第1讲 机械振动(可编辑word)

简谐运动在弹簧下端挂一个小球，拉一下小球，它就以原来的平衡位置为中心上下做往复运动。

物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。

振动现象在自然界中是广泛存在的．研究振动要从最简单、最基本的振动着手，这种振动叫做简谐运动。

弹簧振子把一个有孔的小球安在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑的水平杆上，可以在杆上滑动，小球和水平杆之间的摩擦忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略不计。

这样的系统称为弹簧振子，其中的小球常称为振子。

振子在振动过程中，所受的重力和支持力平衡，对振子的运动没有影响．使振子发生振动的只有弹簧的弹力，这个力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反，总指向平衡位置，它的作用是使振子能返回平衡位置，所以叫做回复力．根据胡克定律，在弹簧发生弹性形变时，弹簧振子的回复力F跟振子偏离平衡位置的位移x成正比，即式中的k是比例常数，也就是弹簧的劲度，负号表示回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反．简谐运动的条件物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动．简谐运动是最简单、最基本的机械振动，图中表示了简谐运动的几个实例．振幅、周期和频率描述简谐运动的物理量有振幅、周期和频率．振幅振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅．用A表示.振幅是表示振动强弱的物理量．周期做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期．用T表示.频率单位时间内完成的全振动的次数，叫做振动的频率．用f表示.周期和频率都是表示振动快慢的物理量．周期越短，频率越大，表示振动越快．它们的关系是在国际单位制中，周期的单位是秒，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz．1 Hz = 1 s-1．1s内完成n次全振动，频率就是n，单位是Hz．简谐运动的频率由振动系统本身的性质所决定．如弹簧振子的频率由弹簧的劲度和振子的质量所决定，与振幅的大小无关，因此又称为振动系统的固有频率．单摆单摆如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置就叫做单摆．单摆是实际摆的理想化的物理模型．在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力．当摆球运动到任一点P时,其中l为摆长，x为摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F与位移x的方向相反．由于m、g、l都有一定的数值，mg/l可以用一个常数表示，上式可以写成可见，在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动．单摆振动的周期性单摆的周期跟哪些因素有关呢？我们用实验研究这个问题．大量实验表明，单摆的周期跟单摆的振幅没有关系; 跟摆球的质量没有关系;跟摆长有关系, 摆长越长，周期越大.荷兰物理学家惠更斯（1629—1695）研究了单摆的振动，发现单摆做简谐运动的周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关，并且确定了如下的单摆周期的公式：摆在实际中有很多应用，利用摆的等时性发明了带摆的计时器，摆的周期可以通过改变摆长来调节，计时很方便．另外,单摆的周期和摆长容易用实验准确地测定出来，所以可利用单摆准确地测定各地的重力加速度．简谐运动的图象做简谐运动的物体,它的运动情况也可以用图象直观地表示出来．把沙流形成的图象画在纸上,就是振动图象. 以横轴OO’表示时间，以纵轴表示位移, 则振动图象表示了振动质点的位移随时间变化的规律,可以看出所有简谐运动的振动图象都是正弦或余弦曲线．利用振动图象,可以知道振动物体的振幅和周期,可以求出任意时刻振动质点对平衡位置的位移.记录振动的方法在实际中有很多应用．医院里的心电图仪，监测地震的地震仪等，都是用这种方法记录振动情况的．简谐运动的能量阻尼振动简谐运动的能量弹簧振子和单摆在振动过程中动能和势能不断地发生转化．在平衡位置时，动能最大，势能最小；在位移最大时，势能最大，动能为零．在任意时刻动能和势能的总和，就是振动系统的总机械能．弹簧振子和单摆是在弹力或重力的作用下发生振动的，如果不考虑摩擦和空气阻力，只有弹力或重力做功，那么振动系统的机械能守恒．振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大．对简谐运动来说，一旦供给振动系统以一定的能量，使它开始振动，由于机械能守恒，它就以一定的振幅永不停息地振动下去．简谐运动是一种理想化的振动．阻尼振动实际的振动系统不可避免地要受到摩擦和其他阻力，即受到阻尼的作用．系统克服阻尼的作用做功，系统的机械能就要损耗．系统的机械能随着时间逐渐减少，振动的振幅也逐渐减小，待到机械能耗尽之时，振动就停下来了．这种振幅逐渐减小的振动，叫做阻尼振动．该图是阻尼振动的振动图象．振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，振动停下来也越快．阻尼过大时，系统将不能发生振动．阻尼越小，振幅减小得越慢．受迫振动共振受迫振动阻尼振动最终要停下来，那么怎样才能得到持续的周期性振动呢？最简单的办法是用周期性的外力作用于振动系统，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，使系统持续地振动下去．这种周期性的外力叫做驱动力，物体在外界驱动力作用下的振动叫做受迫振动．跳板在人走过时发生的振动，机器底座在机器运转时发生的振动，都是受迫振动的实例．受迫振动的频率跟什么有关呢？我们用如图所示的装置研究这个问题．匀速地转动把手时，把手给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动．这个驱动力的周期跟把手转动的周期是相同的．用不同的转速匀速地转动把手．可以看到，振子做受迫振动的周期总等于驱动力的周期．实验表明，物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系．共振虽然物体做受迫振动的频率跟物体的固有频率无关，但是不同的受迫振动的频率，随着它接近物体的固有频率的程度不同，振动的情况也大为不同．我们来观察下面的实验在一根张紧的绳上挂几个摆，其中A、B、C的摆长相等,摆的频率决定于摆长.当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动．这个驱动力的频率等于A摆的频率．实验表明：固有频率跟驱动力频率相等的B摆和C摆，振幅最大；固有频率跟驱动力频率相差最大的D摆，振幅最小．图中所示的曲线表示受迫振动的振幅A与驱动力的频率f的关系．可以看出：驱动力的频率f等于振动物体的固有频率f’时，振幅最大；驱动力的频率f跟固有频率f’相差越大，振幅越小．驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振．共振的应用和防止共振现象有许多应用．把一些不同长度的钢片装在同一个支架上，可用来制成测量发动机转速的转速计．使转速计与开动着的机器紧密接触，机器的振动引起转速计的轻微振动，这时固有频率与机器转速一致的那个钢片发生共振，有显著的振幅．从刻度上读出这个钢片的固有频率，就可以知道机器的转速．共振筛是利用共振现象制成的．把筛子用四根弹簧支起来，在筛架上安装一个偏心轮，就成了共振筛．偏心轮在发动机的带动下发生转动时，适当调节偏心轮的转速，可以使筛子受到的驱动力的频率接近筛子的固有频率，这时筛子发生共振，有显著的振幅，提高了筛除杂物的效率．在某些情况下，共振也可能造成损害．军队或火车过桥时，整齐的步伐或车轮对铁轨接头处的撞击会对桥梁产生周期性的驱动力，如果驱动力的频率接近桥梁的固有频率，就可能使桥梁的振幅显著增大，以致使桥梁发生断裂．因此，部队过桥要用便步，以免产生周期性的驱动力．火车过桥要慢开，使驱动力的频率远小于桥梁的固有频率．轮船航行时，如果所受波浪冲击力的频率接近轮船左右摇摆的固有频率，可能使轮船倾覆．这时可以改变轮船的航向和速度，使波浪冲击力的频率远离轮船摇摆的固有频率．机器运转时，零部件的运动（如活塞的运动、轮的转动）会产生周期性的驱动力，如果驱动力的频率接近机器本身或支持物的固有频率，就会发生共振，使机器或支持物受到损坏．这时要采取措施，如调节机器的转速，使驱动力的频率与机器或支持物的固有频率不一致．同样，厂房建筑物的固有频率也不能处在机器所能引起的振动频率范围之内．总之，在需要利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于振动物体的固有频率；在需要防止共振时，应使驱动力的频率与振动物体的固有频率不同，而且相差越大越好．。

第1节机械振动一、简谐运动的特征1．简谐运动(1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。

(3)回复力①定义：使物体返回到平衡位置的力。

②方向：总是指向平衡位置。

③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。

2．简谐运动的两种模型1．简谐运动的表达式(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。

(2)运动学表达式：x＝A sin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf，表示简谐运动的快慢，ωt＋φ代表运动的相位，φ代表初相位。

2．简谐运动的图象(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，图象如图甲所示。

甲乙(2)从最大位置开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt，图象如图乙所示。

三、受迫振动和共振1．受迫振动(1)概念：振动系统在周期性驱动力作用下的振动。

(2)特点：受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。

2．共振(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大。

(2)条件：驱动力的频率等于固有频率。

(3)特征：共振时振幅最大。

(4)共振曲线(如图所示)。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。

(×)(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。

(×)(3)公式x＝A sin ωt说明是从平衡位置开始计时。

(√)(4)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹。

(×)(5)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。

(√)(6)物体受迫振动的频率与驱动力的频率无关。

(×)2．(多选)做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，相同的物理量是()A．位移B．速度C．加速度D．回复力E．动量ACD[简谐运动的位移是指由平衡位置指向物体所在位置的有向线段，物体经过同一位置时，运动位移一定相同，选项A正确；回复力产生加速度，回复力与位移满足F＝－kx的关系，只要位移相同，回复力一定相同，回复力产生的加速度也一定相同，选项C、D正确；经过同一位置，可能远离平衡位置，也可能靠近平衡位置，因此，速度的方向可能相反，选项B、E错误。

学员编号：年级：高三学员姓名：辅导科目物理第 5 课课题高中部分第十一讲:机械振动和机械波教学目标 1 简谐运动 2 单摆 3 受迫振动 4 机械波的形成过程 5 波长、频率和波速重点、难点准确理解波的概念及波的计算问题教学内容一、机械振动定义：物体或物体的一部分在某中心位置两侧所做的往复运动叫机械振动。

特点：是一种比较复杂的运动形式，具有往复周期性，是一种加速度大小、方向时刻改变的变速运动，匀速运动的公式不再适用。

回复力：振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力，使物体返回平衡位置的力注意：①恢复力不一定是物体所受的合力，例单摆②回复力的意义是指向平衡位置方向上的合力③恢复力是根据效果命名的平衡位置：恢复力为零的位置，并非合外力为零的位置。

例如单摆。

位移：是离开平衡位置的位移二、简谐运动定义：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

表达式为：F= -kxF=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。

凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱，无正负之分。

周期和频率：表示振动快慢的物理量。

完成一次全振动所用的时间叫周期，单位时间内完成全振动次数叫频率，大小由系统本身的性质决定，所以叫固有周期和频率。

任何简谐运动都有共同的周期公式：T = 2m （其中m 是振动物体的质量，k 是回复力系数，即简谐运动的判定式F= -kx 中的比例k系数，对于弹簧振子k 就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。

三、弹簧振子（1）说明回复力、加速度、速度、动能和势能的变化规律（周期性和对称性）①回复力指向平衡位置。

②位移从平衡位置开始。

（2）周期T = 2m ，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。

k（3）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是T = 2m 。

第十二章第1讲机械振动一、选择题(本大题共10小题，每小题7分，共70分．第1～6题只有一项符合题目要求，第7～10题有多项符合题目要求．全部选对的得7分，选对但不全的得4分，有选错的得0分．)1．如图12－1－17所示，弹簧振子在A和B间做简谐运动，O为平衡位置，振子从O点运动到A点的过程中，关于它的运动状况，下列说法中正确的是()图12－1－17A．做匀加速运动B．做加速度不断减小的加速运动C．做加速度不断增大的加速运动D．做加速度不断增大的减速运动【解析】做简谐运动的物体离开平衡位置的过程中，其回复力不断增大，所以加速度不断增大，由于速度和回复力方向相反，所以速度不断减小．【答案】 D2．一弹簧振子做简谐运动，则下列说法正确的是()A．若位移为负值，则速度肯定为正值B．振子通过平衡位置时速度为零，加速度最大C．振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也相同D．振子每次通过同一位置时，速度不肯定相同，但加速度肯定相同【解析】做简谐运动的物体的位移与回复力成正比，即F＝－kx，所以经过同一位置时，加速度相同，速度大小相等，但方向不肯定相同，只有D正确．【答案】 D3．铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必需留有肯定的间隙，匀速运行列车经过钢轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击．由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．一般钢轨长为12.6 m，列车固有振动周期为0.315 s．下列说法正确的是()A．列车的危急速率为20 m/sB．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行【解析】列车在钢轨上运动时，受钢轨对它的冲击力作用做受迫振动，当列车固有振动频率等于钢轨对它的冲击力的频率时，列车振动的振幅最大，因v＝lt＝12.6 m0.315 s＝40 m/s，故A错误；列车过桥做减速运动，是为了使驱动力频率远小于桥梁固有频率，防止桥发生共振现象，而不是列车发生共振现象，B、C错；增加钢轨的长度有利于列车高速运行，D对．【答案】 D4．如图12－1－18所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中错误的是()图12－1－18A．甲、乙两单摆的摆长相等B．甲摆的振幅比乙摆大C．甲摆的机械能比乙摆大D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆【解析】振幅可从题图上看出甲摆振幅大，且两摆周期相等，则摆长相等，因质量关系不明确，无法比较机械能．t＝0.5 s时乙摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度，故A、B、D正确，C错误．【答案】 C5．(2021·上海市崇明县期末)甲乙两单摆静止于平衡位置，摆球质量相同，摆长l甲＞l乙．现给摆球相同的水平初速v，让其在竖直平面内做小角度摇摆，它们的频率与能量分别为f1、f2和E1、E2，则它们的关系是()A．f1＞f2，E1＝E2B．f1＜f2，E1＝E2C．f1＜f2，E1＞E2D．f1＝f2，E1＜E2【解析】给摆球相同的水平初速v，相当于赐予单摆相同的机械能，E1＝E2，依据单摆周期公式知，甲单摆周期较大，频率较小，f1＜f2，选项B正确．【答案】 B6．如图12－1－19(甲)所示，竖直圆盘转动时，可带动固定在圆盘上的T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球，共同组成一个振动系统．当圆盘静止时，小球可稳定振动．现使圆盘以4 s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定．转变圆盘匀速转动的周期，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图(乙)所示，则()图12－1－19A．此振动系统的固有频率约为3 HzB．此振动系统的固有频率约为0.25 HzC．若圆盘匀速转动的周期增大，系统的振动频率不变D．若圆盘匀速转动的周期增大，共振曲线的峰值将向右移动【解析】本题考查受迫振动和共振现象，当驱动力的周期与固有周期相同时振幅最大，所以固有频率为3 Hz，A对，B错；受迫物体的振动周期由驱动力周期打算，所以圆盘匀速转动的周期增大，频率减小，C错；共振曲线的峰值向左移动，D错．【答案】 A7．下列各种运动中，属于简谐运动的是()A．拍皮球时，球做往复运动B．将两个与水平面成相同角的光滑斜面对接，一小球在两斜面上回滚动C．光滑水平面上，一端固定的轻弹簧组成的弹簧振子的往复运动D．将轻弹簧上端固定，下端拴一钩码，钩码在竖直方向上回运动【解析】物体是不是做简谐运动，关键是看受到的回复力是否满足F＝－kx 的形式．拍皮球时，球在上下运动时只受重力，不满足F＝－kx的形式，故A不正确．光滑斜面上，物体沿光滑斜面的分力F ＝mg sin θ是恒力，故B 错．水平弹簧振子的振动由弹簧的弹力供应回复力，且具有F ＝－kx 的形式，所以C 正确．易知D 正确．【答案】 CD8．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sin π4t ，则质点( ) A ．第1 s 末与第3 s 末的位移相同 B ．第 1 s 末与第3 s 末的速度相同 C ．3 s 末至5 s 末的位移方向都相同 D ．3 s 末至5 s 末的速度方向都相同【解析】 依据x ＝A sin π4t 知，第1 s 末和第3 s 末位移相同，A 正确；速度大小相同，方向相反，B 错误．第3 s 末至5 s 末位移方向发生变化，速度方向保持不变，C 错误，D 正确．【答案】 AD9．某振动系统的固有频率为f 0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f .若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是( )A ．当f ＜f 0时，该振动系统的振幅随f 增大而减小B ．当f ＞f 0时，该振动系统的振幅随f 减小而增大C ．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f 0D ．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f【解析】 受迫振动的振幅A 随驱动力的频率变化规律如图所示，明显A 错，B 对．稳定时系统的频率等于驱动力的频率，即C 错，D 对．【答案】 BD10．一质点做简谐运动的振动图象如图12－1－20所示，质点的速度与加速度方向相同的时间段是( )图12－1－20A ．0～0.3 sB ．0.3 s ～0.6 sC ．0.6 s ～0.9 sD ．0.9 s ～1.2 s 【解析】 质点做简谐运动时加速度方向与回复力方向相同，与位移方向相反，总是指向平衡位置；位移增加时速度与位移方向相同，位移减小时速度与位移方向相反，故位移减小时加速度与速度方向相同．故B 、D 正确．【答案】 BD二、非选择题(本大题共2小题，共30分．计算题要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位．)11．(14分)甲、乙二人都用同一个装置争辩弹簧振子做简谐运动的图象，结果在长度相同的纸带上分别留下如图12－1－21中(a)、(b)所示的图象，试求甲、乙二人拉动纸带的速度之比．图12－1－21【解析】 设甲匀速拉动纸带的速度为v 甲，乙匀速拉动纸带的速度为v 乙．因甲、乙二人使用同一试验装置，所以其振动周期相同，从题中图象可看出甲在拉动纸带时振子振动时间为T ，而乙拉动纸带时振子振动时间为7T4，而甲、乙二人匀速拉动相同长度的纸带，有s v 甲＝T ，s v 乙＝74T ，所以v 甲v 乙＝74.【答案】 74 12.图12－1－22(16分)一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图12－1－22所示． (1)求t ＝0.25×10－2 s 时的位移；(2)在t ＝1.5×10－2 s 到2×10－2 s 的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？(3)在t ＝0至8.5×10－2 s 时间内，质点的路程多大？ 【解析】 (1)由图可知A ＝2 cm ，T ＝2×10－2 s ，振动方程为 x ＝A sin(ωt －π2)＝－A cos ωt ＝－2cos 2π2×10－2t cm ＝－2cos(102πt ) cm 当t ＝0.25×10－2 s时x ＝－2cos π4 cm ＝－ 2 cm.(2)由图可知在1.5×10－2 s ～2×10－2 s 内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．(3)从t ＝0至8.5×10－2 s 的时间内质点的路程为s ＝17A ＝34 cm.【答案】 (1)－ 2 cm (2)位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大 (3)34 cm。

机械振动一章习题解答习题12—1 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使单摆与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止位置放手任其振动，从放手时开始计时，若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为：［ ］ (A) θ。

(B) π。

(C) 0。

(D) 2π。

易判断该单摆振动的初位相为“0”(C) 。

习题12—2 轻弹簧上端固定，下端系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1下边又系一质量为m 2的物体，于是弹簧又伸长了x ∆，若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为：［ ］ (A) g m x m T 122∆=π。

(B) g m xm T 212∆=π。

(C) g m m x m T )(2211+∆=π。

(D) gm m xm T )(2212+∆=π。

解：谐振子的振动周期只与其本身的弹性与惯性有关，即与其倔强系数k 和质量m 有关。

其倔强系数k 可由题设条件求出g m x k 2=∆ 所以xgm k ∆=2 该振子的质量为m 1，故其振动周期为 gm xm k m T 21122∆==ππ 应当选择答案(B)。

习题12—3 两倔强系数分别为k 1和k 2的轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m 的物体，构成一个竖挂的弹簧谐振子，则该系统的振动周期为：［ ］题解12―1 图(A) 21212)(2k k k k m T +=π。

(B) 212k k mT +=π。

(C) 2121)(2k k k k m T +=π。

(D) 2122k k mT +=π。

解：两弹簧串联的等效倔强系数为2121k k k k k +=，因此，该系统的振动周期为2121)(22k k k k m k mT +==ππ 所以应当选择答案(C)。

习题12—4 一质点作简谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向X 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为：［ ］(A) T /4。

(B) T /12。

一、题型归纳1. 巧用时间的对称性［例 1］一质点在平衡位置 O 点两侧做简谐运动，在它从平衡位置 O 出发向最大位 移 A 处运动过程中经 0.15s 第一次通过 M 点，再经 0.1s 第2次通过 M 点。

则此 后还要经多长时间第 3 次通过解析： 由于质点从 M0.05s ，所以质点从平衡位置［例 3］ 如图 3 所示，质量为 m 的物体放在质量为 M 的平台上，随平台在竖直方向上做简谐 运动，振幅为A ，运动到最高点时，物体 m对平台的压力恰好为零，当 m运动到最低点时， 求 m 的加速度。

解析： 我们容易证明， 物体 m 在竖直平面内做简谐运动， 由小球运动到最高点时对 M 的压力为零，即知道物体 m 在运动到最高点时的加速度为 g ，由简谐运动的对称性知道，物体 m 运动到最 低点时的加速度和最高点的加速度大小相等，方向相反，故小球运动到最低点时的加速度的大小为 g，方向竖直向上。

［例 4］轻弹簧(劲度系数为 k )的下端固定在地面上，其上端和一质量为 M 的木板 B 相连 接，在木板 B上又放有一个质量为 m 的物块 P 。

当系统上下振动时，欲使 P 、B 始终不分 离，则轻弹簧的最大压缩量为多大？解析：从简谐运动的角度看， 木板 B 和物块 P 的总重力与弹簧弹力的合力充当回复力， 即 F合 kx；从简单连接体的角度看，系统受到的合外力产生了系统的加速度a ，即F合 (M m)a ，由以上两式可解为 kx (M m)a 。

当 P 和 B 在平衡位置下方时， 系统处于超重状态， P 不可能和 B分离，因此 P 和 B 分离的位置一定在上方最大位移处，且 P 和 B 一起运动的最大加速度 a m g 。

由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为a m g，所以轻弹簧的最大压缩量应满足关x 2(M m)g系式kx m (M m)g (M m)a m，即得xmk 。

3. 巧用速度的对称性［例 5］ 如图所示是一水平弹簧振子在 5s 内的振动图象。