社会统计学(卢淑华),第五章

i 2
仍然服从自由度为k的 X2 的平方分布。
.
性质2：
如果随机变量 和 独立，并且分别服
从自由度为K1与K2的X2 分布，则其和 服从自由度为K1 + K2的X2分布。
.
例题Leabharlann Baidu
已知：k=10，a=0.05，求X2 0.05( 10)=?
已知：k=9，a=0.025，求满足 p(X2＜ X2 1-a )=a中的X2 1-a
.
二、t分布（学生分布）
1、设随机变量 与 独立，且 服从标准正态
分布， 服从自由度为K的X2的分布，则随机变
量 t 的分布密度为：
k
t z
k 2
k
1
k21zk2
k 2
1
称之为：自由度为k的t分布
.
t分布图
.
2、性质：t分布的分布曲线是关于z=0对称
的，当k= 时，t分布将趋于标准正态分布
.
当 0 ， 1 时，记做 N 0,1
一般正态分布记做 N , 2 ，
标准分以均值基点，以标准差为度量
.
例
某地家庭平均娱乐费支出为120元，标准差 为5元，如果某家庭的娱乐费支出为130 元，标准分为多少？
.
二、正态分布 N , 2 和标准正态分布 N 0,1面积乊间的对应关系
.
面积的概率分析
每小块面积=长×宽=
xi xi
P
xi
xi 2
xi
xi 2
因此任意两点 x1 x2 曲线下的概率，就是把从x1到x2点
所有这些小块面积加起来：
x
2
i x1
当 xi 0 ，任意两点之间的概率为
x2 x1
.
取值区间的概率值
任意两点x1 x2间的概率为：
x2
x1
正态分布的几个典型取值区间的概率值：
例二： µ相同而σ不同：如果 1 2 60
1 10 ， 2 20 ，比较甲、乙的成绩。
.
第三节 标准正态分布表的使用
一、查表方法：
附表4，1、3、5、7列z的不同取值，2、4、
6、8列给出的是对应式的
2
e 面积
z
z
1
2
t2 d t
.
图示
.
例：
1、已知ξ 服从标准正态分布 N 0,1 ，求
（当k>30时，分布曲线就差不多相同 了）。正态分布是其极限分布。 3、查表，对不同自由度k及不同的数
α（0< α<1)给出满足等式
t
的tα值
.
例题
已知：k=10，a=0.05，求 t0.05(10)=
.
三：F分布
1、设随机变量 与 独立，且都服从X2分
布，自由度分别为k1及k2。
k1
二者分布图的区别只在于对称轴不同，前者 以µ为轴，后者以0为轴。
几个典型取值区间
P1 z 1 0.6827
P 2 z 2 0.9546 P 3 z 3 0.9973
.
例：
例1：σ相同而µ不同。学习成绩：甲位于一班， 乙位于二班。一班平均成绩80分，二班平均成绩 60分，甲成绩80分，乙成绩80分。σ相同，为 10，比较二者在班上的成绩。
量的平均值 n 与单个随机变量的数学期望 的
差可以任意的小，这个事实以接近于1的很大
概率来说是正确的，即 n 趋近于数学期望
3、实际:意义可以用抽样的均值 做为总体均 n
.
四、中心极限定理
1、表述方式：
设 1 ， 2，…， k 为独立同分布的随机变
量，不管其分布如何，只要 D 2
i
i
存在，则对x有
lim e d n
1
t2
x
2
n P n x 2
t
.
2、中心极限定理的意义
1）对随机变量 的原有分布不做要求，
因此，从理论上说明了正态分布的重要 性 2）它为样本容量的确定和大样本(n大于 等于50)情况下的统计推论提供了理论依 据。 3）在社会调查中使用价值广。 4）在抽样调查中有着重要意义。
2、中心极限定理：研究在什么条件下， 随机变量之和的分布可以近似为正态分 布，称中心极限定理。
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一、切贝谢夫丌等式：
定义：如果随机变量 ，有数学期望 E 和 D
方差，则不论 的分布如何，对于任何数 ，
都可以断言， 和 E 的绝对离差大于等于 的
概率，不超过 D 2 ，即
P
E
D
的分布密度为：
x2 k
1 k 22 0
x x k 2 1 e2 k当
0
k2
当x 0
将其称为自由度为K的X2分布，记做X2(k)
.
卡方分布图
分布图形：偏左侧分布，随自由度的增加，图 形渐趋对称。
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卡方分布性质
性质1
如果随机变量 1 ， 2 ，…… k 相互独立，
2
量：
x 2 1 k 2 i 1
则随机变量 F k 的分布密度为： 2
Fz
k k z
12
2
k1
2
k2 2•
k k k k k z k z
1
2 1
2
2 2
1
k1 1
2
k1k 2 22
0
当 Z0
当 z0
F k1 , k2 ，k1为第一自由度（分子）， k2为第二
自由度（分母）。 .
2、F分布的性质：为非对称分布。
第五讲
正态分布、常用统计分布和极限定理
第一节 正态分布
一、中心极限定理 对于任何变量，不管其分布如何，如果 把它们几个加在一起，当n 大于一定数之 后，那么其和的分布必然接近正态分 布。
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二、正态分布（常态分布、高斯分布）
1、分布密度曲线
特征： 1）曲线是单峰，有一个最高点 2）曲线在高峰处有一个对称轴。在轴的左右两边是对 称的。（对称轴x=µ） 3）曲线无论是向左或向右延伸，都会愈来愈接近横 轴，但不会和横轴相交，以横轴为渐进线。 2、正态分布的众值、中位值和均值三者是重叠的。
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三、切贝谢夫大数定理
1、定义：设随机变量 1 ， 2 …是相互独立服
从 同 一 分 布 ， 并 且 有 数 学 期 望 E i
差 Di 2 ，那么对于任何一个正数 ，
有：
nlimp
n
1
n 为 1 ， 2 …n个随即变量的平均值
2、含义：当实验次数n足够大时，n个随机变
3、查附表，对不同自由度（ k1 ，k2 ）及 不同的数α（0< α<1)，给出了满足等式
F
的Fα值
.
另一性质
F1 k1 , k2 1 F k2 , k1
已知：a=0.05，求：F0.95(10 15)
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第五节 大数定理不中心极限定理
1、大数定理：研究在什么条件下，随机 事件可以转化为不可能事件或必然事 件，即阐明大量随机现象平均结果稳定 性的一系列定理。
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σ的影响
σ越小，图形越尖瘦
.
5、 µ不σ的含义
µ
E
x xdx （数学期望）
σ
D
x
2
xdx
（标准差）
.
三、正态曲线下的面积
我们把正太曲线看做是一种极限的直方 图。它的组距甚小，以至中心值顶点的 连线已是一条平滑的曲线。而正太曲线 下的面积，实际就是由这无数个小直方 形拼接而成的。
2
或
P
E
D
12
.
二、贝努里大数定理
1、定义：设m是n次独立观察中事件A出现的
次数，而p是事件A在每次观察中出现的概率。
那么，对于任何一个正数 ，有
m
lim p p 1
n n
2、含义：在相同条件下进行多次观察时，随 机事件的频率 m n 有接近其概率的趋势。
意义：为用抽样成数来估计总体成数p奠定了 理论基础。
1）P 1.3 2）P 1.3 3）P1.3 2.3
2、ξ 满足N 0,1 ，P 0.05 ，求λ 值。
3、ξ 满足 N 50,52 ，求 P 61
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第四节 常用统计分布
一、X2分布（卡方分布） 1、设随机变量 1， 2， k 相互独立，且都服
从N(0,1)，其平方和：x 2 12 22 k2
， 之间：0.6827
2， 2 之间：0.9545
3，
3
之间：0.9973
（σ为组距）
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第二节 标准正态分布
一、标准分——Z值：Z x
e2
概率密度： z 1
z
2
2
x
e 1 x 2
2 2 2
当 0 ， 1 时 x z
因此，标准正态分布可以看作一般正态分布的一个特例。
.
3、正态分布的概率密度
x 1
x 2
• e 2 2
2
（µ和σ为两个变量）
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4、两个参数 µ不 σ 对曲线形态的影响
2一定： µ增大，图形右移；µ减小，图形左
移。但形状不变。 µ不变，2 值改变： σ越小，图形越尖瘦。
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µ的影响
µ增大，图形右移；µ减小，图形左移。但形 状不变。