理论力学第十一章动量矩定理
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理论力学-动量矩定理
§11-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩
vi vC vir
LC MC mivi ri mivi
?
ri 'mivir
LC ri0 mivC ri mivir
z
ri mivC ( mir 'i ) vC 0
LC ri mivir
LO
(rC
r
')
JzC mi (x12 y12 )
Jz m i r2 m i (x2 y2) mi[x12 ( y1 d )2 ]
0 mi (x12 y12 ) 2d mi y1 d 2 mi
Jz JzC md 2
4．组合法
已知：杆长为 l质量为 m，1 圆盘半径为 ，d质量为 . m2
2g
运动方程为
s v0
3R
2g
r
sin
2g
3R
r
t
例11-11 已知：如图所示均质圆环半径为r，质量为m，其上焊接 刚杆OA，杆长为r，质量也为m。用手扶住圆环使其在OA 水平位置静止。设圆环与地面间为纯滚动。 求：放手瞬时，圆环的角加速度，地面的摩擦力及法向 约束力。
A O
解: 整体质心为C，其受力如图所示
解： (1) LO JO m1v1r1 m2v2r2
(JO m1r12 m2r22 )
MO (F (e) ) (m1r1 m2r2 )g
由
dLO dt
MO (F(e))
,得
d
dt
(m1r1 m2r2 )g JO m1r12 m2r22
FN
（2）由质心运动定理
FN (m m1 m2 )g (m m1 m2 )aCy
理论力学11—动量矩定理
Q
m v
y
O
r
x
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一 点的矩。
11.2 动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量 矩的关系代入，得
d d M x (mv ) M x ( F ) d M x (mv ) M x ( F ) d t d t M x (mv ) M x ( F ) d t d d M y (mv ) M y ( F ) d M y (mv ) M y ( F ) d t d t M y (mv ) M y ( F ) d t d d M z (mv ) M z ( F ) d M z (mv ) M z ( F ) d t d t M z (mv ) M z ( F ) dt
11.2 动量矩定理
dr d ( mv ) F , v 因为 dt dt d M O (mv ) v mv r F 所以 dt
又因为 v mv 0, r F M O ( F ) 所以 z F MO(m v) MO(F)
N FOy
v
M
O
FOx m1g
LO J m2vR
M O ( F (e) ) M m2 g sin R
m2 g
11.2 动量矩定理
由
d ，有 LO mO ( Fi (e) ) dt
d ( J m2vR) M m2 g sin R dt v dv a ,于是解得 因 , R dt
O
y
M z (mv ) mvl ml
m v
y
O
r
x
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一 点的矩。
11.2 动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量 矩的关系代入，得
d d M x (mv ) M x ( F ) d M x (mv ) M x ( F ) d t d t M x (mv ) M x ( F ) d t d d M y (mv ) M y ( F ) d M y (mv ) M y ( F ) d t d t M y (mv ) M y ( F ) d t d d M z (mv ) M z ( F ) d M z (mv ) M z ( F ) d t d t M z (mv ) M z ( F ) dt
11.2 动量矩定理
dr d ( mv ) F , v 因为 dt dt d M O (mv ) v mv r F 所以 dt
又因为 v mv 0, r F M O ( F ) 所以 z F MO(m v) MO(F)
N FOy
v
M
O
FOx m1g
LO J m2vR
M O ( F (e) ) M m2 g sin R
m2 g
11.2 动量矩定理
由
d ，有 LO mO ( Fi (e) ) dt
d ( J m2vR) M m2 g sin R dt v dv a ,于是解得 因 , R dt
O
y
M z (mv ) mvl ml
动量矩定理
第十一章动量矩定理§11-1 引言建立质点或质点系的动量对于某固定点（或固定轴）的矩的变化与作用在该质点或质点系上的力系对同一点（或轴）的主矩之间的关系。
Pr ωε§11-2 动量矩一、质点动量矩Vm r V m M L o o r r r r r ×==)(的动量矩为则质点对固定点的速度为时作空间曲线运动，在瞬的作用下在力的质点设质量为O V t F M m ,r r 方向：右手螺旋法则大小：OAB o S d mV L ∆==2)(1、动量对点之矩V m r L o r r r ×=2、动量对轴之矩)(V m M L z z r =正负：右手规则是标量z L 质点对O 点的动量矩矢在通过O 点的任意轴上的投影，等于质点对该轴的动量矩。
zz O L L =)(r OabS ∆±=2d v m ′′±=)(二、质点系动量矩各质点动量对某点O 的矩的矢量和（即质点系动量对O 点的主矩）称为该质点系对点的动量矩。
n n n o V m r V m r V m r L r r L r r r r r ×++×+×=222111各质点动量对某轴的矩的代数和称为该质点系对该轴的动量矩。
)()()(2211n n z z z z V m M V m M V m M L r L r r +++=∑=)(i i O V m M r r ∑×=i i i V m r r r ∑=)(i i z V m M rV m r L o r r r ×=由§11-3 质点的动量矩定理V m dt r d dt V m d r dt V m r d r r r r r r ×+×=×)()(得：V dt r d r r =∴dt V m r d )(r r ×∴O 点为固定点V m dt r d r r ×∴一、矢量形式0=V m V r r ×=F r r r ×=dt V m d r )(r r ×=oM F)()(F M dt L d F r dt V m r d o o r r r r r r r =×=×或质点的动量对任一固定点的矩对时间的导数等于作用于该质点的力对同一点的矩。
11)动量矩定理
动量矩定理
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用力对同一点的矩
第十一章 动量矩定理
2、质点系的动量矩定理
根据质点动量矩定理：
e i d M O mi vi M O Fi M O Fi dt e i d 对于质点系： M O mi vi M O Fi M O Fi dt i 内力总是成对出现： M O Fi 0
时圆盘和人静止，求圆盘的角速度和角加速度
z
v
B
R
O
r
第十一章 动量矩定理
§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
z
F1
O1
定轴转动刚体的动量矩： L J z z
Fn
d 根据动量矩定理： J z M z Fi dt d d 2 Jz J z J z 2 M z F dt dt
第十一章 动量矩定理
将 mi vi mvC 和 vi vC vir 代入： rC mi vi ri mi vi rC mvC ri mi vC vir rC mvC mi ri vC ri mi vir
C
A
e
r
P
第十一章 动量矩定理
3、相对于质心的动量矩定理
dLO d e ri rC ri rC mvC LC ri Fi dt dt e e 右边 rC Fi ri Fi drC dLC d 左边 mvC rC mvC dt dt dt e dLC vC mvC rC maC maC Fi dt e dLC rC Fi dt
理论力学-动量矩定理
d rC d vC vC , aC , dt dt
n d LC ri Fi e dt i
vC vC 0 ,
m a C Fie
n dLC M C (Fie ) dt i
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
n n d LC e e ri Fi M C ( Fi ) i dt i
m v
i
i
m vC
LO rC m vC LC
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，
n d LO d ( rC m vC LC ) ri Fi e dt dt i
ri rC rr
n n d rC d vC d LC e rC Fi ri Fi e m vC rC m dt dt dt i i
即有
LC ri mi vir
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩 之间存在确定的关系。 质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi vi
i
因为 所以有 因为 所以有
ri rC rr
LO rC mi v i ri mi v i
刚体定轴转动微分方程
例 题 1
图示钟摆简化模型中，已知均质细杆 和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ，杆 长为l，圆盘直径为d。
ϕ
试求：钟摆作小摆动时的周期。 解：摆绕O轴作定轴转动。设ϕ 为任意 时刻转过的角度，规定逆时针为正。根 据定轴转动的微分方程
J z M z
理论力学：第11章 动量矩定理
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
第十一章.动量矩定理(哈工大 理论力学课件)
1） 若 M z (e) mz (F (e) ) 0 ,则角加速度
体作匀速转动或 保持静止。
0, 恒量，刚
2） 若 M z (e) 常量，则α =常量，刚体作匀变速转动。
将 J z M z (e) 与 ma 转动惯性的度量。
25
F比较，刚体的转动惯量 J
z
是刚体
MO ( F ) MO (T ) M O (mg ) mglsin
l
运动分析： v l ,
方向 OM
M O (mv ) mll ml2
由动量矩定理： d M O ( mv ) M O ( F ) 即：
dt d (ml 2 ) mglsin dt
Fn
J z M z ( Fi )
或
d 2 Jz M z ( Fi ) dt
F2 ω FN2
24
——刚体绕定轴的转动微分方程
解决两类问题： （1）已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
（2）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。
但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。 特殊情况：
d (i ) (e) M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt
共有n个方程，相加后得：
d (i ) (e) M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt
M O ( Fi ) 0, d d d M O (mi vi ) M O (mi vi ) LO dt dt dt d (e) LO M O ( Fi ) dt
ω C vC
Lx mx (mvC ) J C mvc R J C
理论力学：第11章 动量矩定理
·1·第11章 动量矩定理11.1 主要内容11.1.1 质点系动量矩计算质点系对任意一点的动量矩为各质点的动量对同一点之矩的矢量和或质点系中各质点的动量对同一点的主矩，即∑∑==⨯==n i n i i i i i O O m m 11)(iv r v M L质点系对于某轴，例如对z 轴的动量矩为∑==n i i i z z m M L 1)(v刚体对转动轴z 轴的动量矩为z z I L =质点系相对于质心的动量矩为质点系中各点动量对质心的主矩，即i i ni i C m v r L ⨯'=∑=1i r '为第i 个质点对质心的矢径。
质点系对任意一点的动量矩等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。
C v r L L m C C O ⨯+=当刚体作平面运动时，又可表示为d mv L L C ±=C O其中d 为点至v C 的垂直距离，当C L 与矩d mv C 的符号相同时取正值，反之取负值， 11.1.2 质点系的动量矩定理（1）对固定点的动量矩定理质点系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩，即)(e O O dt d M L =在直角坐标系上的投影式为·2·⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∑=∑=∑=)()()()()()(e z z e y y e x x M dt dL M dt dL M dt dL F F F（2）质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。
即(e)C C M L =dt d 或 (e)C Cr M L =dt d式中Cr L 为质点系相对于质心平移坐标系的运动对质心的动量矩。
(3) 动量矩守恒定律在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零，则质点系对O 点的动量矩为一常矢量，即()0=e OM ，常矢量=O L 或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质点系对该轴的动量矩为一常数，例如0)()(=∑e x M F ，L x =常数11.1.3 刚体绕定轴转动微分方程若刚体绕固定轴z 的转动惯量为I z ，则刚体绕固定轴z 的微分方程为z z M tI =22d d ϕ 或z z M I =ε在工程中，常将转动惯量表示为2z z m I ρ=z ρ称为回转半径。
理论力学第十一章动量矩定理
当物体作直线运动时，可以用质量作为物体运动惯性的度量； 而当物体绕某轴转动时，转动惯性的大小不仅与质量有关，而 且与半径有关。物体的质量分布距转轴的距离越远，转动惯性 就越大，亦即，越不容易改变转动运动的状态。
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量； 两种特殊情况： （2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ， 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解 ：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量； 两种特殊情况： （2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ， 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解 ：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x
《理论力学》第十一章 动量矩定理
第十一章 动量矩定理
§11-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
MO (mv)
mv
M z (mv)
r
[MO (mv)]z Mz (mv)
对点 O 的动量矩
MO (mv) r mv 对 z 轴的动量矩
M z (mv) MO (mv)xy
代数量,从 z 轴正向看, 逆时针为正,顺时针为负.
2．质点系的动量矩
对点的动量矩
n
LO MO (mivi ) i 1
对轴的动量矩
n
Lz M z (mivi ) i 1
即 LO Lxi Ly j Lzk
二者关系
[LO ]z Lz
（1） 刚体平移 LO MO (mvC ) Lz Mz (mvC )
（2） 刚体绕定轴转动 Lz J z
(JO m1r12 m2r22 )
MO (F (e) ) (m1r1 m2r2 )g
由
dLO dt
MO (F(e))
,得
d
dt
(m1r1 m2r2 )g JO m1r12 m2r22
FN
（2）由质心运动定理
FN (m m1 m2 )g (m m1 m2 )aCy
Jz JzC md 2 式中 zC 轴为过质心且与 z轴平行的轴，d 为 z
与 zC 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过
质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量
与两轴间距离平方的乘积.
证明：
JzC mi (x12 y12 )
Jz m i r2 m i (x2 y2) mi[x12 ( y1 d )2 ]
§11-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
MO (mv)
mv
M z (mv)
r
[MO (mv)]z Mz (mv)
对点 O 的动量矩
MO (mv) r mv 对 z 轴的动量矩
M z (mv) MO (mv)xy
代数量,从 z 轴正向看, 逆时针为正,顺时针为负.
2．质点系的动量矩
对点的动量矩
n
LO MO (mivi ) i 1
对轴的动量矩
n
Lz M z (mivi ) i 1
即 LO Lxi Ly j Lzk
二者关系
[LO ]z Lz
（1） 刚体平移 LO MO (mvC ) Lz Mz (mvC )
（2） 刚体绕定轴转动 Lz J z
(JO m1r12 m2r22 )
MO (F (e) ) (m1r1 m2r2 )g
由
dLO dt
MO (F(e))
,得
d
dt
(m1r1 m2r2 )g JO m1r12 m2r22
FN
（2）由质心运动定理
FN (m m1 m2 )g (m m1 m2 )aCy
Jz JzC md 2 式中 zC 轴为过质心且与 z轴平行的轴，d 为 z
与 zC 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过
质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量
与两轴间距离平方的乘积.
证明：
JzC mi (x12 y12 )
Jz m i r2 m i (x2 y2) mi[x12 ( y1 d )2 ]
动量矩定理
第十一章 动量矩定理
Theorem of Angular Momentum
Law of Moment of Momentum
问题的提出： 图示定轴转动刚体，质心C过转轴，恒有
p mvC 0
可见： 动量只能反映刚体随质心运动的强弱， 不能反映刚体绕质心转动运动强弱。
C
本章基本内容：
1. 质点、质点系对点和轴的的动量矩概念及计算； 2. 质点、质点系对于固定点、固定轴及质心的动量矩定理； 3. 刚体定轴转动、刚体平面运动的微分方程及其应用。 4. 转动惯量概念及计算。
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 ：
Lx
M x (mv) MO (mv)x
LO
x
y mvz z mvy
Ly
M y (mv) MO (mv)y
LO
y
z mvx
x mvz
Lz
M z (mv)
MO (mv)z
LO
z
x mvy y mvx
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 —— 代数量。 其正负由右手法则确定。
zi y( y)
xi (xi)
Jz
?
mh2
由质心坐标的计算公式，有
mi yi myC 0
J z J z mh2
(11-20)
—— 转动惯量的平行轴定理
几点说明：
① 轴 z 与轴z′ 必须平行； ② z 轴必须过质心 C ；
③ 过质心 C 的转动惯量最小。
如： 均质杆，质量 m
Jz
1 12
ml2
—— 质点动量对某固定点O 的矩 将上式两边对时间求导，有
dLO d (r mv) dr mv r d (mv)
dt
Theorem of Angular Momentum
Law of Moment of Momentum
问题的提出： 图示定轴转动刚体，质心C过转轴，恒有
p mvC 0
可见： 动量只能反映刚体随质心运动的强弱， 不能反映刚体绕质心转动运动强弱。
C
本章基本内容：
1. 质点、质点系对点和轴的的动量矩概念及计算； 2. 质点、质点系对于固定点、固定轴及质心的动量矩定理； 3. 刚体定轴转动、刚体平面运动的微分方程及其应用。 4. 转动惯量概念及计算。
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 ：
Lx
M x (mv) MO (mv)x
LO
x
y mvz z mvy
Ly
M y (mv) MO (mv)y
LO
y
z mvx
x mvz
Lz
M z (mv)
MO (mv)z
LO
z
x mvy y mvx
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 —— 代数量。 其正负由右手法则确定。
zi y( y)
xi (xi)
Jz
?
mh2
由质心坐标的计算公式，有
mi yi myC 0
J z J z mh2
(11-20)
—— 转动惯量的平行轴定理
几点说明：
① 轴 z 与轴z′ 必须平行； ② z 轴必须过质心 C ；
③ 过质心 C 的转动惯量最小。
如： 均质杆，质量 m
Jz
1 12
ml2
—— 质点动量对某固定点O 的矩 将上式两边对时间求导，有
dLO d (r mv) dr mv r d (mv)
dt
理论力学第11章(动量矩定理)
线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕 z 轴的角速度为0。如某时 此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成a 角。不计各杆的质量，求这 时系统的角速度。
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
理论力学第11章动量矩定理
F1 b C
摆动的频率 ω0 和周期 T 分别是
mgb n ; JO
(a )
mg
21
第十一章结束
22
§11-3
23
2
ห้องสมุดไป่ตู้
§11-1
转动惯量
Z
一、刚体对轴的转动惯量
J Z mi ri 2
i 1
n
刚体对Ｚ轴的转动惯量
ri
mi vi
刚体上所有各mi与ri2的乘积之和称为刚体对z
轴的转动惯量，用符号Jz表示。
一个刚体的各质点离轴越远，它对该轴的转动 惯量越大；反之越小。 转动惯量是刚体转动惯性的度量，总是正标量。 量纲： dim J ML2 2 常用单位：
即：定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于该刚体 上的所有外力对转轴的力矩的代数和。这就是刚体的定轴转动微分方程。16
d 2 或 J M z (F ) z 2 dt
刚体的转动惯量是刚体转动时的惯性的量度。
J z M z ( F )
解决两类问题：
—刚体定轴转动微分方程
例 题
解: 此系统所受的重力和轴承的约束
力对于转轴的矩都等于零，因此系统 对于转轴的动量矩守恒。 当θ=0时，动量矩
θ l B
a
z a
a
z a
l A l
θ
B
A l
Lz1 2 ma0 a 2ma20
当 θ≠ 0 时，动量矩
Lz 2 2m(a l sin )2
因为 Lz1=Lz2 ，得
dm A 2 rdr
2 2
4
于是： J z r 2 dm R A 2 r 3dr 1 AR 4 1 mR 2 m 0
《理论力学》第十一章 动量矩定理
LO lOi ri mi v i
将动量矩投影到以O为原点的直角坐标轴上
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Lx l x mv m yv z zv y
L y l y mv m zv x xv z Lz l z mv m xv y yv x
（二）质点系的动量矩L
设质点系由n个质点组成，其中第i个质点 的质量为mi，速度为vi。 质系对任意固定点O的动量矩：
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
LO lOi ri mi v i
质系对任意固定点O的动量矩为各质点 的动量对O点矩的矢量和。
3、刚体动量矩的计算
1）刚体平动
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
例1：均质细长直杆长l，质量m1，与质量为m2,半径
为r，均质圆盘固结。已知角速度为,试求对转轴的 动量矩。 解：
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第十一章
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
动量矩定理
§1 动量矩（表征物体转动的物理量）
一、动量矩的定义及计算
1. 对任意固定点O的动量矩（矢量）：
质点对固定点的动量矩即质点的动量对固定点的矩： z lO r mv r p mv lo M r F
平轴z的转动惯量。轴z过O点垂直纸面
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JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC
miri 0） m
LC ri mivi ri mivir
即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或
FN
l
sin
aC
1 2
l
sin
6g sin l (13sin2
a
at
1
cos l cos
B
CB
2
3g sin cos 3sin2
O
mg
A
Cα
B
aC
FN
aB aCt B
aC
例11-7
滑轮C质量为m，可视为均 质圆盘。轮上绕以细绳， 绳的一端固定于O点，求滑 轮下降时轮心 C 的加速度 和绳的拉力。
■ 实际问题
？ 谁最先到达
顶点
■ 实际问题
？ 谁最先到达
顶点
■ 实际问题
？无论力偶加在
哪里，为什么 圆盘总是绕着 质心转动
■ 实际问题
？为什么二者转 动方向相反
■ 实际问题
航天器是怎样 实现姿态控制 的
§11-1 质点和质点系的动量矩
1. 质点的动量矩
MO mv r mv
动量矩矢量是定位矢量
v1
MO (F (e) ) (m1r1 m2r2 )g（顺时针）
m1 g
dLO M (F (e) )
dt
O
d
dt
(m1r1 m2r2 )g JO m1r12 m2r22
解：（2）由质心运动定理
FN (m m1 m2
aCy
yC
mi yi mi
)g
(m
m1
m2
)aCy
O
FN
m1a1 m2a2
以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同.
★一般情况下质点系的动量矩
LO ri mivi rC ri mivi rC mivi ri mivi
mivi m vC , ri mivi LC
LO rC mvC LC MO mvC LC 平面问题 LO MO mvC LC
第十一章 动量矩定理
第十(Th二eor章em of动the量Mo矩men定t of理Momentum)
2020年9月29日
第十一章 动量矩定理
§11-1 质点和质点系的动量矩 §11-2 刚体对轴的转动惯量（§11-4 ）
§11-3 动量矩定理（§11-2 ）
§11-4 刚体绕定轴的转动微分方程（§11-3 ） §11-5 质点系相对于质心的动量矩定理 §11-6 刚体的平面运动微分方程
（2）鼓轮纯滚动的条件。
解：以鼓轮为对象，受力为P、 FT 、 FN 、 FS 。
平面运动微分方程：
P
r
maC FT FS
C
0 FN P mC2 FSR FTr
R
FT
FSБайду номын сангаас
FN
共有四个未知量，需补充运动学条件（纯滚动）： aC R
aC
RR
mR
r 2
FT
2 C
FS
Rr
2 C
FT
★常见规则形状物体的转动惯量
●均质圆盘（圆柱）：质量为m, 半径为R
R
O
JO
1 2
mR2
z
zC
●均质细直杆：质量为m，杆长为l O
C
JC
J zc
1 ml 2 12
Jo
Jz
1 3
ml 2
●均质圆环：质量为m，半径为R
JO mR2
★ 平行移轴定理
J z J zC md 2
C为质心
★ 回转半径
Jz
0
②
rC
d dt
mvC
rC
Fie
③ rC Fie rC Fie
★质点系相对质心的动量矩定理
dLC
dt
ri Fi(e) 即
dLC dt
M
e C
质点系相对质心的动量矩定理
质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶 导数，等于作用于质点系上的外力系对质心的 主矩。
不仅适用于惯性参考系，而且适用于非惯 性参考系。
m
2 z
其中ρz —回转半径
★ 确定转动惯量的方法
● 积分法 ● 组合法 ● 实验法
§11-3 动量矩定理（§11-2 ）
★ 质点的动量矩定理 ★ 质点系的动量矩定理 ★ 动量矩守恒
★ 质点的动量矩定理
由
d(mv) F
dt
r d(mv) r F dt
r d(mv) d(r mv) dr mv
i1
i1
质点系对z轴的动量矩
n
Lz M z mivi i 1
3. 质点系为刚体时的动量矩
n
n
●刚体平移时 LO ri miv ( miri ) v = mrC v
i 1
i 1
LO rC mvC
●刚体定轴转动
z
n
n
L z M z mivi miviri
i n1
i 1n
FN
根据圆轮作纯滚动的条件 aC =r
F
1 2
maC
,
aC
2 3
gsin
2、圆轮不发生滑动所需要的最小摩擦因数:
F
1 mgsin
3
FN
fs
fsmin
1 3
tan
例11-5
质量为m、半径为R、惯性半径为c 的均质鼓轮，半径 r 处缠有细
绳，在水平拉力FT 的作用下发生纯滚动，不计滚动摩阻。
求：（1）鼓轮与地面的摩擦力FS及质心C 的加速度。
O C
解:取滑轮为研究对象，分析受力和运动。
应用平面运动微分方程得:
maC mg FT
1 2
mr 2
FT
r
补充运动学条件:
aC r
ac
2 3
g
FT
1 3
mg
O
mg
FT
Cα
aC
■ 思考
a
b
一细长杆和一圆盘按二种方式连接：a.刚 性连接（固结）b.铰接。问：运动时有什 么不同？
y
OF
W＝mxg
θ FN
2、圆轮在斜面上不发生滑动所需要的最小 摩擦因数。
解：分析圆轮的受力和运动
mxC maC mgsin F 由平面运动微分方程 myC 0 FN mgcos
JC Fr
解：1、根据平面运动微分方程
maC mgsin F
F
W＝mg
0 FN mgcos
θ
JC Fr
dLz
dt
M
e z
例11-1 已知 m、JO、m1、m2、r1、r2， 不计摩擦。
求：（1）滑轮转动的角加速度；
（2）滑轮O处的约束力； （3）绳索的拉力。
解：（1）取系统为研究对象
O FN
mg
LO JO m1v1r1？+ m2v2r2 v2
(JO m1r12 m2r22（) 顺时针） m2 g
R
2
2 C
纯滚动的条件为： FS fS FN
Rr
2 C
FT
R
2
2 C
fS mg
FT
fS mg
R2 Rr
2 C
2 C
P r C
R
FT
FS
FN
➢纯滚动时，摩擦力FS一般并未达到最大值，需通过方程求解。
➢纯滚动问题往往都需要补充运动学条件： aC R
例11-6
均质直杆AB长l ，质量 为m ，静止于光滑水平 面上如图所示。若突然 把绳 OA 剪断，求此瞬 时点 B 的加速度和杆AB 的角加速度。
mg
m m1 m2
(m1r1 m2r2 )
m m1 m2
v2
m2 g
v1
FN (m m1 m2 )g (m1r1 m2r2 )
m1 g