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3. 基变换与坐标变换
设 x1 ,, xn ； y1 ,, yn 是Vn的两个基，则
设 x1 ,, xn ；y1 ,, yn 是V n 的两个基，则
y1 c11 x1 c21 x2 cn1 xn y c x c x c x 2 12 1 22 2 n2 n yn c1n x1 c2 n x2 cnn xn y1 ,, yn x1 ,, xn C 或矩阵形式
（I）在V中定义一个加法运算，即当 x, y V
时，有唯一的和 x y V ，且加法运算满足 （ 1） x y z x y z （2） x y y x
（3）存在零元素0,使 x 0 x （４）存在负元素，即对x V ，存在向 量 y V ，使 x y 0 ，则称 y 为 x 的负元素， 记为 x ；
（Ⅱ）在Ｖ中定义数乘运算，即当 x V ,
k K 时，有唯一的 kx V ，且数乘运算满足
（５） k ( x y ) kx ky
（６） (k l ) x kx lx
(7)
k (lx) (kl ) x
1x x.
(8)
则称Ｖ为数域Ｋ上的线性空间或向量空间. 当Ｋ＝Ｒ时，称为实线性空间；
1 1 0 0 C1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , C2 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0
其中
所以有
( B1 , B2 , B3 , B4 ) ( A1 , A2 , A3 , A4 )C C2
1 1
于是得由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 C C1 C2 2 2 2 1 0 0 0 1 0
四.
线性子空间
1.定义 定义 设V1是数域K上的线性空间Ｖ的一 个非空子集合，且对已有的线性运算满足 （１）如果 x, y V1 , 则x y V1 （２）如果 x V1 , k K , 则kx V1 则称V1为Ｖ的线性子空间或子空间.
cm xm 0
则称向量组 x1 ,, xm 线性相关，否则称其为线
2.基与维数 定义 如果 x1 ,, xm 是线性空间Ｖ中的m个 元素且满足 （１） x1 ,, xm 线性无关； （２） x V 可由 x1 ,, xm 线性表示. 则 x1 ,, xm 称为Ｖ的一个基，m称Ｖ的维数 记 dim V m. 维数为m的线性空间Ｖ记 V ，
定义加法： 定义数乘：
( x1 y1 , x2 y2 , , xn yn )T
k ( kx1 , kx2 , , kxn )T ,
R n 是数域 R 上的线性空间。 C n 是数域 C 上的线性空间。
例
正弦函数的集合
S x a sin x b a , b R .
其中矩阵
c11 c12 c1n c21 c22 c2 n C c n1 cn 2 cnn
称为由基Ｉ到基Ⅱ的过渡矩阵. 上式称为基变
y1 ,, yn ） 换公式.（基Ｉ：x1 ,, xn ；基Ⅱ：
设 x V n 在基Ｉ与基Ⅱ下的坐标分别为
a a 1 a a 1 1;
(5) 1 a a 1 a;
(6) a a a
a a;
(7) a a a a a a
a a;Fra bibliotek映射，乘积 定义如下
(a) ( (a)), a S
是S到 S2 的一个映射.
注： ， ( ) ( ) （ 是 S2到S3的 映射）
二.线性空间及其性质
1.线性空间的定义
定义 设V 是一个非空集合，它的元素用 x, y , z 等表示，K是一个数域，它的元素用 k , l , 等 表示，如果V满足下列条件
m
当 m 时称为无限维线性空间.
定义 设线性空间 V 的一个基 x1 ,, xn,
n
x V
n
则称 1 , 2 , n 为x 在该基下的坐标，记为
1 ,2 ,n
定理
T
n n x , , x x V 设 1 n 是V 的一个基，
则x可唯一的表示成 x1 ,, xn 的线性组合.
当Ｋ＝Ｃ时，称为复线性空间.
例. 实数域上全体 n 维向量的集合
R n { ( x1 , x2 , , xn )T | x1 , x2 , , xn R }
( x1 , x2 , , xn )T , ( x1 , x2 , , xn )T R n , k R
1 ,2， , n 与1 ,2， ,n
T
T
即
1 1 2 2 x ( x1 , x2 , xn ) ( y1 , y2 ,, yn ) n n
'
其中 Pn是次数不超过n的实系数多项式的集合. 相等：设 1与 2 都是集合S到 S ' 的映射，如 果对于a S 都有 1 ( a ) 2 ( a ) ，则称 1与 2 相等，记为 1 2 .
乘法：设 , 依次是集合S到 S1 ， S1到S2 的
对于通常的函数加法及数与函数的乘法构成 线性空间． s1 s2 A1 sin x B1 A2 sin x B2
a1 cos x b1 sin x a2 cos x b2 sin x a1 a2 cos x b1 b2 sin x
'
'
个确定的元素 a’ 与之对应，记为
( a ) a 或 a a
称为集合S到 S’ 的映射，a’ 称为a 在映射
下的象，而a 称为 a’ 在映射σ下的一个原象.
变换：S到S自身的映射.
例如： 1 ( A) det A, A K nn
2 (a) aI , a K 3 ( f (t )) f (t ), f (t ) Pn
使 x c1 x1 c2 x2
cm xm
则称 x 为向量组 x1 ,, xm 的线性组合，也称向
量 x 可由 x1 ,, xm线性表示.
2.线性相关与线性无关 定义 对于 x1 ,, xm V，如果存在不全为零的 m个数 c1 , , cm K，使 c1 x1 c2 x2 性无关.
1,2,3 2,3,4 1,2,3,4 1,2,3 2,3,4 3,4,5,6,7
2. 数域
数域：是一个含0和1,且对加，减，乘，除（0
不为除数）封闭的数集.
例如：有理数域Q，实数域R，复数域C.
3. 映射
映射：设S 与S’ 是两个集合，一个法则（规则）
: S S ，它使S中的每个元素a 都有S 中一
k
证明R+是R上的线性空间.
证明 (1) a b ab ba b a;
( 2)(a b) c (ab) c (ab)c a (b c );
( 3) R 中存在零元素 1, 对任何 a R , 有
a 1 a 1 a; 1 (4) a R , 有负元素 a R ,使
01 01 02 02
所以零元素唯一. 设元素 x 有两个负元素 x1 , x2，由于
x1 x1 0 x1 ( x x2 ) ( x1 x) x2 x2
所以 任意元素有唯一负元素. 证毕
三.线性空间的基与维数
1.线性表示
定义：如果 x1 ,, xm 为线性空间Ｖ中的m个向 量，x V ，且存在数域Ｋ中一组数 c1 ,, cm
此式称为坐标变换公式.
例 已知矩阵空间K22的两个基
1 0 1 （Ｉ） A , A2 1 0 0 1 0 1 0 1 A3 , A4 1 0 1 0 1 1 1 1 （Ⅱ） B , B2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 B3 , B3 0 0 0 0 0 1
1 1 2 2 所以 x ( x1 , x2 , xn ) ( x1 , x2 ,, xn )C n n T T 1 ,2 ,,n C 1 ,2 ,,n 则有
求基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵.
解
采用中介基方法. 引入K22的简单基
（Ⅲ） E11, E12 , E21, E22 则
( A1 , A2 , A3 , A4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C1 ( B1 , B2 , B3 , B4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C2
第一章
线性空间与线性变换
1.1 线性空间
1.2 线性变换及其矩阵 1.3 两个特殊的线性空间
1.1 线性空间
一. 集合与映射 1. 集合 集合：作为整体看的一堆东西. 集合的元素：组成集合的事物.
设S表示集合，a表示S的元素，记为 a S
读为a属于S；用记号 aS 表示a 不属于S.
集合的表示：(1 ) 列举法
(8) (a b) (ab) ab a b
a b a b.
所以R
对所定义的运算构成线性空间．
2.线性空间的性质 定理 线性空间Ｖ有唯一的零元素，任一
元素也有唯一的负元素.
证 设 01 ,02是Ｖ的两个零元素，由于
(2) 特征性质法 M a a具有的性质 例如 P ( x, y ) x 2 y 1 空集合：不包含任何元素的集合，记为 子集合：设 S1与S2 表示两个集合，如果集合 S1 都是集合 S2 的元素，即由 a S1 a S2 ，
