韦达定理在圆锥曲线综合题中的应用
【注意】应用韦达定理的前提是：二次项系数不为零，判别式大于（或等于）零．一、弦长问题
【韦达特征】AB==
例1顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线240
x y
--=
所得弦长为
物线方程为．
二、弦的中点问题
【韦达特征】1212
00
,
22
x x y y
x y
++
==
例2已知直线l与椭圆
22
1
164
x y
+=交于A、B两点，且线段AB的中点为(2,1)
P-，则直线
l的方程是．
三、垂直问题
【韦达特征】
（1）若OA OB
⊥，则：
1212
x x y y
+=
（2）若,(,)
PA PB P m n
⊥，则：
1122
(,),(,)
PA x m y n PB x m y n
=--=--
1212
()()()()
PA PB x m x m y n y n
⋅=-⋅-+-⋅-
22
12121212
()()
x x m x x m y y n y y n
=-+++-++
例3若直线l：1
y ax
=+与双曲线22
31
x y
-=交于A、B两点,且以AB为直径的圆过原
点，求a的值.（1
a=±）
例4已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，
最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
22
1
43
x y
+=
（Ⅱ）若直线:l y kx m
=+与椭圆C相交于A，B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为
直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
2
(,0)
7
例5设椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、右焦点分别为
12
F F A
，，是椭圆上的一点，
212
AF F F
⊥，原点O到直线
1
AF的距离为
1
1
3
OF．
（Ⅰ）证明a=；
（Ⅱ）求(0)
t b
∈，使得下述命题成立：设圆222
x y t
+=上任意点
00
()
M x y
，处的切线交椭圆
于
1
Q，
2
Q两点，则
12
OQ OQ
⊥．
例6 设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数
(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．
（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；
（2）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使0OM ON ⋅=，其中点O 为坐标原点．
四、对称问题（即垂直平分问题）
【韦达特征】实际上是转化为问题二（中点问题）、问题三（垂直问题）．
例7 如图，倾斜角为α的直线经过抛物线2
8y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点．
（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；
（Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明：cos2FP FP α-为定值，并求此定值．8
五、线段相等
【韦达特征】若,(,)PA PB P m n =，AB 中点为00(,)M x y ，则：
121
2
00,22
x x y y x y ++=
=且12
122112
PM AB AB y y n PM AB k k k x x m +-
⊥⇒=-⇒=-+-
． 实际上是转化为问题二（中点问题）、问题三（垂直问题）．
例8 已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上，且右焦点到直线220x y -+=的距离为3，试问能否找到一条斜率为k (0)k ≠的直线l ，使l 与已知椭圆交于不同两点M 、N 且满足AM AN =．
六、数量积问题 【韦达特征】（同问题三——垂直问题）
例9 设F 1、F 2分别是椭圆2
214
x y +=的左、右焦点． （Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且125
4
PF PF ⋅=-，求点P 的坐标； （Ⅱ）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．
y y
P B
O
A 1
d
2
d
2θ
例10 已知双曲线22
2x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A 、B 两点．
（Ⅰ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ⋅CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
七、面积问题
例11 直线y kx b =+与椭圆
2
214
x
y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S ． （Ⅰ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （Ⅱ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．
例12 已知椭圆C ：22221x y a b
+=(0)a b >>的离心率为36
，短轴一个端点到右焦点的距离
为3．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3
，求△AOB 面
积的最大值．
例13 设F 是抛物线G ：2
4x y =的焦点．
（Ⅰ）过点(0,4)P -作抛物线G 的切线，求切线方程；
（Ⅱ）设A 、B 为势物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB ⋅=，延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C 、D ，求四边形ABCD 面积的最小值．
例14 已知抛物线2
4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=(0)λ>．过
A 、
B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明FM AB ⋅为定值；
（Ⅱ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．
八、有关比例问题 例15 已知点(10)F ，，直线l ：1x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点
Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 与A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ=，
2MB BF λ=，求12λλ+的值；
