成的平面图形的面积 , 以及此图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积 .七、 (8 分 )求微分方程 y 6 y13 y 0 的通解 .八、 (7 分 )求微分方程 yy e x 满足初始条件 y 10的特解.x《高数》试卷 3 参考答案一. 1. x 32. a 43. x 24. e x f '(e x )5.16.07. 2 xe x 28. 二阶2二 .1.原式 = lim x1x 0x2. lim11 x 3 x3 63.原式 = lim[(11 11)2 x ] 2 e 2x2x三 .1.2.y'212)2, y '(0)(x2dysin xe cos x dx3.两边对 x 求写: yxy ' e x y (1 y ')e x yyxy yy 'e x yx xyx四.1.原式 = lim x2cos x Cx2212.原式 = lim(1)xx)2x)]x)d (lim(1 2x d [lim(12x= x22lim(1 x)1 1 x dx x lim(1 x) 1 ( x 11 ) dx22 x 2 21 x=x22lim(1 x) 1 [ xx lim(1 x)]C22 23.原式 =11 2 x2 x 1 1 20 e d (2 x) 1 e 0( e 1)222五.dysin tdy t1 且 t2 , y 1dxdx2切线: y1 x,即 y x 122法线: y1( x),即 y x 122六. S11 21320 ( x1)dx ( xx) 022V11)2dx12x21)dx(x2( x4( x 52 x 2 x) 10 285 315七.特征方程 : r 2 6r 13 0r 3 2iye 3 x (C 1 cos2 x C 2 sin 2 x)11dxxdx八. y e xdx C )( e e x1 xC ][ (x 1e)x由 y x 1 0,C0y x 1 e xx《高数》试卷4(上)WORD 格式整理范文范例参考一、选择题(每小题 3 分)1、函数 y ln(1 x) x 2 的定义域是() . A2,1B2,1C 2,1D2,12、极限 lim e x的值是() .xA 、B 、C 、D 、 不存在3、 limsin(x 1) ( ) .x 1 1 x 2 1 1A 、 1B 、 0C 、2D 、24、曲线 y x 3x 2 在点 (1,0) 处的切线方程是()A 、 y2( x1)B 、 y 4( x 1)C 、 y 4x 1D 、 y 3( x 1)5、下列各微分式正确的是( ) .A 、 xdx d (x 2 )B 、 cos 2xdx d(sin 2x)C 、 dx d (5 x)D 、 d (x 2 ) (dx) 26、设f (x)dx2 cosxC ,则f ( x) () .2A 、 sin xB 、22 ln x ) .7、dx (xxxxsinC 、 sinC D 、 2 sin222A 、2 1ln 2x CB 、 1( 2 ln x) 2Cx 2 22C 、 ln 2 ln xC1 ln xCD 、x 28、曲线 y x 2 , x 1 , y0 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积 V() .1 x 4dx1ydyA 、B 、1(1y) dy1(1 x 4)dxC 、D 、1e xdx9、e x() .11 e2 e1 e1 2eA 、 ln2B 、 lnC 、 lnD 、 ln23210 、微分方程 yy y2e 2 x 的一个特解为() .A 、 y3 e 2x B 、 y3 e x C 、 y2 xe 2 x D 、 y2 e 2 x7777二、填空题(每小题4 分)1、设函数 y xe x ,则 y;2 、如果 lim3sin mx2 , 则 m .x 0 2x313cos xdx3、 x;14、微分方程 y 4 y 4 y0 的通解是.5、函数 f ( x) x 2 x在区间0,4上的最大值是,最小值是;三、计算题(每小题 5 分)1、求极限lim 1 x 1 x ; 2 、求y 1cot 2 x ln sin x 的导数;x 0x2 WORD 格式整理范文范例参考x314 、求不定积分dx;3、求函数y的微分;xx3111eln x dx ;dy x5、求定积分6、解方程1;e dx y 1 x2四、应用题(每小题10 分)1、求抛物线y x 2与y 2 x 2所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数y 3x2x3的图象.参考答案一、 1、C;2、D;3、C ;4、B;5、C ;6、B;7、B;8、A ;9、A ;10、D;二、 1、(x2)e x; 2 、4;3、0; 4 、y(C1 C 2 x)e 2 x;5、8,0 9三、1、 1 ; 2 、cot 3 x ; 3 、 6 x2dx ; 4 、2 x 1 2 ln(1x 1) C ;5、2(21) ;6、y2 2 1 x2 C ;( x31) 2e四、1、8;32、图略《高数》试卷5(上)一、选择题(每小题 3 分)1、函数 y2x1的定义域是() . lg( x 1)A 、2,10,B、1,0( 0,)C 、(1,0)(0,)D、( 1,)2、下列各式中,极限存在的是() .A 、x B、lim arctan x C 、lim sin x D 、lim 2x l i mc o sx0x x x3、 lim (x) x() .x 1 xA 、e B、e2 C 、1 D 、1e4、曲线 y x ln x 的平行于直线x y 1 0 的切线方程是() .A 、y x B、y(ln x1)( x1)C 、y x1D、y(x1)5、已知 y xsin 3x,则 dy() .A 、( cos3x3sin 3x)dx B、(sin 3x3x cos3x)dxC 、(cos 3x sin 3x)dxD 、(sin 3x x cos3x)dx6、下列等式成立的是() .WORD 格式整理范文范例参考A 、x dx1x 1 CB 、 a x dx a x ln x C11C 、cosxdxsin x CD 、 tan xdxCx 217、计算e sin x sin xcos xdx 的结果中正确的是() .A 、 e sin x CB 、 e sin x cos x CC 、 e sin x sin x CD 、 e sin x (sin x 1) C8、曲线 yx 2 , x1 , y0 所围成的图形绕 x 轴旋转所得旋转体体积 V().1x 4dx1A 、B 、ydy1 (1 y) dy1 (1 x 4)dxC 、D 、a a 2x 2dx () . 9、设 a ﹥ 0 ,则A 、 a2B 、 a2C 、 1a2D 、 1a 224410 、方程()是一阶线性微分方程 .A 、 x 2ylnyB 、 y e x y 0xC 、 (1x 2 ) yy sin yD 、 xy dx ( y 2 6x)dy 0二、填空题(每小题 4 分)1、设 f ( x)e x 1, x, lim f ( x);,则有 lim f (x)ax b, xx 0 x 02、设 y xe x ,则 y;3、函数 f ( x)ln(1x 2 ) 在区间1,2 的最大值是,最小值是;14、 x 3cos xdx;15、微分方程y 3 y 2 y 0 的通解是.三、计算题(每小题 5 分)1、求极限 lim (11 x23 ) ; x 1x x 22、求y1 x2 arccosx 的导数;3、求函数 yx 的微分;1 x 24、求不定积分1dx ;x 2ln x5、求定积分eln x dx ;1e6、求方程x2y xy y 满足初始条件y( 1 ) 4 的特解.2WORD 格式整理范文范例参考四、应用题(每小题10 分)1、求由曲线y 2 x2和直线x y 0 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数y x 36x 29x 4的图象.参考答案( B 卷)一、 1、B;2、A;3、D;4、C ;5、B;6、C ;7、 D;8、 A;9、D;10、B.二、 1、 2 , b ; 2 、( x2)e x; 3 、ln 5 , 0 ;4、 0 ;5、C1e x C 2 e2x.三、1、1; 2 、arccos1; 3 、1dx;x x3 1 x2(1 x2 ) 1 x 24、2 2 ln x C ;1);2215、2(2 6 、y e x;e x四、 1、92、图略;2WORD 格式整理。
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷(1)课程名称:高等数学(上)考试方式:闭卷完成时限:120分钟班级:学号:姓名:得分:一、填空(每小题3分,满分15分)1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A,则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导,且 f(x)。
0,f(0) = 1,f(1) = e,f(2) = e,∫f(2x)dx = 1/2ex,则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x),则 f'(0) = 1二、单项选择(每小题3分,满分15分)1.函数 f(x) = x*sinx,则 B 选项为正确答案,即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 },则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在,答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e)),答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项,即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导,且 f(x) < g(x),则必有 B 选项成立,即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题(每小题7分,共56分)1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定,即 y = 3 - x,因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1],因此 f'(x)。
一、填空题(每小题2分,共20分)1. 0,2.21,3. t −,4. 4,5. )41 0(]41 0[,或,,6. (0, 2), 6. C x x ++arctan 3)1(分给缺C ,8. 0,9. 34−,10. 23.二、试解下列各题(每小题6分,共24分)1. xx x x x x 4sin 3553lim 22++=∞→原式 2分 444sin 3553lim20⋅⋅++=→xx x x x 4分 5124153=⋅⋅=6分 2. )1(sin )]1sin(sin ['⋅−='xx y 2分)1(1cos )]1sin(sin ['⋅−=xx x 3分x x x 1cos )1sin(sin 12=4分dx x x x dx y dy 1cos )1sin(sin 12='= 6分3. x x x d )111(22+−=⎰原式 1分 dx x dx x dx x ⎰⎰⎰+−++=21)1111(21 3分 .111ln 21C xx x +−−+= 6分 dx xx⎰+=422cos 2cos 1 4.π原式 2分⎰+=42)1(sec 21πdx x 3分40)(tan 21πx x += 5分 821π+= 6分三、试解下列各题(每小题7分,共28分)42021lim 1.x e x x x −→−−=原式 2分30422lim 2x xe x x x −→+−= 4分 22012422lim 22x e x e x x x −−→−+−= 5分x e x xe x x x 24812lim 2230−−→+−= 6分21−= 7分)(02/1 4422x x x e x ++−=−或用泰勒公式3分, 答案2分2. )(x df x ⎰=原式 1分dx x f x xf ⎰−=)()( 3分C xxx x x +−'=ln )ln ( 5分 C xx+−=ln 21 7分 分给求出注:2 ln 1)ln ()( xxx x x f −='= 1 2 1 0 1 3.==−====−t x t x dt dx t x 时,,时,且,则,令 1分 dt t f ⎰−=11 )(原式 2分dt tdt e t ⎰⎰+++=−1 0 01 11 114分 1001)1ln()]1ln([t e t t +++−=− 6分)1ln(e += 7分⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=−−1 111 1)1(1x e x x x f x ,,或 2分 dx xdx e x ⎰⎰−+=2 1 10 1111+原式 4分下面同上}2 1 2{ }1 1 1{ 4.21−=−=,,,,,两平面的法向量为n n 1分所求直线的方向向量2111−−=kj s 2分}3 4 1{,,= 4分334112−=+=−z y x 对称式方程为6分 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+−=+= 3341 2t z t y t x 参数方程为 7分四、应用题(每小题7,共21分)分 其体积为 则圆柱体的底面半径,设内接圆柱体的高为3 20)4()2( 1.2222R h h R h V hR r h <<−=−=π分4 )43(22h R V −='πR h V 3320=='得:唯一驻点 令 5分 023<−=''h V π又,圆柱体体积最大时故当,332R h = 7分dx x x dx x x V ⎰⎰−+−=2422422)cos (sin )sin (cos 2.πππππ3分dx x dx x ⎰⎰−=2442cos 2cos πππππ4分2442sin 22sin 2πππππxx−=5分π= 7分)1(3d 3.12 C x x y y +=''='⎰1分232632−==−x y y x 得又由 2分 得 代入)1(32)2,0(='∴−y 3分 '=+y x 332 4分23232d )323(C x x x x y ++=+=∴⎰5分.2322)2,0(31−+=∴−=−x x y C ,代入得再将 7分。
《高数》试卷1(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分).1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ).(A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()g x =(C )()f x x = 和 ()2g x =(D )()||x f x x=和 ()g x =1 2.函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续,则a =( ).(A )0 (B )14(C )1 (D )23.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ).(A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ).(A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微5.点0x =是函数4y x =的( ).(A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点6.曲线1||y x =的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是( ). (A )1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(B )1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(C )1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(D )1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8.x x dxe e -+⎰的结果是( ).(A )arctan xe C + (B )arctan xe C -+ (C )x x e e C --+ (D )ln()x x e e C -++9.下列定积分为零的是( ).(A )424arctan 1x dx x ππ-+⎰ (B )44arcsin x x dx ππ-⎰ (C )112x xe e dx --+⎰ (D )()121sin x x x dx -+⎰ 10.设()f x 为连续函数,则()12f x dx '⎰等于( ).(A )()()20f f - (B )()()11102f f -⎡⎤⎣⎦(C )()()1202f f -⎡⎤⎣⎦(D )()()10f f -二.填空题(每题4分,共20分)1.设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则a =.2.已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π,则()2f '=.3.21xy x =-的垂直渐近线有条. 4.()21ln dxx x =+⎰.5.()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三.计算(每小题5分,共30分) 1.求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2.求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3.求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四.应用题(每题10分,共20分) 1. 作出函数323y x x =-的图像.2.求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一.选择题1.B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7.D 8.A 9.A 10.C 二.填空题 1.2- 2.- 3. 2 4.arctanln x c + 5.2 三.计算题 1①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ①11ln ||23x C x +++②ln ||x C + ③()1x e x C --++四.应用题1.略 2.18S =《高数》试卷2(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩,则()1lim x f x →=( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导,且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }.(A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ). (A) ()121x x e - (B)12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '.3.求下列不定积分: ①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线:22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题:CDCDB CADDD二填空题:1.-2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题:1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题:1.略 2.13S =《高数》试卷3(上)一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x td e dt dx -=⎰8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin xx e x →-; 2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2. ln(1)x x dx +⎰.3.120xedx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一.1.3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写:'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==--四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且 切线:1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线:1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y e e edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4(上)一、选择题(每小题3分) 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是( ).A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是( ).A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x ( ).A 、1B 、 0C 、 21-D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是( ) A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是( ).A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx =C 、)5(x d dx --=D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ,则 =)(x f ( ). A 、2sin x B 、 2sin x- C 、 C x +2sin D 、2sin 2x -7、⎰=+dx xx ln 2( ).A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 8、曲线2x y = ,1=x ,0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V ( ). A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx( ). A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为( ).A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题(每小题4分)1、设函数xxe y =,则 =''y ; 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x;4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ,最小值是 ;三、计算题(每小题5分) 1、求极限 x x x x --+→11lim; 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数;3、求函数 1133+-=x x y 的微分;4、求不定积分⎰++11x dx;5、求定积分⎰eedx x 1ln ; 6、解方程21xy xdx dy -=;四、应用题(每小题10分)1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ; 2、D ; 3、C ; 4、B ; 5、C ; 6、B ; 7、B ; 8、A ; 9、A ; 10、D ;二、1、xe x )2(+; 2、94 ; 3、0 ; 4、xe x C C y 221)(-+= ; 5、8,0三、1、 1; 2、x 3cot - ; 3、dx x x 232)1(6+ ; 4、C x x +++-+)11ln(212; 5、)12(2e - ; 6、C x y =-+2212 ; 四、1、38; 2、图略《高数》试卷5(上)一、选择题(每小题3分) 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是( ).A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中,极限存在的是( ).A 、 x x cos lim 0→B 、x x arctan lim ∞→C 、x x sin lim ∞→D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim ( ). A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是( ). A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ,则=dy ( ).A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是( ).A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是( ).A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ,1=x ,0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V ( ). A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0,则=-⎰dx x a a22( ).A 、2a B 、22a πC 、241a 0D 、241a π 10、方程( )是一阶线性微分方程. A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题(每小题4分)1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ,则有=-→)(lim 0x f x ,=+→)(lim 0x f x ;2、设 xxe y = ,则 =''y ;3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ,最小值是 ;4、=⎰-113cos xdx x;5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题(每小题5分) 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ;2、求 x x y arccos 12-= 的导数;3、求函数21xx y -=的微分;4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ;5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ;6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题(每小题10分)1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案(B 卷)一、1、B ; 2、A ; 3、D ; 4、C ; 5、B ; 6、C ; 7、D ; 8、A ; 9、D ; 10、B.二、1、 2 ,b ; 2、xe x )2(+ ; 3、 5ln ,0 ; 4、0 ; 5、xxeC e C 221+.三、1、31 ; 2、1arccos 12---x xx ; 3、dx x x 221)1(1-- ;4、C x ++ln 22 ;5、)12(2e- ; 6、x e x y 122-= ;四、1、 29; 2、图略。
《高等数学(Ⅰ)》试卷学院:______ 班级:_____学号:________姓名:________任课教师:_____题类一二三四五总分阅卷人得分一、选择题(每题2分,共16分)1、 下列极限存在的是…………………………………………………………( )(A )(B ) (C ) (D ) xx 21lim ∞→1310lim -→x x x e x 1lim ∞→xx 3lim ∞→2、,,则下列不正确的是…………………………()0)(lim =→x f ax ∞=→)(lim x g ax (A )(B ) ∞=+→)]()([lim x g x f ax ∞=→)]()([lim x g x f ax (C )(D ) 0][lim )()(1=+→x g x f ax 0)](/)(lim[=→x g x f ax 3、则下列正确的是…………………………(),0)(lim >=→A x f ax ,0)(lim <=→B x g ax (A ) f (x )>0, (B ) g(x )<0, (C ) f (x )>g (x ) (D )存在a 的一个空心邻域,使f (x )g (x )<0。
4、已知, 则………………………………………………( ),2lim)(0=→xx f x =→)2x (sin3x 0limf x (A ) 2/3, (B ) 3/2 (C ) 3/4 (D ) 不能确定。
5、若函数在[1,2]上连续,则下列关于函数在此区间上的叙述,不正确的是……( )(A ) 有最大值 (B ) 有界 (C ) 有零点 (D )有最小值6、下列对于函数y =x cos x 的叙述,正确的一个是………………………………………( )(A )有界,且是当x 趋于无穷时的无穷大,(B )有界,但不是当x 趋于无穷时的无穷大,(C ) 无界,且是当x 趋于无穷时的无穷大,(D )无界,但不是当x 趋于无穷时的无穷大。
《高等数学》试卷1(下)一 .选择题( 3 分10)1.点M12,3,1到点 M 2 2,7,4的距离 M1M 2() .A.3B.4C.5D.62.向量a i 2 j k ,b2i j ,则有() .A. a∥bB. a⊥bC. a,b3D. a, b43.函数y2x2y 21的定义域是() .x2y21A.x, y 1 x2y 22B.x, y 1 x 2y22C. x, y 1 x2y 22 D x, y 1 x2y224.两个向量a与b垂直的充要条件是().A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 05.函数z x3y33xy的极小值是() .A.2B.2C.1D.16.设z xsin y ,则z=() . y 1,4A.2B.2C.2D.2 227.若p级数1收敛,则() .n 1 n pA. p 1B. p1C. p1D. p18.幂级数x n的收敛域为() .n 1 nA.1,1B1,1 C.1,1 D.1,1x n9.幂级数在收敛域内的和函数是() .n 021 B.2 C.2 D.1A.1212x x x x10.微分方程 xy y ln y0 的通解为().A.y ce xB. y e xC. y cxe xD. y e cx二 .填空题( 4 分5)1.一平面过点A 0,0,3且垂直于直线AB ,其中点B 2, 1,1,则此平面方程为______________________.2.函数z sin xy的全微分是 ______________________________.3.设z x3 y 23xy3xy 1 ,则 2 z_____________________________.x y1的麦克劳林级数是 ___________________________.4.2x5.微分方程y 4 y 4 y 0 的通解为_________________________________.三 .计算题( 5 分6)1.设z e u sin v ,而 u xy, v x y ,求z , z.x y2.已知隐函数z z x, y由方程 x 2 2 y2z24x2z 5 0 确定,求z ,z .x y3.计算sin x2y 2 d,其中 D:2x 2y242.D4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径).5.求微分方程y 3 y e2 x在 y x 00 条件下的特解.四 .应用题( 10 分2)1.要用铁板做一个体积为 2 m3的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?1 2..曲线y f x 上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2 倍,且曲线过点1,,3求此曲线方程.试卷 1 参考答案一 .选择题 CBCAD ACCBD 二 .填空题 1. 2xy 2 z 6 0.2. cos xy ydx xdy .3. 6x2y 9 y 2 1 .4.1 nxn.n 1n 025. y C 1 C 2 x e 2 x.三 .计算题1.z e xyy sin xycos x y ,z e xy x sin x y cos x y .xy2.z 2 x , z 2 y . xz 1 yz 122sind 6 2.3.d4. 16R 3 .35. y e 3 x e 2x .四 .应用题1.长、宽、高均为 3 2m 时,用料最省 .2. y1 x2 .3《高数》试卷 2(下)一 .选择题( 3 分 10)1.点 M 1 4,3,1 , M 2 7,1,2 的距离 M 1 M 2 ( ) .A. 12B. 13C. 14D. 152.设两平面方程分别为x 2y 2z 1 0和 x y 5 0 ,则两平面的夹角为().A. B. C.3D.6423.函数z arcsin x 2y 2的定义域为() .A.x, y 0 x 2y21B.x, y 0 x 2y21C. x, y 0 x2y 2D. x, y 0 x2y2224.点P1,2,1 到平面x 2 y2z50 的距离为().A.3B.4C.5D.65.函数z2xy3x2 2 y 2的极大值为() .A.0B.1C.11 D. 26.设z x23xy y 2,则z1,2() .xA.6B.7C.8D.97.若几何级数ar n是收敛的,则() .n 0A. r1B. r1C. r1D. r18.幂级数n 1 x n的收敛域为().n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,19.级数sin na是() .n 1n4A. 条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10.微分方程xy y ln y0的通解为().A. y e cxB.y ce xC. y e xD. y cxe x二 .填空题( 4 分5)x3t1.直线l过点A 2,2, 1 且与直线y t平行,则直线 l的方程为 __________________________.z12t2.函数z e xy的全微分为___________________________.3.曲面z2x 2 4 y 2在点 2,1,4 处的切平面方程为_____________________________________.1的麦克劳林级数是 ______________________.4.1 x25.微分方程xdy 3 ydx0 在y x 11条件下的特解为 ______________________________.三 .计算题( 5 分6)1.设a i 2 j k , b 2 j 3k ,求 a b.2.设z u2 v uv2,而 u x cos y,v x sin y ,求z ,z .x y3.已知隐函数z z x, y由 x33xyz 2 确定,求z ,z .x y4.如图,求球面x 2y 2z24a 2与圆柱面 x 2y 22ax (a0 )所围的几何体的体积.5.求微分方程y3y 2y 0 的通解.四 .应用题( 10 分2)1.试用二重积分计算由yx , y 2 x 和x 4 所围图形的面积.2.如图,以初速度v0将质点铅直上抛,不计阻力,求质点的运动规律x x t .d 2 xg .(提示:当 t 0dt 2时,有 x x0,dxv0)dt试卷 2 参考答案一.选择题 CBABA CCDBA.二 .填空题x 2y 2 z11..1122.e xy ydx xdy .3. 8x8 y z 4 .4. 1 n x2n.n 05.y x3.三 .计算题1. 8i 3 j2k .2.z3x2sin ycos y cosy sin y ,z2x3sin ycosy sin y cosy x3sin3y cos3y.x yz yz z xz3.x xy z2,y xy z2.4.32 a32.3 2 35.y C1 e 2 x C2 e x.四 .应用题161..31 gt22. x v0t x0.2《高等数学》试卷3(下)一、选择题(本题共10 小题,每题 3 分,共 30 分)1、二阶行列式2-3的值为()45A 、10B、20C、 24D、222、设 a=i+2j-k,b=2j+3k,则 a 与 b 的向量积为()A 、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、点 P( -1、 -2、 1)到平面x+2y-2z-5=0 的距离为()A 、2B、 3C、 4D、 54、函数 z=xsiny 在点( 1,)处的两个偏导数分别为()4A 、 2 ,2,B、 2 ,2C、22225、设 x2+y 2+z2 =2Rx ,则z ,z分别为()x y 22 D 、2 2 , 2222A 、x R,y B 、x R ,y C、x R , y D、x R,y z z z z z z z z6、设圆心在原点,半径为R,面密度为x2y2的薄板的质量为()(面积 A=R 2)2B、2212A、R A2R A C、3R A D、R A27、级数(1)n x n)n的收敛半径为(n 1A 、2B、1C、 1D、 3 28、 cosx 的麦克劳林级数为()A 、( 1)nx 2nB、( 1)n x 2n C、( 1)n x 2 n D、( 1)nx2n 1 ( 2n)!(2n)!(2n)!( 2n 1)!n0n1n 0n 09、微分方程 (y``) 4+(y`) 5+y`+2=0 的阶数是()A 、一阶B 、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程 y``+3y`+2y=0的特征根为()A 、-2, -1B、 2,1C、-2, 1 D 、 1,-2二、填空题(本题共 5 小题,每题 4 分,共 20 分)1、直线 L1: x=y=z 与直线 L :x1y3z的夹角为___________。
.《高数》试卷1(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是().(A )2 fxlnx 和gx2lnx (B )fx|x|和2gxx(C )fxx 和 2 gxx (D ) fx |x | x和gx1sinx42fxln1xx0在x0处连续,则a ().2.函数ax0(A )0(B )14(C )1(D )23.曲线yxlnx 的平行于直线xy10的切线方程为(). (A )yx1(B )y(x1)(C )ylnx1x1(D )yx 4.设函数fx|x|,则函数在点x0处().(A )连续且可导(B )连续且可微(C )连续不可导(D )不连续不可微 5.点x0是函数4 yx 的().(A )驻点但非极值点(B )拐点(C )驻点且是拐点(D )驻点且是极值点 6.曲线 y 1 |x|的渐近线情况是().(A )只有水平渐近线(B )只有垂直渐近线(C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 11 fdx2xx 的结果是(). (A ) 1 fC x (B ) 1 fC x (C ) 1 fC x (D ) 1 fC x8. dxxx ee的结果是().(A )arctanx eC (B )arctanx eC (C )xxxxeeC (D )ln(ee)C9.下列定积分为零的是().(A )4 4 a rctan x 1 2 x dx (B )4 4 xarcsinxdx (C ) xx ee 1 dx (D ) 121 12 xxsinxdx 10.设fx 为连续函数,则 1 0f2xdx 等于(). (A )f2f0(B )1 2 f11f0(C ) 1 2f2f0(D )f1f0 二.填空题(每题4分,共20分)21 x efxxx01.设函数在x0处连续,则a.ax0 2.已知曲线yfx 在x2处的切线的倾斜角为5 6,则f2. 3. yx 21 x 的垂直渐近线有条. 4. dx 2 x1lnx.5. 2 4xsinxcosxdx.2.三.计算(每小题5分,共30分)1.求极限①limx 1xx2x②limx0xsinx2xxe12.求曲线ylnxy所确定的隐函数的导数y x. 3.求不定积分①dxx1x3②dx22xaa 0 ③xxedx四.应用题(每题10分,共20分)1.作出函数332yxx的图像.2.求曲线22yx和直线yx4所围图形的面积..《高数》试卷1参考答案一.选择题1.B2.B3.A4.C5.D6.C7.D8.A9.A10.C 二.填空题1.22.333.24.arctanlnxc5.2三.计算题1①2e②162.yx1xy13.①1x1ln||2x3C②22xln|xax|C③ex1C四.应用题1.略2.S18《高数》试卷2(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分)1.下列各组函数中,是相同函数的是().(A)fxx和 2gxx(B) fx21xx1和yx1(C)fxx和22gxx(sinxcosx)(D)2fxlnx和gx2lnx sin2x1x1x12.设函数fx2x1lim,则x12x1x1f x().(A)0(B)1(C)2(D)不存在3.设函数yfx在点x0处可导,且fx>0,曲线则yfx在点x0,fx0处的切线的倾斜角为{}.(A)0(B)(C)锐角(D)钝角24.曲线ylnx上某点的切线平行于直线y2x3,则该点坐标是().(A)2,ln 12(B) 2,ln12(C)12,ln2 (D)12,ln25.函数2xyxe及图象在1,2内是().(A)单调减少且是凸的(B)单调增加且是凸的(C)单调减少且是凹的(D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是().(A)若x0为函数yfx的驻点,则x0必为函数yfx的极值点.(B)函数yfx导数不存在的点,一定不是函数yfx的极值点.(C)若函数yfx在x0处取得极值,且f x存在,则必有fx0=0.(D)若函数yfx在x0处连续,则f x一定存在...1 4.设函数yfx 的一个原函数为2x xe,则fx=().1111(A) 2x1e x (B)2xe x (C)2x1e x (D)2xe x5.若fxdxFxc,则sinxfcosxdx().(A)Fsinxc(B)Fsinxc(C)Fcosxc(D)Fcosxc6.设Fx 为连续函数,则x 1fdx=(). 02(A)f1f0(B)2f1f0(C)2f2f0(D)1 2ff027.定积分 badxab 在几何上的表示(). (A)线段长ba(B)线段长ab(C)矩形面积ab1(D)矩形面积ba1 二.填空题(每题4分,共20分)2ln1x fxx1cosx07.设,在x0连续,则a=________.ax08.设 2ysinx,则dy_________________dsinx.9.函数 y x 21 x1的水平和垂直渐近线共有_______条.10.不定积分xlnxdx______________________.11.定积分 1 1 2 xsinx1 dx 2 1x ___________.三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限: ①1 lim12x x ② x0lim x2a rctan x 1 xy2.求由方程1yxe 所确定的隐函数的导数y x .3.求下列不定积分:①3 tanxsecxdx ②dx 22 xaa 0③ 2xxedx四.应用题(每题10分,共20分)1.作出函数 1 3yxx 的图象.(要求列出表格)32.计算由两条抛物线:2,2yxyx 所围成的图形的面积...《高数》试卷2参考答案一.选择题:CDCDBCADDD 二填空题:1.-22.2sinx3.34.11 22 xlnxxc5. 242三.计算题:1.①2e ②12.y xye y28.① 3 sec 3 x c ② 22 lnxaxc ③222x xxec四.应用题:1.略2. S13《高数》试卷3(上)一、填空题(每小题3分,共24分) 12.函数 y 9 1 2 x的定义域为________________________.sin4x fxx,x013.设函数,则当a=_________时,fx 在x0处连续.a,x0 14.函数 f(x)2x12 x3x2的无穷型间断点为________________.x15.设f(x )可导,yf(e),则y____________. 16.2x1 lim_________________.2 xxx25 17. 1 1 32 xsinx 42 xx 1dx=______________. 18. d dx 2 x 0t edt _______________________. 19.30yyy 是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分,共15分) 2. lim x0 x e si n1 x ;2. li m x3x 2 x 3 9 ;3. x1 lim1. x2x三、求下列导数或微分(每小题5分,共15分)x4.y,求y(0).2.x2cosx ye,求dy.3.设 xy xye,求 d y dx . 四、求下列积分(每小题5分,共15分)1.12sinxdxx .2.xln(1x)dx.3. 1 2x edx 0五、(8分)求曲线x ty1cost在t处的切线与法线方程.2六、(8分)求由曲线21,yx直线y0,x0和x1所围成的平面图形的面积,以及此图形绕y轴旋转所得旋转体的体积. ..七、(8分)求微分方程y6y 13y0的通解. 八、(7分)求微分方程 y ye xx满足初始条件y10的特解. 《高数》试卷3参考答案一.1.x32.a43.x24.'()xxefe9.1220.7. xe8.二阶x2 2x 二.1.原式=lim1 x0 x3. lim xx 311 364.原式=111 222 xlim[(1)]e x2x 三.1. 21 y',y'(0) 2 (x 2)25. cosxdysinxedx6.两边对x 求写:'(1')yxyeyxyy' xyeyxyy xy xexxy 四.1.原式=limx 2cosxC4.原式= 22xx1 2 lim(1x)d()lim(1x)xd[lim(1x)] 2x2 = 22 x1xx11 lim(1x)dxlim(1x)(x 1)dx 221x221x =22 x1x lim(1x)[xlim(1x)]C 2225.原式= 1111 2x2x121111ed(2x)e(e1)0 222dydy 五.sin1,1ttty且dxdx22 切线:1,10yx 即yx22 法线:1(),10yx 即yx22六. 122113 S(x1)dx(xx)22122142V(x1)dx(x 2x1)dx00 5 x22821(xx)5315七.特征方程:2r6r130r32i 3xye(Ccos2xCsin2x)12八. 11 dxdx x yexee xdxC()1 x x[(x1)eC]由yx10,C0x1xyex《高数》试卷4(上)一、选择题(每小题3分)1、函数yln(1x)x2的定义域是()...A2,1B2,1C2,1D2,1 2、极限 x lime 的值是(). x A 、B 、0C 、D 、不存在 3、 sin(x lim xx 11 2 1) (). A 、1B 、0C 、1 2D 、1 2 3x4、曲线2yx 在点(1,0)处的切线方程是() A 、y2(x1)B 、y4(x1) C 、y4x1D 、y3(x1)5、下列各微分式正确的是(). 2A 、()xdxdxB 、cos2xdxd(sin2x) C 、dxd(5x)D 、d(x dx 2)() 2)()2x6、设f(x)dx2cosC ,则f(x )().2A 、sin x 2B 、 si n x 2 xC 、sinCD 、 22 si n x 2 2lnx 7、dxx(). 21122A 、xCB 、(2lnx)C2ln x221lnxC 、ln2lnxCD 、C2 x8、曲线2 yx ,x1,y0所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积V (). A 、 1 0 x B 、4dx 4dx 1 0 ydy C 、 1 0 (1y)dyD 、 1 0 (1xdx 4) 4) 9、 1 01 x e xe dx (). A 、ln 1e2e1e1 B 、lnC 、lnD 、ln 2232e 2 10、微分方程y yy 2x 2e 的一个特解为(). A 、 y 3 7 2x e B 、 y 3 7 x e C 、 y 2 7 2 xe x D 、 y 2 7 2x e二、填空题(每小题4分)1、设函数x yxe ,则y ; 2、如果 3sinmx lim x0x22 3,则m. 3、 1 x ;3cosxdx3cosxdx 1 4、微分方程y4y 4y 0的通解是.5、函数f(x )x2x 在区间0,4上的最大值是,最小值是;三、计算题(每小题5分)1、求极限limx01x1xx12;2、求ycotxlnsinx2的导数;..3、求函数3x1y的微分;4、求不定积分3x1dx1x 1;5、求定积分e1lnxdx;6、解方程ed ydx yx21x;四、应用题(每小题10分)1、求抛物线2yx与2y2x所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数23y3xx的图象.参考答案一、1、C;2、D;3、C;4、B;5、C;6、B;7、B;8、A;9、A;10、D;二、1、x(x2)e;2、49;3、0;4、y2x(C1Cx)e;5、8,0226x三、1、1;2、cot3x;3、dx32(x1)1;4、2x12ln(1x1)C;5、)2(2e2212;;6、yxC8四、1、;32、图略《高数》试卷5(上)一、选择题(每小题3分)1、函数1y2x的定义域是(). lg(x1)A、2,10,B、1,0(0,)C、(1,0)(0,)D、(1,)2、下列各式中,极限存在的是().A、limcosxx0 B、limarctanxC、limsinxD、xxlimx2x3、xx lim()(). x1xA、eB、e2C、1D、 1e4、曲线yxlnx的平行于直线xy10的切线方程是().A、yxB、y(lnx1)(x1)C、yx1D、y(x1)5、已知yxsin3x,则dy().A、(cos3x3sin3x)dxB、(sin3x3xcos3x)dxC、(cos3xsin3x)dxD、(sin3xxcos3x)dx6、下列等式成立的是().11 A、xdxxC1xlnx B、adxaxC..1C、cosxdxsinxCD、tanxdxC21xsin的结果中正确的是().x sincos7、计算exxdxsinxB、e sinx cosxCA、eCC、e sinx sinxCD、e sinx(sinx1)C8、曲线2yx,x1,y0所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体体积V().A、1x B、4dx4dx10 ydyC、1(1y)dyD、1(1xdx4)4)a22().9、设a﹥0,则axdxA、 2aB、 2 2aC、142a0D、142a10、方程()是一阶线性微分方程.y2xA、xyln0B、yey0xC、(1x2)y ysiny0D、xydx(y26x)dy0二、填空题(每小题4分)1、设f(x)xeax1,b,xx0 ,则有limf(x)x0 ,limf(x)x0;2、设xyxe,则y;23、函数()ln(1)fxx在区间1,2的最大值是,最小值是;4、1x;3cosxdx 3cosxdx 15、微分方程y3y2y0的通解是.三、计算题(每小题5分)131、求极限lim()2x1x1xx2;22、求y1xarccosx 的导数;3、求函数xy的微分;21x14、求不定积分dxx2lnx;5、求定积分e1lnxdx;e26、求方程xyxyy1满足初始条件y()4的特解.2四、应用题(每小题10分)1、求由曲线 2y2x和直线xy0所围成的平面图形的面积. ..3x2x2、利用导数作出函数694yx的图象.参考答案(B卷)一、1、B;2、A;3、D;4、C;5、B;6、C;7、D;8、A;9、D;10、B.二、1、2,b;2、x(x2)e;3、ln5,0;4、0;5、xCe2x Ce1.2三、1、13x;2、arccosx121x1;3、dx(1xx2)12)12;14、22lnxC;5、)2(2e ;6、y2x2e1x;四、1、92;2、图略单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。
高等数学下册试卷及答案高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题3分,共计24分)1、z=loga(x+y)的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。
2、二重积分∬|x|+|y|≤1 2ln(x+y)dxdy的符号为负。
3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1,y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(e+1-x)dx dy,其值为e-1.4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t)。
y=ψ(t)} (α≤t≤β),则弧长元素ds=√[φ'(t)²+ψ'(t)²]dt。
5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧,则∫∫∑(x²+y²+1)ds=18√2.6、微分方程y'=x/(y²+1)的通解为y=1/2ln(y²+1)+1/2x²+C。
7、方程y''-4y=tanx的通解为y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-1/2cosxsinx。
8、级数∑n=1∞1/(n(n+1))的和为1.二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是(B)f_x'(x,y),f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。
2、设u=yf(x)+xf(y),其中f具有二阶连续导数,则x²+y²等于(A)x+y。
3、设Ω:x+y+z≤1.z≥0,则三重积分I=∭ΩzdV等于(D)∫0^1∫0^(1-z)∫0^(1-x-y)zdxdydz。
4、球面x²+y²+z²=16a²与柱面x²+y²=2ax所围成的立体体积V=(C)8∫0^π/2∫0^(2acosθ)∫0^√(16a²-r²)rdzdrdθ。
注:原文章中第一题的符号“>”应该是“≥”,已进行更正。
高等数学上册试卷A 卷一 填空题(每题2分,共10分) 1. 2()d f x dx ⎰= ;2. 设f (x )=e -x ,则(ln )f x dx x'⎰= ; 3.比较积分的大小:11_________(1)x e dx x dx +⎰⎰;4.函数1()2(0)x F x dtx ⎛=> ⎝⎰的单调减少区间为 ;5. 级数()(0)nn n a x b b ∞=->∑,当x =0时收敛,当x =2b 时发散,则该级数的收敛半径是 ;二、求不定积分(每小题4分,共16分)1.; 2.sin x xdx ⎰;3.;4. 已知sin xx是f (x )的一个原函数,求()xf x dx '⎰. 三、求定积分(每小题4分,共12分)1.520cos sin 2x xdx π⎰; 2.121(x dx -⎰;3.设1,当0时1()1,当0时1xx xf x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩求20(1)f x dx -⎰四、应用题(每小题5分,共15分)1.计算由曲线y =x 2,x =y 2所围图形的面积;2.由y =x 3、x =2、y =0所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转体的体积.3. 有一矩形截面面积为20米2,深为5米的水池,盛满了水,若用抽水泵把这水池中的水全部抽到10米高的水塔上去,则要作多少功?(水的比重1000g 牛顿/米3 )五、求下列极限(每题5分,共10分)1.222222lim 12n n n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭;2. 设函数f (x )在(0,+∞)内可微,且f (x )满足方程11()1()xf x f t dt x=+⎰,求f (x )。
六、判断下列级数的敛散性(每题5分,共15分)1. 21sin32n n n n π∞=∑; 2. 2111n n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑; 3.()1ln 1nn nn∞=-∑; 七、求解下列各题(每题5分,共10分)1. 求幂级数111n n x n +∞=+∑的收敛域及和函数;2. 将函数21()32f x x x =++展开成(x +4)的幂级数。
自学考试高等数学练习试卷(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 4. 综合题 5. 证明题选择题1.若则A.B.C.2D.4正确答案:B解析:令则当x→∞时,t→0,则2.要使在点x=0处连续,应给f(0)补充定义的数值是( ).A.kmB.C.1nkmD.ekm正确答案:A解析:∴f(0)=km,选A项.3.设f(x2)=x4+x2+1,则f’(-1)=( ).A.1B.3C.-1D.-3正确答案:C解析:(1)∵f(x2)=(x2)2+x2+1,∴f(x)=x2+x+1.(2)f’(x)=2x+1,f’(-1)=-2+1=-1,选C项.4.已知f(x)=(x-3)(x-4)(x-5),则f’(x)=0有( ).A.一个实根B.两个实根C.三个实根D.无实根正确答案:B解析:(1)∵f(x)在[3,4]连续在(3,4),可导且f(3)=f(4)=0,∴.f(x)在[3,4]满足罗尔定理条件,故有f(ξ1)=0(3<ξ1<4).(2)同理f(x)在[4,5]满足罗尔定理有f’(ξ2)=0,4<ξ2<5.综上所述,f’(x)=0在(3,5)至少有两个实根(3)f’(x)=0是一元二次方程,至多有两个根,故选B项.5.已知f(x)的一个原函数为cosx,g(x)的一个原函数为x2,则f[g(x)]的一个原函数为( ).A.x2B.cos2xC.cosx2D.cosx正确答案:B解析:(1)∵f(x)=(cosx)’=-sinx,g(x)=(x2)’=2x,∴f[g(x)]=-sin2x.(2)∵(cos2x)’=2cosx(-sinx)=-sin2x,∴选B项.6.设e-x是f(x)的一个原函数,则A.e-x(x+1)+CB.-e-x(x+1)+CC.e-x(1-x)+CD.e-x(x-1)+C正确答案:A解析:∵F(x)=e-x,f(x)=F’(x)=-e-x,选A项.填空题7.微分方程y”+y=0满足则的解是____________.正确答案:y=sinx解析:y”+y=0的通解为y=C1cosx+C1sinx.由题意得:C1=0,C2=1,所以方程的解为y=sinx.8.若f’(2)=2,则正确答案:-12解析:9.过点P(1,2,3)且与直线平行的直线方程为___________.正确答案:解析:设所求的直线为l,其方向向量为,已知直线的方向向量取为n1×n2={1,-2,3}×{3,1,-2}={1,11,7},因为两直线平行,故直线方程为10.正确答案:0解析:11.已知x→0时,a(1-cosx)与xsinx是等价无穷小,则a=___________.正确答案:2解析:由题意所以a=2.12.交换二重积分的次序:正确答案:解答题13.设函数y=y(x)由方程ex-ey=xy确定,求正确答案:方程ex-ey=xy,两边对x求导数得ex-ey·y’=y+xy’,故又当x=0时,y=0,故14.已知y=(1-x2)cosx,求y(n).正确答案:15.求正确答案:16.计算定积分正确答案:17.计算正确答案:18.求微分方程x2y’=xy-y2的通解.正确答案:将原方程变形为:令则y’=p+xp’,代入原方程得xp’=-p2,分离变量得两边积分,得即19.已知z=f(x2-y2,xy),求正确答案:已知20.f(x)在x=0处连续,求a;正确答案:21.求f’(x).正确答案:x≠0,当x=0时,综合题22.证明:函数在x=0处连续,在x=0处不可导.正确答案:因为所以又f(0)=0,所以函数f(x)在x=0处连续. 因为所以函数f(x)在x=0处不可导.23.证明:当x>0时,(x2-1)lnx≥(x-1)2.正确答案:令显然,F(x)在(0,∞)上连续,由于故F(x)在(0,∞)上单调递增,于是,当0<x<1时,F(x)<F(1)=0,即又(x2-1)lnx>(x-1)2. 故(x2-1)lnx≥(x-1)2;当x≥1时,F(x)≥F(1)=0,即又x2-1≥0. 故(x2-1)lnx≥(x-1)2. 综上所述,当x>0时,总有(x2-1)lnx≥(x-1)2.证明题24.证明:当时,成立.正确答案:设则令在区间内解得x=0.由知在区间内的最小值是f(0)=0.故当时,则。
浙江师范大学《高等数学(一)》(上册)考试卷
考试类别 闭 卷 使用学生 考试时间 120 分钟 出卷时间 2006 年 2 月 22日 说明:考生应将全部答案都写在答题纸上,否则作无效处理
一、 选择题(每小题1分,共6分)。
1. 设函数552()6kx f x x -=+,且1
lim ()3
x f x →∞=,则=k ( ) A .
12 B .12- C . 1
3
D . 3 2. 设(0)0f =,(0)3f '=,则当0x →时,()f x 是x 的 ( )
A .低阶无穷小量
B 同阶无穷小量
C .高阶无穷小量
D .等价无穷小量 3. 函数cos y x x =-在(),-∞+∞上( )
A .单调减少
B .单调增加
C .为奇函数
D .为偶函数 4. 设()2sin ()x f x '=,则()d f x x =⎰( )
A. 2sin x C +
B. 22cos x x C +
C. 2cos x C +
D. 2cos x C -+ 5. 若()f x 4x -=,0()()d x
x f t t Φ=⎰,则
d
[()]d x x
Φ=( ) A. 5
4x -- B. 5
4x - C. 4
x - D. 3
3
x --
6. 设函数f()sin 3x x kx =+,且1
f ()2
π'=,则=k ( )
A . 52-
B .12
C .32
D .72
二、 填空题(每小题2分,共16分)
1. 若3lim 1+e x
x k x →∞
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,则=k ① . 2. 曲线sin 2y x =在点(0,0)处的切线的方程是. ② . 3. 设()f x 为e x -的一个原函数,则()f x '= ③ . 4. 函数2sin y x =,则 d y = ④ . 5. 若 2arctan y x =,则(1)y ' ⑤ . 6. 2
2e d x x x ⎰ ⑥
7. 曲线323y x =+的拐点为 ⑦ . 8.
2d a
a
x x -⎰
= ⑧
三、 计算题(每小题10分,共60分) 1.求1
7lim(
)1
x x x x -→∞
++ 2.已知隐函数()y y x =由方程22y
x y x +=确定,求d d y x
. 3.计算定积分2π
0cos d x x x ⎰.
4.已知参数方程2cos x t y t ⎧=⎨=⎩,求导数d d y
x 和22d d y x .
5.设0,1()1,1x f x x x
≤⎧⎪=⎨>⎪⎩,求2
0()d f x x ⎰ 6.求()e x f x x -=在区间[]0,3上的最大值和最小值。
四、 证明题(8分)
设()f x 为可导的偶函数,求证()f x '为奇函数. 五、 应用题(10分)
求由抛物线 25y x =-与直线3x y +=所围图形的面积.
《高等数学(一)》(上册)
试题答案及评分参考(06.3.5)
一、选择题(每小题1分,共6分)
1、D
2、B
3、A
4、A
5、C
6、D
二、填空题(每小题2分,共16分)
①3 ② 2y x = ③ e x
- ④ 2
2cos d x x x ⑤1 ⑥ 2
e x C +
⑦()0,3 ⑧2
23
a
三、计算题(每小题10分,共60分)
1.求1
7lim(
)1
x x x x -→∞
++ 解 原极限=1
)1
61(lim -∞
→++
x x x (4分) =2
6
61)1
61])1
61[(lim -+∞→++
++x x x x ( (7分) =6e (10分)
2.已知隐函数()y y x =由方程22y x y x +=确定,求
d d y
x .
解 两边对x 求导,得222xy y
x yy x
'-'+= (6分)
即3
2d 2d 2y y x x x x y
+=-+ (10分) 3.计算定积分2π
0cos d x x x ⎰.
解 原式=2π
0dsin x x ⎰ (3分) []2π
2π
00sin sin d x x x x =-⎰ (7分) []2π
0cos 0x == (10 分)
4.已知参数方程2cos x t y t
⎧=⎨=⎩,求导数d d y x 和22d d y x .
解 因因d sin d y t t =-,d 2d x t t =,故
d sin d sin d 2d 2y t t t
x t t t
--==
(5分)
即 sin d sin 2d 2t t t
y t t t
--'==
, 2d 1sin 1cos sin d 22y t t t t
t t t ''-⎛⎫=-=-⋅ ⎪
⎝⎭ (8分) 223
d d cos sin d d 4y y t t t
x x t '-+== (10分) 5.设0,1()1,1x f x x x
≤⎧⎪=⎨>⎪⎩,求2
0()d f x x ⎰ 解
22
1
1
()d d f x x x x
=⎰
⎰
(5分) []2
1ln ln 2x ==(10分)
6.求()e x f x x -=在区间[]0,3上的最大值和最小值。
解
因()e e (1)e x x x f x x x ---'=-=-,故由()0f x '=,得驻点1x =,(4分)
因此()e x f x x -=在区间[]0,3上的最大值为1
e
,最小值为0(10分) 四、证明题(8分)设()f x 为可导的偶函数,求证()f x '为奇函数.
证 根据题意 ()()f x f x -= (3分) 上式两边对x 求导,得()()()f x x f x '''--= (6分)
从而有f ()f ()x x ''--=,即f ()x '为奇函数。
(8分) 五、 应用题(10分)
求由抛物线 25y x =-与直线3x y +=所围图形的面积
解 抛物线 25y x =-与直线3x y +=的交点坐标为(1,4)-和(2,1) (3分) 由抛物线 25y x =-与直线3x y +=所围图形的面积为
2
21[(5)(3)]d S x x x -=---⎰
2
21
(2)d x x x -=-+⎰ (6分)
2
321232x x x -⎡⎤
=-+⎢⎥⎣
⎦ (9分)
9
2
=
(10分)。