工程电磁场数值分析5(有限元法) Ansys工程电磁场有限元分析 华科电气共74页

n
设L为线性算子，代入 u i N i ，得 i1
n
n
N i[L ( jN j) f]d N i[ jL (N j) f]d 0
j 1
j 1
n
或
j NiL(Nj)dNi fd (i1, 2, , n)
j1
记 Ki,j NiL(Nj)d bi Ni fd
代入方程得余量：
i1
RL(u)f
在有限元法中，基函数一般用 {Ni,i1,2, ,n}表示。
采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同。使与余量正交 化：
(N i,R ) N i[L (u)f]d 0 (i1, 2, , n)
加权余量法回顾（续） (N i,R ) N i[L (u)f]d 0
y y2 y3
111 1 2 2 x1 x x3
பைடு நூலகம்y1 y y3
单元节点的编号按 逆时针方向排列！
1 11 1 3 2 x1 x2 x
y1 y2 y
u (x ,y ) u 1 1 ( x ,y ) u 2 2 ( x ,y ) u 3 3 ( x ,y )
记住我们的任务 —寻找基函数
作用后值为0。但是，在相邻单元的边
界上， Ni是连续但是不光滑的，因此对 积分的贡献主要来自边界。为考虑单元
边界的影响，需要借助于格林公式：
格林公式： V ( 2 )d V S d S
K i ( je ) eN i 2 ( N j) d x d y e N i N jd x d y eN i N n jd
K0116N0L(N1)d
b Nfd 0 1 2 3 4 5 6 0
以下把单元e的贡献记为
K(e) ij
eNi(e)L(N(je))d
b(e) i

e
N(e) i
f(e)d
这样，就有
K 0 0 K 0 ( 1 0 ) K 0 ( 0 2 ) K 0 ( 0 3 ) K 0 ( 0 4 ) K 0 ( 0 5 ) K 0 ( 0 6 )
第4章 电磁场有限元法（FEM）
1. 有限元的基本原理与实施步骤 2. 有限元方程组的求解 3. 前处理与后处理技术 4. 渐近边界条件 5. 矢量有限元法 6. 求解运动导体涡流问题的迎风有限元法
1. 有限元法的基本原理与实施步骤
加权余量法回顾：
对算子方程
L(u) f
n
用 u 作为该方程的近似解（试探解）：u i i
u(x,y)abxcy
代入三个顶点的坐标和函数值， 可以解出a、b、c。得到
u (x ,y ) u 1 1 ( x ,y ) u 2 2 ( x ,y ) u 3 3 ( x ,y )
111
其中，

1 2
x1
x2
x3
y1 y2 y3
11 1 1 1 2 x x2 x3
在积分 Kij NiL(Nj)d中，对于确定的 i，j的有效取
值为i本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为 以i、j为公共节点的所有三角形单元 ，在这些单元中Ni、Nj 才有交叠。
这些积分可以分单元进行。例如对 右图所示的局部编码，K01、K00以及 b0的计算公式为：
K 00 1 2 3 4 5 6N 0L (N 0)d
得代数方程组： Kαb
场域离散
以二维静电场泊松方程的求解为例。二维问题常使用三角 形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。
单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是 单一、均匀的。
节点：网格的交点，待求变量的设置点。 需要记录信息： 节点编号、节点坐标 节点属性(激励源、是否边界等) 单元编号 单元节点编号 单元介质
K01K0(11) K0(16)
b 0 b 0 ( 1 ) b 0 ( 2 ) b 0 ( 3 ) b 0 ( 4 ) b 0 ( 5 ) b 0 ( 6 )
每个 K
(e) ij
或
b (e) i
的计算都在具体的单元内单独考虑（称
为单元分析）。
三角形单元内的基函数 设三角形三个顶点处待求函数值 分别为u1, u2, u3。如果单元足够小， 可以采用线性近似，将单元内任 意p点的u(x,y)表示为
Ki,j NiL(Nj)d bi Ni fd
目标：建立节点变量之间满足的 代数方程组，即确定系数{Kij} 和 {bi}。依据的原理是加权余量法 使用的基函数为分域基。
基函数
有限元采用分片逼近的思想，跟 使用折线逼近一条任意曲线的做 法相同。使用分域基Ni，基函数 的个数等于节点的个数；每个基 函数Ni的作用区域是与该节点i相 关联的所有单元。
u (x ,y )1 N 12 N 23 N 3
对比 u (x ,y ) u 1 1 ( x ,y ) u 2 2 ( x ,y ) u 3 3 ( x ,y )
可得
Ni

i (x,
y)
( i 1, 2, 3)
基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数，具有以下性质：
工程电磁场数值分析
（有限元法）
华中科技大学电机与控制工程系
陈德智
2019.12
第4章 电磁场有限元法 （Finite Element Method, FEM）
有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权 余量法导出，本章以加权余量法作为有限元法的基础， 以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实 施步骤。并介绍有限元法中的一些特殊问题。
（1）是插值的；
1 (i j) （2）Ni(xj,yj)0 (i j) （3）在相邻单元的公共边界上，
Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。
单元分析：计算单元内积分对系数阵和右端项元素的贡献。
系数阵元素：
K(e) ij
eNi(e)L(N(je))d
当L为拉普拉斯算子时，由于Ni在单元 内是(x, y)的线性函数，经Laplace算子