考虑如下线性规划问题

线性规划常见疑问第一章线性规划常见疑问解答1.线性规划——这一运筹学重要分支的开创者是谁这里，必须谈到两个著名的人物，康托洛维奇和丹捷格。

1939年著名数理经济学者康托洛维奇发表了《生产组织和计划中的数学方法》这一运筹学的先驱性名著，其中已提到类似线性规划的模型和“解乘数求解法”。

但是他的工作直到1960年的《最佳资源利用的经济计算》一书出版后，才得到重视。

1975年，康托洛维奇与T .C . Koopmans 一起获得了诺贝尔经济学奖。

1947年G . B. Dantzig 在研究美国空军军事规划时提出了线性规划的模型和单纯形解法，并很快引起美国著名经济学家Koopmans的注意。

Koopmans为此呼吁当时年轻的经济学家要关注线性规划。

今天，单纯形法及其理论已成为了线性规划的一个重要的部分。

2.线性规划模型的形式是什么目标函数和约束条件都是线性的。

3.线性规划模型的三要素是什么就是资源向量b，价值向量c，系数矩阵A（一般都假设A是满秩的）。

其中，资源向量b表示了稀缺资源的种类和限度；价值向量c反映了单位产品（广义）所创造的收益或形成的成本；而系数矩阵A是现有生产技术、生产工艺、管理水平的具体体现。

只要这三个要素确定了，相应的线性规划模型就确定了。

4.线性规划模型的经济意义何在简言之，线性规划模型对于解决经济学研究的核心问题——资源有效配置有比较重要的意义。

它不仅为宏观或微观的经济研究提供了一个有效的解决问题的平台，而且，（曾经）为经济学家提供了一个解决资源优化配置的新的思路。

不仅如此，线性规划在企业的运作管理、物流管理、财务管理、人力资源管理、战略管理等诸多方面也能为管理者提供科学的决策支持。

5.线性规划的标准形式是怎样的线性规划的标准形式有三个特点：a)约束条件都是等式；b)等式约束的右端项为非负的常数；c)每个变量都要求取非负数值。

下面是线性规划标准形式的一般表达，6.线性规划标准形的向量矩阵形式是怎样的线性规划的标准形式如用向量矩阵形式可简洁表述为：7.在将线性规划的一般形式转化为标准形式时，要注意哪几点要注意两点：一是某一约束条件为“≤”或“≥”形式的不等式时，应“+”一个非负松弛变量或“－”非负松弛变量；二是某个变量不满足非负约束时，这个变量要用一到两个非负的新变量替换，以使标准型中所有的变量均满足非负要求。

线性规划问题一、线性规划问题的基本概念先看几个典型实例 例1 生产计划问题某工厂拥有a 、b 两种原材料生产A 、B 两种产品，现有设备使用限量为8台时，已知每件产品的利润、所需设备台时及原材料的消耗如下表所示：试问：在计划期内应如何安排计划才能使工厂获得的利润最大？解 设x 1、x 2分别表示在计划期内产品A 、B 的产量，则所用设备的有效台时必须满足x 1＋2x 2≤8同样，由原材料的限量，可以得到4x 1≤16，4x 2≤12因此，生产计划就是满足如下约束条件的一组变量x 1、x 2的值：x1＋2x 2≤8， 4x 1≤16，4x 2≤12， x 1≥0，x 2≥0显然，可行的生产计划有限多个，现在问题就是要在很多个可行计划中找一个利润最大的，即求一组变量x 1、x 2的值，使它满足约束条件，并使目标函数L=2x 1＋3x 2的值最大（即利润最大）例2 资金分配问题某商店拥有100万元资金，准备经营A 、B 、C 三种商品，其中A 商品有A 1、A 2两种型号，B 商品有B 1、B 2两种型号，每种商品的利润率如下表所示：在经营中有以下限制：(1)经营A 或B 的资金各自都不能超过总资金的50%； (2)经营C 的资金不能少于经营B 的资金的25%； (3)经营A 2的资金不能超过经营A 的总资金的60%； 试问应怎样安排资金的使用才能使利润最大？解 设经营A 1、A 2、B 1、B 2、C 的资金分别为x 1，x 2,x 3,x 4，x 5（万元），这一问题的数学模型为求一组变量x 1、x 2，…，x 5的值，使它满足 x 1＋x 2＋…＋x 5=100， x 1＋x 2≤50， x 3＋x 4≤50，025x 3＋0.25x 4－x 5≤0 0.6x 1－0.4x 2≥0，x j ≥0 （j=1，2， (5)并使目标函数L=0.073x 1＋0.103x 2＋0.064x 4＋0.075x 4＋0.045x 5的值最大(利润最大)上面我们建立了几个实际问题的数学模型，虽然实际问题各不相同，但是它们的数学模型却有相同的数学形式，这就是：表示约束条件的数学式子都是线性等式或线性不等式，表示问题最优化指标的目标函数都是线性函数，因为约束条件和目标函数都是线性的，所以把具有这种模型的问题称为线性规划问题。

互补松弛性孙敏 枣庄学院考虑如下互为对偶的一组线性规划问题⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+==+=≤=≥+=≤+=≥=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=≤=≥+=≥+=≤====nt j c yp t s j c yp s j c yp m q i y q p i y p i y n t j x t s j x s j x m q i b x a q p i b x a p i b x a ybW cx Z j j j j j j i i i j j j i i i i i i ,,1,,,1,,,1,,,1,0,,1,0,,1, s.t. ,,1,,,1,0,,1,0,,1,,,1,,,1, s.t.min max (DP) (LP) 无符号限制无符号限制对偶问题原问题其中[]n m n m R p p p a a a A ⨯∈=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2121。

定理（互补松弛/紧性） 设1*⨯∈n Rx 与mRy ⨯∈1*分别是问题（LP ）与问题（DP ）的可行解，则它们分别是问题（LP ）与问题（DP ）的最优解的充要条件是，对一切m i ,,1 =和一切n j ,,1 =有⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0)(0)(****j j j ji i i i c p y x v y x a b u 证明 首先由1*⨯∈n Rx 与mRy ⨯∈1*分别是问题（LP ）与问题（DP ）的可行解得对一切m i ,,1 =和一切n j ,,1 =有0,0≥≥j i v u 。

定义0,011≥=≥=∑∑==nj j mi i v v u u因此，0=u 当且仅当),,1(0m i u i ==，0=v 当且仅当),,1(0n j v j ==，也就是0=+v u 当且仅当),,1(0),,,1(0n j v m i u j i ====。

于是为了证明命题成立，只需要证明*x 与*y 分别是问题（LP ）与问题（DP ）的最优解的充要条件是0=+v u 。

1、考虑下面的线性规划问题：
max z=2x1+3x2；
约束条件：x1+2x2≤6，
5x1+3x2≤15，
x1，x2≥0.
（1）画出其可行域.
（2）用图解法求出其最优解以及最优目标函数值.
2、已知线性规划问题：
max z=x1+3x2；
约束条件：x1+x3=5，
x1+x2+x4≤10，
x1+x5=4，
x1，x2，x3，x4，x5≥0.
下表所列的解均满足约束条件（1），（2），（3），试指出表中哪些是可行解，哪些是基本解，哪些是基本可行解.
3、建模题（只建模，不求解）
某公司有资金4000万元，六年内有A、B、C、D、E五种投资项目可供选择。

其中：项目A从第一年到第六年初均可投资，当年末可获利10%；项目B 可在第一年到四年初投资，周期为3年，到期可获利30%；项目C只能在第二年初投资，周期为3年，到期可获利50%，但规定最大投资额不超过800万元；项目D只能在第四年初投资，周期为3年，到期可获利40%，但规定最大投资额不超过600万元；项目E只能在第五年投资，周期为2年，到期可获利30%，
但规定最大投资额不超过400万元。

问：如何确定这些项目的每年投资额，使得第六年末公司获得最大利润？
4、已知下列线性规划问题：
321336x x x MaxZ +-= 603321≤++x x x 20422321≤+-x x x 60333321≤-+x x x
0,,321≥x x x
求：用单纯形法求解，并指出问题属于哪一类解。

运筹学典型考试试题及答案⼆、计算题（60分）1、已知线性规划（20分）MaxZ=3X1+4X2X1+X2≤52X1+4X2≤123X1+2X2≤8X1,X2≥0其最优解为：基变量X1X2X3X4X5X33/2 0 0 1 -1/8 -1/4X25/2 0 1 0 3/8 -1/4X1 1 1 0 0 -1/4 1/2σj 0 0 0 -3/4 -1/21）写出该线性规划的对偶问题。

2）若C2从4变成5，最优解是否会发⽣改变，为什么？3）若b2的量从12上升到15，最优解是否会发⽣变化，为什么？4）如果增加⼀种产品X6，其P6=(2,3,1)T，C6=4该产品是否应该投产？为什么？解：1)对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3y1+2y2+3y3≥3y1+4y2+2y3≥4y1,y2≥02)当C2从4变成5时，σ4=-9/8σ5=-1/4由于⾮基变量的检验数仍然都是⼩于0的，所以最优解不变。

3）当若b2的量从12上升到15X＝9/829/81/4由于基变量的值仍然都是⼤于0的，所以最优解的基变量不会发⽣变化。

4）如果增加⼀种新的产品，则P6’=(11/8,7/8，－1/4)Tσ6=3/8>0所以对最优解有影响,该种产品应该⽣产2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运⽅案和最⼩总费⽤。

（共15分）。

B1B2B3产量销地产地A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 11 A3 6 2 8 20 销量18 12 16解：初始解为计算检验数由于存在⾮基变量的检验数⼩于0，所以不是最优解，需调整调整为：重新计算检验数所有的检验数都⼤于等于0，所以得到最优解3、某公司要把4个有关能源⼯程项⽬承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包⼀个项⽬，试在总费⽤最⼩的条件下确定各个项⽬的承包者，总费⽤为多少？各承包商对⼯程的报价如表2所⽰：（15分）项⽬投标者 A B C D 甲 15 18 21 24 ⼄ 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19212317答最优解为：X= 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 总费⽤为504. 考虑如下线性规划问题（24分）B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3181 1 20 销量/t 18 1216B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 －2 0 0 11 A 30 0 20 销量/t 181216B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 7 12 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 0 2 2 11 A 3 0 0 0 20 销量/t 18 12 16Max z=-5x1+5x2+13x3s.t. -x1+x2+3x3≤2012x1+4x2+10x3≤90x1，x2，x3≥0回答以下问题：1）求最优解2）求对偶问题的最优解3）当b1由20变为45，最优解是否发⽣变化。

9.2.2.2 相关函数介绍linprog函数功能：求解线性规划问题。

数学模型：其中f,x,b,beq,lb和ub为向量，A和Aeq为矩阵。

语法：x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval] = linprog(...)[x,fval,exitflag] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)描述：x = linprog(f,A,b)求解问题min f'*x，约束条件为A*x <= b。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x = beq。

若没有不等式存在，则令A=[]、b=[]。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)定义设计变量x的下界lb和上界ub，使得x始终在该范围内。

若没有等式约束，令Aeq=[]、beq=[]。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)设置初值为x0。

该选项只适用于中型问题，缺省时大型算法将忽略初值。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)用options指定的优化参数进行最小化。

[x,fval] = linprog(...) 返回解x处的目标函数值fval。

[x,lambda,exitflag] = linprog(...)返回exitflag值，描述函数计算的退出条件。

[x,lambda,exitflag,output] = linprog(...) 返回包含优化信息的输出变量output。