雷达系统匹配滤波器的仿真
一．匹配滤波器原理
在输入为确知加白噪声的情况下，所得输出信噪比最大的线性滤波器就是匹配滤波器，设一线性滤波器的输入信号为)(t x ：
)()()(t n t s t x += （1.1）
其中：)(t s 为确知信号，)(t n 为均值为零的平稳白噪声，其功率谱密度为
2/No 。
设线性滤波器系统的冲击响应为)(t h ，其频率响应为)(ωH ，其输出响应：
)()()(t n t s t y o o += （1.2）
输入信号能量： ∞<=⎰∞
∞-dt t s s E )()(2
（1.3）
输入、输出信号频谱函数：
dt e t s S t j ⎰∞
∞
--=ωω)()(
)()()(ωωωS H S o =
ωωωπ
ωωd e
S H t s t
j o ⎰∞
-
=
)()(21
)( （1.4）
输出噪声的平均功率：
ωωωπ
ωωπ
d P H d P t n E n n o o ⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-=
=
)()(21)(21
)]([22 （1.5）
)
()()(21)()(212
2
ωωωπ
ωωπ
ω
ωd P H d e
S H SNR n t j o o
⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞-=
（1.6）
利用Schwarz 不等式得：
ωωωπ
d P S SNR n o ⎰
∞
∞
-≤
)
()
(21
2
（1.7）
上式取等号时，滤波器输出功率信噪比o SNR 最大取等号条件：
o
t
j n e
P S H ωωωαω-=)
()()(* (1.8) 当滤波器输入功率谱密度是2/)(o n N P =ω的白噪声时，MF 的系统函数为：
,)()(*o t j e kS H ωωω-=o
N k α
2=
(1.9) k 为常数1，)(*ωS 为输入函数频谱的复共轭，)()(*ωω-=S S ，也是滤波器的传输函数)(ωH 。
o
s
o N E SNR 2=
(1.10) Es 为输入信号)(t s 的能量，白噪声)(t n 的功率谱为2/o N
o SNR 只输入信号)(t s 的能量Es 和白噪声功率谱密度有关。 白噪声条件下，匹配滤波器的脉冲响应：
)()(*t t ks t h o -= (1.11) 如果输入信号为实函数，则与)(t s 匹配的匹配滤波器的脉冲响应为： )()(t t ks t h o -= (1.12) k 为滤波器的相对放大量，一般1=k 。 匹配滤波器的输出信号：
)()(*)()(o o o t t kR t h t s t s -== (1.13) 匹配滤波器的输出波形是输入信号的自相关函数的k 倍，因此匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数的相关器，通常k =1。 二．线性调频信号（LFM ）
脉冲压缩雷达能同时提高雷达的作用距离和距离分辨率。这种体制采用宽脉冲发射以提高发射的平均功率，保证足够大的作用距离；而接受时采用相应的脉冲压缩算法获得窄脉冲，以提高距离分辨率，较好的解决雷达作用距离与距离分辨率之间的矛盾。
脉冲压缩雷达最常见的调制信号是线性调频（Linear Frequency Modulation ）信号,接收时采用匹配滤波器（Matched Filter ）压缩脉冲。
LFM 信号(也称Chirp 信号)的数学表达式为：
22()
2()
()c K j f t t t s t rect T
e π+= (2.1)
式中c f 为载波频率，()t
rect T
为矩形信号，
11
()0,t t rect T
T elsewise
⎧ , ≤⎪=⎨⎪ ⎩
（2.2） B
K T
=
，是调频斜率，于是，信号的瞬时频率为()22c T T f Kt t + -≤≤，如图1
图1 典型的chirp 信号（a ）up-chirp(K>0)（b ）down-chirp(K<0)
将2.1式中的up-chirp 信号重写为：
2()()c j f t s t S t e π= （2.3） 式中，
2
()()j Kt t S t rect e T π= （2.4）
是信号s(t)的复包络。由傅立叶变换性质，S(t)与s(t)具有相同的幅频特性，只是中心频率不同而以，因此，Matlab 仿真时，只需考虑S(t)。通过MATLAB 仿真可得到信号时域和频域波形如下图所示：
图2.LFM 信号的时域波形和幅频特性
三．线性调频信号的匹配滤波器
信号()s t 的匹配滤波器的时域脉冲响应为：
*0()()h t s t t =- （3.1）
0t 是使滤波器物理可实现所附加的时延。理论分析时，可令0t ＝0，重写3.1式，
*()()h t s t =- （3.2）
将2.1式代入3.2式得:
22()()c j f t j Kt t
h t rect e e T
ππ-=⨯ (3.3 )
图3.LFM 信号的匹配滤波
如图3,()s t 经过系统()h t 得输出信号()o s t ，
