5.3 平行线的性质(基础训练)(解析版)

平行线及其判定1、基础知识(1）在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b 平行，则记作______．（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．(3）平行公理是：.（4)平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则______．(5）两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：①两条直线被第三条直线所截，如果______,那么这两条直线平行,这个判定方法1可简述为：______，两直线平行．②两条直线被第三条直线所截，如果__ _，那么，这个判定方法2可简述为： ______，______．③两条直线被第三条直线所截，如果_ _____那么______，这个判定方法3可简述为：2、已知：如图,请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么_____.(_______，_______)(2)如果∠2＝∠5，那么________。

(______，________）（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么_____。

（________，______）(4）如果∠5＝∠3，那么_______。

（_______，________）(5）如果∠4＋∠6＝180°，那么______.(_______,_____）(6）如果∠6＝∠3，那么________。

(________，_________)3、已知:如图,请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．（1)∵∠B＝∠3（已知),∴______∥______。

（______，______)（2)∵∠1＝∠D(已知），∴______∥______.（______，______）（3)∵∠2＝∠A（已知)，∴______∥______.（______，______）(4）∵∠B＋∠BCE＝180°(已知),∴______∥______。

平行线的性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系•【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等•（简记为：两直线平行，同位角相等）•定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）•定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁内角互补）.要点诠释：（1）"同位角相等、内错角相等”、"同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”.（2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.要点二、平行线的性质定理的探究过程1. 两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.因为a // b,所以/ 1 = Z 2 （两直线平行，同位角相等），又/ 3=/ 1 （对顶角相等）所以/ 2=/3.2. 两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁内角互补）.所以/ 3=/ 2 （两直线平行，内错角相等）又/ 3+/仁180°（补角的定义），所以/ 2+/仁180° .要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性•要点三、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系•平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行.联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关.（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角.【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用1. 如图所示，如果AB// DF, DE// BC,且/ 1 = 65。

5.3.1平行线的性质分层作业基础训练1．如图，直线a b ∥，直线l 与a ，b 分别交于点A ，B ，过点A 作AC b 于点C ，若160 ，则2 的度数为（）A ．120°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】D 【分析】根据垂直的定义可得90ACB ，再根据平行线的性质可得160ABC ，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：∵AC b 于点C ，∴90ACB ，∵a b ∥，∴160ABC ，∴2906030 ．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，掌握两直线平行、同位角相等是解答本题的关键．2．如图，直尺一边BC 与量角器的零刻度线AD 平行，已知EOD 的读数为65 ，设OE 与BC 交于点F ，则BFE 的度数等于()A ．135B ．115C ．105D ．100【答案】B 【分析】本题考查平行线性质和邻补角定义，根据平行线性质结合EOD ，推出BFO ，再结合邻补角即可解题．【详解】解：如图，BC AD ∵ ，65BFO EOD ，180115BFE BFO ．故选：B ．3．如图，将木条,a b 与c 钉在一起，且木条a 与木条c 交于点,180,260O ．要使木条a 与b 平行，则木条a 绕点O 顺时针旋转的度数至少为（）A ．10B ．20C ．30D ．50【答案】B【详解】如图．因为当260AOC 时，OA b ∥，所以要使木条a 与b 平行，木条a 绕点O 顺时针旋转的度数至少为806020 ．4．如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）A ．∵AD BC ∥，180BAD D （两直线平行，同旁内角互补）B ．∥∵AB CD ，180BCD ABC （两直线平行，同旁内角互补）C ．13 ∵，AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）D ．DAM CBM ∵，AD BC ∥（同位角相等，两直线平行）【答案】A【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，利用平行线的判定方法与性质逐一分析即可得到答案，熟记平行线的判定方法与平行线的性质是解本题的关键．【详解】解：∵AD BC ∥，180BAD ABC （两直线平行，同旁内角互补），故A 符合题意；∥∵AB CD ，180BCD ABC （两直线平行，同旁内角互补），故B 不符合题意；13 ∵，AB CD ∥（内错角相等，两直线平行），故C 不符合题意；DAM CBM ∵，AD BC ∥（同位角相等，两直线平行），故D 不符合题意；故选A5．如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB 与CD 平行，入射光线a 与出射光线b 平行．若入射光线a 与镜面AB 的夹角145 ，则4 的度数为（）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】B 【分析】本题考查了平行性的性质．熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．由题意知，21 ，3=4 ，由AB CD ，可得32 ，进而可求4 ．【详解】解：由题意知，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即21 ，3=4 ，∵AB CD ，∴3245 ，∴445 ，故选：B ．6．如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，与直线b 相交于点Q ，PM l 于点P ，若155 ，则2 的度数为（）A ．35B ．55C ．125D ．145【答案】A【分析】本题考查了平行线性质，根据两直线平行，同位角相等，平角的定义计算即可．【详解】如图，∵a b ，155 ，∴3155 ，∵34180,4920 ，∴18035243 ，故选A ．7．如图，,,ABF BFE E F 为直线CD 上两点，且BF 平分ABE ．若1108 ，则2 的度数为（）A ．36B ．54C ．72D ．80【答案】A【解析】略8．一块直角三角板和直尺按如图所示的方式放置．若155 ，则2 的度数是．【答案】35°【解析】略9．如图，一艘船在海面上航行，到达B 处时，看到灯塔A 在它的北偏东45 方向，达到C 处时，看到灯塔A 在它的北偏西30 方向．则BAC ．【答案】75 /75度【分析】本题考查方向角，关键是掌握方向角的定义．过A 作AD BE ，则AD CF ∥，由方向角的定义得到4530ABE ACF ，，然后由平行线的性质可得答案．【详解】解：过A 作AD BE ，则AD CF ∥，由题意得：4530ABE ACF ，，∵AD BE ，AD CF ∥，∴4530BAD ABE CAD ACF ，，∴75BAC BAD CAD ，故答案为：75 ．10．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点E 、D 、B 、F 在同一条直线上，若131ADE ，则DBC 的度数为．【答案】49 /49度【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义．先根据邻补角的性质求得ADF 的度数，再根据平行线的性质求解即可．【详解】解：∵131ADE ，∴49ADF ，∵AD BC ∥，∴49DBC ADF ．故答案为：49 ．11．生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，BA 垂直于地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，则ABC BCD °．【答案】270【分析】过点B 作BF AE ，如图，由于CD AE ∥，则BF CD ∥，根据两直线平行，同旁内角互补得180BCD CBF ，由AB AE 得AB BF ，即90ABF ，于是得到结论．本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．【详解】解：过点B 作BF AE ，如图，∵CD AE ∥，∴BF CD ∥，∴180BCD CBF ，∵AB AE ，∴AB BF ，∴90ABF ，90180270ABC BCD ABF CBF BCD ．故答案为：270．12．如图，直线12l l ∥，AB 交1l 于点D ，BC 交2l 于点E ，若132 ，2120 ，则3 度．【答案】92【分析】本题考查了平行线的性质，过点B 作1BF l ∥，得出22188DBF FBE ，进而318092DBF 根据即可求解．【详解】解：如图所示，过点B 作1BF l ∥，则3180DBF ，∵12l l ∥，∴2BF l ∥，∴1FBE ，∴22188DBF FBE ，∴318092DBF ，故答案为：92．13．如图，已知AB CD ∥，100ABE ，40BEC ，则ECD 的度数为．【答案】120 /120度【分析】此题考查了平行线的判定和性质．过E 作EF AB ∥，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】解：过E 作EF AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，B BEF ，180C CEF ，100ABE ∵，100BEF ，40BEC ∵，1004060CEF BEF BEC ，180120C CEF ，故答案为：120 ．14．一副三角板按如图所示方式叠放，两三角板的斜边互相平行，则∠ 等于．【答案】105 /105度【分析】本题考查三角板中角度的计算，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．【详解】过点E 作EF AD ，如图，由题可知45A ，60C ，又∵两三角板的斜边互相平行，BC AD∴EF AD BC ，∴45AEF A ，45CEF C∴6045105AEF CEF C A ，度答案为：105 ．15．如图，点F 在AC 上，FG AB 于点G ，FB 与CD 相交于点H ，且180BHC GFB ．(1)求证：CD AB ．在下列解答中，填空：证明：∵180BHC GFB （已知）___①___（对顶角相等）∴___②___180GFB （等量代换）∴CD FG ∥（③）∴AGF ___④___（两直线平行，同位角相等）又∵FG AB （已知）∴90AGF （垂直的定义．）∴ADC ___⑤___（等量代换）∴CD AB （垂直的定义）(2)若CD 平分ACB ，且40ACB ，求AFG 的度数．【答案】(1)BHC DHF ；DHF ；同旁内角互补，两直线平行；ADC ；90(2)20【分析】（1）证明180DHF GFB 得CD FG ∥，从而AGF ADC ，然后再证明90ADC 即可；（2）由角平分线的定义得20ACD ，然后利用平行线的性质可求出AFG 的度数．【详解】（1）证明：∵180BHC GFB （已知）BHC DHF （对顶角相等）∴180DHF GFB （等量代换）∴CD FG ∥（同旁内角互补，两直线平行）∴AGF ADC （两直线平行，同位角相等）又∵FG AB （已知）∴90AGF （垂直的定义．）∴90ADC （等量代换）∴CD AB （垂直的定义）故答案为：BHC DHF ；DHF ；同旁内角互补，两直线平行；ADC ；90 ；（2）∵CD 平分ACB ，且40ACB ，∴1202ACD ACB ．∵CD FG ∥，∴20AFG ACD【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．16．如图所示，有两艘油轮在海面上，油轮N 在油轮M 的正东方向，并且在M 、N 两处分别测得小岛P 在北偏东65 和北偏西45 的方向，那么在P 处测得M 、N 的张角MPN 的度数为多少？【答案】110【分析】本题考查了方位角的计算，平行线的性质与判定；过点P 作PC AM ∥于点C ，根据平行线的性质即可求解．【详解】解：如图，过点P 作PC AM ∥于点C ，∵AM BN ∥，PC BN ∥，AMP MPC ，BNP NPC ，65AMP ∵，45BNP ，65MPC AMP ，45NPC BNP ，110MPN MPC NPC ．17．如图，CD AB 于D ，点F 是BC 上任意一点，FE AB 于E ，且12 ，=60B ．试求ADG 的度数．【答案】60【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．由,CD AB FE AB ，则CD EF ∥，则2BCD ，从而证得BC DG ，即可得到B ADG ．【详解】解：CD AB FE AB ∵，，,CD EF ∥24,又12,∵14,,BC DG ∥60.ADG B 能力提升18．如图，123l l l ∥∥，则下列各式中，正确的是（）A.312B ．23190C ．123180D ．231180【答案】C【解析】略19．如图所示，,CD AB OE ∥平分,60AOD D ，80EOF ，则BOF 为（）A ．35B ．40C ．25D ．20【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及角的和差关系．由平行线的性质和角平分线的定义求得120,60AOD AOE ，即可求出BOF 的度数．【详解】解：∵CD AB ∥，∴180AOD D ，∵60D ，∴180********AOD D ，∵OE 平分AOD ，∴60AOE AOD ，∵80EOF ，∴180180608040BOF AOE EOF ．故选：B ．20．如图，AB ∥CD ，F 为AB 上一点，FD ∥EH ，且FE 平分AFG ，过点F 作FG EH 于点G ，且2AFG D ，则下列结论：①40D ；②290D EHC ；③FD 平分HFB ；④FH 平分GFD ．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG ，交CH 于I ，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答．【详解】解：延长FG ，交CH 于I ．∥∵AB CD ，BFD D ，AFI FIH ，FD EH ∵∥，EHC D ，FE ∵平分AFG ，22FIH AFE EHC ，390EHC ，30EHC ，30D ，22303090D EHC ，40D ①错误；290D EHC ②正确，FE ∵平分AFG ，30260AFI ，30BFD ∵，90GFD ，90GFH HFD ，可见，HFD 的值未必为30 ，GFH 未必为45 ，只要和为90 即可，FD ③平分HFB ，FH ④平分GFD 不一定正确．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．21．已知直线m n ∥，将一块含30 角的直角三角板ABC 按如图所示的方式放置，使A ，B 两点分别落在直线m ，n 上．若165 ，则2 的度数是．【答案】35 /35度【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的属性，根据题意，得到123 ，代入计算即可．【详解】如图，∵m n ∥，∴123 ，∵165 ，330 ，∴21335 ，故答案为：35 ．22．如图，ABCD 为一长条形纸带，AD CB ∥，将ABCD 沿EF 折叠，C 、D 两点分别与C D 、对应，若122 ，则AEF 的度数为．【答案】108 /108度【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换，由题意122 ，设2x ，则12DEF FED x ¢Ð=Ð=Ð=，构建方程即可解决问题．【详解】解：由翻折的性质可知：DEF FED ，∵AD CB ∥，1DEF ，∵122 ，∴设2x ，则12DEF FED x ¢Ð=Ð=Ð=，2180DEF D EF ∵，5180x ，36x ，223108AEF D EF x x x ¢\Ð=Ð+Ð=+==°，故答案为：108 ．23．已知直线MN PQ ∥，现将一副直角三角板作如图摆放，且60,45CAB DEF ．下列结论：①AB DF ∥；②150ACE ；③65MAC ；④NAB DFE ，其中正确结论的序号为．【答案】①②④【分析】本题考查平行线的判断和性质，三角板中角度的计算．内错角相等，两直线平行，判断①，邻补角求出ACE 的度数，判断②，过点B 作BG MN ∥，利用平行线的判定和性质，判断③和④．掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．【详解】解：由题意，得：90,90ABC EDF ，∴90FDB ABC ，∴AB DF ∥，故①正确；∵60,45CAB DEF ，∴30ACB ，45DFE ，∴180150ACE ACB ；故②正确；过点B 作BG MN ∥，∵MN PQ ∥，∴BG MN PQ ∥∥，∴45GBE DEF ，∴45NAB ABG ABC GBE ，∴45NAB DFE ，180135MAB ABG ，∴13575MAC BAC ；故③错误，④正确；故答案为：①②④．24．如图，已知点E 、F 在直线AB 上，点N 在线段CD 上，ED 与FN 交于点M ，C 1 ，23 ，(1)求证：AB CD ；(2)若40D ，80EMF ，求AEP 的度数．【答案】(1)见解析(2)120【分析】本题主要查了平行线的判定和性质：（1）根据23 ，可得CP FN ∥，从而得到C FND ，继而得到1FND ，即可求证；（2）根据CP FN ∥，可得280EMF ，再由AB CD ，可得40FED D ，即可求解．【详解】（1）证明：∵23 ，∴CP FN ∥，∴C FND ，又∵C 1 ，∴1FND ，∴AB CD ；（2）解：∵CP FN ∥，∴280EMF ，又∵AB CD ，∴40FED D ，∴28040120AEP FED ．拔高拓展25．在综合与实践课上，老师以“两条平行线AB ，CD 和一块含60 角的直角三角尺EFG （90EFG ，60EGF ）”为主题开展数学活动．(1)如图①，若直角三角尺的60 角的顶点G 放在CD 上，21 ，求1 的度数；(2)如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点E ，G 分别放在AB 和CD 上，请你探索并说明AEF 与FGC 之间的数量关系；(3)如图③，小亮把直角三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30 角的顶点E 放在AB 上．若AEG ，CFG ，则AEG 与CFG 的数量关系是什么（用含 ， 的式子表示）？请说明理由．【答案】(1)160(2)90AEF FGC ，理由见解析(3)300 ．理由见解析【详解】解：（1）因为AB CD ∥，所以1EGD ．因为2180EGF EGD ，21 ，所以1601180 ，解得160 ．（2）如图，过点F 作∥FP AB ．因为CD AB ∥，所以FP AB CD ∥∥，所以AEF EFP ，FGC GFP ，所以AEF FGC EFP GFP EFG ．因为90EFG ，所以90AEF FGC ．（3）300 ．理由如下：因为AB CD ∥，所以180AEF CFE ，即30930900180AEG CFG ，整理可得180120300 ．。

专题02 平行线的判定与性质【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 平行线的判定】 (1)【考点二 添加一条件使两条直线平行】 (3)【考点三 平行线的性质】 (4)【考点四 根据平行线的性质与判定求角度】 (5)【考点五 平行线的性质在生活中的应用】 (8)【考点六 平行线的性质与判定综合应用】 (10)【考点七 命题的判定与逆命题】 (12)【过关检测】 (14)【典型例题】【考点一 平行线的判定】例题：（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AB BC ^，1290Ð+Ð=°，23ÐÐ=．请说明线段BE 与DF 的位置关系？为什么？【答案】BE ∥DF ，见解析【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用1290Ð+Ð=°，23ÐÐ=，得到∠1=∠4，即可得到结论BE ∥DF ．【详解】解：BE ∥DF ，∵AB BC ^，∴∠ABC =90°，∴∠3+∠4=90°，∵1290Ð+Ð=°，23ÐÐ=，∴∠1=∠4，∴BE ∥DF ．【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．【变式训练】【答案】见解析【分析】根据角平分线定义求出判定得出结论．【详解】理由：∵AD∴∠1＝1∠EAC，2【答案】见解析∵∠1=110°，∠2=70°，∠1=∠BCE ，∴∠ABC =70°，∠BCE =110°，∴∠ABC +∠BCE =180°，∴AB ∥CD ．【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同旁内角互补，两直线平行．【考点二 添加一条件使两条直线平行】例题：（2022·江西赣州·七年级期中）如图，点E 在AC 的延长线上，若要使AB CD P ，则需添加条件_______（写出一种即可）【答案】∠1=∠2 等 （写出一种即可）【分析】根据平行线的判定定理得出直接得出即可．【详解】解：∵当∠1 =∠2时，AB CD P （内错角相等，两直线平行）；∴若要使AB CD P ，则需添加条件∠1 =∠2；故答案为：∠1=∠2．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．【变式训练】1．（2022·甘肃·临泽县第三中学七年级期中）如图，填写一个能使AB ∥CD 的条件：_________．【答案】12Ð=Ð（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可．【详解】解：填写的条件为：12Ð=Ð，12Ð=ÐQ ，AB \CD ∥（内错角相等，两直线平行）．故答案为：12Ð=Ð（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．2．（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，要使BE DF ∥，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）．【答案】D COE Ð=Ð(答案不唯一）【分析】利用两线平行的判定方法，找到一组同位角相等即可．【详解】解：当D COE Ð=Ð时：BE DF ∥，故答案为：D COE Ð=Ð（答案不唯一）．【点睛】本题考查两直线平行的判定方法．利用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，任选其一解题即可．【考点三 平行线的性质】例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，a b ∥．158Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A ．58°B ．112°C ．120°D ．132°【答案】A 【分析】根据平行线性质得出13Ð=Ð，根据对顶角相等即可得出答案．【详解】解：如图，∵a b ∥，158Ð=°，∴3158Ð=Ð=°，∴2358Ð=Ð=°，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等．【变式训练】1．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，AB CD P ，40B Ð=°，则ECD Ð的度数为（ ）A ．160°B ．140°C ．50°D ．40°【答案】B 【分析】利用平行线的性质先求解DCB Ð，再利用邻补角的性质求解ECD Ð即可．【详解】解：∵AB CD P ，40B Ð=°，∴40DCB B Ð=Ð=°，∴180140ECD DCB Ð=°-Ð=°，故选B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线a b P ，直线l 与a ，b 分别相交于A ，B 两点，过点A 作直线l 的垂线交直线b 与点C ，若227Ð=°，则1Ð的度数为________．【答案】63°##63度【分析】根据a b P ，可得12180BAC Ð+Ð+Ð=°，即可求出1Ð的度数．【详解】解：∵a b P ，227Ð=°，90BAC Ð=°，∴12180BAC Ð+Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），∴1180263BAC Ð=°-Ð-Ð=°，故答案为：63°．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补正确找出12180BAC Ð+Ð+Ð=°是解答本题的关键．【考点四 根据平行线的性质与判定求角度】例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：12Ð=Ð，60D Ð=°，(1)说明：AB CD ∥．(2)求B Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)120°【分析】（1）根据对顶角相等得到1GHD Ð=Ð，再利用平行线的判定即可证明；（2）根据平行线的性质求出即可．（1）解：∵2GHD Ð=Ð，12Ð=Ð，∴1GHD Ð=Ð，∴AB CD ∥；（2）∵AB CD ∥，∴180B D Ð+Ð=°，∵60D Ð=°，∴120B Ð=°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知EF AD ∥，12Ð=Ð，80BAC Ð=°，求：(1)DG AB∥(2)AGD Ð的度数．【答案】(1)见解析；(2)100°．【分析】（1）根据平行线的性质和判定方法即可得到结论；（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解．（1）解：∵EF AD ∥，∴23Ð=Ð．∵12Ð=Ð，∴13Ð=Ð．∴AB DG ∥．（2）解：∵AB DG∥∴180BAC AGD Ð+Ð=°．∵80BAC Ð=°，∴100AGD Ð=°【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握两只线平行同旁内角互补是关键．2．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D ，E 在AC 上，点F ，G 分别在BC ，AB 上，且DG BC ∥，∠1＝∠2．(1)求证：DB EF ∥；(2)若EF ⊥AC ，∠1＝50°，求∠ADG 的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADG ＝40°【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；（2）先求出∠C ，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解．（1）证明：∵DG BC ∥，∴∠1＝∠DBC ．又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DBC ，∴DB EF ∥．（2）∵EF ⊥AC ，∴∠CEF ＝90°．∵∠2＝∠1＝50°，∴∠C＝90°－50°＝40°．∥，∵DG BC∴∠ADG＝∠C＝40°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．【考点五平行线的性质在生活中的应用】例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时Ð=_________度．∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则BCD【答案】120【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，由题意可知，∠ABF=90°，∵∠ABC=150°，∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，∵BF∥CD，∴∠FBC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．故答案为：120．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·菏泽市牡丹区第二十二初级中学七年级期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______．【答案】48°##48度【分析】根据平行线的性质解答即可．【详解】解：如图，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3=180°，又∠1＝132°，∴∠3=180°-∠1=48°，∵水中的两条折射光线是平行的，∴∠2=∠3=48°，故答案为：48°．【点睛】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点O 的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA ，CD 都是水平线，若20ABO Ð=°，80BOC Ð=°，则DCO ∠的度数为______．【答案】60°##60度【分析】如图所示，过点O 作OE ∥A B ，则A B C D OE ∥∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图所示，过点O 作OE ∥A B ，∵光线BA ，CD 都是水平线，∴AB CD P ，∴A B CD OE ∥∥，∴20BOE ABO ==°∠∠，∴60DCO EOC BOC BOE Ð=Ð=Ð-Ð=°，故答案为：60°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【考点六 平行线的性质与判定综合应用】(1)我们发现∠ABC 与∠DEF 有两种位置关系：如图1与图①图1中∠ABC 与∠DEF 数量关系为 ；图2中请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．(2)应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少∴∠DPB＝∠DEF，∵DE AB∥，∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．∥，如图2中，∵EF BC∴∠DPC＝∠DEF，∵DE AB∥，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）解：设两个角分别为x和2x﹣30°，由（1）得：x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解得x＝30°或x＝70°，∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，理解如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补是解答关键．【变式训练】(1)∠ABN的度数是；(2)求∠CBD的度数；(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．【答案】(1)116°（2）根据角平分线的定义，结合（1）的结论即可求解；（3）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据角平分线的定义可得∠PBN＝2∠DBN，即可求解．（1）解：∵AM∥BN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，故答案为116°；（2）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；（3）不变，∠APB＝2∠ADB，理由如下：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB＝2∠ADB．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．【考点七命题的判定与逆命题】例题：（2022·福建省福州第十一中学七年级期中）下列命题是真命题的是（）A．同位角相等B．两个锐角的和是锐角C．若两个角的和为180°，则这两个角互补D．相等的角是对顶角【答案】C【分析】根据平行线的性质，补角的定义，锐角的定义，对顶角的定义逐项进行判断即可．【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、两个锐角的和可能是锐角、钝角，也可能是直角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、若两个角的和为180°，则这两个角互补，正确，是真命题，符合题意；D 、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，补角的定义，锐角的定义，对顶角的定义．【变式训练】1．（2022·上海市民办立达中学八年级阶段练习）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）A ．同旁内角互补，两直线平行B ．若22a b =，则a b =C ．锐角与钝角互为补角D ．相等的角是对顶角【答案】C【分析】先写出各选项的逆命题，再逐个判断即可．【详解】解：A 、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，为真命题，选项不符合题意；B 、若22a b =，则a b =的逆命题为若a b =，则22a b =，为真命题，选项不符合题意；C 、锐角与钝角互为补角的逆命题为若两个角互补，则这两个角分别为锐角、钝角，为假命题，选项符合题意；D 、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，为真命题，选项不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了命题的逆命题以及真假命题，解题的关键是正确写出命题的逆命题．2．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题的逆命题正确的是( )A ．对顶角相等B ．直角三角形两锐角互余C ．全等三角形的对应角相等D ．全等三角形的面积相等【答案】B【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确．【详解】解：A 的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题；B 的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题；C 的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题；D 的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题；故选：B ．【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）下列定理中，下面语句是命题的是（ ）A ．p 是有理数B ．已知3a =，求2aC ．作ABC Ð的角平分线D ．正数大于一切负数吗？【答案】A【分析】根据命题的定义逐一判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、对事情作出了判断，是命题，符合题意；B 、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；C 、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；D 、为疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意．故选：A ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题是判断一件事情的句子，难度不大．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线m n ∥，AC BC ^于点C ，125Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A ．125°B ．115°C ．110°D ．105°【答案】B 【分析】根据垂线的性质可得90ACB Ð=°，进而得出ABC Ð与1Ð互余，再根据平行线的性质可得答案．【详解】解：AC BC ^Q 于点C ，90ACB \Ð=°，190ABC \Ð+Ð=°，902565ABC \Ð=°-°=°，m n Q ∥，2180115ABC \Ð=°-Ð=°．故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．3．（2023春·七年级单元测试）下列说法：（1）经过两点有且只有一条直线；（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行；（5）周角是一条射线，平角是一条直线．其中正确的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】B【分析】利用平行公理以及其推论和垂线的定义、特殊角、点到直线的距离的定义分别分析求出即可.【详解】解：（1）经过两点有且只有一条直线，说法正确；（2）点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离，故（2）说法错误；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行，要强调在同一平面内，故（4）说法错误；（5）角是由一个公共端点发出的两条射线组成，即便两射线所在的直线重合，也不能认为是一条射线或直线，故（5）错误．故选：B【点睛】此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义等，正确把握相关定义是解题关键.4．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，AC DE ∥，AB ，CD 交于点F ，则BFC Ð的度数为（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°【答案】C 【分析】根据AC DE ∥可得180ACE E Ð+Ð=°，根据特殊直角三角形角的大小及关系计算可得BCF Ð，再根据直角三角形两个锐角互余即可．【详解】Q AC DE ∥，180ACE E \Ð+Ð=°又60E Ð=°Q 120∴Ð=°ACE ()120456015FCB \Ð=°-°+°=°901575BFC \Ð=°-°=°故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质及特殊直角三角形角的性质，关键是掌握平行线性质定理及直角三角形的角的性质，灵活运用角的和差运算．5．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，下列说法中，正确的是（ ）A ．若38Ð=Ð，则AB CD∥B ．若15Ð=Ð，则AB CD ∥C ．若180DAB ABC Ð+Ð=°，则AB CD∥D ．若26Ð=Ð，则AB CD∥【答案】D 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案．【详解】解：A 、38Ð=Ð，不能判断AB CD ∥，选项错误；B 、15Ð=Ð，可以判断AD BC ∥，不能判断AB CD ∥，选项错误；C 、180DAB ABC Ð+Ð=°，可以判断AD BC ∥，不能判断AB CD ∥，选项错误；D 、26Ð=Ð，可以判断AB CD ∥，选项正确，故选D ．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．二、填空题6．（2022春·北京·七年级统考期末）如图，要使CD ∥BE ，需要添加的一个条件为：__________．【答案】1B Ð=Ð或2E Ð=Ð，180DCB B Ð+Ð=°（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可求解．【详解】解：添加1B Ð=Ð，根据同位角相等，两直线平行，可得CD ∥BE ，添加2E Ð=Ð，根据内错角相等，两直线平行，可得CD ∥BE ，添加180DCB B Ð+Ð=°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得CD ∥BE ，故答案为：1B Ð=Ð或2E Ð=Ð或180DCB B Ð+Ð=°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．7．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，直线a ，b 被直线l 所截，如果a b ∥，1120Ð=°，那么2Ð=___________度．【答案】60【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可得∥，【详解】解：∵a bÐ=Ð=°，∴31120Ð=°-°=°218012060【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义．注意掌握两直线平行，同位角相等的应用是解题的关键．8．（2023春·七年级单元测试）如图，直线_________．【答案】4秒或40秒【分析】分①AB与CD 列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在∵100BAF Ð=°，60DCF Ð=°，∴()()1806061206ACD t t Ð=--=°°-°°°，100BAC t Ð=°-°，要使AB CD ∥，则ACD BAC Ð=Ð，即()1206100t t -=°°-°°，解得t =4；此时()18060620°-°¸=，∴020t <<；②CD 旋转到与AB 都在EF 的右侧时，∵()()3606603006DCF t t Ð=--=°°-°°°，100BAC t Ð=°-°，要使AB CD ∥，则DCF BAC ÐÐ=，即()3006001t t °°=°--°，解得40t =，此时()36060650°-°¸=，∴2050t <<；③CD 旋转到与AB 都在EF 的左侧时，∴(DCF Ð=要使AB ∥即()630t °-解得40t =，此时50t >，而4050<，∴此情况不存在．综上所述，当时间故答案为：【答案】对顶角相等；120°；等量代换；等式的性质；【分析】根据等式的性质以及平行线的判定定理即可解答．Ð的度数；(1)求CAEP．(2)求证：AB DC【答案】(1)50°(2)见解析【分析】（1）根据平行线的性质定理即可得到结论；（2）根据平行线判定定理即可得到结论．【详解】（1）解：//AD BE Q ，3CAD \ÐÐ＝，2380CAE CAD Ð+ÐÐаQ ＝，＝，280CAE \Ð+а＝，230аQ ＝，50CAE \а＝（2）证明：23CAE CAD Ð+ÐÐÐQ ＝＝，1234ÐÐÐÐ＝，＝，14CAE \Ð+ÐÐ＝，即4BAE ÐÐ＝，//AB DC \．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质定理，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．15．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）如图，已知：BE 平分ABD Ð，DE 平分BDC Ð，且130221Ð=°Ð=Ð，．(1)试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由；(2)求证：BE DE ^．【答案】(1)AB CD P ，理由见解析(2)见解析【分析】（1）先求出260Ð=°，再根据角平分线的定义求出ABD BDC ∠、∠即可证明180ABD BDC Ð+Ð=°，则AB CD P ；（2）过E 作EF CD P ，则AB CD EF ∥∥，由平行线的性质可知ABE BEF FED CDE Ð=ÐÐ=Ð，，再由角平分线的定义推出6030BEF FED Ð=°Ð=°，即可得到结论．【详解】（1）解：AB CD P ，理由如下：∵130221Ð=°Ð=Ð，，∴260Ð=°，∵BE 平分ABD Ð，DE 平分BDC Ð，∴221202160ABD BDC Ð=Ð=°Ð=Ð=°，，∴180ABD BDC Ð+Ð=°，∴AB CD P ；（2）证明：过E 作EF CD P ，如图：由（1）得，AB CD P ，∴AB CD EF ∥∥，∴ABE BEF FED CDE Ð=ÐÐ=Ð，，∵BE 平分ABD Ð，DE 平分BDC Ð，∴260130ABE CDE Ð=Ð=°Ð=Ð=°，，∴6030BEF FED Ð=°Ð=°，，∴90BED BEF FED Ð=Ð+Ð=°，∴BE DE ^．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．16．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，12180Ð+Ð=°，3B Ð=Ð．(1)求证：DE BC ∥；(2)若76C Ð=°，23AED Ð=Ð，求CEF Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)66°【分析】（1）由已知条件可证得AB EF ∥，从而有B EFC Ð=Ð，则得3EFC Ð=Ð，得证DE BC ∥；（2）由（1）得DE BC ∥，利用两直线平行，同旁内角互补可求解．【详解】（1）证明：12180Ð+Ð=°Q ，24ÐÐ=，AB EF \∥，B EFC \Ð=Ð，3B Ð=ÐQ ，3EFC \Ð=Ð，DE BC \∥；（2）解：DE BC Q ∥，76C Ð=°，180C DEC \Ð+Ð=°，76AED C Ð=Ð=°，23AED Ð=ÐQ ，338\Ð=°180104DEC C Ð=°-Ð=°Q ，31043866CEF DEC \Ð=Ð-Ð=°-°=°．【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．17．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）如图，已知AB CD P ，E 是直线AB 上的一点，CE 平分ACD Ð，射线CF CE ^，132Ð=°．(1)求ACE Ð的度数．(2)若258Ð=°，判断CF 和AG 的位置关系，说明理由．【答案】(1)32°(2)CF AG ∥，理由见解析【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结论；（2）根据平行线的判定定理即可得到结论．【详解】（1）解：AB CD ∥Q ，132DCE \Ð=Ð=°，CE Q 平分ACD Ð，ACE DCE；\Ð=Ð=°32∥，理由如下：（2）解：CF AGQ，^CF CE\Ð=°，FCE90\Ð=°-°=°，FCH903258Q，258Ð=°\Ð=Ð，2FCH\∥．CF AG【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键．18．（2022春·广东汕尾·七年级校考期中）如图，直线EF交直线AB、CD与点M、N，NP平分∠ENC交直线AB于点P．已知∠EMB=112°，∠PNC=34°．(1)求证：AB∥CD；(2)若PQ将分∠APN成两部分，且∠APQ：∠QPN=1：3，求∠PQD的度数．【答案】(1)见详解(2)36.5°【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠MNQ=2∠PNC=68°，再根据对顶角的定义∠PMN=∠EMN=112°，继而根据平行线的判定定理即可求证结论；（2）根据∠APQ：∠QPN=1：3，可得∠QPN=3∠APQ，根据AB∥CD，可得∠MPN=∠PNC=34°，再根据平角定义可得∠APQ=32°，进而可得∠PQD的度数．（1）∵NP平分∠ENC，∠PNC=34°∴∠MNQ=2∠PNC=68°，又∠PMN=∠EMN=112°（对顶角相等），∴∠PMN+∠MNQ=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）（2）∵∠APQ：∠QPN=1：3，∴∠QPN=3∠APQ，∵AB∥CD，∴∠MPN=∠PNC=34°，∴∠APN=180°﹣∠MPN=146°，∴∠APQ+∠QPN=146°，∴4∠APQ=146°，∴∠APQ=36.5°，∴∠PQD=∠APQ=36.5°．则∠PQD的度数为36.5°．【点睛】本题考查了平行线的判定及其性质和角平分线的性质以及平角的定义，解决本题的关键是掌握平行线的性质．。

命题、定理、证明一课一练·基础闯关题组命题的判定与改写1.(2017·郯城县月考)下列句子中不是命题的是( )A.两直线平行，同位角相等C.若|a|=|b|，则a2=b2【解析】选B.B不是可以判断真假的陈述句，不是命题.A，C，D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句，都是命题.2.(2017·萧山区期中)下列命题中，真命题是( )B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行【解析】选C.A错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角.B错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等.C正确，必须强调在同一平面内.D错误，两直线平行同旁内角才互补.【变式训练】下列命题中，假命题有( )①若a2=4，则a=2；②若a>b，则a2>b2；③若a>b，b>c，则a>c；④若|a|=|b|，则a2=b2.个个个个【解析】选B.①是假命题，例如a=-2时，(-2)2=4；②是假命题，例如a=1，b=-2时，满足a>b，但不满足a2>b2；③④都是真命题. 【方法指导】命题及其真、假的判断技巧(1)判断一个语句是不是命题，关键是看这个语句是否作出肯定或否定的判断.(2)判断一个命题是真命题，必须经过推理证实；判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.3.(2017·某某中考)对于命题“若a2>b2，则a>b.”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是( )A.a=3，b=2B.a=-3，b=2C.a=3，b=-1D.a=-1，b=3【解析】选B.a=-3，b=2时，a2>b2，但a<b.4.(2017·某某区期中)命题“两直线平行，同位角相等”的题设是____________，结论是____________. 【解析】命题中，已知的事项是“两直线平行”，由已知事项推出的事项是“同位角相等”，所以“两直线平行”是命题的题设部分，“同位角相等”是命题的结论部分.答案：两直线平行同位角相等5.(2017·卢龙县期中)把下列命题写成“如果…那么…”的形式：不能被2整除的数是奇数：________________.【解析】不能被2整除的数是奇数写成“如果…那么…”的形式为：如果一个数不能被2整除，那么这个数为奇数.答案：如果一个数不能被2整除，那么这个数为奇数6.下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果…那么…”的形式，再指出命题的题设和结论.①同号两数的和一定不是负数.②若x=2，则1-5x=0.③延长线段AB至C，使B是AC的中点.④互为倒数的两个数的积为1.【解析】①同号两数的和一定不是负数是命题，改写为：如果两个数是同号，那么这两个数的和一定不是负数，题设是两个数是同号，结论是这两个数的和一定不是负数.②若x=2，则1-5x=0是命题，改写为：如果x=2，那么1-5x=0，题设是x=2，结论是1-5x=0.③延长线段AB至C，使B是AC的中点不是命题.④互为倒数的两个数的积为1是命题.改写为：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1.题设是两个数互为倒数，结论是这两个数的积为1.7.指出下列命题的题设和结论，并判断它是真命题还是假命题.(1)若|a|=|b|，则a=b.(2)如果ab=0，那么a=0，b=0.(3)邻补角的平分线互相垂直.(4)如果内错角不相等，那么两直线一定不平行.【解析】(1)题设：|a|=|b|；结论：a=b；假命题.(2)题设：ab=0；结论：a=0，b=0；假命题.(3)题设：两条射线是一对邻补角的平分线；结论：这两条射线互相垂直；真命题.(4)题设：内错角不相等；结论：两直线一定不平行；真命题.【知识归纳】如何把命题改写成“如果……那么……”的形式首先要找出命题的题设和结论.“如果”后写题设，是已知事项，“那么”后面写结论，也就是由题设推出的事项.在改写时，应注意题设和结论都必须相对完整，不能机械地将“如果”和“那么”插入命题中.应适当地补充一些修饰成分，但内容要保持不变.有些命题，在“如果”前面还有条件，应将这个条件和“如果”后边的条件一起作为这个命题的题设.题组定理与证明1.下列说法错误的是( )A.命题不一定是定理，定理一定是命题D.如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理【解析】选C.并不是所有的真命题都是定理.“两直线平行，内错角相等.”解决下列问题.(1)写出逆命题.(2)判断逆命题是真命题还是假命题.(3)根据逆命题画出图形，写出已知，求证.【解析】(1)逆命题：内错角相等，两直线平行.(2)是真命题.(3)已知：如图，∠AMN=∠DNM，求证：AB∥CD.3.证明：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角相等或者互补. 【解题指南】【解析】已知：OA⊥O′A′于点C，OB⊥O′B′于点D.求证：∠O=∠O′或∠O+∠O′=180°.证明：如图①，∵OA⊥O′A′，OB⊥O′B′，∴∠OCO′=∠ODO′=90°，又∠O+∠O′+∠OCO′+∠ODO′=360°，∴∠O+∠O′=180°.图①图②如图②，∵OA⊥O′A′，∴∠O′+∠1=90°，OB⊥O′B′，∴∠O+∠2=90°，又∵∠1=∠2，∴∠O=∠O′，综上，∠O=∠O′或∠O+∠O′=180°.如图，直线AB，CD被EF所截，∠1+∠2=180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE.(1)判定EM与FN之间的关系，并证明你的结论.(2)由(1)的结论我们可以得到一个命题：如果两条直线________，那么内错角的平分线互相________.(3)由此可以探究并得到：如果两条直线________，那么同旁内角的平分线互相________.【解析】(1)EM∥FN.证明：∵∠1+∠2=180°，∠EFD+∠2=180°，∴∠1=∠EFD，∴AB∥CD，∴∠BEF=∠CFE.∵EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE，∴∠3=∠4，∴EM∥FN.(2)由(1)可知EM∥FN，∴可得出命题：如果两条直线平行，那么内错角的平分线互相平行.答案：平行平行(3)由“两直线平行，同旁内角互补”可得出：如果两条直线平行，那么同旁内角的角平分线互相垂直.答案：平行垂直【母题变式】(1)如图，若∠1=∠2，则AB∥CD，试判断命题的真假：__________(填“真”或“假”).(2)若上述命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并说明理由.【解析】(1)若∠1=∠2，则AB∥CD，是假命题.答案：假(2)加条件：BE∥FD.理由：∵BE∥FD，∴∠EBD=∠FDN.又∵∠1=∠2，∴∠ABD=∠CDN，∴AB∥CD.。

5.3 平行线的性质(三)◆典型例题【例1】下列语句是不是命题.(1)画∠AOB的角平分线;(2)平面上有几个点；(3)两点之间，线段最短;(4)若a≠b，则|a|≠|b|.【解析】(1)是操作性的语句；(2)是问句；(3)、(4)是判定语句.【答案】(1)、(2)不是命题；(3)、(4)是命题.【例2】指出下列命题的题论、结论:(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点.(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，即这两条直线平行.(3)两条平行平行线被第三条直线所截，内错角相等.(4)若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3.【解析】每个命题都是由题设、结论两部分组成，题设是知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果…，那么…”的形式，具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.【答案】(1)题设:两条直线相交；结论:它们只有—个交点；(2)题设:两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论:这两条直线平行.(3)因为这个命题可以改写成：“如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等”；也可以简写成“如果两直线平行，那么内错角相等”，所以可以简单说成，题设:两直线平行，结论:内错角相等.(4)题设:∠1=∠2，∠2=∠3，结论:∠1=∠3.◆课前热身1.每个命题都由____________和____________两部分组成.2.命题“对顶角相等”的题设是____________,结论________________________.◆课上作业3.命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是____________________________.4.请用“如果…，那么…”的形式写一个命题______________5.一个命题，如果题设成立，结论一定成立，这样的命题是_____________命题；如果题设成立，结论不成立或不一定成立，这样的命题叫_______命题(填“真”、“假”).6.以下四个命题：①一个锐角与一个钝角的和为180°；②若m不是正数，则m一定小于零；③若ab＞0，则a＞0，b＞0；④如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除.真命题有_______个.◆课下作业一、填空题7.下列语句∶①对顶角相等；②OA是∠BOC的平分线；③相等的角都是直角；④线段AB.其中不是命题的是____________________________________________.8.“垂线段最短”的题设是_____________________，结论是____________________.9.命题“a、b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题.请你写出一种改法：_______________________________________________10.对于同一平面的三条直线a、b、c，给出以下五个结论:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c以其中两个为题设，一个为结论，组成一个正确的命题______________________.二、选择题11.唐伯虎点秋香的故事家喻户晓了，现在来玩个游戏：“唐伯虎点秋香”【规则】下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香.友情提示:这四个人分别是∶春香、夏香、秋香、冬香【所给人物】A、B、C、D①A不是秋香，也不是夏香；②B不是冬香，也不是春香；③如果A不是冬香，那么C不是春香；④D既不是夏香，也不是春香；⑤C不是春香，也不是冬香若上面的命题都是真命题，问谁是秋香?A.AB.BC.CD.D12.下列命题正确的是( )A.两直线与第三条直线相交，同位角相等;B.两直线与第三条直线相交，内错角相等C.两直线平行，内错角相等;D.两直线平行，同旁内角相等三、解答题13.阅读以下两小题后作出相应的解答:(1)“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”，这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对凋，我们把其中一命题叫做另一个命题的逆命题，请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题，并指出逆命题的题设和结论；(2)根据以下语句作出图形，并写出该命题的文字叙述.已知:过直线AB上一点O任作射线OC，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则OM⊥ON.14.如图5-122，给出下列论断:(1)AB∥DC；(2)AD∥BC；(3)∠A+∠B=180°；(4)∠B+∠C=180°，以其中一个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接BD，你能自已写出一个真命题吗?试写出—个真命题并写出推理过程.图5-122参考答案◆课下作业一、填空题7.下列语句∶①对顶角相等；②OA是∠BOC的平分线；③相等的角都是直角；④线段AB.其中不是命题的是____________________________________________.答案：④8.“垂线段最短”的题设是_____________________，结论是____________________.答案：连接直线外一点与直线上一点的所有线段中；垂线段最短9.命题“a、b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题.请你写出一种改法：_______________________________________________答案：答案不唯一，如：a＞b＞0，|a|＞|b|等10.对于同一平面的三条直线a、b、c，给出以下五个结论:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c以其中两个为题设，一个为结论，组成一个正确的命题______________________.答案：下列答案任选其一：①若a∥b，b∥c则a∥c②若a∥b，a∥c则b∥c；③若a∥c，b∥c，则a∥b④若a⊥b，a⊥c，则b∥c⑤若a⊥c,b∥c，则a⊥b;⑥若a⊥b，b∥c，则a⊥c二、选择题11.唐伯虎点秋香的故事家喻户晓了，现在来玩个游戏：“唐伯虎点秋香”【规则】下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香.友情提示:这四个人分别是∶春香、夏香、秋香、冬香【所给人物】A、B、C、D①A不是秋香，也不是夏香；②B不是冬香，也不是春香；③如果A不是冬香，那么C不是春香；④D既不是夏香，也不是春香；⑤C不是春香，也不是冬香若上面的命题都是真命题，问谁是秋香?A.AB.BC.CD.D答案：D12.下列命题正确的是( )A.两直线与第三条直线相交，同位角相等;B.两直线与第三条直线相交，内错角相等C.两直线平行，内错角相等;D.两直线平行，同旁内角相等答案：C三、解答题13.阅读以下两小题后作出相应的解答:(1)“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”，这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对凋，我们把其中一命题叫做另一个命题的逆命题，请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题，并指出逆命题的题设和结论；(2)根据以下语句作出图形，并写出该命题的文字叙述.已知:过直线AB上一点O任作射线OC，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则OM⊥ON.答案：(1)到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；题设是到角两边距离相等的点，结论是该点在这个角的平分线上(2)图略；邻补角的平分线互相垂直14.如图5-122，给出下列论断:图5-122(2)AB∥DC；(2)AD∥BC；(3)∠A+∠B=180°；(4)∠B+∠C=180°，以其中一个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接BD，你能自已写出一个真命题吗?试写出—个真命题并写出推理过程.答案：(1)(4)、(2)(3)、(4)(1)、(3)(2)中任选一个；AD∥BC则∠ADB=∠CBD或∠ADB=∠CBD则AD∥BC.略。

专题03 平行线的性质-（一题三变）【思维导图】◎考点题型1 两直线平行，同位角相等例．（2022·全国·七年级）一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向右拐50° ，第二次向左拐130°B．第一次向右拐50° ，第二次向右拐130°C．第一次向左拐50° ，第二次向左拐130°D．第一次向左拐30° ，第二次向右拐30°【答案】D【解析】【分析】根据题意可得两直线平行则同位角相等，据此分析判断即可．【详解】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∵两次拐弯的方向相同，形成的角是同位角，故答案为：D【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．变式1．（2022·重庆南岸·八年级期末）如图，l1∵l2，l3∵l4，与∵α互补的是（）A ．∵1B ．∵2C ．∵3D ．∵4 【答案】D【解析】【分析】如图，先证明=2,再证明25, 可得=5, 再利用邻补角的定义可得答案.【详解】解：如图，34,l l ∥ =2,12,l l ∥2=5,=5,54180,+4=180,所以与∵α互补的是 4.故选D【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的定义，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键.变式2．（2022·广东深圳·八年级期末）下列说法中正确的有（ ）（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）若12390∠+∠+∠=︒，则1∠，2∠，3∠互余；（3）相等的两个角是对顶角；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】【分析】两条平行直线被第三条直线所截时，同位角相等；两个和为90︒的角互为余角；两相交线的对顶角相等；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离．【详解】（1）两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故错误；（2）两个角的和为90︒，这两个角互为余角，故错误；（3）相等的两个角不一定是对顶角，对顶角一定相等，故错误；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故错误； 故选：A ．【点睛】本题考查了同位角，余角，对顶角以及点到直线的距离．解题的关键在于正确理解各名词的定义．变式3．（2022·广东海丰·八年级期末）如图，AB CD ∥，45A ∠=︒，30C ∠=︒，则E ∠的度数是（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质求出关于∠DOE ，然后根据外角的性质求解．【详解】解：∵AB ∥CD ，∠A ＝45°，∴∠A ＝∠DOE ＝45°，∵∠DOE ＝∠C +∠E ，又∵30C ∠=︒，∴∠E ＝∠DOE -∠C ＝15°．故选：B【点睛】本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系．掌握两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键．◎考点题型2两直线平行，内错角相等例．（2022·四川巴中·八年级期末）如图，直线l1、l2分别与∵ABC的两边AB、BC相交，且l1∵l2，若∵B＝35°，∵1＝105°，则∵2的度数为（）A．45°B．50°C．40°D．60°【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理球场∵3的度数，利用平行线的性质求出答案．【详解】解：∵∵B＝35°，∵1＝105°，∵∵3=180-∵1-∵B=40︒，∵l1∵l2，∵∵2=∵3=40︒，故选：C．．【点睛】此题考查三角形内角和定理，两直线平行内错角相等的性质，熟记三角形内角和等于180度及平行线的性质并熟练解决问题是解题的关键．变式1．（2021·吉林宽城·七年级期末）直线AB、BC、CD、EG如图所示．若∵1=∵2，则下列结论错误的是（）A ．AB ∥CDB ．∵EFB =∵3C ．∵4=∵5D ．∵3=∵5【答案】D【解析】【分析】 根据平行线的判定与性质、对顶角相等逐项判断即可．【详解】解：∵∵1=∵2，∵AB ∵CD ，故A 正确，不符合题意；∵∵4=∵5，故C 正确，不符合题意；∵∵EFB 与∵3是对顶角，∵∵EFB =∵3，故B 正确，无法判断∵3=∵5，故D 错误，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查平行线的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．变式2．（2022·广东福田·八年级期末）如图，//AB CD ，BF 交CD 于点E ，AE BF ⊥，34CEF ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．34°B ．66°C ．56°D ．46°【解析】【分析】由余角的定义得出AEC ∠的度数，由两直线平行内错角相等即可得出结论．【详解】解：∵AE BF ⊥，34CEF ∠=︒，∵903456AEC ∠=-=，∵//AB CD ，∵56A AEC ∠=∠=，故选：C【点睛】本题考查了平行线的性质和余角，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．变式3．（2021·吉林净月高新技术产业开发区·七年级期末）如图，若要使1l 与2l 平行，则1l 绕点O 至少旋转的度数是（ ）A ．38︒B ．42︒C ．80︒D ．138︒【答案】A【解析】【分析】 根据“两直线平行，内错角相等”进行计算．【详解】解：如图，∵∵AOB=∵OBC=42°，∵80°-42°=38°，即l1绕点O至少旋转38度才能与l2平行．故选：A．【点睛】考查了旋转的性质和平行线的性质，根据平行线的性质得到∵AOB=∵OBC=42°是解题的关键，难度不大．◎考点题型3两直线平行，同旁内角互补例．（2022·云南广南·八年级期末）如图，直线AB∵CD，直线AB、CD被直线EF所截，交点分别为点M、点N，若∵AME＝130°，则∵DNM的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解析】【分析】由对顶角得到∵BMN=130°，然后利用平行线的性质，即可得到答案．【详解】解：由题意，∵∵BMN与∵AME是对顶角，∵∵BMN=∵AME=130°，∵AB∵CD，∵∵BMN+∵DNM=180°，∵∵DNM=50°；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到∵BMN=130°．变式1．（2021·西藏·九年级专题练习）如图，把长方形ABCD 沿EF 对折，若150∠=︒，则AEF ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．130︒【答案】B【解析】【分析】 根据折叠的性质及∵1＝50°可求出∵BFE 的度数，再由平行线的性质即可得到∵AEF 的度数．【详解】解：根据折叠以及∵1＝50°，得∵BFE ＝12∵BFG ＝12（180°﹣∵1）＝65°． ∵AD ∵BC ，∵∵AEF ＝180°﹣∵BFE ＝115°．故选：B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．变式2．（2021·黑龙江绥棱·七年级期末）如图，//AB CD ，1120∠=︒，280∠=︒，则3∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．60︒【答案】B【解析】【分析】 延长CE 交AB 于点F ，由AB ∵CD 知∵1＋∵AFE ＝180°，据此得∵AFE ＝60°，再根据∵2＝∵3＋∵AFE可得答案．【详解】解：如图，延长CE交AB于点F，∵AB∵CD，且∵1＝120°，∵∵1＋∵AFE＝180°，∵∵AFE＝180°−∵1＝60°，又∵∵2＝∵3＋∵AFE，且∵2＝80°，∵∵3＝∵2−∵AFE＝20°，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补及三角形外角的性质．变式3．（2021·黑龙江道里·七年级期末）如图，AB∵CD，BE平分∵ABC且过点D，∵CDE ＝160°，则∵C的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°【答案】D【解析】【分析】首先根据邻补角互补可得∵CDB＝180°﹣160°＝20°，然后再根据平行线的性质可得∵ABD ＝∵CDB＝20°，进而得到∵CBD＝20°，再利用三角形内角和定理算出∵C的度数．【详解】解：∵∵CDE＝160°，∵∵CDB＝180°﹣160°＝20°，∵AB∵CD，∵∵ABD＝∵CDB＝20°，∵BE平分∵ABC，∵∵CBE＝∵ABE＝20°，∵∵C＝180°﹣20°﹣20°＝140°，故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握两直线平行和内错角相等．◎考点题型4根据性质探究角的关系例．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级阶段练习）如图：已知∵1＝∵2，下列结论：∵∵3＝∵4；∵∵3与∵5互补；∵∵1＝∵4；∵∵3＝∵2；∵∵1与∵5互补，正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】A【解析】【分析】根据平行线的判定与性质分别对每一项进行分析即可得出答案．【详解】解：12∠=∠，∴，a//b∠=∠，32∴∠=∠，14∠=∠，42∴∠=∠，34∠互补，∠与52∠互补，3∴∠与5∠互补，4∠与5∠互补；1∴∠与5正确的有5个；故选：A．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，同旁内角互补．变式1．（2021·安徽省安庆市外国语学校八年级开学考试）如图，AB//CD，∵ABE＝12∵EBF，∵DCE＝13∵ECF，设∵ABE＝α，∵E＝β，∵F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（）A．4β﹣α+γ＝360°B．3β﹣α+γ＝360°C．4β﹣α﹣γ＝360°D．3β﹣2α﹣γ＝360°【答案】A【解析】【分析】过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∵ABF＝3α，∵DCF＝4∵ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∵ABE＝∵BEN＝α，∵ECD＝∵CEN，∵ABF+∵BFQ＝180°，∵DCF+∵CFQ＝180°，求出α+∵ECD＝β，3α+γ+4∵DCE＝360°，再求出答案即可．【详解】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，∵∵ABE＝12∵EBF，∵DCE＝13∵ECF，∵ABE＝α，∵∵ABF＝3α，∵DCF＝4∵ECD，∵AB∥CD，∵AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，∵∵ABE＝∵BEN＝α，∵ECD＝∵CEN，∵ABF+∵BFQ＝180°，∵DCF+∵CFQ＝180°，∵∵ABE+∵ECD＝∵BEN+∵CEN＝∵BEC，∵ABF+∵BFQ+∵CFQ+∵DCF＝180°+180°＝360°，即α+∵ECD＝β，3α+γ+4∵DCE＝360°，∵∵ECD ＝β﹣α，∵3α+γ+4（β﹣α）＝360°，即4β﹣α+γ＝360°，故选A ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．变式2．（2021·陕西·陇县教学研究室七年级期末）如图，已知//AB CD ，BC 平分ABE ∠，64BED ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A ．26︒B ．32︒C ．48︒D ．54︒【答案】B【解析】【分析】 利用平行线的性质，角平分线的定义即可解决问题．【详解】解：∵//AB CD ，64BED ∠=︒，BC 平分ABE ∠，∵64ABE ∠=︒，11643222ABC EBC ABE ∠=∠=∠=⨯︒=︒， ∵//AB CD ，∵32C ABC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 变式3．（2021·湖北蕲春·七年级期中）如图，AB ∵CD ，∵FGB ＝146°，FG 平分∵EFD ，则∵AEF 的度数等（ ）A ．34°B ．68°C ．46°D ．92°【答案】B【解析】【分析】 先根据平行线的性质可得∥DFG =34°，再根据角平分线的定义可得∥EFD =2∵DFG =68°，然后根据平行线的性质即可得．【详解】∵AB//CD,∥FGB =146°，∵∥DFG =180°−∥FGB =34°，∵FG 平分∵EFD ，∵∵EFD =2∵DFG =68°，又∵AB//CD ，∵∵AEF =∵EFD =68°，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．◎考点题型5根据性质探究求角的度数例．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）八年级期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P 点照射到抛物线上的光线,PA PB 等反射以后沿着与直线PF 平行的方向射出，若CAP α∠=︒，DBP β∠=︒，则APB ∠的度数为（ ）°A ．2αB ．2βC ．αβ+D ．5()4αβ+ 【答案】C【解析】【分析】 根据平行线的性质可得,EPA PAC EPB PBD ∠=∠∠=∠，进而根据APB APE BPE ∠=∠+∠即可求解【详解】 解：,PF AC PF BD ∥∥∴,EPA PAC EPB PBD ∠=∠∠=∠∴APB APE BPE ∠=∠+∠αβ=+故选C【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．变式1．（2022·河南·郑州外国语中学八年级期末）一把直尺与一块直角三角板按下图方式摆放，若237∠=︒，则1∠=（ ）A ．52°B ．53°C ．54°D ．63°【答案】B【解析】【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等）即可求解．【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，∵直尺的两边互相平行，∵3237∠=∠，∠=∠=︒，14∵490353∠=︒-∠=︒，∵1453∠=∠=︒，故选B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．变式2．（2022·四川省遂宁市第二中学校七年级期末）如图，已知直线AD∵BC，BE平分∵ABC交直线DA于点E，若∵DAB＝54°，则∵E等于（）A．25°B．27°C．29°D．45°【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可求∵ABC=54°，再根据角平分线的性质可求∵EBC=27°，再根据两直线平行，内错角相等可求∵E．【详解】解：∵AD∵BC，∵∵ABC=∵DAB=54°，∵EBC=∵E，∵BE平分∵ABC，∵ABC=27°，∵∵EBC=12∵∵E=27°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线，关键是求出∵EBC=27°．变式3．（2022·黑龙江香坊·七年级期末）如图，AD∵BC，∵C＝30°，∵ADB：∵BDC＝1：2，∵EAB＝72°，以下四个说法：∵∵CDF＝30°；∵∵ADB＝50°；∵∵ABD＝22°；∵∵CBN＝108°其中正确说法的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】根据AD∵BC，∵C＝30°，利用内错角相等得出∵FDC=∵C=30°，可判断∵正确；根据邻补角性质可求∵ADC=180°-∵FDC=180°-30°=150°，根据∵ADB：∵BDC＝1：2，得出方程3∵ADB=150°，解方程可判断∵正确；根据∵EAB＝72°，可求邻补角∵DAN=180°-∵EAB=180°-72°=108°，利用三角形内角和可求∵ABD=180°-∵NAD-∵ADB=180°-108°-50°=22°可判断∵正确，利用AD∵BC，同位角相等的∵CBN=∵DAN=108°可判断∵正确即可．【详解】解：∵AD∵BC，∵C＝30°，∵∵FDC=∵C=30°，故∵正确；∵∵ADC=180°-∵FDC=180°-30°=150°，∵∵ADB：∵BDC＝1：2，∵∵BDC=2∵ADB，∵∵ADC=∵ADB+∵BDC=∵ADB+2∵ADB=3∵ADB=150°，解得∵ADB=50°，故∵正确∵∵EAB＝72°，∵∵DAN=180°-∵EAB=180°-72°=108°，∵∵ABD=180°-∵NAD-∵ADB=180°-108°-50°=22°，故∵正确∵AD∵BC，∵∵CBN=∵DAN=108°，故∵正确其中正确说法的个数是4个．故选择D．【点睛】本题考查平行线性质，角的倍分，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程，掌握平行线性质，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程地解题关键．◎考点题型6性质的生活中的应用例．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】【分析】作CD∵平面镜，垂足为G，根据EF∵平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．【详解】解：如图，作CD∵平面镜，垂足为G，∵EF∵平面镜，∵CD//EF，∵∵CDH＝∵EFH＝α，根据题意可知：AG ∵DF ，∵∵AGC ＝∵CDH ＝α，∵∵AGC ＝α，∵∵AGC 12=∠AGB 12=⨯60°＝30°， ∵α＝30°．故选：B ．【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG 平分∵AGB ．变式1．（2021·浙江浙江·七年级期末）如图，AOB ∠的两边,OA OB 均为平面反光镜，35AOB ∠=︒，在OB 上有一点E ，从E 点射出一束光线经OA 上的点D 反射后，反射光线DC 恰好与OB 平行，这里ODE ADC ∠=∠，则DEB ∠的度数是（ ）A ．35︒B ．70︒C ．110︒D ．120︒【答案】B【解析】【分析】 过点D 作DF ∵AO 交OB 于点F ．根据题意知，DF 是∵CDE 的角平分线，可得∵1=∵3；然后又由两直线CD ∵OB 推知内错角∵1=∵2；最后由三角形的内角和定理求得∵DEB 的度数是70°．【详解】解：过点D 作DF ∵AO 交OB 于点F ．∵入射角等于反射角，∵∵1=∵3，∵CD ∵OB ，∵∵1=∵2（两直线平行，内错角相等）；∵∵2=∵3（等量代换）；在Rt ∵DOF 中，∵ODF =90°，∵AOB =35°，∵∵2=55°；∵在∵DEF 中，∵DEB =180°-2∵2=70°．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题．变式2．（2022·全国·七年级）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的120A ∠=︒，第二次拐的150B ∠=︒，第三次拐的C ∠，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则C ∠是（ ）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒ 【答案】D【解析】【分析】过点B 作直线BD 与第一次拐弯的道路平行，由题意可得120A ABD ∠=∠=︒，进而可得30DBC ∠=︒，然后问题可求解．【详解】解：过点B 作直线BD 与第一次拐弯的道路平行，如图所示：∵第三次拐的C ∠，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，∵直线BD 与第三次拐弯的道路也平行，∵120A ∠=︒，∵120A ABD ∠=∠=︒，180DBC C ∠+∠=︒，∵150B ∠=︒，∵30DBC ∠=︒，∵150C ∠=︒；故选D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．变式3．（2021·安徽阜南·七年级期末）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∵1=45°，∵2=122°时，∵3和∵4的度数分别是（ ）A ．58°，122°B ．45°，68°C ．45°，58°D ．45°，45°【答案】C【解析】【分析】 先根据EG∵FH 得出∵3的度数，再由AB∵CD 得出∵ECD 的度数，根据CE∵DF 即可得出结论．【详解】解：∵EG∵FH ，∵1=45°，∵∵3=∵1=45°．∵AB∵CD ，∵2=122°，∵∵ECD=180°﹣122°=58°．∵CE∵DF ，∵∵4=∵ECD=58°．故选：C ．．【点睛】本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．◎考点题型7根据判定和性质求角度例．（2021·北京·七年级期末）如图，点E ，B ，C ，D 在同一条直线上，A ACF ∠=∠，50DCF ∠=°，则ABE ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．130︒C ．135︒D ．150︒【答案】B【解析】【分析】 根据A ACF ∠=∠推出AB CF ∥，求出ABC ∠的度数即可求出答案．【详解】A ACF ∠=∠，∵AB CF ∥，50DCF ∠=︒，50ABC =∴∠︒，130ABE ∴∠=︒．故选：B ．【点睛】此题考查了平行线的判定及性质，熟记平行线的判定定理：内错角相等两直线平行是解题的关键．变式1．（2021·全国·七年级单元测试）如图，点D 是AB 上的一点，点E 是AC 边上的一点，且∵B ＝70°，∵ADE ＝70°，∵DEC ＝100°，则∵C 是( )A ．70°B ．80°C ．100°D ．110°【答案】B【解析】【分析】 先证明DE ∥BC ，根据平行线的性质求解．【详解】解：因为∵B ＝∵ADE ＝70°所以DE ∥BC ，所以∵DEC +∵C ＝180°，所以∵C ＝80°.故选：B ．【点睛】此题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行． 变式2．（2021·浙江慈溪·七年级期末）如图，若189∠=︒，291∠=︒，388∠=︒，则4∠的度数是（ ）A ．88°B ．89°C ．91°D ．92°【答案】D【解析】【分析】 由∵5＝∵1＝89°，∵2＝91°，可知∵5＋∵2＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可求得l 3//l 4；根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∵4的度数．【详解】解：如图：∵∵5＝∵1＝89°，∵2＝91°，∵∵5＋∵2＝180°，∵l 3//l 4，∵∵3＋∵6＝180°，∵∵3＝88°，∵∵6＝92°，∵∵4＝∵6＝92°．故选：D ．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质．解题的关键是熟练掌握平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）与平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）．变式3．（2021·河南汤阴·七年级期末）如图，AB ，CD ，EF ，MN 均为直线，2370∠=∠=︒，80GPC ∠=︒，GH 平分MGB ∠，则1∠=（ ）A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒【答案】D【解析】【分析】 由∵2=∵3=70°，根据平行线的判定可得出//AB CD ，则可得∵BGP =∵GPC ，进而可得∵BGM =100°，由GH 平分∵ MGB 即可求得∵1．【详解】∵2370∠=∠=︒，∵//AB CD ，∵BGP GPC ∠=∠，∵80GPC ∠=︒，∵80BGP ∠=︒，∵180100BGM BGP ∠=︒-∠=︒，∵GH 平分MGB ∠， ∵11502BGM ∠=∠=︒， 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，补角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．◎考点题型8根据判定和性质证明例．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，点E 在AD 的延长线上，下列条件中能使AB //CD 的是（ ）A ．∵ABD ＝∵CDBB ．∵ADB ＝∵CBDC ．∵C ＝∵CDED ．∵C +∵ADC ＝180°【答案】A【解析】【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可．【详解】解：∵∵ABD ＝∵CDB ，∵AB ∵CD ，故选项A 符合题意；∵∵ADB ＝∵CBD ，∵AD ∵BC ，故选项B 不合题意；∵∵C ＝∵CDE ，∵AD ∵BC ，故选项C 不合题意；∵∵C +∵ADC ＝180°，∵AD ∵BC ，故选项D 不合题意，故选A ．【点睛】 本题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．变式1．（2021·广西·南宁市第八中学七年级阶段练习）如图，给出下列条件：∵∵1＝∵2；∵∵3＝∵4；∵AB∵CE，且∵ADC=∵B，∵AB∵CE，且∵BCD＝∵BAD；其中能推出BC∵AD 的条件为（）A．∵∵B．∵∵C．∵∵D．∵∵∵【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定条件逐一进行排除即可．【详解】解：∵∵∵1=∵2，∵AB∵CD，不符合题意；∵∵3=∵4，∵BC∵AD，故符合题意；∵∵AB∵CD，∵∵B+∵BCD=180°，∵∵ADC=∵B，∵∵ADC+∵BCD=180°，∵BC∵AD，符合题意；∵∵AB∵CD，∵∵B+∵BCD=180°，∵∵BCD＝∵BAD，∵∵B+∵BAD=180°，∵BC∵AD，符合题意；∵能推出BC∵AD的条件为∵∵∵；故选D．【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．变式2．（2021·山东·曹县教学研究室七年级期末）如图，在四边形ABCD中，若∠+∠=︒，则下列结论正确的是（）180ABC CA ．12∠=∠B ．23∠∠=C ．13∠=∠D ．24∠∠=【答案】D【解析】【分析】 由四边形ABCD 中180ABC C ∠+∠=︒，根据同旁内角互补两直线平行，可证得//AB DC ，再根据平行线的性质可得答案．【详解】 解：四边形ABCD 中180ABC C ∠+∠=︒，//AB DC ∴，24∴∠=∠．故选：D ．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，此题难度不大，注意数形结合思想的应用．变式3．（2021·青海治多·七年级期中）如图，能判定//AB CD 的是（ ）A ．14∠=∠B ．13∠=∠C ．12∠=∠D ．23∠∠=【答案】A【解析】【分析】 根据两直线平行的判定定理，顺次推导就可以得到正确答案．【详解】解：A 、14∠=∠，内错角相等，//AB CD ，选项正确；B 、13∠=∠，不能判定AB ∵CD ，故该选项错误；C 、12∠=∠，只能说明BD 是ABC ∠的角平分线，选项错误；D 、23∠∠=，互为内错角，//AD BC ，选项错误．故选：A【点睛】本题考查的是两直线平行的判定定理，角平分线的定义、等底对等腰等知识点，根据定理内容进行判断是解题关键．◎考点题型9求平行线间的距离例．（2021·全国·八年级期中）已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m 与n之间的距离（）A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可D．AE和CF均可【答案】C【解析】【分析】由平行线之间的距离的定义判定即可得解．【详解】解：从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，线段AB和CD都可以示直线m与n之间的距离，故选：C．【点睛】本题考查了平行线之间的距离，解题的关键是熟记平行线之间的距离的概念．变式1．（2021·辽宁建昌·八年级期中）如图，已知直线a//b//c，直线d与直线a，b，c分别垂直，垂足是点C，B，A．若AB＝2，AC＝5，则直线a，b的距离是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】【分析】利用线段的差计算即可．【详解】解：∵直线a//b//c，直线d与直线a，b，c分别垂直，∵AB的长为平行线b与c的距离，AC的长为平行线a与c的距离，直线a，b的距离是BC=AC-AB=5-2=3．故选择B．【点睛】本题考查平行线间的距离，线段的和差计算，掌握平行线间的距离与线段的和差计算是解题关键．变式2．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，在ABCD中，AE BC，下列说法不正确．．．的是（）A．AE表示的是A、E两点间的距离B．AE表示的是A点到BC的距离C．AE表示的是AD与BC间的距离D．AE表示的是AB与CD间的距离【答案】D【解析】【分析】根据两点之间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离的定义进行逐一判断即可.【详解】解：A、AE表示的是A、E两点间的距离，正确；B、AE表示的是A点到BC的距离，正确；C、AE表示的是AD与BC间的距离，正确；D、AE表示的是AD与BC间的距离，错误.故选D.【点睛】本题主要考查了两点之间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.变式3．（2021·山东日照·七年级期中）已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线b与c之间的距离是5cm，那么直线a与c的距离是（）cm．A．8B．2C．8或2D．无法确定【答案】C【解析】【分析】画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可．【详解】解：有两种情况，如图：（1）直线a与c的距离是3厘米＋5厘米＝8厘米；（2）直线a与c的距离是5厘米−3厘米＝2厘米；故选：C．【点睛】本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键．◎考点题型10利用平行线间的距离解决问题⨯的方格纸中，每个小正方形的边长均为例．（2021·陕西陈仓·八年级期中）如图，在451，点O，A，B在方格纸的格点上，在第四象限内的格点上找点C，使ABC的面积为3，则这样的点C共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】先找到一个使三角形面积为3的点，再过这个点作AB的平行线，可找到符合题意的格点．【详解】解：设点C到AB的距离为h，∵3AB=，∵1332ABC S h ⨯=⨯=， ∵2h =，又∵点C 在第四象限，∵满足条件的点共有3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查坐标系下三角形的面积，找到一个符合条件的点，作平行线即可．变式1．（2021·河北顺平·八年级期末）如图，四边形中，AD ∵BC ，AC 与BD 相交于点O ，若S △ABO ＝5cm 2，S △DCO 为（ ）A ．5cm 2B ．4cm 2C ．3cm 2D ．2cm 2【答案】A【解析】【分析】 分别过点A 、D 作AE BC ⊥、DF BC ⊥，根据平行线的性质可得AE DF =，根据三角形的面积求得ABO DCO S S =△△，即可求解．【详解】解：分别过点A 、D 作AE BC ⊥、DF BC ⊥，如下图：∵//AD BC∵AE DF =又∵12ABC S BC AE =⨯△，12DCB S BC DF =⨯△ ∵ABC DCB S S =△△∵ABO ABC CBO S S S =-△△△，DCO DCB CBO S S S =-△△△∵2=5ABO DCO S S cm =△△故选A【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形的面积公式，解题的关键是根据平行线的性质及三角形的面积公式推出ABO DCO S S =△△．变式2．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，//,//,:2:1m n AD BC CD CF =．若CEF △的面积为5，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．不能确定【答案】B【解析】【分析】 设CF =x ，m 与n 之间的距离为h ，则CD =2x ，再根据三角形的面积公式求出xh 的值，进而可得出结论．【详解】解：∵m ∵n ，CD ：CF =2：1，∵设CF =x ，m 与n 之间的距离为h ，则CD =2x ，∵∵CEF 的面积为5， ∵12CF •h =5，即12xh =5，解得xh =10，∵AD ∵BC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵S 四边形ABCD =CD •h =2xh =2×10=20．故选B ．【点睛】本题考查的是平行线间的距离，熟知平行线间的距离处处相等是解答此题的关键．变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∵n；则下列说法正确的是（）A．AB∵PC B．∵ABC的面积等于∵BCP的面积C．AC＝BP D．∵ABC的周长等于∵BCP的周长【答案】B【解析】【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．【详解】解：AB不一定平行于PC，A不正确；∵平行线间的距离处处相等，∵∵ABC的面积等于∵BCP的面积，B正确；AC不一定等于BP，C不正确；∵ABC的周长不一定等于∵BCP的周长，D不正确，故选：B．【点睛】本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．解题的关键是掌握平行线的性质和判定．◎考点题型11 真假命题例．（2021·重庆·七年级期末）下列命题是真命题的是（）A．内错角相等B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．相等的角是对顶角D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质、垂直的判定、对顶角和平行线的判定进行判断即可．【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；B、在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂直的判定、对顶角和平行线的判定．变式1．（2021·北京市海淀区清华附中稻香湖学校七年级期末）下面命题：∵同位角相等；∵对顶角相等；∵若x2＝y2，则x＝y；∵互补的角是邻补角．其中真命题有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】【分析】根据平行线的性质、对顶角、乘方的意义和邻补角判断解答即可．【详解】∵两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；∵对顶角相等，是真命题；∵若x2＝y2，则x＝y或x＝﹣y，原命题是假命题；∵互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题；故选：A．【点睛】本题考查了命题的真假，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角、乘方的意义和邻补角，难度不大．变式2．（2021·重庆市两江中学校七年级期中）下列命题中真命题的个数有（）∵有公共顶点且相等的两个角叫对顶角；∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；∵平行于同一条直线的两条直线平行；∵过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；∵直线外一点到已知直线的垂线段就是该点到直线的距离．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】根据对顶角的定义（有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角）可判断∵；同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断∵；平行于同一条直线的两条直线平行，根据平行线的判定可判断∵；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可判断∵；直线外一点到已知直线的垂线段长度就是该点到直线的距离，可判断∵，综合即可得出选项．【详解】解：根据对顶角的定义（有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角）判断∵错误，是假命题；同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故∵错误，是假命题； 平行于同一条直线的两条直线平行，根据平行线的判定可得∵正确，是真命题； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故∵错误，是假命题； 直线外一点到已知直线的垂线段长度就是该点到直线的距离，故∵错误，是假命题； 综上可得只有∵正确，是真命题，故选：A ．【点睛】题目主要考查真假命题的判断，包括对顶角，平行线和垂线的性质，点到直线的距离等，理解题意，熟练掌握各个定理是解题关键．变式3．（2021·福建·厦门市湖里中学七年级期中）如图，已知OE 是AOD ∠的平分线，可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例的是（ ）A ．AOB DOC ∠=∠ B ．AOE DOE ∠=∠C ．EOC DOC ∠<∠D ．EOC DOC ∠>∠【答案】B【解析】【分析】 根据角平分线定义得到AOE DOE ∠=∠，由于反例要满足角相等且不是对顶角，所以AOE DOE ∠=∠可作为反例．【详解】 解：OE 是AOD ∠的平分线，∴AOE DOE ∠=∠∴AOE DOE ∠=∠可作为说明命题“相等的角是对顶角”为假命题的反例故选：B ．【点睛】本题考查命题与定理：判断一件事情的语句叫做命题，命题由题设和结论组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事实，一个命题可以写出“如果…那么…”的形式，任何一个命题非真即假，判断一个命题是假命题，只要举出反例即可．。

平行线的判定与性质1．如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠ＣAB互余的角有个．2．如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、ＧＨ相交,图中的同旁内角共有（)Ａ.4对B．8对Ｃ.12对ﻩ D.１6对3．如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°,∠ＣDE=30°,∠Ｅ=１0°求证：AＢ∥EF．4.如图,在△ABC中，CE⊥AＢ于E，DF⊥AB于F，AC∥ＥＤ，CE是∠ACＢ的平分线,试比较∠EDF与∠ＢDF的大小,并说明理由．5．探究：(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠Ｄ=∠E，你能说明为什么吗？（２）反之,若∠Ｂ+∠D＝∠E,直线AB与CD有什么位置关系？请证明;ﻬ(3）若将点E移至图ｂ所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(４）若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(5)在图d中,AB∥ＣD，∠E＋∠G与∠B+∠Ｆ＋∠D又有何关系?(６)在图e中，若ＡB∥CＤ，又得到什么结论?6．如图所示,已知ＡB∥CＤ,EＦ交AB于M交ＣD于Ｆ，MN⊥EF于M,MＮ交ＣD于N,若∠BＭＥ=110°，则∠MND=．7．如图,若直线ａ,b分别与直线ｃ,ｄ相交,且∠1+∠3=90°，∠2﹣∠３=90°,∠4=11５°，那么∠3=.8．如图,已知AB∥CD，∠１=10０°，∠2＝1２０°，则∠α=度.9．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°,那么另一角是度.ﻬ10．如图，下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是( )Ａ．∠1=∠3ﻩ B.∠2＝∠３ﻩ C.∠4=∠5D．∠2+∠4=180°11.已知线段ＡB＝10cm,点Ａ,B到直线l的距离分别为６ｃm,4ｃm.符合条件的直线l有（ )A．1条ﻩＢ．2条 C.3条D．4条1２．已知:如图所示,直线a，ｂ都与直线c相交,给出下列条件:①∠1＝∠２；②∠3＝∠6;③∠4+∠7＝180°;④∠5+∠8＝18０°.其中能判定a∥b的是()Ａ．①③ﻩB．②④C．①③④ﻩD．①②③④１3.如图所示，AB∥EF∥DC，EG∥DＢ,则图中与∠1相等的角（∠1除外)共有（）A.6个ﻩＢ．5个 C.４个ﻩD．2个14．如图所示，已知∠1+∠2=１80°，∠3=∠B,试判断∠ＡEＤ与∠C的大小关系，并对结论进行说理．１5.如图，已知∠１十∠２=１80°,∠A=∠C,AD平分∠BDF.求证：ＢC平分∠ＤBE.１６．在同一平面内有2０02条直线a１，a2，…,a20０2,如果a1⊥ａ2，a2∥ａ3，ａ3⊥ａ4，ａ4∥a5,…,那么a１与ａ2002的位置关系是．17．若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角对．18．如图,已知l1∥l2，AB⊥l１，∠ABC＝130°,则∠α＝ .19．如图，直线ＡB∥ＣD,∠EFＡ=3０°,∠FGH=90°，∠ＨMN=30°，∠CＮＰ=5０°，则∠GＨM的大小是.２０.如图,D、G是△ABC中ＡB边上的任意两点,DE∥ＢC，GＨ∥ＤC,则图中相等的角共有（ )A．4对ﻩ B.5对ﻩC．6对 D.７对21．如图，若AＢ∥CD,则( )A．∠1＝∠2+∠3B．∠1=∠3﹣∠2C.∠1+∠2+∠３=180°ﻩD．∠l﹣∠２+∠３=180°2２.如图：已知AＢ∥CＤ∥EF,ＥH⊥ＣD于H,则∠ＢAＣ＋∠ACE+∠ＣEH等于()A.18０°Ｂ．27０°ﻩ C.3６0°ﻩ D.4５0°23．如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β和γ的关系是（ )Ａ.β＝α+γB．α+β+γ=18０°Ｃ．α+β﹣γ=９0°Ｄ.β+γ﹣α=１80°24.如图，已知AB∥ＣD,P为ＨD上任意一点,过P点的直线交ＨF于O点,试问:∠HＯP、∠AGF、∠ＨPO有怎样的关系?用式子表示并证明．２5.如图,AB∥ED,α＝∠A+∠Ｅ,β＝∠B+∠Ｃ＋∠D．证明：β=2α２6.平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点.(1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(２)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个)；（3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形,其中n分别为６,２１，15?（4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？２７.如图，直线CB∥OA，∠C=∠BAO=120°，Ｅ、Ｆ在ＣB上,且满足∠FＯB=∠ＡOB,ＯE平分∠COF．(1)求∠EOB的度数;(２）若平行移动AＢ，那么∠ＯBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律或求出变化范围；若不变,求出这个比值；(３）在平行移动ＡB的过程中，是否存在某种情况，使∠ＯＥＣ=∠OBＡ？若存在，求出其度数;若不存在，说明理由．平行线的判定与性质参考答案与试题解析1．如图,ＡB∥CD,AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有 3 个.【考点】平行线的性质;余角和补角．【分析】本题考查互余的概念,和为90度的两个角互为余角，结合图形和平行线的性质作答．【解答】解:AＢ∥ＣD，ＡC⊥BC，则图中与∠CＡB互余的角有3个,∠CＢA,∠BCD,和∠CBA的对顶角．【点评】此题属于基础题，较简单,主要记住互为余角的两个角的和为９0度．2.如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、ＧH相交，图中的同旁内角共有（ )A．4对ﻩ B.8对 C.1２对Ｄ．16对【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】几何图形问题．【分析】每一个“三线八角"基本图形都有两对同旁内角,从对原图形进行分解入手可知同旁内角共有对数.【解答】解：直线AB、CＤ被EＦ所截有2对同旁内角；直线ＡB、CD被GH所截有2对同旁内角;直线CD、EF被GH所截有2对同旁内角；直线CD、GＨ被EF所截有2对同旁内角;直线ＧH、EF被CD所截有2对同旁内角；直线ＡＢ、EF被GＨ所截有２对同旁内角;ﻬ直线ＡＢ、ＧH被EF所截有2对同旁内角；直线EＦ、GH被AB所截有2对同旁内角．共有１６对同旁内角.故选D.【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角.要结合图形,熟记同旁内角的位置特点.两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角.3．如图，已知∠Ｂ＝25°,∠BＣD=45°,∠CDE=３０°,∠E＝１0°求证:AB∥EF.【考点】平行线的判定与性质.【专题】证明题．【分析】解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件,在图中添置“三线八角"或作出与AB或ＣD平行的直线，利用平行线的性质和判定求证．【解答】解：过C点作ＣG∥AB，过点Ｄ作ＤH∥ＡＢ，则CG∥DＨ，∵∠Ｂ=25°,∴∠BＣG=2５°,∵∠BCD=45°,∴∠ＧCD=２0°,∵CG∥HD,∴∠CＤH=2０°,∵∠CDE=３０°，∴∠ＨDE=１0°∴∠HDＥ=∠E＝10°,∴DH∥EF,∴DH∥ＡB,∴AB∥EF.【点评】此题考查平行线的判定和性质，辅助线是常见的作法,证明过程注意选用有用的条件作为证明的依据．4．如图,在△ABC中，ＣE⊥ＡＢ于E，ＤF⊥AB于F,AＣ∥ＥD,CE是∠AＣB的平分线,试比较∠EDＦ与∠BDF的大小,并说明理由.【考点】平行线的性质；垂线．【分析】先运用垂直于同一条直线的两直线平行,得出∠BDF=∠BCE，∠ＦDE=∠ＤＥＣ，再根据平行线的性质得出∠DEC＝∠ACE,然后利用角平分线等量代换即可得出两角的关系.【解答】解:∠EDF=∠ＢDF．∵CＥ⊥ＡＢ于Ｅ，DF⊥ＡB于F∴ＤＦ∥CE （垂直于同一条直线的两直线平行），∴∠ＢDF=∠BCE （两直线平行,同位角相等),∠FDE＝∠DEC（两直线平行,内错角相等)又∵AC∥ED，∴∠DＥＣ=∠AＣE（两直线平行,内错角相等），∵CE是∠ＡCB的角平分线,∴∠ＡＣE＝∠EＣB(角平分线的定义),∴∠EDF=∠ＢDF(等量代换)．【点评】本题主要运用了平行线的性质和垂线的性质,解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行内错角、同位角相等.ﻬ5.探究：（1）如图a，若AＢ∥CＤ,则∠Ｂ+∠D=∠E，你能说明为什么吗？(2）反之，若∠B+∠D=∠Ｅ,直线ＡB与ＣＤ有什么位置关系？请证明;(3)若将点Ｅ移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明；(４)若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(５)在图d中,AB∥CＤ，∠E+∠G与∠Ｂ＋∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中，若AB∥CＤ,又得到什么结论?【考点】平行线的判定与性质.【分析】已知AB∥ＣD,连接AB、CD的折线内折或外折,或改变E点位置、或增加折线的条数,通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论,给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AＢ（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形.【解答】解:(1)过E作EF∥AB,则∠B=∠ＢＥＦ,∵ＡB∥ＣD，∴EF∥CD,∴∠D=∠DＥＦ,∴∠BＥＤ=∠ＢEＦ+∠DEF=∠B+∠D．（２）若∠B＋∠D=∠E,由EF∥AＢ，∴∠B=∠BEF,∵∠E=∠ＢEF+∠DEF=∠B＋∠D，∴∠D＝∠ＤＥF,∴ＥF∥CＤ，∴AB∥CD；（3)若将点Ｅ移至图ｂ所示位置，过E作EF∥AB,∴∠BEF+∠Ｂ=180°，∵EＦ∥CD,∴∠D+∠ＤＥF=1８0°，∠Ｅ+∠B＋∠D＝360°;(４)∵AB∥CD，∴∠Ｂ=∠BFＤ,∵∠D+∠E=∠BFＤ,∴∠D+∠E=∠Ｂ;(5）∵AB∥CD，∴∠E＋∠G=∠B+∠Ｆ+∠D；（6)由以上可知:∠E1＋∠Ｅ２+…＋∠E n=∠B+∠Ｆ1+∠Ｆ2+…＋∠Fｎ﹣1+∠D;【点评】本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过Ｅ点作AB（或ＣD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形.6．如图所示,已知AB∥ＣD，EF交AB于M交CD于F，MＮ⊥EＦ于M，MN交CＤ于Ｎ,若∠BＭE=11０°，则∠MND＝2０° .【考点】平行线的性质．【分析】根据对顶角相等求出∠ＡＭＦ,再求出∠ＡＭN，然后根据两直线平行,内错角相等求解即可.【解答】解：∵∠BMＥ=11０°,∴∠AMF=∠BME=11０°,∵MN⊥EＦ于M，∴∠NMF=９０°，∴∠AＭN=∠ＡMF﹣∠ＮMF＝1１０°﹣9０°＝２0°,∵AB∥CD,∴∠MＮD=∠AMＮ=２0°.故答案为:２0°．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，以及垂直的定义，是基础题,熟记性质并准确识图是解题的关键．7.如图,若直线a,b分别与直线c,d相交,且∠1+∠3=90°，∠2﹣∠３=９0°，∠4=115°,那么∠3= 65°.【考点】平行线的判定与性质.【专题】计算题．【分析】由∠1+∠3=90°,∠2﹣∠3=９０°,可得∠1+∠2=１80°,则可得出a∥b，根据同旁内角互补即可得出答案.【解答】解:∵∠1+∠3=90°,∠２﹣∠3＝9０°,∴∠1+∠2=１80°,∴∠１的对顶角+∠2=180°,∴ａ∥b，∴∠３+∠４的对顶角＝1８0°，∵∠4=１15°,∴∠3=1８0°﹣∠４=65°,故答案为:65°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质,属于基础题，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质.８.如图,已知AＢ∥CD，∠１=100°,∠2=120°,则∠α＝４0度.ﻬ【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】过点F作ＥF∥ＡB，由平行线的性质可先求出∠3与∠4，再利用平角的定义即可求出∠α.【解答】解：如图，过点F作EＦ∥AB,∴∠１+∠3=1８０°．∵∠1=100°,∴∠３=80°．∵AB∥CD,∴CD∥EF，∴∠4+∠2=1８0°,∵∠２＝120°，∴∠4=60°．∴∠α=18０°﹣∠3﹣∠４=40°．故应填40．【点评】本题的难点在于用辅助线构造平行线；关键点在于利用平行线的性质进行角的转化．9．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是 4０或140 度.【考点】平行线的性质.【分析】两个角的两边分别平行，则两个角可能是同位角，也可能是同旁内角,所以应分情况讨论.【解答】解：当两个角是同位角时，则另一个角也等于40°;若两个角是同旁内角时,则另一个角是14０°.故应填:40或140.【点评】会利用平行线性质求解角的大小,能够分析讨论一些简单的问题．ﻬ１0.如图,下列条件中,不能判断直线l1∥l２的是（）A．∠1=∠3B．∠２=∠3ﻩ C.∠4=∠5Ｄ．∠2＋∠4=180°【考点】平行线的判定．【分析】根据平行线的判定定理:同位角相等,两直线平行；内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行分别进行分析即可．【解答】解：Ａ、根据内错角相等,两直线平行可判断直线l１∥l2,故此选项不合题意；B、∠2=∠3，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意;Ｃ、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l1∥l２，故此选项不合题意;D、根据同旁内角互补,两直线平行可判断直线l１∥l2，故此选项不合题意;故选：B.【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．1１．已知线段ＡB=10ｃｍ,点Ａ,B到直线l的距离分别为6ｃｍ，４cm.符合条件的直线l有( ）A．１条 B.２条ﻩ C.3条D．4条【考点】点到直线的距离．【分析】根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.画出图形进行判断．【解答】解:在线段ＡB的两旁可分别画一条满足条件的直线;作线段AB的垂线，将线段AＢ分成6ｃm，4cm两部分，所以符合条件的直线l有３条,故选C.【点评】此题主要考查了从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的定义．12．已知:如图所示,直线a,b都与直线ｃ相交，给出下列条件:①∠1=∠2；②∠3=∠6;③∠4+∠7＝18０°；④∠5＋∠8＝180°.其中能判定ａ∥b的是（ )Ａ.①③ﻩB．②④ﻩＣ.①③④ D.①②③④【考点】平行线的判定;对顶角、邻补角．【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角,被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【解答】解：①∵∠1=∠2,∴a∥b（同位角相等，两直线平行).②∵∠3=∠6，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．③∵∠4＋∠７＝１80°,∵∠４＝∠６(对顶角相等)，∴∠6+∠7=180°,∴a∥b（同旁内角互补,两直线平行）．④同理得,a∥b(同旁内角互补,两直线平行）．故选D.【点评】正确识别“三线八角＂中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行．１3．如图所示，AB∥ＥF∥DC,ＥＧ∥DB，则图中与∠１相等的角(∠１除外）共有（)A．6个ﻩB．５个C．4个 D.2个【考点】平行线的性质．ﻬ【分析】由AB∥EF得∠FEG＝∠1,由EG∥DB可得∠DBG=∠１;设BＤ与ＥF相交于点Ｐ,由AB∥EF得到∠FPB=∠ＤＢG＝∠１，∠DPＥ＝∠ＤBG=∠1,又AB∥ＤＣ可以得到∠ＣＤＢ＝∠ＤBG=∠1，由此得到共有5个．【解答】解:∵AＢ∥EＦ,∴∠FＥG=∠1，∵EG∥DB，∴∠DBG＝∠1,设BD与EＦ相交于点P,∵AB∥EＦ，∴∠ＦＰＢ=∠DBG=∠１,∠DＰE=∠DBG＝∠１，∵AB∥DC，∴∠CDB=∠DBG=∠1.∴共有5个.故选Ｂ．【点评】本题主要利用了由平行得到的内错角相等以及同位角相等，注意不要漏解．14.如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠Ｃ的大小关系,并对结论进行说理.【考点】平行线的性质.【专题】探究型．【分析】由图中题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明DE∥BC.题中说∠1+∠2=180°，而∠1+∠４=1８0°所以∠2=∠４，那么可得到BD∥EF，题中有∠３=∠B,所以应根据平行得到∠3与∠ＡDE之间的关系为相等.就得到了∠Ｂ与∠ＡDＥ之间的关系为相等，那么DE∥BC．【解答】证明:∵∠１＋∠4=180°（邻补角定义)∠1+∠2=180°(已知）∴∠2=∠4(同角的补角相等）∴EF∥AB（内错角相等,两直线平行）∴∠3=∠ADE（两直线平行,内错角相等）又∵∠Ｂ＝∠3（已知）,∴∠ADE=∠B（等量代换）,∴DE∥ＢC(同位角相等，两直线平行）∴∠AＥD=∠Ｃ（两直线平行,同位角相等)．【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手,得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．15.如图,已知∠１十∠2＝18０°，∠A=∠C,AＤ平分∠BDＦ．求证：ＢC平分∠DBＥ.【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由已知易得∠１=∠BDC，则AＥ∥CF,所以∠EBＣ=∠ＢCＤ，又∠ＢAＤ=∠ＢCD,故∠EBＣ=∠ＢAD，可得AD∥BC，再用角平分线的定义和平行线的性质求证即可.【解答】证明:∵∠1十∠２=18０°,∠1+∠EBD=180°，∴∠2=∠ＥＢD,∴AE∥CＦ,∴∠FDＢ=∠DBE,∠BAD=∠ADF,又∵∠BＡD=∠BCD,∴∠BCD＝∠ＡDF,∴AD∥BC,∴∠ＤBC=∠BDA=∠FDB=∠DBＥ,∴ＢC平分∠ＤＢE．ﻬ【点评】此题考查了平行线的判定和性质，综合利用了角平分线的定义,要充分利用已知条件.16．在同一平面内有２002条直线ａ1,a2，…，a2０02，如果a1⊥a2,a2∥a3,a３⊥ａ4，a４∥a5，…,那么a１与a2002的位置关系是垂直．【考点】垂线；平行线.【专题】压轴题；规律型．【分析】a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每４条直线一循环.根据此规律可求a１与a２002的位置关系是垂直．【解答】解:∵ａ１与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环.∴(２00２﹣1)÷4=5０0余１，故答案为：垂直.【点评】本题难点在规律的探索,要认真观察即可得出规律.17.若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角2４对.【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】几何图形问题.【分析】一条直线与另3条直线相交(不交于一点）,有3个交点．每2个交点决定一条线段，共有３条线段．4条直线两两相交且无三线共点，共有3×4＝12条线段.每条线段两侧各有一对同旁内角,可知同旁内角的总对数.【解答】解：∵平面上４条直线两两相交且无三线共点，∴共有3×4＝12条线段.又∵每条线段两侧各有一对同旁内角,∴共有同旁内角12×２＝24对.故答案为:２４.【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中,有两对同旁内角．ﻬ1８．如图，已知ｌ1∥ｌ2，AB⊥ｌ1,∠ABC=130°,则∠α＝40°．【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】过点Ｂ作ＥF∥l１∥l2,再根据平行线的性质不难求得∠α的度数.【解答】解:过点B作ＥF∥ｌ1∥l2∵EF∥l１∥l2，AＢ⊥l1∴∠ABF=9０°∵∠AＢC=130°∴∠ＦＢC=40°∵EF∥l1∥l2∴∠FBC=∠α=４0°故答案为:40°【点评】此题主要考查平行线的性质定理:定理1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行,同位角相等.定理2:两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行,内错角相等.19．如图,直线AB∥ＣＤ，∠EFA=３0°，∠FGH=９0°,∠HMN＝3０°，∠CNP=50°，则∠GＨM的大小是4０°.【考点】平行线的性质；三角形的外角性质;多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】作辅助线:延长PM、EG交于点K；PＭ延长线交AＢ于点L．利用平行线性质进行求解.【解答】解:辅助线延长PＭ、EＧ交于点Ｋ,ＰM延长线交AＢ于点L．如图:∵AB∥CD，∴∠ＡLM=∠LND=５０°;∴∠MKＧ=∠BFG＋∠ＡLM=８0°.∵∠HＭＮ=30°,∴∠ＨMＫ=1５0°;∵∠ＦGＨ=90°,∴∠GＨM=３６0°﹣∠HＭＫ﹣∠MKＧ﹣∠ＭGH=360°﹣150°﹣80°﹣9０°＝４0°．【点评】考查了平行线的性质的应用．本题综合性较强．20．如图，Ｄ、Ｇ是△AＢC中AB边上的任意两点,ＤE∥BC,GＨ∥ＤC，则图中相等的角共有( ）A.4对B．５对 C.6对D.7对【考点】平行线的性质．【分析】可利用平行线内错角相等,同位角相等的性质得出图中相等的角．【解答】解:由DE∥BＣ,可得∠ADE=∠ABC,∠AED＝∠ACＢ,∠EDC=∠ＤCB,由GH∥DC，可得∠ＢDC=∠ＢGH,∠HＧD＝∠ＡDC,∠ＤCB=∠GHB，∵∠EDC=∠ＤCB,∠DCB=∠GHB,∴∠ＥＤC＝∠BHG,∴题中共有7对相等的角.故选Ｄ.【点评】本题主要考查平行线的性质,即同位角相等,内错角相等,所以熟练掌握平行线的性质.21．如图，若ＡB∥ＣD，则( ）A．∠1＝∠2+∠3 B.∠1=∠３﹣∠2C.∠1+∠2＋∠3=1８0°ﻩD.∠l﹣∠2+∠3＝1８０°【考点】平行线的性质.【分析】先根据平行线的性质由ＡB∥CD得到∠3＝∠４,再根据三角形外角性质得∠１=∠2+∠4,等量代换后得到∠1=∠２+∠３．【解答】解:延长BA交EC于F，如图,∵AB∥CＤ,∴∠3=∠4,∵∠1＝∠２+∠4,∴∠1=∠2＋∠3.故选Ａ．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行，内错角相等．也考查了三角形外角性质.２2.如图：已知AB∥CD∥EF,EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACＥ+∠CEＨ等于（)A.180°ﻩB.270°C．360°D．450°【考点】平行线的性质.【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质可以求得:∠BＡC与∠ＡCD,∠ＤCE与∠CＥF的度数的和,再减去∠HEF的度数即可.【解答】解：∵AB∥CD,∴∠BＡC+∠ACＤ＝180°，同理∠DCＥ+∠CＥF=１80°，∴∠BAC＋∠ＡCE+∠CＥＦ=360°；又∵EH⊥CD于H,∴∠HEF=９0°,∴∠BAC+∠ACＥ+∠CＥＨ=∠BＡC+∠ACE+∠CEF﹣∠HEF＝3６０°﹣90°=27０°．故选B.【点评】本题主要考查了平行线的性质:两直线平行同旁内角互补.23.如图,ＡＢ∥EＦ，∠C=９0°，则α、β和γ的关系是( )Ａ．β=α+γﻩＢ．α+β+γ＝180° C.α+β﹣γ=９０°ﻩ D.β+γ﹣α＝180°【考点】平行线的性质.【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系.【解答】解:延长DC交ＡＢ与G,延长CD交ＥF于H．在直角△BGＣ中,∠1=９0°﹣α；△EHＤ中，∠２=β﹣γ，∵ＡB∥EF，∴∠１=∠２，∴90°﹣α=β﹣γ,即α+β﹣γ=9０°.故选:C．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.２4.如图,已知ＡB∥CD，P为HD上任意一点，过Ｐ点的直线交HF于Ｏ点，试问：∠ＨＯP、∠ＡGF、∠ＨPO有怎样的关系?用式子表示并证明.【考点】平行线的性质；三角形的外角性质.【分析】可过点Ｏ作OＭ∥CD，利用内错角相等,再通过转化即可得出结论.【解答】解:∠ＨOP=∠AＧF﹣∠HＰO,过点O作OM∥CＤ,如图,则∠AGF=∠ＨＯM,∠ＨＰO=∠POM,∠ＨＯP=∠ＨOM﹣∠POM，∴∠HOＰ＝∠AGＦ﹣∠HPO.【点评】本题主要考查平行线的性质，能够熟练运用平行线的性质求解角之间的关系问题．25.如图，AB∥ED,α=∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β=2α【考点】平行线的判定与性质;多边形内角与外角．【专题】证明题．【分析】此题的关键是过点C作AＢ的平行线，再利用平行线的性质和判定，得出∠A+∠E=180°,∠Ｂ+∠C+∠D=３60°,即可证明．【解答】证法１：∵AB∥ED,∴α=∠A+∠E＝1８0°(两直线平行，同旁内角互补）过C作CＦ∥AB（如图１）∵AＢ∥EＤ,∴CＦ∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行)∵CF∥AB,∴∠B=∠1,(两直线平行,内错角相等）又∵CF∥ED,∴∠2＝∠Ｄ,(两直线平行,内错角相等）∴β=∠B+∠C＋∠Ｄ=∠1+∠BCD+∠2=3６０°(周角定义)∴β=2α(等量代换)证法２:∵AB∥ED，∴α=∠A+∠E＝18０°（两直线平行，同旁内角互补)过C作ＣＦ∥AＢ（如图2）∵AB∥ＥD，∴CF∥ED(平行于同一条直线的两条直线平行）∵CＦ∥AＢ,∴∠B＋∠1=180°，（两直线平行，同旁内角互补）又∵CF∥EＤ,∴∠２+∠Ｄ＝１８0°,（两直线平行,同旁内角互补）∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠B+∠1+∠2+∠D=1８0°+１8０°=36０°,∴β=2α(等量代换）【点评】此题考查平行线的判定和性质，辅助线的作法很关键,也是常见作法,需掌握.２6.平面上有7条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点．（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形(至少两个)；（3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6,２1，15？(４)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形,从中你能发现什么规律?【考点】平行线；相交线.【专题】规律型．【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行,再考虑五条、四条,三条,二条直线平行,都不平行作出草图即可看出.ﻬ从画出的图形中归纳规律即可得到答案.【解答】解：（1）如图1所示;交点共有6个,(2）如图2,3．(3）当ｎ=6时,必须有6条直线平行,都与一条直线相交．如图4，当n=21时,必须使7条直线中的每2条直线都相交(即无任何两条直线平行）如图5，当n=15时,如图6,(4)当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：①当7条直线都相互平行时,交点个数是0，这是交点最少,②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21,这是交点最多．ﻬ【点评】此题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形,再再根据图形归纳规律.2７.如图，直线ＣＢ∥OＡ，∠C＝∠BAO＝1２0°，E、F在ＣB上,且满足∠FOB＝∠AOＢ,OE平分∠COF.（１)求∠EＯB的度数;(２）若平行移动AB,那么∠OBC：∠OFＣ的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变,求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【考点】平行线的性质;三角形内角和定理；角平分线的性质;平移的性质.【专题】几何图形问题.【分析】（1)根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC,再根据角平分线的定义求出∠EOB=∠ＡOC,代入数据即可得解;(2)根据两直线平行,内错角相等可得∠ＯBC=∠ＢOＡ，从而得到∠OBＣ＝∠FOB,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OFＣ=２∠OBC,从而得解；（３）设∠AOB=ｘ,根据两直线平行,内错角相等表示出∠CBO＝∠AＯB=x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OＥC,然后利用三角形的内角和等于1８0°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可.【解答】解：(1)∵ＣB∥OＡ,∴∠ＡOC＝1８０°﹣∠Ｃ=1８0°﹣1２０°＝60°，∵∠FOB=∠AＯＢ,OE平分∠COＦ,∴∠ＥOＢ＝∠AＯC＝×６０°=３０°;（２）∠ＯBC：∠OFＣ的值不会发生变化，为１:2，ﻬ∵CＢ∥OA，∴∠OＢC=∠BOA,∵∠FＯＢ＝∠AOＢ，∴∠OBC=∠FOＢ,∴∠OFC=∠ＯＢC＋∠ＦOＢ=２∠ＯBC，∴∠ＯＢC：∠OFC=1:2;(3)当平行移动ＡＢ至∠OBA=45°时，∠ＯEC＝∠OBA.设∠ＡOＢ=x，∵CＢ∥ＡO,∴∠CＢO=∠ＡOB=x,∵∠ＯＥC=∠CBO+∠EOＢ＝ｘ+30°，∠OBA=１80°﹣∠A﹣∠AOB=１80°﹣120°﹣ｘ=６0°﹣ｘ,∴x＋30°=60°﹣x,∴x=15°，∴∠OEＣ=∠OBA=６０°﹣15°＝45°．【点评】本题考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的定义,三角形的内角和定理,图形较为复杂，熟记性质并准确识图是解题的关键．。

《平行线性质与判定的综合》基础训练知识点1 综合运用平行线的性质与判定进行计算或说理1.如图,已知a∥b,∠1=58°,则∠2的大小是（）A.122°B.85°C.58°D.32°2.如图,直线EB∥FD,直线c分别交EB、FD于点A、C,∠BAC的平分线交直线FD于点G,若∠2=50°,则∠1的度数是（）A.50°B.60°C.80°D.100°3.如图,一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠2=44°,那么∠1的度数是（）A.14°B.15°C.16°D.17°4.如图,直线,,,a b c d ,已知,c a c b ⊥⊥,直线,,b c d 交于一点.若150︒∠=,则2∠等于（ ）A.60︒B.50︒C.40︒D.30︒5.如图,直线,a b 被直线,c d 所截.若12,3125︒∠=∠∠=,则4∠的度数是（）A.65︒B.60︒C.55︒D.75︒6.如图,若180A ABC ︒∠+∠=,则下列结论正确的是（ ）A.12∠=∠B.23∠=∠C.13∠=∠D.24∠=∠7.如图,12,60A ︒∠=∠∠=,则ADC ∠=____________.8.如图,//,180BC DE E B ︒∠+∠=,则AB 和EF 的位置关系为____________.9.如图所示,//,,AB DC ABC ADC BF ∠=∠和DE 分别平分ABC ∠和ADC ∠.试说明：//ED BF .解：因为BF 和DE 分别平分ABC ∠和ADC ∠（已知）,所以EDC ∠=____________,ADC FBA ∠∠=_________ABC ∠（角平分线的定义）. 又因为ADC ABC ∠=∠（已知）,所以∠___________FBA =∠（等量代换）. 因为//AB DC （已知）,所以AED EDC ∠=∠（______________）.所以∠______=∠_______（等量代换）.所以//ED BF （______________）.10.如图,已知180,B BCD B D ︒∠+∠=∠=∠.请你观察图形,写出E ∠和DFE ∠满足什么数量关系？并说明理由.知识点2 利用平行线的性质与判定解决实际问題11.如图所示,要在一条公路的两侧铺设平行管道,已知一侧铺设的角度为120,为使管道对接,另一侧铺设的角度大小应为（）A.120︒B.100︒C.80︒D.60︒12.如图,在,A B两地挖一条笔直的水渠,从A地测得水渠的走向是北偏西42,,A B 两地同时开工,B地所挖水渠走向应为南偏东_________.13.一条建设中的高速公路要穿过一山体开挖一条隧道,甲、乙两工程队分别从山体两侧的,A B两点同时开工,现甲队从A点测得道路的走向是北偏东55,为了不浪费人力、物力,问乙队在B点处应该按β∠等于多少度开挖,才能够保证隧道准确接通？14.如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在B处的北偏东80°方向.（1）求∠ABC的度数；（2）要使CD∥AB,D处应在C处的什么方向？15.如图,已知CD⊥AB,GF⊥AB,∠B=∠ADE,试说明∠1=∠2.16.如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,求证：（1）∠4=∠DAC；（2）AD∥BE.参考答案1、B 2.C 3.D4.答案：C解析：∵a ∥b,∴∠1=∠2,∵∠1=58°,∴∠2=58°,故选C.5.答案：C解析：∵EB ∥FD,∴∠BAG=∠2=50°,∵AG 平分∠BAC,∴∠GAC=∠BAG=50°,∴∠1=180°-∠BAG-∠GAC=80°,故选C.6.答案：C解析：根据题意可知∠2+∠3=60°,因为∠2=44°,所以∠3=16°,再根据直尺的对边平行,可知∠1=∠3=16°.7.120 8.平行 9.12 12EDC 两直线平行,内错角相等 FBA AED 同位角相等,两直线平行10.解：E DFE ∠=∠.理由如下：因为180,B BCD B D ︒∠+∠=∠=∠,所以180D BCD ︒∠+∠=.所以//AD BE .所以E DFE ∠=∠.11.D 12.4213.解：因为指北方向平行,且,A B 两点走向形成一条直线,即//CA DB ,所以a ∠和β∠就构成了一对同旁内角.所以180a β︒∠+∠=,即18055125β︒︒︒∠=-=.因此,乙队在B 点处应该按125β︒∠=开挖.14.答案：见解析解析：（1）如图,由题意,得∠FAB=45°.因为AF ∥BE,所以∠FAB=∠ABE=45°,因为∠EBC=80°,所以∠ABC=35°.（2）D处在C处的南偏西45°方向.理由如下：如图,因为CG∥BE,所以∠GCB=∠EBC=80°.因为∠GCD=45°,所以∠BCD=35°,所以∠ABC=∠BCD=35°,所以CD∥AB.15.答案：见解析解析：证明：∵∠B=∠ADE（已知）,∴DE∥BC（同位角相等,两直线平行）,∴∠1=∠DCB（两直线平行,内错角相等）.∵CD⊥AB,GF⊥AB,∴∠BDC=90°,∠BFG=90°, ∴CD∥FG（同位角相等,两直线平行）,∴∠2=∠DCB（两直线平行,同位角相等）.∴∠1=∠2（等量代换）.16.答案：见解析解析：证明：（1）∵AB∥CD,∴∠4=∠BAF.∵∠1=∠2,∴∠BAF=∠1+∠CAF=∠2+∠CAF=∠DAC,∴∠4=∠DAC.（2）∵∠4=∠DAC,∠3=∠4,∴∠3=∠DAC,∴AD∥BE.。