5.3 平行线的性质(基础训练)(解析版)

平行线及其判定1、基础知识(1）在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b 平行，则记作______．（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．(3）平行公理是：.（4)平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则______．(5）两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：①两条直线被第三条直线所截，如果______,那么这两条直线平行,这个判定方法1可简述为：______，两直线平行．②两条直线被第三条直线所截，如果__ _，那么，这个判定方法2可简述为： ______，______．③两条直线被第三条直线所截，如果_ _____那么______，这个判定方法3可简述为：2、已知：如图,请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么_____.(_______，_______)(2)如果∠2＝∠5，那么________。

(______，________）（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么_____。

（________，______）(4）如果∠5＝∠3，那么_______。

（_______，________）(5）如果∠4＋∠6＝180°，那么______.(_______,_____）(6）如果∠6＝∠3，那么________。

(________，_________)3、已知:如图,请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．（1)∵∠B＝∠3（已知),∴______∥______。

（______，______)（2)∵∠1＝∠D(已知），∴______∥______.（______，______）（3)∵∠2＝∠A（已知)，∴______∥______.（______，______）(4）∵∠B＋∠BCE＝180°(已知),∴______∥______。

平行线的性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系•【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等•（简记为：两直线平行，同位角相等）•定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）•定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁内角互补）.要点诠释：（1）"同位角相等、内错角相等”、"同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”.（2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.要点二、平行线的性质定理的探究过程1. 两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.因为a // b,所以/ 1 = Z 2 （两直线平行，同位角相等），又/ 3=/ 1 （对顶角相等）所以/ 2=/3.2. 两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁内角互补）.所以/ 3=/ 2 （两直线平行，内错角相等）又/ 3+/仁180°（补角的定义），所以/ 2+/仁180° .要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性•要点三、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系•平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行.联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关.（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角.【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用1. 如图所示，如果AB// DF, DE// BC,且/ 1 = 65。

5.3.1平行线的性质分层作业基础训练1．如图，直线a b ∥，直线l 与a ，b 分别交于点A ，B ，过点A 作AC b 于点C ，若160 ，则2 的度数为（）A ．120°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】D 【分析】根据垂直的定义可得90ACB ，再根据平行线的性质可得160ABC ，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：∵AC b 于点C ，∴90ACB ，∵a b ∥，∴160ABC ，∴2906030 ．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，掌握两直线平行、同位角相等是解答本题的关键．2．如图，直尺一边BC 与量角器的零刻度线AD 平行，已知EOD 的读数为65 ，设OE 与BC 交于点F ，则BFE 的度数等于()A ．135B ．115C ．105D ．100【答案】B 【分析】本题考查平行线性质和邻补角定义，根据平行线性质结合EOD ，推出BFO ，再结合邻补角即可解题．【详解】解：如图，BC AD ∵ ，65BFO EOD ，180115BFE BFO ．故选：B ．3．如图，将木条,a b 与c 钉在一起，且木条a 与木条c 交于点,180,260O ．要使木条a 与b 平行，则木条a 绕点O 顺时针旋转的度数至少为（）A ．10B ．20C ．30D ．50【答案】B【详解】如图．因为当260AOC 时，OA b ∥，所以要使木条a 与b 平行，木条a 绕点O 顺时针旋转的度数至少为806020 ．4．如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）A ．∵AD BC ∥，180BAD D （两直线平行，同旁内角互补）B ．∥∵AB CD ，180BCD ABC （两直线平行，同旁内角互补）C ．13 ∵，AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）D ．DAM CBM ∵，AD BC ∥（同位角相等，两直线平行）【答案】A【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，利用平行线的判定方法与性质逐一分析即可得到答案，熟记平行线的判定方法与平行线的性质是解本题的关键．【详解】解：∵AD BC ∥，180BAD ABC （两直线平行，同旁内角互补），故A 符合题意；∥∵AB CD ，180BCD ABC （两直线平行，同旁内角互补），故B 不符合题意；13 ∵，AB CD ∥（内错角相等，两直线平行），故C 不符合题意；DAM CBM ∵，AD BC ∥（同位角相等，两直线平行），故D 不符合题意；故选A5．如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB 与CD 平行，入射光线a 与出射光线b 平行．若入射光线a 与镜面AB 的夹角145 ，则4 的度数为（）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】B 【分析】本题考查了平行性的性质．熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．由题意知，21 ，3=4 ，由AB CD ，可得32 ，进而可求4 ．【详解】解：由题意知，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即21 ，3=4 ，∵AB CD ，∴3245 ，∴445 ，故选：B ．6．如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，与直线b 相交于点Q ，PM l 于点P ，若155 ，则2 的度数为（）A ．35B ．55C ．125D ．145【答案】A【分析】本题考查了平行线性质，根据两直线平行，同位角相等，平角的定义计算即可．【详解】如图，∵a b ，155 ，∴3155 ，∵34180,4920 ，∴18035243 ，故选A ．7．如图，,,ABF BFE E F 为直线CD 上两点，且BF 平分ABE ．若1108 ，则2 的度数为（）A ．36B ．54C ．72D ．80【答案】A【解析】略8．一块直角三角板和直尺按如图所示的方式放置．若155 ，则2 的度数是．【答案】35°【解析】略9．如图，一艘船在海面上航行，到达B 处时，看到灯塔A 在它的北偏东45 方向，达到C 处时，看到灯塔A 在它的北偏西30 方向．则BAC ．【答案】75 /75度【分析】本题考查方向角，关键是掌握方向角的定义．过A 作AD BE ，则AD CF ∥，由方向角的定义得到4530ABE ACF ，，然后由平行线的性质可得答案．【详解】解：过A 作AD BE ，则AD CF ∥，由题意得：4530ABE ACF ，，∵AD BE ，AD CF ∥，∴4530BAD ABE CAD ACF ，，∴75BAC BAD CAD ，故答案为：75 ．10．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点E 、D 、B 、F 在同一条直线上，若131ADE ，则DBC 的度数为．【答案】49 /49度【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义．先根据邻补角的性质求得ADF 的度数，再根据平行线的性质求解即可．【详解】解：∵131ADE ，∴49ADF ，∵AD BC ∥，∴49DBC ADF ．故答案为：49 ．11．生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，BA 垂直于地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，则ABC BCD °．【答案】270【分析】过点B 作BF AE ，如图，由于CD AE ∥，则BF CD ∥，根据两直线平行，同旁内角互补得180BCD CBF ，由AB AE 得AB BF ，即90ABF ，于是得到结论．本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．【详解】解：过点B 作BF AE ，如图，∵CD AE ∥，∴BF CD ∥，∴180BCD CBF ，∵AB AE ，∴AB BF ，∴90ABF ，90180270ABC BCD ABF CBF BCD ．故答案为：270．12．如图，直线12l l ∥，AB 交1l 于点D ，BC 交2l 于点E ，若132 ，2120 ，则3 度．【答案】92【分析】本题考查了平行线的性质，过点B 作1BF l ∥，得出22188DBF FBE ，进而318092DBF 根据即可求解．【详解】解：如图所示，过点B 作1BF l ∥，则3180DBF ，∵12l l ∥，∴2BF l ∥，∴1FBE ，∴22188DBF FBE ，∴318092DBF ，故答案为：92．13．如图，已知AB CD ∥，100ABE ，40BEC ，则ECD 的度数为．【答案】120 /120度【分析】此题考查了平行线的判定和性质．过E 作EF AB ∥，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】解：过E 作EF AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，B BEF ，180C CEF ，100ABE ∵，100BEF ，40BEC ∵，1004060CEF BEF BEC ，180120C CEF ，故答案为：120 ．14．一副三角板按如图所示方式叠放，两三角板的斜边互相平行，则∠ 等于．【答案】105 /105度【分析】本题考查三角板中角度的计算，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．【详解】过点E 作EF AD ，如图，由题可知45A ，60C ，又∵两三角板的斜边互相平行，BC AD∴EF AD BC ，∴45AEF A ，45CEF C∴6045105AEF CEF C A ，度答案为：105 ．15．如图，点F 在AC 上，FG AB 于点G ，FB 与CD 相交于点H ，且180BHC GFB ．(1)求证：CD AB ．在下列解答中，填空：证明：∵180BHC GFB （已知）___①___（对顶角相等）∴___②___180GFB （等量代换）∴CD FG ∥（③）∴AGF ___④___（两直线平行，同位角相等）又∵FG AB （已知）∴90AGF （垂直的定义．）∴ADC ___⑤___（等量代换）∴CD AB （垂直的定义）(2)若CD 平分ACB ，且40ACB ，求AFG 的度数．【答案】(1)BHC DHF ；DHF ；同旁内角互补，两直线平行；ADC ；90(2)20【分析】（1）证明180DHF GFB 得CD FG ∥，从而AGF ADC ，然后再证明90ADC 即可；（2）由角平分线的定义得20ACD ，然后利用平行线的性质可求出AFG 的度数．【详解】（1）证明：∵180BHC GFB （已知）BHC DHF （对顶角相等）∴180DHF GFB （等量代换）∴CD FG ∥（同旁内角互补，两直线平行）∴AGF ADC （两直线平行，同位角相等）又∵FG AB （已知）∴90AGF （垂直的定义．）∴90ADC （等量代换）∴CD AB （垂直的定义）故答案为：BHC DHF ；DHF ；同旁内角互补，两直线平行；ADC ；90 ；（2）∵CD 平分ACB ，且40ACB ，∴1202ACD ACB ．∵CD FG ∥，∴20AFG ACD【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．16．如图所示，有两艘油轮在海面上，油轮N 在油轮M 的正东方向，并且在M 、N 两处分别测得小岛P 在北偏东65 和北偏西45 的方向，那么在P 处测得M 、N 的张角MPN 的度数为多少？【答案】110【分析】本题考查了方位角的计算，平行线的性质与判定；过点P 作PC AM ∥于点C ，根据平行线的性质即可求解．【详解】解：如图，过点P 作PC AM ∥于点C ，∵AM BN ∥，PC BN ∥，AMP MPC ，BNP NPC ，65AMP ∵，45BNP ，65MPC AMP ，45NPC BNP ，110MPN MPC NPC ．17．如图，CD AB 于D ，点F 是BC 上任意一点，FE AB 于E ，且12 ，=60B ．试求ADG 的度数．【答案】60【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．由,CD AB FE AB ，则CD EF ∥，则2BCD ，从而证得BC DG ，即可得到B ADG ．【详解】解：CD AB FE AB ∵，，,CD EF ∥24,又12,∵14,,BC DG ∥60.ADG B 能力提升18．如图，123l l l ∥∥，则下列各式中，正确的是（）A.312B ．23190C ．123180D ．231180【答案】C【解析】略19．如图所示，,CD AB OE ∥平分,60AOD D ，80EOF ，则BOF 为（）A ．35B ．40C ．25D ．20【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及角的和差关系．由平行线的性质和角平分线的定义求得120,60AOD AOE ，即可求出BOF 的度数．【详解】解：∵CD AB ∥，∴180AOD D ，∵60D ，∴180********AOD D ，∵OE 平分AOD ，∴60AOE AOD ，∵80EOF ，∴180180608040BOF AOE EOF ．故选：B ．20．如图，AB ∥CD ，F 为AB 上一点，FD ∥EH ，且FE 平分AFG ，过点F 作FG EH 于点G ，且2AFG D ，则下列结论：①40D ；②290D EHC ；③FD 平分HFB ；④FH 平分GFD ．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG ，交CH 于I ，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答．【详解】解：延长FG ，交CH 于I ．∥∵AB CD ，BFD D ，AFI FIH ，FD EH ∵∥，EHC D ，FE ∵平分AFG ，22FIH AFE EHC ，390EHC ，30EHC ，30D ，22303090D EHC ，40D ①错误；290D EHC ②正确，FE ∵平分AFG ，30260AFI ，30BFD ∵，90GFD ，90GFH HFD ，可见，HFD 的值未必为30 ，GFH 未必为45 ，只要和为90 即可，FD ③平分HFB ，FH ④平分GFD 不一定正确．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．21．已知直线m n ∥，将一块含30 角的直角三角板ABC 按如图所示的方式放置，使A ，B 两点分别落在直线m ，n 上．若165 ，则2 的度数是．【答案】35 /35度【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的属性，根据题意，得到123 ，代入计算即可．【详解】如图，∵m n ∥，∴123 ，∵165 ，330 ，∴21335 ，故答案为：35 ．22．如图，ABCD 为一长条形纸带，AD CB ∥，将ABCD 沿EF 折叠，C 、D 两点分别与C D 、对应，若122 ，则AEF 的度数为．【答案】108 /108度【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换，由题意122 ，设2x ，则12DEF FED x ¢Ð=Ð=Ð=，构建方程即可解决问题．【详解】解：由翻折的性质可知：DEF FED ，∵AD CB ∥，1DEF ，∵122 ，∴设2x ，则12DEF FED x ¢Ð=Ð=Ð=，2180DEF D EF ∵，5180x ，36x ，223108AEF D EF x x x ¢\Ð=Ð+Ð=+==°，故答案为：108 ．23．已知直线MN PQ ∥，现将一副直角三角板作如图摆放，且60,45CAB DEF ．下列结论：①AB DF ∥；②150ACE ；③65MAC ；④NAB DFE ，其中正确结论的序号为．【答案】①②④【分析】本题考查平行线的判断和性质，三角板中角度的计算．内错角相等，两直线平行，判断①，邻补角求出ACE 的度数，判断②，过点B 作BG MN ∥，利用平行线的判定和性质，判断③和④．掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．【详解】解：由题意，得：90,90ABC EDF ，∴90FDB ABC ，∴AB DF ∥，故①正确；∵60,45CAB DEF ，∴30ACB ，45DFE ，∴180150ACE ACB ；故②正确；过点B 作BG MN ∥，∵MN PQ ∥，∴BG MN PQ ∥∥，∴45GBE DEF ，∴45NAB ABG ABC GBE ，∴45NAB DFE ，180135MAB ABG ，∴13575MAC BAC ；故③错误，④正确；故答案为：①②④．24．如图，已知点E 、F 在直线AB 上，点N 在线段CD 上，ED 与FN 交于点M ，C 1 ，23 ，(1)求证：AB CD ；(2)若40D ，80EMF ，求AEP 的度数．【答案】(1)见解析(2)120【分析】本题主要查了平行线的判定和性质：（1）根据23 ，可得CP FN ∥，从而得到C FND ，继而得到1FND ，即可求证；（2）根据CP FN ∥，可得280EMF ，再由AB CD ，可得40FED D ，即可求解．【详解】（1）证明：∵23 ，∴CP FN ∥，∴C FND ，又∵C 1 ，∴1FND ，∴AB CD ；（2）解：∵CP FN ∥，∴280EMF ，又∵AB CD ，∴40FED D ，∴28040120AEP FED ．拔高拓展25．在综合与实践课上，老师以“两条平行线AB ，CD 和一块含60 角的直角三角尺EFG （90EFG ，60EGF ）”为主题开展数学活动．(1)如图①，若直角三角尺的60 角的顶点G 放在CD 上，21 ，求1 的度数；(2)如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点E ，G 分别放在AB 和CD 上，请你探索并说明AEF 与FGC 之间的数量关系；(3)如图③，小亮把直角三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30 角的顶点E 放在AB 上．若AEG ，CFG ，则AEG 与CFG 的数量关系是什么（用含 ， 的式子表示）？请说明理由．【答案】(1)160(2)90AEF FGC ，理由见解析(3)300 ．理由见解析【详解】解：（1）因为AB CD ∥，所以1EGD ．因为2180EGF EGD ，21 ，所以1601180 ，解得160 ．（2）如图，过点F 作∥FP AB ．因为CD AB ∥，所以FP AB CD ∥∥，所以AEF EFP ，FGC GFP ，所以AEF FGC EFP GFP EFG ．因为90EFG ，所以90AEF FGC ．（3）300 ．理由如下：因为AB CD ∥，所以180AEF CFE ，即30930900180AEG CFG ，整理可得180120300 ．。

专题02 平行线的判定与性质【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 平行线的判定】 (1)【考点二 添加一条件使两条直线平行】 (3)【考点三 平行线的性质】 (4)【考点四 根据平行线的性质与判定求角度】 (5)【考点五 平行线的性质在生活中的应用】 (8)【考点六 平行线的性质与判定综合应用】 (10)【考点七 命题的判定与逆命题】 (12)【过关检测】 (14)【典型例题】【考点一 平行线的判定】例题：（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AB BC ^，1290Ð+Ð=°，23ÐÐ=．请说明线段BE 与DF 的位置关系？为什么？【答案】BE ∥DF ，见解析【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用1290Ð+Ð=°，23ÐÐ=，得到∠1=∠4，即可得到结论BE ∥DF ．【详解】解：BE ∥DF ，∵AB BC ^，∴∠ABC =90°，∴∠3+∠4=90°，∵1290Ð+Ð=°，23ÐÐ=，∴∠1=∠4，∴BE ∥DF ．【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．【变式训练】【答案】见解析【分析】根据角平分线定义求出判定得出结论．【详解】理由：∵AD∴∠1＝1∠EAC，2【答案】见解析∵∠1=110°，∠2=70°，∠1=∠BCE ，∴∠ABC =70°，∠BCE =110°，∴∠ABC +∠BCE =180°，∴AB ∥CD ．【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同旁内角互补，两直线平行．【考点二 添加一条件使两条直线平行】例题：（2022·江西赣州·七年级期中）如图，点E 在AC 的延长线上，若要使AB CD P ，则需添加条件_______（写出一种即可）【答案】∠1=∠2 等 （写出一种即可）【分析】根据平行线的判定定理得出直接得出即可．【详解】解：∵当∠1 =∠2时，AB CD P （内错角相等，两直线平行）；∴若要使AB CD P ，则需添加条件∠1 =∠2；故答案为：∠1=∠2．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．【变式训练】1．（2022·甘肃·临泽县第三中学七年级期中）如图，填写一个能使AB ∥CD 的条件：_________．【答案】12Ð=Ð（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可．【详解】解：填写的条件为：12Ð=Ð，12Ð=ÐQ ，AB \CD ∥（内错角相等，两直线平行）．故答案为：12Ð=Ð（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．2．（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，要使BE DF ∥，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）．【答案】D COE Ð=Ð(答案不唯一）【分析】利用两线平行的判定方法，找到一组同位角相等即可．【详解】解：当D COE Ð=Ð时：BE DF ∥，故答案为：D COE Ð=Ð（答案不唯一）．【点睛】本题考查两直线平行的判定方法．利用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，任选其一解题即可．【考点三 平行线的性质】例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，a b ∥．158Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A ．58°B ．112°C ．120°D ．132°【答案】A 【分析】根据平行线性质得出13Ð=Ð，根据对顶角相等即可得出答案．【详解】解：如图，∵a b ∥，158Ð=°，∴3158Ð=Ð=°，∴2358Ð=Ð=°，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等．【变式训练】1．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，AB CD P ，40B Ð=°，则ECD Ð的度数为（ ）A ．160°B ．140°C ．50°D ．40°【答案】B 【分析】利用平行线的性质先求解DCB Ð，再利用邻补角的性质求解ECD Ð即可．【详解】解：∵AB CD P ，40B Ð=°，∴40DCB B Ð=Ð=°，∴180140ECD DCB Ð=°-Ð=°，故选B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线a b P ，直线l 与a ，b 分别相交于A ，B 两点，过点A 作直线l 的垂线交直线b 与点C ，若227Ð=°，则1Ð的度数为________．【答案】63°##63度【分析】根据a b P ，可得12180BAC Ð+Ð+Ð=°，即可求出1Ð的度数．【详解】解：∵a b P ，227Ð=°，90BAC Ð=°，∴12180BAC Ð+Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），∴1180263BAC Ð=°-Ð-Ð=°，故答案为：63°．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补正确找出12180BAC Ð+Ð+Ð=°是解答本题的关键．【考点四 根据平行线的性质与判定求角度】例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：12Ð=Ð，60D Ð=°，(1)说明：AB CD ∥．(2)求B Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)120°【分析】（1）根据对顶角相等得到1GHD Ð=Ð，再利用平行线的判定即可证明；（2）根据平行线的性质求出即可．（1）解：∵2GHD Ð=Ð，12Ð=Ð，∴1GHD Ð=Ð，∴AB CD ∥；（2）∵AB CD ∥，∴180B D Ð+Ð=°，∵60D Ð=°，∴120B Ð=°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知EF AD ∥，12Ð=Ð，80BAC Ð=°，求：(1)DG AB∥(2)AGD Ð的度数．【答案】(1)见解析；(2)100°．【分析】（1）根据平行线的性质和判定方法即可得到结论；（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解．（1）解：∵EF AD ∥，∴23Ð=Ð．∵12Ð=Ð，∴13Ð=Ð．∴AB DG ∥．（2）解：∵AB DG∥∴180BAC AGD Ð+Ð=°．∵80BAC Ð=°，∴100AGD Ð=°【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握两只线平行同旁内角互补是关键．2．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D ，E 在AC 上，点F ，G 分别在BC ，AB 上，且DG BC ∥，∠1＝∠2．(1)求证：DB EF ∥；(2)若EF ⊥AC ，∠1＝50°，求∠ADG 的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADG ＝40°【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；（2）先求出∠C ，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解．（1）证明：∵DG BC ∥，∴∠1＝∠DBC ．又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DBC ，∴DB EF ∥．（2）∵EF ⊥AC ，∴∠CEF ＝90°．∵∠2＝∠1＝50°，∴∠C＝90°－50°＝40°．∥，∵DG BC∴∠ADG＝∠C＝40°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．【考点五平行线的性质在生活中的应用】例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时Ð=_________度．∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则BCD【答案】120【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，由题意可知，∠ABF=90°，∵∠ABC=150°，∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，∵BF∥CD，∴∠FBC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．故答案为：120．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·菏泽市牡丹区第二十二初级中学七年级期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______．【答案】48°##48度【分析】根据平行线的性质解答即可．【详解】解：如图，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3=180°，又∠1＝132°，∴∠3=180°-∠1=48°，∵水中的两条折射光线是平行的，∴∠2=∠3=48°，故答案为：48°．【点睛】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点O 的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA ，CD 都是水平线，若20ABO Ð=°，80BOC Ð=°，则DCO ∠的度数为______．【答案】60°##60度【分析】如图所示，过点O 作OE ∥A B ，则A B C D OE ∥∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图所示，过点O 作OE ∥A B ，∵光线BA ，CD 都是水平线，∴AB CD P ，∴A B CD OE ∥∥，∴20BOE ABO ==°∠∠，∴60DCO EOC BOC BOE Ð=Ð=Ð-Ð=°，故答案为：60°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【考点六 平行线的性质与判定综合应用】(1)我们发现∠ABC 与∠DEF 有两种位置关系：如图1与图①图1中∠ABC 与∠DEF 数量关系为 ；图2中请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．(2)应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少∴∠DPB＝∠DEF，∵DE AB∥，∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．∥，如图2中，∵EF BC∴∠DPC＝∠DEF，∵DE AB∥，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）解：设两个角分别为x和2x﹣30°，由（1）得：x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解得x＝30°或x＝70°，∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，理解如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补是解答关键．【变式训练】(1)∠ABN的度数是；(2)求∠CBD的度数；(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．【答案】(1)116°（2）根据角平分线的定义，结合（1）的结论即可求解；（3）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据角平分线的定义可得∠PBN＝2∠DBN，即可求解．（1）解：∵AM∥BN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，故答案为116°；（2）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；（3）不变，∠APB＝2∠ADB，理由如下：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB＝2∠ADB．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．【考点七命题的判定与逆命题】例题：（2022·福建省福州第十一中学七年级期中）下列命题是真命题的是（）A．同位角相等B．两个锐角的和是锐角C．若两个角的和为180°，则这两个角互补D．相等的角是对顶角【答案】C【分析】根据平行线的性质，补角的定义，锐角的定义，对顶角的定义逐项进行判断即可．【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、两个锐角的和可能是锐角、钝角，也可能是直角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、若两个角的和为180°，则这两个角互补，正确，是真命题，符合题意；D 、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，补角的定义，锐角的定义，对顶角的定义．【变式训练】1．（2022·上海市民办立达中学八年级阶段练习）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）A ．同旁内角互补，两直线平行B ．若22a b =，则a b =C ．锐角与钝角互为补角D ．相等的角是对顶角【答案】C【分析】先写出各选项的逆命题，再逐个判断即可．【详解】解：A 、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，为真命题，选项不符合题意；B 、若22a b =，则a b =的逆命题为若a b =，则22a b =，为真命题，选项不符合题意；C 、锐角与钝角互为补角的逆命题为若两个角互补，则这两个角分别为锐角、钝角，为假命题，选项符合题意；D 、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，为真命题，选项不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了命题的逆命题以及真假命题，解题的关键是正确写出命题的逆命题．2．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题的逆命题正确的是( )A ．对顶角相等B ．直角三角形两锐角互余C ．全等三角形的对应角相等D ．全等三角形的面积相等【答案】B【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确．【详解】解：A 的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题；B 的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题；C 的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题；D 的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题；故选：B ．【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）下列定理中，下面语句是命题的是（ ）A ．p 是有理数B ．已知3a =，求2aC ．作ABC Ð的角平分线D ．正数大于一切负数吗？【答案】A【分析】根据命题的定义逐一判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、对事情作出了判断，是命题，符合题意；B 、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；C 、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；D 、为疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意．故选：A ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题是判断一件事情的句子，难度不大．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线m n ∥，AC BC ^于点C ，125Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A ．125°B ．115°C ．110°D ．105°【答案】B 【分析】根据垂线的性质可得90ACB Ð=°，进而得出ABC Ð与1Ð互余，再根据平行线的性质可得答案．【详解】解：AC BC ^Q 于点C ，90ACB \Ð=°，190ABC \Ð+Ð=°，902565ABC \Ð=°-°=°，m n Q ∥，2180115ABC \Ð=°-Ð=°．故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．3．（2023春·七年级单元测试）下列说法：（1）经过两点有且只有一条直线；（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行；（5）周角是一条射线，平角是一条直线．其中正确的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】B【分析】利用平行公理以及其推论和垂线的定义、特殊角、点到直线的距离的定义分别分析求出即可.【详解】解：（1）经过两点有且只有一条直线，说法正确；（2）点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离，故（2）说法错误；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行，要强调在同一平面内，故（4）说法错误；（5）角是由一个公共端点发出的两条射线组成，即便两射线所在的直线重合，也不能认为是一条射线或直线，故（5）错误．故选：B【点睛】此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义等，正确把握相关定义是解题关键.4．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，AC DE ∥，AB ，CD 交于点F ，则BFC Ð的度数为（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°【答案】C 【分析】根据AC DE ∥可得180ACE E Ð+Ð=°，根据特殊直角三角形角的大小及关系计算可得BCF Ð，再根据直角三角形两个锐角互余即可．【详解】Q AC DE ∥，180ACE E \Ð+Ð=°又60E Ð=°Q 120∴Ð=°ACE ()120456015FCB \Ð=°-°+°=°901575BFC \Ð=°-°=°故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质及特殊直角三角形角的性质，关键是掌握平行线性质定理及直角三角形的角的性质，灵活运用角的和差运算．5．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，下列说法中，正确的是（ ）A ．若38Ð=Ð，则AB CD∥B ．若15Ð=Ð，则AB CD ∥C ．若180DAB ABC Ð+Ð=°，则AB CD∥D ．若26Ð=Ð，则AB CD∥【答案】D 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案．【详解】解：A 、38Ð=Ð，不能判断AB CD ∥，选项错误；B 、15Ð=Ð，可以判断AD BC ∥，不能判断AB CD ∥，选项错误；C 、180DAB ABC Ð+Ð=°，可以判断AD BC ∥，不能判断AB CD ∥，选项错误；D 、26Ð=Ð，可以判断AB CD ∥，选项正确，故选D ．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．二、填空题6．（2022春·北京·七年级统考期末）如图，要使CD ∥BE ，需要添加的一个条件为：__________．【答案】1B Ð=Ð或2E Ð=Ð，180DCB B Ð+Ð=°（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可求解．【详解】解：添加1B Ð=Ð，根据同位角相等，两直线平行，可得CD ∥BE ，添加2E Ð=Ð，根据内错角相等，两直线平行，可得CD ∥BE ，添加180DCB B Ð+Ð=°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得CD ∥BE ，故答案为：1B Ð=Ð或2E Ð=Ð或180DCB B Ð+Ð=°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．7．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，直线a ，b 被直线l 所截，如果a b ∥，1120Ð=°，那么2Ð=___________度．【答案】60【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可得∥，【详解】解：∵a bÐ=Ð=°，∴31120Ð=°-°=°218012060【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义．注意掌握两直线平行，同位角相等的应用是解题的关键．8．（2023春·七年级单元测试）如图，直线_________．【答案】4秒或40秒【分析】分①AB与CD 列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在∵100BAF Ð=°，60DCF Ð=°，∴()()1806061206ACD t t Ð=--=°°-°°°，100BAC t Ð=°-°，要使AB CD ∥，则ACD BAC Ð=Ð，即()1206100t t -=°°-°°，解得t =4；此时()18060620°-°¸=，∴020t <<；②CD 旋转到与AB 都在EF 的右侧时，∵()()3606603006DCF t t Ð=--=°°-°°°，100BAC t Ð=°-°，要使AB CD ∥，则DCF BAC ÐÐ=，即()3006001t t °°=°--°，解得40t =，此时()36060650°-°¸=，∴2050t <<；③CD 旋转到与AB 都在EF 的左侧时，∴(DCF Ð=要使AB ∥即()630t °-解得40t =，此时50t >，而4050<，∴此情况不存在．综上所述，当时间故答案为：【答案】对顶角相等；120°；等量代换；等式的性质；【分析】根据等式的性质以及平行线的判定定理即可解答．Ð的度数；(1)求CAEP．(2)求证：AB DC【答案】(1)50°(2)见解析【分析】（1）根据平行线的性质定理即可得到结论；（2）根据平行线判定定理即可得到结论．【详解】（1）解：//AD BE Q ，3CAD \ÐÐ＝，2380CAE CAD Ð+ÐÐаQ ＝，＝，280CAE \Ð+а＝，230аQ ＝，50CAE \а＝（2）证明：23CAE CAD Ð+ÐÐÐQ ＝＝，1234ÐÐÐÐ＝，＝，14CAE \Ð+ÐÐ＝，即4BAE ÐÐ＝，//AB DC \．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质定理，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．15．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）如图，已知：BE 平分ABD Ð，DE 平分BDC Ð，且130221Ð=°Ð=Ð，．(1)试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由；(2)求证：BE DE ^．【答案】(1)AB CD P ，理由见解析(2)见解析【分析】（1）先求出260Ð=°，再根据角平分线的定义求出ABD BDC ∠、∠即可证明180ABD BDC Ð+Ð=°，则AB CD P ；（2）过E 作EF CD P ，则AB CD EF ∥∥，由平行线的性质可知ABE BEF FED CDE Ð=ÐÐ=Ð，，再由角平分线的定义推出6030BEF FED Ð=°Ð=°，即可得到结论．【详解】（1）解：AB CD P ，理由如下：∵130221Ð=°Ð=Ð，，∴260Ð=°，∵BE 平分ABD Ð，DE 平分BDC Ð，∴221202160ABD BDC Ð=Ð=°Ð=Ð=°，，∴180ABD BDC Ð+Ð=°，∴AB CD P ；（2）证明：过E 作EF CD P ，如图：由（1）得，AB CD P ，∴AB CD EF ∥∥，∴ABE BEF FED CDE Ð=ÐÐ=Ð，，∵BE 平分ABD Ð，DE 平分BDC Ð，∴260130ABE CDE Ð=Ð=°Ð=Ð=°，，∴6030BEF FED Ð=°Ð=°，，∴90BED BEF FED Ð=Ð+Ð=°，∴BE DE ^．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．16．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，12180Ð+Ð=°，3B Ð=Ð．(1)求证：DE BC ∥；(2)若76C Ð=°，23AED Ð=Ð，求CEF Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)66°【分析】（1）由已知条件可证得AB EF ∥，从而有B EFC Ð=Ð，则得3EFC Ð=Ð，得证DE BC ∥；（2）由（1）得DE BC ∥，利用两直线平行，同旁内角互补可求解．【详解】（1）证明：12180Ð+Ð=°Q ，24ÐÐ=，AB EF \∥，B EFC \Ð=Ð，3B Ð=ÐQ ，3EFC \Ð=Ð，DE BC \∥；（2）解：DE BC Q ∥，76C Ð=°，180C DEC \Ð+Ð=°，76AED C Ð=Ð=°，23AED Ð=ÐQ ，338\Ð=°180104DEC C Ð=°-Ð=°Q ，31043866CEF DEC \Ð=Ð-Ð=°-°=°．【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．17．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）如图，已知AB CD P ，E 是直线AB 上的一点，CE 平分ACD Ð，射线CF CE ^，132Ð=°．(1)求ACE Ð的度数．(2)若258Ð=°，判断CF 和AG 的位置关系，说明理由．【答案】(1)32°(2)CF AG ∥，理由见解析【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结论；（2）根据平行线的判定定理即可得到结论．【详解】（1）解：AB CD ∥Q ，132DCE \Ð=Ð=°，CE Q 平分ACD Ð，ACE DCE；\Ð=Ð=°32∥，理由如下：（2）解：CF AGQ，^CF CE\Ð=°，FCE90\Ð=°-°=°，FCH903258Q，258Ð=°\Ð=Ð，2FCH\∥．CF AG【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键．18．（2022春·广东汕尾·七年级校考期中）如图，直线EF交直线AB、CD与点M、N，NP平分∠ENC交直线AB于点P．已知∠EMB=112°，∠PNC=34°．(1)求证：AB∥CD；(2)若PQ将分∠APN成两部分，且∠APQ：∠QPN=1：3，求∠PQD的度数．【答案】(1)见详解(2)36.5°【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠MNQ=2∠PNC=68°，再根据对顶角的定义∠PMN=∠EMN=112°，继而根据平行线的判定定理即可求证结论；（2）根据∠APQ：∠QPN=1：3，可得∠QPN=3∠APQ，根据AB∥CD，可得∠MPN=∠PNC=34°，再根据平角定义可得∠APQ=32°，进而可得∠PQD的度数．（1）∵NP平分∠ENC，∠PNC=34°∴∠MNQ=2∠PNC=68°，又∠PMN=∠EMN=112°（对顶角相等），∴∠PMN+∠MNQ=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）（2）∵∠APQ：∠QPN=1：3，∴∠QPN=3∠APQ，∵AB∥CD，∴∠MPN=∠PNC=34°，∴∠APN=180°﹣∠MPN=146°，∴∠APQ+∠QPN=146°，∴4∠APQ=146°，∴∠APQ=36.5°，∴∠PQD=∠APQ=36.5°．则∠PQD的度数为36.5°．【点睛】本题考查了平行线的判定及其性质和角平分线的性质以及平角的定义，解决本题的关键是掌握平行线的性质．。

命题、定理、证明一课一练·基础闯关题组命题的判定与改写1.(2017·郯城县月考)下列句子中不是命题的是( )A.两直线平行，同位角相等C.若|a|=|b|，则a2=b2【解析】选B.B不是可以判断真假的陈述句，不是命题.A，C，D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句，都是命题.2.(2017·萧山区期中)下列命题中，真命题是( )B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行【解析】选C.A错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角.B错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等.C正确，必须强调在同一平面内.D错误，两直线平行同旁内角才互补.【变式训练】下列命题中，假命题有( )①若a2=4，则a=2；②若a>b，则a2>b2；③若a>b，b>c，则a>c；④若|a|=|b|，则a2=b2.个个个个【解析】选B.①是假命题，例如a=-2时，(-2)2=4；②是假命题，例如a=1，b=-2时，满足a>b，但不满足a2>b2；③④都是真命题. 【方法指导】命题及其真、假的判断技巧(1)判断一个语句是不是命题，关键是看这个语句是否作出肯定或否定的判断.(2)判断一个命题是真命题，必须经过推理证实；判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.3.(2017·某某中考)对于命题“若a2>b2，则a>b.”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是( )A.a=3，b=2B.a=-3，b=2C.a=3，b=-1D.a=-1，b=3【解析】选B.a=-3，b=2时，a2>b2，但a<b.4.(2017·某某区期中)命题“两直线平行，同位角相等”的题设是____________，结论是____________. 【解析】命题中，已知的事项是“两直线平行”，由已知事项推出的事项是“同位角相等”，所以“两直线平行”是命题的题设部分，“同位角相等”是命题的结论部分.答案：两直线平行同位角相等5.(2017·卢龙县期中)把下列命题写成“如果…那么…”的形式：不能被2整除的数是奇数：________________.【解析】不能被2整除的数是奇数写成“如果…那么…”的形式为：如果一个数不能被2整除，那么这个数为奇数.答案：如果一个数不能被2整除，那么这个数为奇数6.下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果…那么…”的形式，再指出命题的题设和结论.①同号两数的和一定不是负数.②若x=2，则1-5x=0.③延长线段AB至C，使B是AC的中点.④互为倒数的两个数的积为1.【解析】①同号两数的和一定不是负数是命题，改写为：如果两个数是同号，那么这两个数的和一定不是负数，题设是两个数是同号，结论是这两个数的和一定不是负数.②若x=2，则1-5x=0是命题，改写为：如果x=2，那么1-5x=0，题设是x=2，结论是1-5x=0.③延长线段AB至C，使B是AC的中点不是命题.④互为倒数的两个数的积为1是命题.改写为：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1.题设是两个数互为倒数，结论是这两个数的积为1.7.指出下列命题的题设和结论，并判断它是真命题还是假命题.(1)若|a|=|b|，则a=b.(2)如果ab=0，那么a=0，b=0.(3)邻补角的平分线互相垂直.(4)如果内错角不相等，那么两直线一定不平行.【解析】(1)题设：|a|=|b|；结论：a=b；假命题.(2)题设：ab=0；结论：a=0，b=0；假命题.(3)题设：两条射线是一对邻补角的平分线；结论：这两条射线互相垂直；真命题.(4)题设：内错角不相等；结论：两直线一定不平行；真命题.【知识归纳】如何把命题改写成“如果……那么……”的形式首先要找出命题的题设和结论.“如果”后写题设，是已知事项，“那么”后面写结论，也就是由题设推出的事项.在改写时，应注意题设和结论都必须相对完整，不能机械地将“如果”和“那么”插入命题中.应适当地补充一些修饰成分，但内容要保持不变.有些命题，在“如果”前面还有条件，应将这个条件和“如果”后边的条件一起作为这个命题的题设.题组定理与证明1.下列说法错误的是( )A.命题不一定是定理，定理一定是命题D.如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理【解析】选C.并不是所有的真命题都是定理.“两直线平行，内错角相等.”解决下列问题.(1)写出逆命题.(2)判断逆命题是真命题还是假命题.(3)根据逆命题画出图形，写出已知，求证.【解析】(1)逆命题：内错角相等，两直线平行.(2)是真命题.(3)已知：如图，∠AMN=∠DNM，求证：AB∥CD.3.证明：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角相等或者互补. 【解题指南】【解析】已知：OA⊥O′A′于点C，OB⊥O′B′于点D.求证：∠O=∠O′或∠O+∠O′=180°.证明：如图①，∵OA⊥O′A′，OB⊥O′B′，∴∠OCO′=∠ODO′=90°，又∠O+∠O′+∠OCO′+∠ODO′=360°，∴∠O+∠O′=180°.图①图②如图②，∵OA⊥O′A′，∴∠O′+∠1=90°，OB⊥O′B′，∴∠O+∠2=90°，又∵∠1=∠2，∴∠O=∠O′，综上，∠O=∠O′或∠O+∠O′=180°.如图，直线AB，CD被EF所截，∠1+∠2=180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE.(1)判定EM与FN之间的关系，并证明你的结论.(2)由(1)的结论我们可以得到一个命题：如果两条直线________，那么内错角的平分线互相________.(3)由此可以探究并得到：如果两条直线________，那么同旁内角的平分线互相________.【解析】(1)EM∥FN.证明：∵∠1+∠2=180°，∠EFD+∠2=180°，∴∠1=∠EFD，∴AB∥CD，∴∠BEF=∠CFE.∵EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE，∴∠3=∠4，∴EM∥FN.(2)由(1)可知EM∥FN，∴可得出命题：如果两条直线平行，那么内错角的平分线互相平行.答案：平行平行(3)由“两直线平行，同旁内角互补”可得出：如果两条直线平行，那么同旁内角的角平分线互相垂直.答案：平行垂直【母题变式】(1)如图，若∠1=∠2，则AB∥CD，试判断命题的真假：__________(填“真”或“假”).(2)若上述命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并说明理由.【解析】(1)若∠1=∠2，则AB∥CD，是假命题.答案：假(2)加条件：BE∥FD.理由：∵BE∥FD，∴∠EBD=∠FDN.又∵∠1=∠2，∴∠ABD=∠CDN，∴AB∥CD.。

5.3 平行线的性质(三)◆典型例题【例1】下列语句是不是命题.(1)画∠AOB的角平分线;(2)平面上有几个点；(3)两点之间，线段最短;(4)若a≠b，则|a|≠|b|.【解析】(1)是操作性的语句；(2)是问句；(3)、(4)是判定语句.【答案】(1)、(2)不是命题；(3)、(4)是命题.【例2】指出下列命题的题论、结论:(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点.(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，即这两条直线平行.(3)两条平行平行线被第三条直线所截，内错角相等.(4)若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3.【解析】每个命题都是由题设、结论两部分组成，题设是知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果…，那么…”的形式，具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.【答案】(1)题设:两条直线相交；结论:它们只有—个交点；(2)题设:两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论:这两条直线平行.(3)因为这个命题可以改写成：“如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等”；也可以简写成“如果两直线平行，那么内错角相等”，所以可以简单说成，题设:两直线平行，结论:内错角相等.(4)题设:∠1=∠2，∠2=∠3，结论:∠1=∠3.◆课前热身1.每个命题都由____________和____________两部分组成.2.命题“对顶角相等”的题设是____________,结论________________________.◆课上作业3.命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是____________________________.4.请用“如果…，那么…”的形式写一个命题______________5.一个命题，如果题设成立，结论一定成立，这样的命题是_____________命题；如果题设成立，结论不成立或不一定成立，这样的命题叫_______命题(填“真”、“假”).6.以下四个命题：①一个锐角与一个钝角的和为180°；②若m不是正数，则m一定小于零；③若ab＞0，则a＞0，b＞0；④如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除.真命题有_______个.◆课下作业一、填空题7.下列语句∶①对顶角相等；②OA是∠BOC的平分线；③相等的角都是直角；④线段AB.其中不是命题的是____________________________________________.8.“垂线段最短”的题设是_____________________，结论是____________________.9.命题“a、b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题.请你写出一种改法：_______________________________________________10.对于同一平面的三条直线a、b、c，给出以下五个结论:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c以其中两个为题设，一个为结论，组成一个正确的命题______________________.二、选择题11.唐伯虎点秋香的故事家喻户晓了，现在来玩个游戏：“唐伯虎点秋香”【规则】下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香.友情提示:这四个人分别是∶春香、夏香、秋香、冬香【所给人物】A、B、C、D①A不是秋香，也不是夏香；②B不是冬香，也不是春香；③如果A不是冬香，那么C不是春香；④D既不是夏香，也不是春香；⑤C不是春香，也不是冬香若上面的命题都是真命题，问谁是秋香?A.AB.BC.CD.D12.下列命题正确的是( )A.两直线与第三条直线相交，同位角相等;B.两直线与第三条直线相交，内错角相等C.两直线平行，内错角相等;D.两直线平行，同旁内角相等三、解答题13.阅读以下两小题后作出相应的解答:(1)“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”，这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对凋，我们把其中一命题叫做另一个命题的逆命题，请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题，并指出逆命题的题设和结论；(2)根据以下语句作出图形，并写出该命题的文字叙述.已知:过直线AB上一点O任作射线OC，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则OM⊥ON.14.如图5-122，给出下列论断:(1)AB∥DC；(2)AD∥BC；(3)∠A+∠B=180°；(4)∠B+∠C=180°，以其中一个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接BD，你能自已写出一个真命题吗?试写出—个真命题并写出推理过程.图5-122参考答案◆课下作业一、填空题7.下列语句∶①对顶角相等；②OA是∠BOC的平分线；③相等的角都是直角；④线段AB.其中不是命题的是____________________________________________.答案：④8.“垂线段最短”的题设是_____________________，结论是____________________.答案：连接直线外一点与直线上一点的所有线段中；垂线段最短9.命题“a、b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题.请你写出一种改法：_______________________________________________答案：答案不唯一，如：a＞b＞0，|a|＞|b|等10.对于同一平面的三条直线a、b、c，给出以下五个结论:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c以其中两个为题设，一个为结论，组成一个正确的命题______________________.答案：下列答案任选其一：①若a∥b，b∥c则a∥c②若a∥b，a∥c则b∥c；③若a∥c，b∥c，则a∥b④若a⊥b，a⊥c，则b∥c⑤若a⊥c,b∥c，则a⊥b;⑥若a⊥b，b∥c，则a⊥c二、选择题11.唐伯虎点秋香的故事家喻户晓了，现在来玩个游戏：“唐伯虎点秋香”【规则】下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香.友情提示:这四个人分别是∶春香、夏香、秋香、冬香【所给人物】A、B、C、D①A不是秋香，也不是夏香；②B不是冬香，也不是春香；③如果A不是冬香，那么C不是春香；④D既不是夏香，也不是春香；⑤C不是春香，也不是冬香若上面的命题都是真命题，问谁是秋香?A.AB.BC.CD.D答案：D12.下列命题正确的是( )A.两直线与第三条直线相交，同位角相等;B.两直线与第三条直线相交，内错角相等C.两直线平行，内错角相等;D.两直线平行，同旁内角相等答案：C三、解答题13.阅读以下两小题后作出相应的解答:(1)“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”，这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对凋，我们把其中一命题叫做另一个命题的逆命题，请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题，并指出逆命题的题设和结论；(2)根据以下语句作出图形，并写出该命题的文字叙述.已知:过直线AB上一点O任作射线OC，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则OM⊥ON.答案：(1)到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；题设是到角两边距离相等的点，结论是该点在这个角的平分线上(2)图略；邻补角的平分线互相垂直14.如图5-122，给出下列论断:图5-122(2)AB∥DC；(2)AD∥BC；(3)∠A+∠B=180°；(4)∠B+∠C=180°，以其中一个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接BD，你能自已写出一个真命题吗?试写出—个真命题并写出推理过程.答案：(1)(4)、(2)(3)、(4)(1)、(3)(2)中任选一个；AD∥BC则∠ADB=∠CBD或∠ADB=∠CBD则AD∥BC.略。

专题03 平行线的性质-（一题三变）【思维导图】◎考点题型1 两直线平行，同位角相等例．（2022·全国·七年级）一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向右拐50° ，第二次向左拐130°B．第一次向右拐50° ，第二次向右拐130°C．第一次向左拐50° ，第二次向左拐130°D．第一次向左拐30° ，第二次向右拐30°【答案】D【解析】【分析】根据题意可得两直线平行则同位角相等，据此分析判断即可．【详解】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∵两次拐弯的方向相同，形成的角是同位角，故答案为：D【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．变式1．（2022·重庆南岸·八年级期末）如图，l1∵l2，l3∵l4，与∵α互补的是（）A ．∵1B ．∵2C ．∵3D ．∵4 【答案】D【解析】【分析】如图，先证明=2,再证明25, 可得=5, 再利用邻补角的定义可得答案.【详解】解：如图，34,l l ∥ =2,12,l l ∥2=5,=5,54180,+4=180,所以与∵α互补的是 4.故选D【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的定义，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键.变式2．（2022·广东深圳·八年级期末）下列说法中正确的有（ ）（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）若12390∠+∠+∠=︒，则1∠，2∠，3∠互余；（3）相等的两个角是对顶角；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】【分析】两条平行直线被第三条直线所截时，同位角相等；两个和为90︒的角互为余角；两相交线的对顶角相等；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离．【详解】（1）两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故错误；（2）两个角的和为90︒，这两个角互为余角，故错误；（3）相等的两个角不一定是对顶角，对顶角一定相等，故错误；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故错误； 故选：A ．【点睛】本题考查了同位角，余角，对顶角以及点到直线的距离．解题的关键在于正确理解各名词的定义．变式3．（2022·广东海丰·八年级期末）如图，AB CD ∥，45A ∠=︒，30C ∠=︒，则E ∠的度数是（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质求出关于∠DOE ，然后根据外角的性质求解．【详解】解：∵AB ∥CD ，∠A ＝45°，∴∠A ＝∠DOE ＝45°，∵∠DOE ＝∠C +∠E ，又∵30C ∠=︒，∴∠E ＝∠DOE -∠C ＝15°．故选：B【点睛】本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系．掌握两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键．◎考点题型2两直线平行，内错角相等例．（2022·四川巴中·八年级期末）如图，直线l1、l2分别与∵ABC的两边AB、BC相交，且l1∵l2，若∵B＝35°，∵1＝105°，则∵2的度数为（）A．45°B．50°C．40°D．60°【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理球场∵3的度数，利用平行线的性质求出答案．【详解】解：∵∵B＝35°，∵1＝105°，∵∵3=180-∵1-∵B=40︒，∵l1∵l2，∵∵2=∵3=40︒，故选：C．．【点睛】此题考查三角形内角和定理，两直线平行内错角相等的性质，熟记三角形内角和等于180度及平行线的性质并熟练解决问题是解题的关键．变式1．（2021·吉林宽城·七年级期末）直线AB、BC、CD、EG如图所示．若∵1=∵2，则下列结论错误的是（）A ．AB ∥CDB ．∵EFB =∵3C ．∵4=∵5D ．∵3=∵5【答案】D【解析】【分析】 根据平行线的判定与性质、对顶角相等逐项判断即可．【详解】解：∵∵1=∵2，∵AB ∵CD ，故A 正确，不符合题意；∵∵4=∵5，故C 正确，不符合题意；∵∵EFB 与∵3是对顶角，∵∵EFB =∵3，故B 正确，无法判断∵3=∵5，故D 错误，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查平行线的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．变式2．（2022·广东福田·八年级期末）如图，//AB CD ，BF 交CD 于点E ，AE BF ⊥，34CEF ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．34°B ．66°C ．56°D ．46°【解析】【分析】由余角的定义得出AEC ∠的度数，由两直线平行内错角相等即可得出结论．【详解】解：∵AE BF ⊥，34CEF ∠=︒，∵903456AEC ∠=-=，∵//AB CD ，∵56A AEC ∠=∠=，故选：C【点睛】本题考查了平行线的性质和余角，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．变式3．（2021·吉林净月高新技术产业开发区·七年级期末）如图，若要使1l 与2l 平行，则1l 绕点O 至少旋转的度数是（ ）A ．38︒B ．42︒C ．80︒D ．138︒【答案】A【解析】【分析】 根据“两直线平行，内错角相等”进行计算．【详解】解：如图，∵∵AOB=∵OBC=42°，∵80°-42°=38°，即l1绕点O至少旋转38度才能与l2平行．故选：A．【点睛】考查了旋转的性质和平行线的性质，根据平行线的性质得到∵AOB=∵OBC=42°是解题的关键，难度不大．◎考点题型3两直线平行，同旁内角互补例．（2022·云南广南·八年级期末）如图，直线AB∵CD，直线AB、CD被直线EF所截，交点分别为点M、点N，若∵AME＝130°，则∵DNM的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解析】【分析】由对顶角得到∵BMN=130°，然后利用平行线的性质，即可得到答案．【详解】解：由题意，∵∵BMN与∵AME是对顶角，∵∵BMN=∵AME=130°，∵AB∵CD，∵∵BMN+∵DNM=180°，∵∵DNM=50°；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到∵BMN=130°．变式1．（2021·西藏·九年级专题练习）如图，把长方形ABCD 沿EF 对折，若150∠=︒，则AEF ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．130︒【答案】B【解析】【分析】 根据折叠的性质及∵1＝50°可求出∵BFE 的度数，再由平行线的性质即可得到∵AEF 的度数．【详解】解：根据折叠以及∵1＝50°，得∵BFE ＝12∵BFG ＝12（180°﹣∵1）＝65°． ∵AD ∵BC ，∵∵AEF ＝180°﹣∵BFE ＝115°．故选：B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．变式2．（2021·黑龙江绥棱·七年级期末）如图，//AB CD ，1120∠=︒，280∠=︒，则3∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．60︒【答案】B【解析】【分析】 延长CE 交AB 于点F ，由AB ∵CD 知∵1＋∵AFE ＝180°，据此得∵AFE ＝60°，再根据∵2＝∵3＋∵AFE可得答案．【详解】解：如图，延长CE交AB于点F，∵AB∵CD，且∵1＝120°，∵∵1＋∵AFE＝180°，∵∵AFE＝180°−∵1＝60°，又∵∵2＝∵3＋∵AFE，且∵2＝80°，∵∵3＝∵2−∵AFE＝20°，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补及三角形外角的性质．变式3．（2021·黑龙江道里·七年级期末）如图，AB∵CD，BE平分∵ABC且过点D，∵CDE ＝160°，则∵C的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°【答案】D【解析】【分析】首先根据邻补角互补可得∵CDB＝180°﹣160°＝20°，然后再根据平行线的性质可得∵ABD ＝∵CDB＝20°，进而得到∵CBD＝20°，再利用三角形内角和定理算出∵C的度数．【详解】解：∵∵CDE＝160°，∵∵CDB＝180°﹣160°＝20°，∵AB∵CD，∵∵ABD＝∵CDB＝20°，∵BE平分∵ABC，∵∵CBE＝∵ABE＝20°，∵∵C＝180°﹣20°﹣20°＝140°，故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握两直线平行和内错角相等．◎考点题型4根据性质探究角的关系例．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级阶段练习）如图：已知∵1＝∵2，下列结论：∵∵3＝∵4；∵∵3与∵5互补；∵∵1＝∵4；∵∵3＝∵2；∵∵1与∵5互补，正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】A【解析】【分析】根据平行线的判定与性质分别对每一项进行分析即可得出答案．【详解】解：12∠=∠，∴，a//b∠=∠，32∴∠=∠，14∠=∠，42∴∠=∠，34∠互补，∠与52∠互补，3∴∠与5∠互补，4∠与5∠互补；1∴∠与5正确的有5个；故选：A．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，同旁内角互补．变式1．（2021·安徽省安庆市外国语学校八年级开学考试）如图，AB//CD，∵ABE＝12∵EBF，∵DCE＝13∵ECF，设∵ABE＝α，∵E＝β，∵F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（）A．4β﹣α+γ＝360°B．3β﹣α+γ＝360°C．4β﹣α﹣γ＝360°D．3β﹣2α﹣γ＝360°【答案】A【解析】【分析】过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∵ABF＝3α，∵DCF＝4∵ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∵ABE＝∵BEN＝α，∵ECD＝∵CEN，∵ABF+∵BFQ＝180°，∵DCF+∵CFQ＝180°，求出α+∵ECD＝β，3α+γ+4∵DCE＝360°，再求出答案即可．【详解】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，∵∵ABE＝12∵EBF，∵DCE＝13∵ECF，∵ABE＝α，∵∵ABF＝3α，∵DCF＝4∵ECD，∵AB∥CD，∵AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，∵∵ABE＝∵BEN＝α，∵ECD＝∵CEN，∵ABF+∵BFQ＝180°，∵DCF+∵CFQ＝180°，∵∵ABE+∵ECD＝∵BEN+∵CEN＝∵BEC，∵ABF+∵BFQ+∵CFQ+∵DCF＝180°+180°＝360°，即α+∵ECD＝β，3α+γ+4∵DCE＝360°，∵∵ECD ＝β﹣α，∵3α+γ+4（β﹣α）＝360°，即4β﹣α+γ＝360°，故选A ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．变式2．（2021·陕西·陇县教学研究室七年级期末）如图，已知//AB CD ，BC 平分ABE ∠，64BED ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A ．26︒B ．32︒C ．48︒D ．54︒【答案】B【解析】【分析】 利用平行线的性质，角平分线的定义即可解决问题．【详解】解：∵//AB CD ，64BED ∠=︒，BC 平分ABE ∠，∵64ABE ∠=︒，11643222ABC EBC ABE ∠=∠=∠=⨯︒=︒， ∵//AB CD ，∵32C ABC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 变式3．（2021·湖北蕲春·七年级期中）如图，AB ∵CD ，∵FGB ＝146°，FG 平分∵EFD ，则∵AEF 的度数等（ ）A ．34°B ．68°C ．46°D ．92°【答案】B【解析】【分析】 先根据平行线的性质可得∥DFG =34°，再根据角平分线的定义可得∥EFD =2∵DFG =68°，然后根据平行线的性质即可得．【详解】∵AB//CD,∥FGB =146°，∵∥DFG =180°−∥FGB =34°，∵FG 平分∵EFD ，∵∵EFD =2∵DFG =68°，又∵AB//CD ，∵∵AEF =∵EFD =68°，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．◎考点题型5根据性质探究求角的度数例．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）八年级期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P 点照射到抛物线上的光线,PA PB 等反射以后沿着与直线PF 平行的方向射出，若CAP α∠=︒，DBP β∠=︒，则APB ∠的度数为（ ）°A ．2αB ．2βC ．αβ+D ．5()4αβ+ 【答案】C【解析】【分析】 根据平行线的性质可得,EPA PAC EPB PBD ∠=∠∠=∠，进而根据APB APE BPE ∠=∠+∠即可求解【详解】 解：,PF AC PF BD ∥∥∴,EPA PAC EPB PBD ∠=∠∠=∠∴APB APE BPE ∠=∠+∠αβ=+故选C【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．变式1．（2022·河南·郑州外国语中学八年级期末）一把直尺与一块直角三角板按下图方式摆放，若237∠=︒，则1∠=（ ）A ．52°B ．53°C ．54°D ．63°【答案】B【解析】【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等）即可求解．【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，∵直尺的两边互相平行，∵3237∠=∠，∠=∠=︒，14∵490353∠=︒-∠=︒，∵1453∠=∠=︒，故选B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．变式2．（2022·四川省遂宁市第二中学校七年级期末）如图，已知直线AD∵BC，BE平分∵ABC交直线DA于点E，若∵DAB＝54°，则∵E等于（）A．25°B．27°C．29°D．45°【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可求∵ABC=54°，再根据角平分线的性质可求∵EBC=27°，再根据两直线平行，内错角相等可求∵E．【详解】解：∵AD∵BC，∵∵ABC=∵DAB=54°，∵EBC=∵E，∵BE平分∵ABC，∵ABC=27°，∵∵EBC=12∵∵E=27°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线，关键是求出∵EBC=27°．变式3．（2022·黑龙江香坊·七年级期末）如图，AD∵BC，∵C＝30°，∵ADB：∵BDC＝1：2，∵EAB＝72°，以下四个说法：∵∵CDF＝30°；∵∵ADB＝50°；∵∵ABD＝22°；∵∵CBN＝108°其中正确说法的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】根据AD∵BC，∵C＝30°，利用内错角相等得出∵FDC=∵C=30°，可判断∵正确；根据邻补角性质可求∵ADC=180°-∵FDC=180°-30°=150°，根据∵ADB：∵BDC＝1：2，得出方程3∵ADB=150°，解方程可判断∵正确；根据∵EAB＝72°，可求邻补角∵DAN=180°-∵EAB=180°-72°=108°，利用三角形内角和可求∵ABD=180°-∵NAD-∵ADB=180°-108°-50°=22°可判断∵正确，利用AD∵BC，同位角相等的∵CBN=∵DAN=108°可判断∵正确即可．【详解】解：∵AD∵BC，∵C＝30°，∵∵FDC=∵C=30°，故∵正确；∵∵ADC=180°-∵FDC=180°-30°=150°，∵∵ADB：∵BDC＝1：2，∵∵BDC=2∵ADB，∵∵ADC=∵ADB+∵BDC=∵ADB+2∵ADB=3∵ADB=150°，解得∵ADB=50°，故∵正确∵∵EAB＝72°，∵∵DAN=180°-∵EAB=180°-72°=108°，∵∵ABD=180°-∵NAD-∵ADB=180°-108°-50°=22°，故∵正确∵AD∵BC，∵∵CBN=∵DAN=108°，故∵正确其中正确说法的个数是4个．故选择D．【点睛】本题考查平行线性质，角的倍分，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程，掌握平行线性质，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程地解题关键．◎考点题型6性质的生活中的应用例．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】【分析】作CD∵平面镜，垂足为G，根据EF∵平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．【详解】解：如图，作CD∵平面镜，垂足为G，∵EF∵平面镜，∵CD//EF，∵∵CDH＝∵EFH＝α，根据题意可知：AG ∵DF ，∵∵AGC ＝∵CDH ＝α，∵∵AGC ＝α，∵∵AGC 12=∠AGB 12=⨯60°＝30°， ∵α＝30°．故选：B ．【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG 平分∵AGB ．变式1．（2021·浙江浙江·七年级期末）如图，AOB ∠的两边,OA OB 均为平面反光镜，35AOB ∠=︒，在OB 上有一点E ，从E 点射出一束光线经OA 上的点D 反射后，反射光线DC 恰好与OB 平行，这里ODE ADC ∠=∠，则DEB ∠的度数是（ ）A ．35︒B ．70︒C ．110︒D ．120︒【答案】B【解析】【分析】 过点D 作DF ∵AO 交OB 于点F ．根据题意知，DF 是∵CDE 的角平分线，可得∵1=∵3；然后又由两直线CD ∵OB 推知内错角∵1=∵2；最后由三角形的内角和定理求得∵DEB 的度数是70°．【详解】解：过点D 作DF ∵AO 交OB 于点F ．∵入射角等于反射角，∵∵1=∵3，∵CD ∵OB ，∵∵1=∵2（两直线平行，内错角相等）；∵∵2=∵3（等量代换）；在Rt ∵DOF 中，∵ODF =90°，∵AOB =35°，∵∵2=55°；∵在∵DEF 中，∵DEB =180°-2∵2=70°．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题．变式2．（2022·全国·七年级）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的120A ∠=︒，第二次拐的150B ∠=︒，第三次拐的C ∠，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则C ∠是（ ）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒ 【答案】D【解析】【分析】过点B 作直线BD 与第一次拐弯的道路平行，由题意可得120A ABD ∠=∠=︒，进而可得30DBC ∠=︒，然后问题可求解．【详解】解：过点B 作直线BD 与第一次拐弯的道路平行，如图所示：∵第三次拐的C ∠，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，∵直线BD 与第三次拐弯的道路也平行，∵120A ∠=︒，∵120A ABD ∠=∠=︒，180DBC C ∠+∠=︒，∵150B ∠=︒，∵30DBC ∠=︒，∵150C ∠=︒；故选D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．变式3．（2021·安徽阜南·七年级期末）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∵1=45°，∵2=122°时，∵3和∵4的度数分别是（ ）A ．58°，122°B ．45°，68°C ．45°，58°D ．45°，45°【答案】C【解析】【分析】 先根据EG∵FH 得出∵3的度数，再由AB∵CD 得出∵ECD 的度数，根据CE∵DF 即可得出结论．【详解】解：∵EG∵FH ，∵1=45°，∵∵3=∵1=45°．∵AB∵CD ，∵2=122°，∵∵ECD=180°﹣122°=58°．∵CE∵DF ，∵∵4=∵ECD=58°．故选：C ．．【点睛】本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．◎考点题型7根据判定和性质求角度例．（2021·北京·七年级期末）如图，点E ，B ，C ，D 在同一条直线上，A ACF ∠=∠，50DCF ∠=°，则ABE ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．130︒C ．135︒D ．150︒【答案】B【解析】【分析】 根据A ACF ∠=∠推出AB CF ∥，求出ABC ∠的度数即可求出答案．【详解】A ACF ∠=∠，∵AB CF ∥，50DCF ∠=︒，50ABC =∴∠︒，130ABE ∴∠=︒．故选：B ．【点睛】此题考查了平行线的判定及性质，熟记平行线的判定定理：内错角相等两直线平行是解题的关键．变式1．（2021·全国·七年级单元测试）如图，点D 是AB 上的一点，点E 是AC 边上的一点，且∵B ＝70°，∵ADE ＝70°，∵DEC ＝100°，则∵C 是( )A ．70°B ．80°C ．100°D ．110°【答案】B【解析】【分析】 先证明DE ∥BC ，根据平行线的性质求解．【详解】解：因为∵B ＝∵ADE ＝70°所以DE ∥BC ，所以∵DEC +∵C ＝180°，所以∵C ＝80°.故选：B ．【点睛】此题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行． 变式2．（2021·浙江慈溪·七年级期末）如图，若189∠=︒，291∠=︒，388∠=︒，则4∠的度数是（ ）A ．88°B ．89°C ．91°D ．92°【答案】D【解析】【分析】 由∵5＝∵1＝89°，∵2＝91°，可知∵5＋∵2＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可求得l 3//l 4；根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∵4的度数．【详解】解：如图：∵∵5＝∵1＝89°，∵2＝91°，∵∵5＋∵2＝180°，∵l 3//l 4，∵∵3＋∵6＝180°，∵∵3＝88°，∵∵6＝92°，∵∵4＝∵6＝92°．故选：D ．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质．解题的关键是熟练掌握平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）与平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）．变式3．（2021·河南汤阴·七年级期末）如图，AB ，CD ，EF ，MN 均为直线，2370∠=∠=︒，80GPC ∠=︒，GH 平分MGB ∠，则1∠=（ ）A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒【答案】D【解析】【分析】 由∵2=∵3=70°，根据平行线的判定可得出//AB CD ，则可得∵BGP =∵GPC ，进而可得∵BGM =100°，由GH 平分∵ MGB 即可求得∵1．【详解】∵2370∠=∠=︒，∵//AB CD ，∵BGP GPC ∠=∠，∵80GPC ∠=︒，∵80BGP ∠=︒，∵180100BGM BGP ∠=︒-∠=︒，∵GH 平分MGB ∠， ∵11502BGM ∠=∠=︒， 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，补角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．◎考点题型8根据判定和性质证明例．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，点E 在AD 的延长线上，下列条件中能使AB //CD 的是（ ）A ．∵ABD ＝∵CDBB ．∵ADB ＝∵CBDC ．∵C ＝∵CDED ．∵C +∵ADC ＝180°【答案】A【解析】【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可．【详解】解：∵∵ABD ＝∵CDB ，∵AB ∵CD ，故选项A 符合题意；∵∵ADB ＝∵CBD ，∵AD ∵BC ，故选项B 不合题意；∵∵C ＝∵CDE ，∵AD ∵BC ，故选项C 不合题意；∵∵C +∵ADC ＝180°，∵AD ∵BC ，故选项D 不合题意，故选A ．【点睛】 本题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．变式1．（2021·广西·南宁市第八中学七年级阶段练习）如图，给出下列条件：∵∵1＝∵2；∵∵3＝∵4；∵AB∵CE，且∵ADC=∵B，∵AB∵CE，且∵BCD＝∵BAD；其中能推出BC∵AD 的条件为（）A．∵∵B．∵∵C．∵∵D．∵∵∵【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定条件逐一进行排除即可．【详解】解：∵∵∵1=∵2，∵AB∵CD，不符合题意；∵∵3=∵4，∵BC∵AD，故符合题意；∵∵AB∵CD，∵∵B+∵BCD=180°，∵∵ADC=∵B，∵∵ADC+∵BCD=180°，∵BC∵AD，符合题意；∵∵AB∵CD，∵∵B+∵BCD=180°，∵∵BCD＝∵BAD，∵∵B+∵BAD=180°，∵BC∵AD，符合题意；∵能推出BC∵AD的条件为∵∵∵；故选D．【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．变式2．（2021·山东·曹县教学研究室七年级期末）如图，在四边形ABCD中，若∠+∠=︒，则下列结论正确的是（）180ABC CA ．12∠=∠B ．23∠∠=C ．13∠=∠D ．24∠∠=【答案】D【解析】【分析】 由四边形ABCD 中180ABC C ∠+∠=︒，根据同旁内角互补两直线平行，可证得//AB DC ，再根据平行线的性质可得答案．【详解】 解：四边形ABCD 中180ABC C ∠+∠=︒，//AB DC ∴，24∴∠=∠．故选：D ．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，此题难度不大，注意数形结合思想的应用．变式3．（2021·青海治多·七年级期中）如图，能判定//AB CD 的是（ ）A ．14∠=∠B ．13∠=∠C ．12∠=∠D ．23∠∠=【答案】A【解析】【分析】 根据两直线平行的判定定理，顺次推导就可以得到正确答案．【详解】解：A 、14∠=∠，内错角相等，//AB CD ，选项正确；B 、13∠=∠，不能判定AB ∵CD ，故该选项错误；C 、12∠=∠，只能说明BD 是ABC ∠的角平分线，选项错误；D 、23∠∠=，互为内错角，//AD BC ，选项错误．故选：A【点睛】本题考查的是两直线平行的判定定理，角平分线的定义、等底对等腰等知识点，根据定理内容进行判断是解题关键．◎考点题型9求平行线间的距离例．（2021·全国·八年级期中）已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m 与n之间的距离（）A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可D．AE和CF均可【答案】C【解析】【分析】由平行线之间的距离的定义判定即可得解．【详解】解：从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，线段AB和CD都可以示直线m与n之间的距离，故选：C．【点睛】本题考查了平行线之间的距离，解题的关键是熟记平行线之间的距离的概念．变式1．（2021·辽宁建昌·八年级期中）如图，已知直线a//b//c，直线d与直线a，b，c分别垂直，垂足是点C，B，A．若AB＝2，AC＝5，则直线a，b的距离是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】【分析】利用线段的差计算即可．【详解】解：∵直线a//b//c，直线d与直线a，b，c分别垂直，∵AB的长为平行线b与c的距离，AC的长为平行线a与c的距离，直线a，b的距离是BC=AC-AB=5-2=3．故选择B．【点睛】本题考查平行线间的距离，线段的和差计算，掌握平行线间的距离与线段的和差计算是解题关键．变式2．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，在ABCD中，AE BC，下列说法不正确．．．的是（）A．AE表示的是A、E两点间的距离B．AE表示的是A点到BC的距离C．AE表示的是AD与BC间的距离D．AE表示的是AB与CD间的距离【答案】D【解析】【分析】根据两点之间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离的定义进行逐一判断即可.【详解】解：A、AE表示的是A、E两点间的距离，正确；B、AE表示的是A点到BC的距离，正确；C、AE表示的是AD与BC间的距离，正确；D、AE表示的是AD与BC间的距离，错误.故选D.【点睛】本题主要考查了两点之间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.变式3．（2021·山东日照·七年级期中）已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线b与c之间的距离是5cm，那么直线a与c的距离是（）cm．A．8B．2C．8或2D．无法确定【答案】C【解析】【分析】画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可．【详解】解：有两种情况，如图：（1）直线a与c的距离是3厘米＋5厘米＝8厘米；（2）直线a与c的距离是5厘米−3厘米＝2厘米；故选：C．【点睛】本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键．◎考点题型10利用平行线间的距离解决问题⨯的方格纸中，每个小正方形的边长均为例．（2021·陕西陈仓·八年级期中）如图，在451，点O，A，B在方格纸的格点上，在第四象限内的格点上找点C，使ABC的面积为3，则这样的点C共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】先找到一个使三角形面积为3的点，再过这个点作AB的平行线，可找到符合题意的格点．【详解】解：设点C到AB的距离为h，∵3AB=，∵1332ABC S h ⨯=⨯=， ∵2h =，又∵点C 在第四象限，∵满足条件的点共有3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查坐标系下三角形的面积，找到一个符合条件的点，作平行线即可．变式1．（2021·河北顺平·八年级期末）如图，四边形中，AD ∵BC ，AC 与BD 相交于点O ，若S △ABO ＝5cm 2，S △DCO 为（ ）A ．5cm 2B ．4cm 2C ．3cm 2D ．2cm 2【答案】A【解析】【分析】 分别过点A 、D 作AE BC ⊥、DF BC ⊥，根据平行线的性质可得AE DF =，根据三角形的面积求得ABO DCO S S =△△，即可求解．【详解】解：分别过点A 、D 作AE BC ⊥、DF BC ⊥，如下图：∵//AD BC∵AE DF =又∵12ABC S BC AE =⨯△，12DCB S BC DF =⨯△ ∵ABC DCB S S =△△∵ABO ABC CBO S S S =-△△△，DCO DCB CBO S S S =-△△△∵2=5ABO DCO S S cm =△△故选A【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形的面积公式，解题的关键是根据平行线的性质及三角形的面积公式推出ABO DCO S S =△△．变式2．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，//,//,:2:1m n AD BC CD CF =．若CEF △的面积为5，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．不能确定【答案】B【解析】【分析】 设CF =x ，m 与n 之间的距离为h ，则CD =2x ，再根据三角形的面积公式求出xh 的值，进而可得出结论．【详解】解：∵m ∵n ，CD ：CF =2：1，∵设CF =x ，m 与n 之间的距离为h ，则CD =2x ，∵∵CEF 的面积为5， ∵12CF •h =5，即12xh =5，解得xh =10，∵AD ∵BC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵S 四边形ABCD =CD •h =2xh =2×10=20．故选B ．【点睛】本题考查的是平行线间的距离，熟知平行线间的距离处处相等是解答此题的关键．变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∵n；则下列说法正确的是（）A．AB∵PC B．∵ABC的面积等于∵BCP的面积C．AC＝BP D．∵ABC的周长等于∵BCP的周长【答案】B【解析】【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．【详解】解：AB不一定平行于PC，A不正确；∵平行线间的距离处处相等，∵∵ABC的面积等于∵BCP的面积，B正确；AC不一定等于BP，C不正确；∵ABC的周长不一定等于∵BCP的周长，D不正确，故选：B．【点睛】本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．解题的关键是掌握平行线的性质和判定．◎考点题型11 真假命题例．（2021·重庆·七年级期末）下列命题是真命题的是（）A．内错角相等B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．相等的角是对顶角D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质、垂直的判定、对顶角和平行线的判定进行判断即可．【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；B、在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂直的判定、对顶角和平行线的判定．变式1．（2021·北京市海淀区清华附中稻香湖学校七年级期末）下面命题：∵同位角相等；∵对顶角相等；∵若x2＝y2，则x＝y；∵互补的角是邻补角．其中真命题有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】【分析】根据平行线的性质、对顶角、乘方的意义和邻补角判断解答即可．【详解】∵两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；∵对顶角相等，是真命题；∵若x2＝y2，则x＝y或x＝﹣y，原命题是假命题；∵互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题；故选：A．【点睛】本题考查了命题的真假，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角、乘方的意义和邻补角，难度不大．变式2．（2021·重庆市两江中学校七年级期中）下列命题中真命题的个数有（）∵有公共顶点且相等的两个角叫对顶角；∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；∵平行于同一条直线的两条直线平行；∵过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；∵直线外一点到已知直线的垂线段就是该点到直线的距离．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】根据对顶角的定义（有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角）可判断∵；同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断∵；平行于同一条直线的两条直线平行，根据平行线的判定可判断∵；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可判断∵；直线外一点到已知直线的垂线段长度就是该点到直线的距离，可判断∵，综合即可得出选项．【详解】解：根据对顶角的定义（有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角）判断∵错误，是假命题；同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故∵错误，是假命题； 平行于同一条直线的两条直线平行，根据平行线的判定可得∵正确，是真命题； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故∵错误，是假命题； 直线外一点到已知直线的垂线段长度就是该点到直线的距离，故∵错误，是假命题； 综上可得只有∵正确，是真命题，故选：A ．【点睛】题目主要考查真假命题的判断，包括对顶角，平行线和垂线的性质，点到直线的距离等，理解题意，熟练掌握各个定理是解题关键．变式3．（2021·福建·厦门市湖里中学七年级期中）如图，已知OE 是AOD ∠的平分线，可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例的是（ ）A ．AOB DOC ∠=∠ B ．AOE DOE ∠=∠C ．EOC DOC ∠<∠D ．EOC DOC ∠>∠【答案】B【解析】【分析】 根据角平分线定义得到AOE DOE ∠=∠，由于反例要满足角相等且不是对顶角，所以AOE DOE ∠=∠可作为反例．【详解】 解：OE 是AOD ∠的平分线，∴AOE DOE ∠=∠∴AOE DOE ∠=∠可作为说明命题“相等的角是对顶角”为假命题的反例故选：B ．【点睛】本题考查命题与定理：判断一件事情的语句叫做命题，命题由题设和结论组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事实，一个命题可以写出“如果…那么…”的形式，任何一个命题非真即假，判断一个命题是假命题，只要举出反例即可．。

平行线的判定与性质1．如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠ＣAB互余的角有个．2．如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、ＧＨ相交,图中的同旁内角共有（)Ａ.4对B．8对Ｃ.12对ﻩ D.１6对3．如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°,∠ＣDE=30°,∠Ｅ=１0°求证：AＢ∥EF．4.如图,在△ABC中，CE⊥AＢ于E，DF⊥AB于F，AC∥ＥＤ，CE是∠ACＢ的平分线,试比较∠EDF与∠ＢDF的大小,并说明理由．5．探究：(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠Ｄ=∠E，你能说明为什么吗？（２）反之,若∠Ｂ+∠D＝∠E,直线AB与CD有什么位置关系？请证明;ﻬ(3）若将点E移至图ｂ所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(４）若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(5)在图d中,AB∥ＣD，∠E＋∠G与∠B+∠Ｆ＋∠D又有何关系?(６)在图e中，若ＡB∥CＤ，又得到什么结论?6．如图所示,已知ＡB∥CＤ,EＦ交AB于M交ＣD于Ｆ，MN⊥EF于M,MＮ交ＣD于N,若∠BＭＥ=110°，则∠MND=．7．如图,若直线ａ,b分别与直线ｃ,ｄ相交,且∠1+∠3=90°，∠2﹣∠３=90°,∠4=11５°，那么∠3=.8．如图,已知AB∥CD，∠１=10０°，∠2＝1２０°，则∠α=度.9．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°,那么另一角是度.ﻬ10．如图，下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是( )Ａ．∠1=∠3ﻩ B.∠2＝∠３ﻩ C.∠4=∠5D．∠2+∠4=180°11.已知线段ＡB＝10cm,点Ａ,B到直线l的距离分别为６ｃm,4ｃm.符合条件的直线l有（ )A．1条ﻩＢ．2条 C.3条D．4条1２．已知:如图所示,直线a，ｂ都与直线c相交,给出下列条件:①∠1＝∠２；②∠3＝∠6;③∠4+∠7＝180°;④∠5+∠8＝18０°.其中能判定a∥b的是()Ａ．①③ﻩB．②④C．①③④ﻩD．①②③④１3.如图所示，AB∥EF∥DC，EG∥DＢ,则图中与∠1相等的角（∠1除外)共有（）A.6个ﻩＢ．5个 C.４个ﻩD．2个14．如图所示，已知∠1+∠2=１80°，∠3=∠B,试判断∠ＡEＤ与∠C的大小关系，并对结论进行说理．１5.如图，已知∠１十∠２=１80°,∠A=∠C,AD平分∠BDF.求证：ＢC平分∠ＤBE.１６．在同一平面内有2０02条直线a１，a2，…,a20０2,如果a1⊥ａ2，a2∥ａ3，ａ3⊥ａ4，ａ4∥a5,…,那么a１与ａ2002的位置关系是．17．若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角对．18．如图,已知l1∥l2，AB⊥l１，∠ABC＝130°,则∠α＝ .19．如图，直线ＡB∥ＣD,∠EFＡ=3０°,∠FGH=90°，∠ＨMN=30°，∠CＮＰ=5０°，则∠GＨM的大小是.２０.如图,D、G是△ABC中ＡB边上的任意两点,DE∥ＢC，GＨ∥ＤC,则图中相等的角共有（ )A．4对ﻩ B.5对ﻩC．6对 D.７对21．如图，若AＢ∥CD,则( )A．∠1＝∠2+∠3B．∠1=∠3﹣∠2C.∠1+∠2+∠３=180°ﻩD．∠l﹣∠２+∠３=180°2２.如图：已知AＢ∥CＤ∥EF,ＥH⊥ＣD于H,则∠ＢAＣ＋∠ACE+∠ＣEH等于()A.18０°Ｂ．27０°ﻩ C.3６0°ﻩ D.4５0°23．如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β和γ的关系是（ )Ａ.β＝α+γB．α+β+γ=18０°Ｃ．α+β﹣γ=９0°Ｄ.β+γ﹣α=１80°24.如图，已知AB∥ＣD,P为ＨD上任意一点,过P点的直线交ＨF于O点,试问:∠HＯP、∠AGF、∠ＨPO有怎样的关系?用式子表示并证明．２5.如图,AB∥ED,α＝∠A+∠Ｅ,β＝∠B+∠Ｃ＋∠D．证明：β=2α２6.平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点.(1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(２)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个)；（3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形,其中n分别为６,２１，15?（4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？２７.如图，直线CB∥OA，∠C=∠BAO=120°，Ｅ、Ｆ在ＣB上,且满足∠FＯB=∠ＡOB,ＯE平分∠COF．(1)求∠EOB的度数;(２）若平行移动AＢ，那么∠ＯBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律或求出变化范围；若不变,求出这个比值；(３）在平行移动ＡB的过程中，是否存在某种情况，使∠ＯＥＣ=∠OBＡ？若存在，求出其度数;若不存在，说明理由．平行线的判定与性质参考答案与试题解析1．如图,ＡB∥CD,AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有 3 个.【考点】平行线的性质;余角和补角．【分析】本题考查互余的概念,和为90度的两个角互为余角，结合图形和平行线的性质作答．【解答】解:AＢ∥ＣD，ＡC⊥BC，则图中与∠CＡB互余的角有3个,∠CＢA,∠BCD,和∠CBA的对顶角．【点评】此题属于基础题，较简单,主要记住互为余角的两个角的和为９0度．2.如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、ＧH相交，图中的同旁内角共有（ )A．4对ﻩ B.8对 C.1２对Ｄ．16对【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】几何图形问题．【分析】每一个“三线八角"基本图形都有两对同旁内角,从对原图形进行分解入手可知同旁内角共有对数.【解答】解：直线AB、CＤ被EＦ所截有2对同旁内角；直线ＡB、CD被GH所截有2对同旁内角;直线CD、EF被GH所截有2对同旁内角；直线CD、GＨ被EF所截有2对同旁内角;直线ＧH、EF被CD所截有2对同旁内角；直线ＡＢ、EF被GＨ所截有２对同旁内角;ﻬ直线ＡＢ、ＧH被EF所截有2对同旁内角；直线EＦ、GH被AB所截有2对同旁内角．共有１６对同旁内角.故选D.【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角.要结合图形,熟记同旁内角的位置特点.两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角.3．如图，已知∠Ｂ＝25°,∠BＣD=45°,∠CDE=３０°,∠E＝１0°求证:AB∥EF.【考点】平行线的判定与性质.【专题】证明题．【分析】解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件,在图中添置“三线八角"或作出与AB或ＣD平行的直线，利用平行线的性质和判定求证．【解答】解：过C点作ＣG∥AB，过点Ｄ作ＤH∥ＡＢ，则CG∥DＨ，∵∠Ｂ=25°,∴∠BＣG=2５°,∵∠BCD=45°,∴∠ＧCD=２0°,∵CG∥HD,∴∠CＤH=2０°,∵∠CDE=３０°，∴∠ＨDE=１0°∴∠HDＥ=∠E＝10°,∴DH∥EF,∴DH∥ＡB,∴AB∥EF.【点评】此题考查平行线的判定和性质，辅助线是常见的作法,证明过程注意选用有用的条件作为证明的依据．4．如图,在△ABC中，ＣE⊥ＡＢ于E，ＤF⊥AB于F,AＣ∥ＥD,CE是∠AＣB的平分线,试比较∠EDＦ与∠BDF的大小,并说明理由.【考点】平行线的性质；垂线．【分析】先运用垂直于同一条直线的两直线平行,得出∠BDF=∠BCE，∠ＦDE=∠ＤＥＣ，再根据平行线的性质得出∠DEC＝∠ACE,然后利用角平分线等量代换即可得出两角的关系.【解答】解:∠EDF=∠ＢDF．∵CＥ⊥ＡＢ于Ｅ，DF⊥ＡB于F∴ＤＦ∥CE （垂直于同一条直线的两直线平行），∴∠ＢDF=∠BCE （两直线平行,同位角相等),∠FDE＝∠DEC（两直线平行,内错角相等)又∵AC∥ED，∴∠DＥＣ=∠AＣE（两直线平行,内错角相等），∵CE是∠ＡCB的角平分线,∴∠ＡＣE＝∠EＣB(角平分线的定义),∴∠EDF=∠ＢDF(等量代换)．【点评】本题主要运用了平行线的性质和垂线的性质,解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行内错角、同位角相等.ﻬ5.探究：（1）如图a，若AＢ∥CＤ,则∠Ｂ+∠D=∠E，你能说明为什么吗？(2）反之，若∠B+∠D=∠Ｅ,直线ＡB与ＣＤ有什么位置关系？请证明;(3)若将点Ｅ移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明；(４)若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(５)在图d中,AB∥CＤ，∠E+∠G与∠Ｂ＋∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中，若AB∥CＤ,又得到什么结论?【考点】平行线的判定与性质.【分析】已知AB∥ＣD,连接AB、CD的折线内折或外折,或改变E点位置、或增加折线的条数,通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论,给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AＢ（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形.【解答】解:(1)过E作EF∥AB,则∠B=∠ＢＥＦ,∵ＡB∥ＣD，∴EF∥CD,∴∠D=∠DＥＦ,∴∠BＥＤ=∠ＢEＦ+∠DEF=∠B+∠D．（２）若∠B＋∠D=∠E,由EF∥AＢ，∴∠B=∠BEF,∵∠E=∠ＢEF+∠DEF=∠B＋∠D，∴∠D＝∠ＤＥF,∴ＥF∥CＤ，∴AB∥CD；（3)若将点Ｅ移至图ｂ所示位置，过E作EF∥AB,∴∠BEF+∠Ｂ=180°，∵EＦ∥CD,∴∠D+∠ＤＥF=1８0°，∠Ｅ+∠B＋∠D＝360°;(４)∵AB∥CD，∴∠Ｂ=∠BFＤ,∵∠D+∠E=∠BFＤ,∴∠D+∠E=∠Ｂ;(5）∵AB∥CD，∴∠E＋∠G=∠B+∠Ｆ+∠D；（6)由以上可知:∠E1＋∠Ｅ２+…＋∠E n=∠B+∠Ｆ1+∠Ｆ2+…＋∠Fｎ﹣1+∠D;【点评】本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过Ｅ点作AB（或ＣD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形.6．如图所示,已知AB∥ＣD，EF交AB于M交CD于F，MＮ⊥EＦ于M，MN交CＤ于Ｎ,若∠BＭE=11０°，则∠MND＝2０° .【考点】平行线的性质．【分析】根据对顶角相等求出∠ＡＭＦ,再求出∠ＡＭN，然后根据两直线平行,内错角相等求解即可.【解答】解：∵∠BMＥ=11０°,∴∠AMF=∠BME=11０°,∵MN⊥EＦ于M，∴∠NMF=９０°，∴∠AＭN=∠ＡMF﹣∠ＮMF＝1１０°﹣9０°＝２0°,∵AB∥CD,∴∠MＮD=∠AMＮ=２0°.故答案为:２0°．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，以及垂直的定义，是基础题,熟记性质并准确识图是解题的关键．7.如图,若直线a,b分别与直线c,d相交,且∠1+∠3=90°，∠2﹣∠３=９0°，∠4=115°,那么∠3= 65°.【考点】平行线的判定与性质.【专题】计算题．【分析】由∠1+∠3=90°,∠2﹣∠3=９０°,可得∠1+∠2=１80°,则可得出a∥b，根据同旁内角互补即可得出答案.【解答】解:∵∠1+∠3=90°,∠２﹣∠3＝9０°,∴∠1+∠2=１80°,∴∠１的对顶角+∠2=180°,∴ａ∥b，∴∠３+∠４的对顶角＝1８0°，∵∠4=１15°,∴∠3=1８0°﹣∠４=65°,故答案为:65°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质,属于基础题，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质.８.如图,已知AＢ∥CD，∠１=100°,∠2=120°,则∠α＝４0度.ﻬ【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】过点F作ＥF∥ＡB，由平行线的性质可先求出∠3与∠4，再利用平角的定义即可求出∠α.【解答】解：如图，过点F作EＦ∥AB,∴∠１+∠3=1８０°．∵∠1=100°,∴∠３=80°．∵AB∥CD,∴CD∥EF，∴∠4+∠2=1８0°,∵∠２＝120°，∴∠4=60°．∴∠α=18０°﹣∠3﹣∠４=40°．故应填40．【点评】本题的难点在于用辅助线构造平行线；关键点在于利用平行线的性质进行角的转化．9．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是 4０或140 度.【考点】平行线的性质.【分析】两个角的两边分别平行，则两个角可能是同位角，也可能是同旁内角,所以应分情况讨论.【解答】解：当两个角是同位角时，则另一个角也等于40°;若两个角是同旁内角时,则另一个角是14０°.故应填:40或140.【点评】会利用平行线性质求解角的大小,能够分析讨论一些简单的问题．ﻬ１0.如图,下列条件中,不能判断直线l1∥l２的是（）A．∠1=∠3B．∠２=∠3ﻩ C.∠4=∠5Ｄ．∠2＋∠4=180°【考点】平行线的判定．【分析】根据平行线的判定定理:同位角相等,两直线平行；内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行分别进行分析即可．【解答】解：Ａ、根据内错角相等,两直线平行可判断直线l１∥l2,故此选项不合题意；B、∠2=∠3，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意;Ｃ、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l1∥l２，故此选项不合题意;D、根据同旁内角互补,两直线平行可判断直线l１∥l2，故此选项不合题意;故选：B.【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．1１．已知线段ＡB=10ｃｍ,点Ａ,B到直线l的距离分别为6ｃｍ，４cm.符合条件的直线l有( ）A．１条 B.２条ﻩ C.3条D．4条【考点】点到直线的距离．【分析】根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.画出图形进行判断．【解答】解:在线段ＡB的两旁可分别画一条满足条件的直线;作线段AB的垂线，将线段AＢ分成6ｃm，4cm两部分，所以符合条件的直线l有３条,故选C.【点评】此题主要考查了从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的定义．12．已知:如图所示,直线a,b都与直线ｃ相交，给出下列条件:①∠1=∠2；②∠3=∠6;③∠4+∠7＝18０°；④∠5＋∠8＝180°.其中能判定ａ∥b的是（ )Ａ.①③ﻩB．②④ﻩＣ.①③④ D.①②③④【考点】平行线的判定;对顶角、邻补角．【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角,被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【解答】解：①∵∠1=∠2,∴a∥b（同位角相等，两直线平行).②∵∠3=∠6，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．③∵∠4＋∠７＝１80°,∵∠４＝∠６(对顶角相等)，∴∠6+∠7=180°,∴a∥b（同旁内角互补,两直线平行）．④同理得,a∥b(同旁内角互补,两直线平行）．故选D.【点评】正确识别“三线八角＂中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行．１3．如图所示，AB∥ＥF∥DC,ＥＧ∥DB，则图中与∠１相等的角(∠１除外）共有（)A．6个ﻩB．５个C．4个 D.2个【考点】平行线的性质．ﻬ【分析】由AB∥EF得∠FEG＝∠1,由EG∥DB可得∠DBG=∠１;设BＤ与ＥF相交于点Ｐ,由AB∥EF得到∠FPB=∠ＤＢG＝∠１，∠DPＥ＝∠ＤBG=∠1,又AB∥ＤＣ可以得到∠ＣＤＢ＝∠ＤBG=∠1，由此得到共有5个．【解答】解:∵AＢ∥EＦ,∴∠FＥG=∠1，∵EG∥DB，∴∠DBG＝∠1,设BD与EＦ相交于点P,∵AB∥EＦ，∴∠ＦＰＢ=∠DBG=∠１,∠DＰE=∠DBG＝∠１，∵AB∥DC，∴∠CDB=∠DBG=∠1.∴共有5个.故选Ｂ．【点评】本题主要利用了由平行得到的内错角相等以及同位角相等，注意不要漏解．14.如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠Ｃ的大小关系,并对结论进行说理.【考点】平行线的性质.【专题】探究型．【分析】由图中题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明DE∥BC.题中说∠1+∠2=180°，而∠1+∠４=1８0°所以∠2=∠４，那么可得到BD∥EF，题中有∠３=∠B,所以应根据平行得到∠3与∠ＡDE之间的关系为相等.就得到了∠Ｂ与∠ＡDＥ之间的关系为相等，那么DE∥BC．【解答】证明:∵∠１＋∠4=180°（邻补角定义)∠1+∠2=180°(已知）∴∠2=∠4(同角的补角相等）∴EF∥AB（内错角相等,两直线平行）∴∠3=∠ADE（两直线平行,内错角相等）又∵∠Ｂ＝∠3（已知）,∴∠ADE=∠B（等量代换）,∴DE∥ＢC(同位角相等，两直线平行）∴∠AＥD=∠Ｃ（两直线平行,同位角相等)．【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手,得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．15.如图,已知∠１十∠2＝18０°，∠A=∠C,AＤ平分∠BDＦ．求证：ＢC平分∠DBＥ.【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由已知易得∠１=∠BDC，则AＥ∥CF,所以∠EBＣ=∠ＢCＤ，又∠ＢAＤ=∠ＢCD,故∠EBＣ=∠ＢAD，可得AD∥BC，再用角平分线的定义和平行线的性质求证即可.【解答】证明:∵∠1十∠２=18０°,∠1+∠EBD=180°，∴∠2=∠ＥＢD,∴AE∥CＦ,∴∠FDＢ=∠DBE,∠BAD=∠ADF,又∵∠BＡD=∠BCD,∴∠BCD＝∠ＡDF,∴AD∥BC,∴∠ＤBC=∠BDA=∠FDB=∠DBＥ,∴ＢC平分∠ＤＢE．ﻬ【点评】此题考查了平行线的判定和性质，综合利用了角平分线的定义,要充分利用已知条件.16．在同一平面内有２002条直线ａ1,a2，…，a2０02，如果a1⊥a2,a2∥a3,a３⊥ａ4，a４∥a5，…,那么a１与a2002的位置关系是垂直．【考点】垂线；平行线.【专题】压轴题；规律型．【分析】a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每４条直线一循环.根据此规律可求a１与a２002的位置关系是垂直．【解答】解:∵ａ１与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环.∴(２00２﹣1)÷4=5０0余１，故答案为：垂直.【点评】本题难点在规律的探索,要认真观察即可得出规律.17.若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角2４对.【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】几何图形问题.【分析】一条直线与另3条直线相交(不交于一点）,有3个交点．每2个交点决定一条线段，共有３条线段．4条直线两两相交且无三线共点，共有3×4＝12条线段.每条线段两侧各有一对同旁内角,可知同旁内角的总对数.【解答】解：∵平面上４条直线两两相交且无三线共点，∴共有3×4＝12条线段.又∵每条线段两侧各有一对同旁内角,∴共有同旁内角12×２＝24对.故答案为:２４.【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中,有两对同旁内角．ﻬ1８．如图，已知ｌ1∥ｌ2，AB⊥ｌ1,∠ABC=130°,则∠α＝40°．【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】过点Ｂ作ＥF∥l１∥l2,再根据平行线的性质不难求得∠α的度数.【解答】解:过点B作ＥF∥ｌ1∥l2∵EF∥l１∥l2，AＢ⊥l1∴∠ABF=9０°∵∠AＢC=130°∴∠ＦＢC=40°∵EF∥l1∥l2∴∠FBC=∠α=４0°故答案为:40°【点评】此题主要考查平行线的性质定理:定理1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行,同位角相等.定理2:两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行,内错角相等.19．如图,直线AB∥ＣＤ，∠EFA=３0°，∠FGH=９0°,∠HMN＝3０°，∠CNP=50°，则∠GＨM的大小是4０°.【考点】平行线的性质；三角形的外角性质;多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】作辅助线:延长PM、EG交于点K；PＭ延长线交AＢ于点L．利用平行线性质进行求解.【解答】解:辅助线延长PＭ、EＧ交于点Ｋ,ＰM延长线交AＢ于点L．如图:∵AB∥CD，∴∠ＡLM=∠LND=５０°;∴∠MKＧ=∠BFG＋∠ＡLM=８0°.∵∠HＭＮ=30°,∴∠ＨMＫ=1５0°;∵∠ＦGＨ=90°,∴∠GＨM=３６0°﹣∠HＭＫ﹣∠MKＧ﹣∠ＭGH=360°﹣150°﹣80°﹣9０°＝４0°．【点评】考查了平行线的性质的应用．本题综合性较强．20．如图，Ｄ、Ｇ是△AＢC中AB边上的任意两点,ＤE∥BC,GＨ∥ＤC，则图中相等的角共有( ）A.4对B．５对 C.6对D.7对【考点】平行线的性质．【分析】可利用平行线内错角相等,同位角相等的性质得出图中相等的角．【解答】解:由DE∥BＣ,可得∠ADE=∠ABC,∠AED＝∠ACＢ,∠EDC=∠ＤCB,由GH∥DC，可得∠ＢDC=∠ＢGH,∠HＧD＝∠ＡDC,∠ＤCB=∠GHB，∵∠EDC=∠ＤCB,∠DCB=∠GHB,∴∠ＥＤC＝∠BHG,∴题中共有7对相等的角.故选Ｄ.【点评】本题主要考查平行线的性质,即同位角相等,内错角相等,所以熟练掌握平行线的性质.21．如图，若ＡB∥ＣD，则( ）A．∠1＝∠2+∠3 B.∠1=∠３﹣∠2C.∠1+∠2＋∠3=1８0°ﻩD.∠l﹣∠2+∠3＝1８０°【考点】平行线的性质.【分析】先根据平行线的性质由ＡB∥CD得到∠3＝∠４,再根据三角形外角性质得∠１=∠2+∠4,等量代换后得到∠1=∠２+∠３．【解答】解:延长BA交EC于F，如图,∵AB∥CＤ,∴∠3=∠4,∵∠1＝∠２+∠4,∴∠1=∠2＋∠3.故选Ａ．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行，内错角相等．也考查了三角形外角性质.２2.如图：已知AB∥CD∥EF,EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACＥ+∠CEＨ等于（)A.180°ﻩB.270°C．360°D．450°【考点】平行线的性质.【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质可以求得:∠BＡC与∠ＡCD,∠ＤCE与∠CＥF的度数的和,再减去∠HEF的度数即可.【解答】解：∵AB∥CD,∴∠BＡC+∠ACＤ＝180°，同理∠DCＥ+∠CＥF=１80°，∴∠BAC＋∠ＡCE+∠CＥＦ=360°；又∵EH⊥CD于H,∴∠HEF=９0°,∴∠BAC+∠ACＥ+∠CＥＨ=∠BＡC+∠ACE+∠CEF﹣∠HEF＝3６０°﹣90°=27０°．故选B.【点评】本题主要考查了平行线的性质:两直线平行同旁内角互补.23.如图,ＡＢ∥EＦ，∠C=９0°，则α、β和γ的关系是( )Ａ．β=α+γﻩＢ．α+β+γ＝180° C.α+β﹣γ=９０°ﻩ D.β+γ﹣α＝180°【考点】平行线的性质.【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系.【解答】解:延长DC交ＡＢ与G,延长CD交ＥF于H．在直角△BGＣ中,∠1=９0°﹣α；△EHＤ中，∠２=β﹣γ，∵ＡB∥EF，∴∠１=∠２，∴90°﹣α=β﹣γ,即α+β﹣γ=9０°.故选:C．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.２4.如图,已知ＡB∥CD，P为HD上任意一点，过Ｐ点的直线交HF于Ｏ点，试问：∠ＨＯP、∠ＡGF、∠ＨPO有怎样的关系?用式子表示并证明.【考点】平行线的性质；三角形的外角性质.【分析】可过点Ｏ作OＭ∥CD，利用内错角相等,再通过转化即可得出结论.【解答】解:∠ＨOP=∠AＧF﹣∠HＰO,过点O作OM∥CＤ,如图,则∠AGF=∠ＨＯM,∠ＨＰO=∠POM,∠ＨＯP=∠ＨOM﹣∠POM，∴∠HOＰ＝∠AGＦ﹣∠HPO.【点评】本题主要考查平行线的性质，能够熟练运用平行线的性质求解角之间的关系问题．25.如图，AB∥ED,α=∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β=2α【考点】平行线的判定与性质;多边形内角与外角．【专题】证明题．【分析】此题的关键是过点C作AＢ的平行线，再利用平行线的性质和判定，得出∠A+∠E=180°,∠Ｂ+∠C+∠D=３60°,即可证明．【解答】证法１：∵AB∥ED,∴α=∠A+∠E＝1８0°(两直线平行，同旁内角互补）过C作CＦ∥AB（如图１）∵AＢ∥EＤ,∴CＦ∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行)∵CF∥AB,∴∠B=∠1,(两直线平行,内错角相等）又∵CF∥ED,∴∠2＝∠Ｄ,(两直线平行,内错角相等）∴β=∠B+∠C＋∠Ｄ=∠1+∠BCD+∠2=3６０°(周角定义)∴β=2α(等量代换)证法２:∵AB∥ED，∴α=∠A+∠E＝18０°（两直线平行，同旁内角互补)过C作ＣＦ∥AＢ（如图2）∵AB∥ＥD，∴CF∥ED(平行于同一条直线的两条直线平行）∵CＦ∥AＢ,∴∠B＋∠1=180°，（两直线平行，同旁内角互补）又∵CF∥EＤ,∴∠２+∠Ｄ＝１８0°,（两直线平行,同旁内角互补）∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠B+∠1+∠2+∠D=1８0°+１8０°=36０°,∴β=2α(等量代换）【点评】此题考查平行线的判定和性质，辅助线的作法很关键,也是常见作法,需掌握.２6.平面上有7条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点．（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形(至少两个)；（3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6,２1，15？(４)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形,从中你能发现什么规律?【考点】平行线；相交线.【专题】规律型．【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行,再考虑五条、四条,三条,二条直线平行,都不平行作出草图即可看出.ﻬ从画出的图形中归纳规律即可得到答案.【解答】解：（1）如图1所示;交点共有6个,(2）如图2,3．(3）当ｎ=6时,必须有6条直线平行,都与一条直线相交．如图4，当n=21时,必须使7条直线中的每2条直线都相交(即无任何两条直线平行）如图5，当n=15时,如图6,(4)当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：①当7条直线都相互平行时,交点个数是0，这是交点最少,②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21,这是交点最多．ﻬ【点评】此题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形,再再根据图形归纳规律.2７.如图，直线ＣＢ∥OＡ，∠C＝∠BAO＝1２0°，E、F在ＣB上,且满足∠FOB＝∠AOＢ,OE平分∠COF.（１)求∠EＯB的度数;(２）若平行移动AB,那么∠OBC：∠OFＣ的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变,求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【考点】平行线的性质;三角形内角和定理；角平分线的性质;平移的性质.【专题】几何图形问题.【分析】（1)根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC,再根据角平分线的定义求出∠EOB=∠ＡOC,代入数据即可得解;(2)根据两直线平行,内错角相等可得∠ＯBC=∠ＢOＡ，从而得到∠OBＣ＝∠FOB,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OFＣ=２∠OBC,从而得解；（３）设∠AOB=ｘ,根据两直线平行,内错角相等表示出∠CBO＝∠AＯB=x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OＥC,然后利用三角形的内角和等于1８0°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可.【解答】解：(1)∵ＣB∥OＡ,∴∠ＡOC＝1８０°﹣∠Ｃ=1８0°﹣1２０°＝60°，∵∠FOB=∠AＯＢ,OE平分∠COＦ,∴∠ＥOＢ＝∠AＯC＝×６０°=３０°;（２）∠ＯBC：∠OFＣ的值不会发生变化，为１:2，ﻬ∵CＢ∥OA，∴∠OＢC=∠BOA,∵∠FＯＢ＝∠AOＢ，∴∠OBC=∠FOＢ,∴∠OFC=∠ＯＢC＋∠ＦOＢ=２∠ＯBC，∴∠ＯＢC：∠OFC=1:2;(3)当平行移动ＡＢ至∠OBA=45°时，∠ＯEC＝∠OBA.设∠ＡOＢ=x，∵CＢ∥ＡO,∴∠CＢO=∠ＡOB=x,∵∠ＯＥC=∠CBO+∠EOＢ＝ｘ+30°，∠OBA=１80°﹣∠A﹣∠AOB=１80°﹣120°﹣ｘ=６0°﹣ｘ,∴x＋30°=60°﹣x,∴x=15°，∴∠OEＣ=∠OBA=６０°﹣15°＝45°．【点评】本题考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的定义,三角形的内角和定理,图形较为复杂，熟记性质并准确识图是解题的关键．。

《平行线性质与判定的综合》基础训练知识点1 综合运用平行线的性质与判定进行计算或说理1.如图,已知a∥b,∠1=58°,则∠2的大小是（）A.122°B.85°C.58°D.32°2.如图,直线EB∥FD,直线c分别交EB、FD于点A、C,∠BAC的平分线交直线FD于点G,若∠2=50°,则∠1的度数是（）A.50°B.60°C.80°D.100°3.如图,一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠2=44°,那么∠1的度数是（）A.14°B.15°C.16°D.17°4.如图,直线,,,a b c d ,已知,c a c b ⊥⊥,直线,,b c d 交于一点.若150︒∠=,则2∠等于（ ）A.60︒B.50︒C.40︒D.30︒5.如图,直线,a b 被直线,c d 所截.若12,3125︒∠=∠∠=,则4∠的度数是（）A.65︒B.60︒C.55︒D.75︒6.如图,若180A ABC ︒∠+∠=,则下列结论正确的是（ ）A.12∠=∠B.23∠=∠C.13∠=∠D.24∠=∠7.如图,12,60A ︒∠=∠∠=,则ADC ∠=____________.8.如图,//,180BC DE E B ︒∠+∠=,则AB 和EF 的位置关系为____________.9.如图所示,//,,AB DC ABC ADC BF ∠=∠和DE 分别平分ABC ∠和ADC ∠.试说明：//ED BF .解：因为BF 和DE 分别平分ABC ∠和ADC ∠（已知）,所以EDC ∠=____________,ADC FBA ∠∠=_________ABC ∠（角平分线的定义）. 又因为ADC ABC ∠=∠（已知）,所以∠___________FBA =∠（等量代换）. 因为//AB DC （已知）,所以AED EDC ∠=∠（______________）.所以∠______=∠_______（等量代换）.所以//ED BF （______________）.10.如图,已知180,B BCD B D ︒∠+∠=∠=∠.请你观察图形,写出E ∠和DFE ∠满足什么数量关系？并说明理由.知识点2 利用平行线的性质与判定解决实际问題11.如图所示,要在一条公路的两侧铺设平行管道,已知一侧铺设的角度为120,为使管道对接,另一侧铺设的角度大小应为（）A.120︒B.100︒C.80︒D.60︒12.如图,在,A B两地挖一条笔直的水渠,从A地测得水渠的走向是北偏西42,,A B 两地同时开工,B地所挖水渠走向应为南偏东_________.13.一条建设中的高速公路要穿过一山体开挖一条隧道,甲、乙两工程队分别从山体两侧的,A B两点同时开工,现甲队从A点测得道路的走向是北偏东55,为了不浪费人力、物力,问乙队在B点处应该按β∠等于多少度开挖,才能够保证隧道准确接通？14.如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在B处的北偏东80°方向.（1）求∠ABC的度数；（2）要使CD∥AB,D处应在C处的什么方向？15.如图,已知CD⊥AB,GF⊥AB,∠B=∠ADE,试说明∠1=∠2.16.如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,求证：（1）∠4=∠DAC；（2）AD∥BE.参考答案1、B 2.C 3.D4.答案：C解析：∵a ∥b,∴∠1=∠2,∵∠1=58°,∴∠2=58°,故选C.5.答案：C解析：∵EB ∥FD,∴∠BAG=∠2=50°,∵AG 平分∠BAC,∴∠GAC=∠BAG=50°,∴∠1=180°-∠BAG-∠GAC=80°,故选C.6.答案：C解析：根据题意可知∠2+∠3=60°,因为∠2=44°,所以∠3=16°,再根据直尺的对边平行,可知∠1=∠3=16°.7.120 8.平行 9.12 12EDC 两直线平行,内错角相等 FBA AED 同位角相等,两直线平行10.解：E DFE ∠=∠.理由如下：因为180,B BCD B D ︒∠+∠=∠=∠,所以180D BCD ︒∠+∠=.所以//AD BE .所以E DFE ∠=∠.11.D 12.4213.解：因为指北方向平行,且,A B 两点走向形成一条直线,即//CA DB ,所以a ∠和β∠就构成了一对同旁内角.所以180a β︒∠+∠=,即18055125β︒︒︒∠=-=.因此,乙队在B 点处应该按125β︒∠=开挖.14.答案：见解析解析：（1）如图,由题意,得∠FAB=45°.因为AF ∥BE,所以∠FAB=∠ABE=45°,因为∠EBC=80°,所以∠ABC=35°.（2）D处在C处的南偏西45°方向.理由如下：如图,因为CG∥BE,所以∠GCB=∠EBC=80°.因为∠GCD=45°,所以∠BCD=35°,所以∠ABC=∠BCD=35°,所以CD∥AB.15.答案：见解析解析：证明：∵∠B=∠ADE（已知）,∴DE∥BC（同位角相等,两直线平行）,∴∠1=∠DCB（两直线平行,内错角相等）.∵CD⊥AB,GF⊥AB,∴∠BDC=90°,∠BFG=90°, ∴CD∥FG（同位角相等,两直线平行）,∴∠2=∠DCB（两直线平行,同位角相等）.∴∠1=∠2（等量代换）.16.答案：见解析解析：证明：（1）∵AB∥CD,∴∠4=∠BAF.∵∠1=∠2,∴∠BAF=∠1+∠CAF=∠2+∠CAF=∠DAC,∴∠4=∠DAC.（2）∵∠4=∠DAC,∠3=∠4,∴∠3=∠DAC,∴AD∥BE.。

5.(2021学年学科教研组汇编编写)3.1 平行线的性质一课一练·基础闯关题组平行线的性质1.(2020·长沙中考)如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为( )A.60°B.70°C.80°D.110°【解析】选B.∵直线a∥b，∴∠3=∠1=110°，∴∠2=180°-∠3=180°-110°=70°.2.(2020·滨州中考)如图，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC，∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是( )A.∠BAO与∠CAO相等B.∠BAC与∠ABD互补C.∠BAO与∠ABO互余D.∠ABO与∠DBO不等【解析】选D.∵AO，BO分别是∠BAC，∠ABD的平分线，∴∠BAO=∠CAO，∠ABO=∠DBO.∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°.因此∠BAO，∠CAO中的任一角与∠ABO，∠DBO中任一角的和都是90°. 因此A，B，C正确，D项错误.【规律总结】平行线中的一些重要结论1.两条平行线被第三条直线所截，一对同位角的角平分线互相平行.2.两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行.3.两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直.3.(2020·杭州期中)如图，将一条两边互相平行的纸带按图所示折叠，则∠α的度数等于( )A.50°B.60°C.75°D.85°【解析】选C.∵AD∥BC，∴∠2=∠1=30°，∴2∠α+30°=180°，∴∠α=75°.4.(2020·河北一模)如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α，β，则α+β=________.【解析】过点C作CE∥m，∵m∥n，∴CE∥n，∴∠1=∠α，∠2=∠β.∵∠1+∠2=90°，∴α+β=90°.答案：90°5.(2021学年学科教研组汇编编写)如图，DB∥FG∥EC，∠ACE=36°，AP平分∠BAC，∠PAG=12°，求∠ABD 的度数.【解析】∵FG∥EC，∴∠CAG=∠ACE=36°.∴∠PAC=∠CAG+∠PAG=36°+12°=48°.∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠PAC=48°.∵DB∥FG，∴∠ABD=∠BAG=∠BAP+∠PAG=48°+12°=60°.题组平行线的性质与判定综合应用1.(2020·淮安期中)如图，下列结论中不正确的是( )A.若AD∥BC，则∠1=∠BB.若∠1=∠2，则AD∥BCC.若∠2=∠C，则AE∥CDD.若AE∥CD，则∠1+∠3=180°【解析】选A.∵AD∥BC，∴∠1=∠2，选项A不正确.∵∠1=∠2，∴AD∥BC，选项B正确.∵∠2=∠C，∴AE∥CD，选项C正确.∵AE∥CD，∴∠1+∠3=180°，选项D正确.2.(2020·宿迁中考)如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=80°，∠2=100°，∠3=85°，则∠4的度数是( )A.80°B.85°C.95°D.100°【解析】选B.∠1+∠2=80°+100°=180°，所以a∥b，根据两直线平行，内错角相等得∠4=85°.3.(2020·湖州期中)如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2=__________.【解析】∵c⊥a，c⊥b，∴a∥b.∴∠1=∠2.∵∠1=50°，∴∠2=50°.答案：50°4.如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2=____°.【解析】如图，延长AB交l2于点C，∵l1∥l2，∴∠3=∠1=40°，∵∠α=∠β，∴AC∥ED，∴∠2=180°-∠3=180°-40°=140°.答案：1405.(2021学年学科教研组汇编编写)(2020·郯城县月考)如图，∠B=∠ADE，∠DEC=110°，则∠C等于________.【解析】∵∠B=∠ADE，∴DE∥BC.∵∠DEC=110°，∴∠C=180°-110°=70°.答案：70°6.(2020·岱岳区期中)如图，∠ACE=∠FEC，∠EFB=∠A，试说明FB∥AE.【解析】∵∠ACE=∠FEC，∴EF∥AD.∴∠EFB=∠DBF.∵∠EFB=∠A，∴∠DBF=∠A.∴FB∥AE.7.如图，C，D是直线AB上两点，∠1+∠2=180°，DE平分∠CDF，EF∥AB.(1)CE与DF平行吗？为什么？(2)若∠DCE=130°，求∠DEF的度数.【解析】(1)CE∥DF.理由如下：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠DCE=180°，∴∠2=∠DCE，∴CE∥DF.(2)∵CE∥DF，∠DCE=130°，∴∠CDF=180°-∠DCE=180°-130°=50°.∵DE平分∠CDF，∴∠CDE=∠CDF=25°.∵EF∥AB，∴∠DEF=∠CDE=25°.如图，AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.【解析】(1)题图(1)中∠APC=360°-∠PAB-∠PCD，题图(2)中∠APC=∠PAB+∠PCD，题图(3)中∠APC=∠PCD-∠PAB，题图(4)中∠APC=180°-∠PAB+∠PCD.(2)选∠APC=360°-∠PAB-∠PCD加以说明.如图，过点P作AB的平行线PE.因为AB∥CD，所以PE∥CD，所以∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，所以∠PAB+∠PCD+∠APE+∠CPE=360°，所以∠APC=360°-∠PAB-∠PCD.【母题变式】如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF=2∠EAF，∠CDF=2∠EDF.(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由.(2)∠AFD与∠AED之间有怎样的数量关系？【解析】平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线.(1)∠AED=∠BAE+∠CDE.理由如下：如图，过点E作EG∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥CD，∴∠AEG=∠BAE，∠DEG=∠CDE.∵∠AED=∠AEG+∠DEG，∴∠AED=∠BAE+∠CDE.(2)同(1)可得∠AFD=∠BAF+∠CDF.∵∠BAF=2∠EAF，∠CDF=2∠EDF，∴∠BAE+∠CDE=∠BAF+∠CDF==∠AFD，∴∠AED=∠AFD.励志名言学习不一定成功，不学习一定不能成功。

5.3平行线的性质小练习一、选择题1．如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4度数是（）A．80°B．85°C．95°D．100°2．如图，∠1＝∠2，∠DAB＝∠BCD．给出下列结论：①AB∥DC；②AD∥BC；③∠B＝∠D；④∠D＝2∠DAB．其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列说法正确的是（）A．同旁内角互补B．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．对顶角相等D．一个角的补角一定是钝角4．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）5．在同一平面内，下列说法中正确的是（）A．过一点有无数条直线与已知直线垂直B．一条直线的平行线有且只有一条C．若直线a∥b，a⊥c，则b⊥cD．若两条线段不相交，则它们互相平行6．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c 的距离为1cm，则a与c的距离为（）A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm 7．如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形（不包括△ABD）有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．在同一平面内的三条直线a，b和c，如果a∥b，a与b的距离是2cm，并且b上的点P到直线c的距离也是2cm，那么b与c的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．不一定二、填空题9．直线a，b，c是三条平行线，已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为．10．命题：“内错角相等，两直线平行”的题设是，结论是．11．如图∠1＝82°，∠2＝98°，∠3＝80°，则∠4＝度．12．如图，若∠1+∠2＝180°，∠3＝110°，则∠4＝．三、解答题13．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．证明：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，∴∠1＝∠ABC，∠2＝．∴∥．（）14．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果…，那么…”的形式．（1）两直线平行，内错角相等；（2）三角形内角和等于180°．15．如图，有三个论断①∠1＝∠2；②∠B＝∠D；③∠A＝∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．16．已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．证明：∵∠1＝∠2（已知），又∠1＝∠DMN（），∴∠2＝∠（等量代换），∴DB∥EC（），∴∠DBC+∠C＝180°（两直线平行，），∵∠C＝∠D（），∴∠DBC+ ＝180°（等量代换），∴DF∥AC（，两直线平行），∴∠A＝∠F（）17．如图，如果∠B+∠E+∠D＝360°，那么AB、CD有怎样的关系？为什么？解：过点E作EF∥AB①，如图（b），则∠ABE+∠BEF＝180°，（）因为∠ABE+∠BED+∠EDC＝360°（）所以∠FED+∠EDC＝°（等式的性质）所以FE∥CD②（）由①、②得AB∥CD（）．（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件时，有AB∥CD．（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件时，有AB∥CD．。

（时间：25分，满分60分）班级 姓名 得分1．（6分）如图，四边形ABCD 中，点E 在AB 延长线上，则下列条件中不能判断AB ∥CD 的是（ ）A ．∠3=∠4B ．∠1=∠2C ．∠5=∠CD ．∠1+∠3+∠A=180°【答案】A ．考点：平行线的判定2．（6分）如图，点E 在BC 的延长线上，则下列条件中，不能判定AB ∥CD 的是( )4321E DC B AA. ∠B=∠DCEB. ∠3=∠4C.∠1=∠2.D.∠D+∠DAB=180°【答案】B ．【解析】试题分析：根据同位角相等，两直线平行，可知∠B=∠DCE 能判定AB ∥CD ；根据内错角相等，两直线平行，可知∠1=∠2能判定AB ∥CD ；根据同旁内角互补，两直线平行，可知∠D+∠DAB=180°能判定AB∥CD；而∠3=∠4可判定AD∥BE.故选：B考点：平行线的判定3．（6分）如下图，如果∠AFE+∠FED＝180°，那么（）A．AC∥DE B．AB∥FE C．ED⊥AB D．EF⊥AC【答案】A【解析】试题分析：根据同旁内角互补，两直线平行可以得出答案.考点：平行线的判定4．（6分）如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（）A．34° B．56°C．66° D．54°【答案】B考点：平行线的性质．5．（6分）如图，a∥b，将﹣块三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1=42°，则∠2的度数为（）A．46° B．48° C．56° D．72°【答案】B.【解析】试题分析：求出∠3，根据平行线的性质得出∠2=∠3，代入求出即可．如图：∵∠1=42°，∴∠3=90°﹣42°=48°，∵a∥b，∴∠2=∠3，∴∠2=48°考点：平行线的性质．6．（6分）如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，则∠B等于（）A．18° B．36° C．45° D．54°【答案】B．考点：平行线的性质．7．（12分）在一副三角板ABC和DEF中，(1)、当AB∥CD，如图①。

第03讲平行线的性质【题型1 利用平行线性质求角度】【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】【题型4 平行线性质的实际应用】【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】【题型6 命题的判定】【题型7 真假命题的判断】【题型8 命题的改写】【题型9 命题的证明过程】考点1：平行线性质性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。

几何语言：∵a∥b∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。

几何语言：∵a∥b∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

几何语言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）【题型1 利用平行线性质求角度】【典例1】（2023秋•涟源市期末）如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】C【解答】解：如图所示，∵m∥n，∴∠CAD+∠1＝180°，∴∠1+∠BAC+∠2＝180°∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∵∠1＝50°，∴50°+90°+∠2＝180°，∴∠2＝40°，故选：C．【变式1-1】（2022秋•芮城县期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（ ）A．122°B．120°C．118°D．115°【答案】A【解答】解：延长DC交AE于点F，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DFE＝94°，∵∠DCE是△CEF的一个外角，∴∠DCE＝∠DFE+∠E＝122°，故选：A．【变式1-2】（2022秋•白银期末）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝85°，则∠2＝（ ）A．15°B．85°C．95°D．115°【答案】C【解答】解：如图，根据生活意义，得到a，∴∠3＝∠1＝85°；∵∠3+∠2＝180°，∴∠3＝95°．故选：C．【变式1-3】（2023秋•前郭县期中）如图，把一根铁丝折成图示形状后，AB∥DE，若∠D＝30°，∠DCB＝80°，则∠B等于（ ）A．60°B．80°C．100°D．130°【答案】D【解答】解：∵∠D＝30°，∠DCB＝80°，∴∠E＝80°﹣30°＝50°．∵AB∥DE，∴∠B＝180°﹣∠E＝130°．故选：D．【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】【典例2】（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O 在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）A．15°B．25°C．35°D．45°【答案】B【解答】解：过B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，∵∠ABO＝45°，∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，∴∠2＝∠ABK＝25°．故选：B．【变式2-1】（2022秋•新绛县期末）将等腰直角三角形和直尺按图中方式叠放在一起，若∠1＝76°，则∠2的度数为（ ）A．14°B．31°C．36°D．76°【答案】B【解答】解：∵尺子的对边平行，∴∠4＝∠3，∵∠＝76°，∴∠3＝180°﹣90°﹣76°＝14°，∴∠4＝∠14°，∴∠2＝45°﹣14°＝31°．故选：B．【变式2-2】（2022秋•邓州市期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°15′，则∠2的大小为（ ）A．60°15′B．39°45′C．29°85′D．29°45′【答案】D【解答】解：如图，由直尺两边平行，可得：∠1＝∠3＝60°15'，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°15'＝29°45'，故选：D．【变式2-3】（2022秋•淇县期末）如图，将直尺与含45°角的直角三角形叠放在一起，若∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，∠2＝35°，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°，∵直尺对边平行，∴∠1＝∠3＝55°．故选：C．【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】【典例3】（2023秋•蕲春县期中）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E．若∠CBD＝35°，则∠ADE的度数为（ ）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】B【解答】解：由折叠的性质可得，∠CDB＝∠EDB，∵AD∥BC，∠CBD＝35°，∴∠CBD＝∠ADB＝35°，∵∠C＝90°，∴∠CDB＝55°，∴∠EDB＝55°，∴∠ADE＝∠EDB﹣∠ADB＝55°﹣35°＝20°，故选：B．【变式3-1】（2023秋•长治期中）如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BFD′的度数为（ ）A．112°B．116°C．138°D．148°【答案】B【解答】解：∵∠EFB＝32°，∴∠EFD＝180°﹣∠BFE＝148°，∴∠EFD′＝∠EFD＝148°，∴∠BFD′＝∠EFD′﹣∠BFE＝148°﹣32°＝116°，故选：B．【变式3-2】（2023秋•临渭区期中）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的点D′处，点C落在点C′处，若∠AD′M＝50°，则∠MNB的度数为（ ）A．40°B．70°C．80°D．100°【答案】B【解答】解：∵在正方形ABCD中，∠A＝90°，∴∠AMD′＝90°﹣∠AD′M＝90°﹣50°＝40°∴∠DMD′＝180°﹣∠AMD′＝180°﹣40°＝140°，由折叠可得，∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠MNB＝∠DMN＝70°．故选：B．【变式3-3】（2023秋•桥西区期中）如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（ ）A．74°B．106°C．122°D．148°【答案】B【解答】解：∵∠1＝32°，∠AMA1+∠1+∠DMD1＝180°，∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣32°＝148°．∴∠BMA1+∠CMD1＝74°．∴∠BMC＝∠BMA1+∠CMD1+∠1＝74°+32°＝106°．故选：B【题型4 平行线性质的实际应用】【典例4】（2023•广西）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是（ ）A．160°B．150°C．140°D．130°【答案】D【解答】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∴AC∥BD，∴∠B＝∠A＝130°．故选：D．【变式4-1】（2023春•鸡西期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°．第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠C的度数（ ）A．160°B．150°C．140°D．135°【答案】A【解答】解：如图，延长AB，交DC延长线于点E，由题意得，AF∥DE，∴∠A＝∠E＝130°，∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝30°，∴∠BCD＝∠CBE+∠E＝30°+130°＝160°．故选：A．【变式4-2】（2023春•西安期末）如图是自来水公司安装的一条自来水管道，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，∠BCD等于（ ）A．45°B．40°C．35°D．30°【答案】B【解答】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠BCF＝∠ABC＝80°，∠CDE+∠DCF＝180°，∵∠CDE＝140°，∴∠DCF＝40°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝40°．故选：B．【变式4-3】（2023春•渠县校级期末）如图是中国机器人创意设计大赛中一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径；机器人从A点出发，到达B点，第一次拐的∠B是140°，第二次拐的∠C是100°，第三次拐的角是∠D，这时机器人行走的路径恰好和出发时行走的路径平行，那么∠D的度数是（ ）A．100°B．120°C．140°D．90°【答案】B【解答】解：过点C作FC∥AB，由题意可得：AB∥FC∥ED，则∠B+∠1＝180°，∠2+∠D＝180°，故∠B+∠1+∠2+∠D＝360°，即∠B+∠BCD+∠D＝360°，则∠D＝360°﹣140°﹣100°＝120°．故选：B．【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】【典例5】（2023秋•文山市期末）如图，已知∠BAD＝∠BDA，AD平分∠BDC．（1）求证：AB∥CD；（2）若AD⊥AC，∠C＝70°，求∠B的度数．【答案】（1）证明见解答过程；（2）140°．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDC，∴∠BDA＝∠ADC，∵∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝∠ADC，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠BDC＝180°，∵AD⊥AC，∠C＝70°，∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝180°﹣70°﹣90°＝20°，∴∠BDC＝2∠BDA＝2∠BAD＝40°，∴∠B＝180°﹣∠BDC＝180°﹣40°＝140°．【变式5-1】（2022秋•汝州市期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）请说明：AB∥CD；（2）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，又∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD；（2）解：∵∠GHD＝∠EHF＝80°，∠D＝30°，∴∠CGF＝∠GHD+∠D＝80°+30°＝110°，又∵CE∥GF，∴∠C+∠CGF＝180°，∴∠C＝180°﹣110°＝70°，又∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C＝70°，∴∠AEM＝180°﹣70°＝110°．【变式5-2】（2023春•石城县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°【变式5-3】（2023秋•香坊区校级期中）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD与EC平行吗？请说明理由．（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝76°，求∠FAB的度数．【答案】（1）AD与EC平行，理由见解析；（2）∠FAB＝52°．【解答】（1）AD与EC平行，证明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝76°，∴∠BDC＝76°，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC＝∠BDC＝38°（角平分线定义），∴∠2＝∠ADC＝38°（已证），又∵DA⊥FA，AD∥CE，∴CE⊥AE，∴∠AEC＝90°（垂直定义），∵AD∥CE（已证），∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等），∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣38°＝52°．考点2：：命题【题型6 命题的判定】【典例6】（2022秋•白银期末）下列语句是命题的是（ ）A．你喜欢数学吗？B．小明是男生C．大庙香水梨D．加强体育锻炼【答案】B【解答】解：A、不是命题，故该项错误，不符合题意；B、是命题，故该项正确，符合题意；C、不是命题，故该项错误，不符合题意；D、不是命题，故该项错误，不符合题意；故选：B．【变式6-1】（2022秋•耒阳市期末）下列语句中不是命题的是（ ）A．两点之间线段最短B．连接ABC．锐角都相等D．两条直线不是相交就是平行【答案】B【解答】解：A、对一件事情做出判定，故是命题；B、因为这是一个陈述句，没有对一件事情做出判定，故不是命题，符合题意；C、对一件事情做出判定，故是命题；D、对一件事情做出判定，故是命题；故选：B．【变式6-2】（2022秋•余姚市期末）下列语言叙述是命题的是（ ）A．画两条相等的线B．等于同一个角的两个角相等吗？C．延长线段AO到C，使OC＝OAD．两直线平行，内错角相等【答案】D【解答】解：A、画两条相等的线，没有做错判断，不是命题；B、等于同一个角的两个角相等吗？没有做错判断，不是命题；C、延长线段AO到C，使OC＝OA，没有做错判断，不是命题；D、两直线平行，内错角相等，是命题；故选：D．【题型7 真假命题的判断】【典例7】（2023春•翁源县期末）下列各命题的逆命题是假命题的是（ ）A．两直线平行，同旁内角互补B．若两个数a+b＝0，则这两个数为相反数C．对顶角相等D．如果a2＝b2，那么a＝b【答案】C【解答】解：A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；B、逆命题为如果两个数互为相反数，那么a+b＝0，是真命题，不符合题意；C、逆命题为相等的角为对顶角，是假命题，符合题意；D、逆命题为如果a＝b，那么a2＝b2，是真命题，不符合题意．故选：C．【变式7-1】（2022秋•项城市期末）下列四个命题中，真命题有（ ）①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②实数与数轴上的点是一一对应的；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本小题说法是假命题；②实数与数轴上的点是一一对应的，本选项说法是真命题；③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故本小题说法是假命题；④平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称，本小题说法是真命题；故选：B．【变式7-2】（2023秋•农安县期末）在下列各命题中，是假命题的是（ ）A．在一个三角形中，等边对等角B．全等三角形的对应边相等C．同旁内角相等，两直线平行D．等角的补角相等【答案】C【解答】解：A、在一个三角形中，等边对等角，正确，是真命题，不符合题意；B、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，不符合题意；C、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，符合题意；D、等角的补角相等，正确，是真命题，不符合题意．故选：C．【变式7-3】（2022秋•鄄城县期末）下列四个命题中，是真命题的是（ ）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2C．三角形的一个外角大于任何一个内角D．无限小数都是无理数【答案】B【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题不是真命题；B、如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，是真命题；C、三角形的一个外角大于不相邻的内角，故原命题不是真命题；D、无限不循环小数都是无理数，故原命题不是真命题；故选：B．【变式7-4】（2022秋•金安区期末）下列命题是真命题的是（ ）A．若a＜b，b＞c，则a＜c B．若a＜b，则ac＜bcC．若a≠b，则ac≠bc D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c【答案】D【解答】解：若a＝2，b＝3，c＝1，满足a＜b，b＞c，但不能得到a＜c，故A是假命题，不符合题意；若c＜0，当a＜b时，有ac＞bc，故B是假命题，不符合题意；若c＝0，当a≠b时，有ac＝bc，故C是假命题，不符合题意；若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D是真命题，符合题意；故选：D．【题型8 命题的改写】【典例8】（2022秋•辉县市期末）把命题“全等三角形对应边的高相等”改写成“如果…那么…”的形式是　如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等　．【答案】见试题解答内容【解答】解：命题“全等三角形对应边的高相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等．故答案为如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等．【变式8-1】（2023•零陵区模拟）命题“等边对等角”的逆命题是“　等角对等边　”．【答案】见试题解答内容【解答】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；故答案为：等角对等边．【变式8-2】（2023秋•成武县期中）将命题“两个锐角的和是钝角”改写成“如果……那么……”的形式是　如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角　．【答案】如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角．【解答】解：如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角．故答案为：如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角．【变式8-3】（2023秋•蜀山区期中）已知命题：“对顶角相等．”写出它的逆命题：　如果两个角相等，那么这两个角是对顶角　．【答案】见试题解答内容【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．【题型9 命题的证明过程】【典例9】（2022秋•新田县期末）如图，已知点A、D、C、F在同直线上，有下列关系式：①AB＝DE，②BC＝EF，③AD＝CF，④∠B＝∠E．（1）请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果　①②③　，那么　④　．（填写序号）（2）证明（1）中命题的正确性．【答案】（1）①②③，④；（2）见解析．【解答】（1）解：①②③，④（答案不唯一，或者①②④，③）（2）证明：∵AD＝CF，∴AD+DC＝CF+DC，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠E．【变式9-1】（2022秋•川汇区期末）如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③AC＝BC．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．【答案】见解析．【解答】解：选择①②作为条件，③作为结论，命题正确，理由如下：∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD，∵CE平分∠DCA，∴∠ECA＝∠ECD，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC．【变式9-2】（2023春•西华县期末）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．（1）请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式：　在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行　．（2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．已知：如图，a⊥l，　b⊥l　．求证：　a∥b　．【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．（2）b⊥l，a∥b．【解答】（1）答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．（2）证明：∵a⊥l，b⊥l，∴∠1＝∠2＝90°，∴a∥b．故答案为：b⊥l，a∥b．【变式9-3】（2023春•宿迁期末）如图，点F、D在△ABC的边BC上，点E、G分别在AB、AC上．请你从三个选项：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC，③EF∥AD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．【答案】条件是：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC；结论是③EF∥AD，证明过程见解答．【解答】解：条件是：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC；结论是③EF∥AD，证明：∵∠DGC＝∠BAC，∴DG∥AB，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠BAD＝180°，∴EF∥AD，一．选择题（共10小题）1．（2023•城中区校级开学）下列命题中正确的是（ ）A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直B．互补的两个角是邻补角C．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥cD．两直线平行，同旁内角相等【答案】A【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，正确，符合题意；B、互补的两个角不一定是邻补角，故原命题错误，不符合题意；C、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故原命题错误，不符合题意；D、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意．故选：A．2．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）A．135°B．125°C．115°D．65°【答案】C【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠1＝65°，∴∠3＝∠1＝65°，∴∠2＝180°﹣∠3＝115°．故选：C．3．（2023春•凤城市期中）下列说法：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④同旁内角相等，两直线平行．正确的个数有（ ）个．A．1B．2C．3D．4【答案】A【解答】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题正确；②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误；④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误．故选：A．4．（2023•柘城县模拟）如图，∠ECD＝50°，点M是EC上一点，过点M作AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMF的度数为（ ）A．60°B．55°C．70°D．65°【答案】D【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EMB＝∠ECD＝50°，∴∠AME＝180°﹣∠EMB＝180°﹣50°＝130°，∵MF平分∠AME，∴∠AMF＝65°．故选：D．5．（2023春•房山区期末）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：选项A中的∠1和∠2是由直线AB与CD被第三条直线所截的一组同位角，∴由AB∥CD，可以得到∠1＝∠2；选项B中∠1和∠2是由直线AB与CD被第三条直线所截的一组同旁内角，∴由AB∥CD，不能得到∠1＝∠2；选项C中∠1和∠2是由直线AD与BC被直线AC所截的一组内错角，∴由AB∥CD，不能得到∠1＝∠2；选项C中∠1和∠2是由直线AD与BC被直线DC所截的一组同旁内角，∴由AB∥CD，不能得到∠1＝∠2．故选：A．6．（2023•枣庄二模）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E恰好落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为（ ）A．10°B．15°C．25°D．30°【答案】B【解答】解：∵FD∥BC，∴∠FDB＝∠ABC＝60°，又∵∠FDE＝45°，∴∠BDE＝60°﹣45°＝15°，故选：B．7．（2023•林州市模拟）如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝25°，则∠ADE为（ ）A．75°B．55°C．65°D．60°【答案】C【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠CBF＝25°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝65°，∵DE∥BF，∴∠ADE＝∠ABF＝65°，故选：C．8．（2023春•龙岗区校级期末）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠2+∠4＝90°；（3）∠3＝∠4；（4）∠4+∠5＝180°；（5）∠1+∠3＝90°．其中正确的共有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】A【解答】解：如图，根据题意得：AB∥CD，∠FEG＝90°，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4+∠5＝180°，∠2+∠4＝90°；故（1），（2），（3），（4）正确；∴∠1+∠3＝90°．故（5）正确．∴其中正确的共有5个．故选：A．9．（2023春•古田县期中）若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+10）°，∠β＝（3x ﹣20）°，则∠α的度数为（ ）A．70°B．70°或86°C．86°D．30°或38°【答案】B【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+10）°，∠β＝（3x﹣20）°，∴（2x+10）+（3x﹣20）＝180或2x+10＝3x﹣20，x＝38或30当x＝38时，∠α＝86°，当x＝30时，∠α＝70°，故选：B．10．（2023春•兴业县期中）将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝60°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．正确的有（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解答】解：∵∠1+∠2＝90°，∠2＝30°，∴∠1＝60°，∴∠CAD＝∠1+∠EAD＝150°，∵∠D＝30°，∴∠CAD+∠D＝180°，∴①的结论正确；∵∠BAE＝90°﹣∠1，∠CAD＝90°+∠1，∴∠BAE+∠CAD＝180°，∴②的结论正确；∵BC∥AD，∴∠3＝∠B＝45°．∴∠2＝90°﹣∠3＝45°．∴③的结论错误；∵∠CAD＝150°，∠D＝30°，∴∠CAD+∠D＝180°，∴AC∥DE．∴∠4＝∠C．∴④的结论正确．综上所述，正确的结论有：①②④，故选：B．二．填空题（共6小题）11．（2022秋•尧都区期末）如图，学生使用的小刀，刀身是长方形，刀片的上下边沿是平行的，刀片转动时会形成∠1和∠2，则∠1+∠2＝　90°　．【答案】90°．【解答】解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1＝∠AOP．∵AB∥CD，OP∥AB，∴∠2＝∠POC，∵∠AOP+∠POC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90°．12．（2023秋•农安县期末）“若ab＞0，则a＞0，b＞0”　是　命题（选填“是”或“不是”）．【答案】是．【解答】解：若ab＞0，则a＞0，b＞0是命题，故答案为：是．13．（2022秋•邳州市校级期末）如图，D为△ABC中BA延长线上一点，AE∥BC，若∠1＝∠2，∠BAC＝36°，则∠B＝　72　°．【答案】72．【解答】解：∵∠BAC＝36°，∠1+∠2+∠BAC＝180°，∴∠1+∠2＝144°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝72°，∵AE∥BC，∴∠1＝∠B，∴∠B＝72°，故答案为：72．14．（2023春•宣恩县期中）命题“内错角相等，两直线平行”是　真　（填“真”或“假”）命题．【答案】见试题解答内容【解答】解：“内错角相等，两直线平行”是真命题．故答案为：真．15．（2023秋•江都区期中）如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m、n于点B，C，连接AB，BC．若∠1＝40°，则∠ABC＝　70　°．【答案】70．【解答】解：∵m∥n，∴（∠1+∠2）+∠3＝180°，∵AB＝AC，∴∠2＝∠3，∵∠1＝40°，∴40°+2∠2＝180°，解得∠2＝70°，即∠ABC＝70°，故答案为：70．16．（2022秋•城关区期末）如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D 分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　72　°．【答案】72．【解答】解：∵AD∥CB，∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．∵∠H＝∠D＝90°，∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，∴∠GMN＝72°．故答案为：72．三．解答题（共3小题）17．（2022秋•汉台区期末）如图，AB∥EF，点G在EF上，B、C、G三点在同一条直线上，且∠1＝60°，∠2＝60°．求证：CD∥EF．【答案】见解答过程．【解答】证明：∵∠1＝60°，∠2＝60°，∴AB∥CD，∵AB∥EF，∴CD∥EF．18．（2023秋•长春期末）【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．将下列证明过程补充完整：证明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠　DCE　（角平分线的定义），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠　DCE　（等量代换），∴AB∥CD（　内错角相等，两直线平行　）．【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．【答案】见试题解答内容【解答】【感知】解：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠DCE（角平分线的定义），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠DCE（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：DCE；DCE；内错角相等，两直线平行；【探究】证明：∵CE平分∠ACD，∴∠2＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE，∴∠1＝∠2；【应用】∵BE平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE，∵AE∥BC，∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，∵∠ABC：∠BAE＝4：5，∴∠ABC＝80°，∴∠CBE＝40°，∴∠E＝∠CBE＝40°．19．（2022秋•禅城区期末）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB 上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．【答案】（1）见解答；（2）36°．【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，又∵∠FDE＝∠A，∴∠DFB＝∠FDE，∴DE∥AB；（2）设∠EDC＝x°，∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，由（1）可知DE∥BA，∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，∴x＝36，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝36°．。

专题5.4 平行线的判定与性质【典例1】如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∠BC；（2）若FP∠AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．【思路点拨】E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∠FP，进而可证明结论；（3）根据同旁内角互补可判定AB∠FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．【解题过程】E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∠∠E＝∠BQM，∠EF∠BC；（2）证明：∠FP∠AC，∠∠PGC＝90°，∠EF∠BC，∠∠EAC+∠C＝180°，∠∠2+∠C＝90°，∠∠BAC＝∠PGC＝90°，∠AB∠FP，∠∠1＝∠B；（3）解：∠∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∠∠3+∠MNF＝180°，∠AB∠FP，∠∠F+∠BAF＝180°，∠∠BAF＝3∠F﹣20°，∠∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∠AB∠FP，EF∠BC，∠∠B＝∠1，∠1＝∠F，∠∠B＝∠F＝50°．1．（2021•鞍山一模）如图，∠1＝∠2＝∠3＝56°，则∠4的度数是（）A．56°B．114°C．124°D．146°【思路点拨】根据对顶角相等得到∠2＝∠5，结合∠1＝∠2，得到∠1＝∠5，即可判定l1∠l2，根据平行线的性质得出∠6＝56°，再根据邻补角的定义求解即可．【解题过程】解：如图，∠∠1＝∠2，∠2＝∠5，∠∠1＝∠5，∠l1∠l2，∠∠3＝∠6，∠∠3＝56°，∠∠6＝56°，∠∠4+∠6＝180°，∠∠4＝180°﹣56°＝124°，故选：C．2．（2021•雁塔区校级模拟）如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1＝∠2＝36°，则∠3＝（）A．36°B．52°C．72°D．80°【思路点拨】由平行线的判定定理可得AC∠DE，由平行线的性质可得∠ACB＝∠3，由平分线的定义可得∠ACB＝2∠1＝72°，即得∠3的度数．【解题过程】解：∠∠1＝∠2＝36°，∠AC∠DE，∠∠ACB＝∠3，∠CD平分∠ACB，∠∠ACB＝2∠1＝72°，∠∠3＝72°．故选：C．3．（2021春•单县期末）如图，AB∠BC于点B，DC∠BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（）∠∠BAD+∠ADC＝180°；∠AF∠DE；∠∠DAF＝∠F．A．3个B．2个C．1个D．0个【思路点拨】∠证明AB∠CD，可做判断；∠根据平行线的判定和性质可做判断；∠根据AF∠ED得内错角相等和同位角相等，再由角平分线的定义得∠ADE＝∠CDE，从而可做判断．【解题过程】解：∠∠AB∠BC，DC∠BC，∠AB∠CD，∠∠BAD+∠ADC＝180°，故∠正确；∠∠AB∠CD，∠∠AFD+∠BAF＝180°，∠∠BAF＝∠EDF，∠∠AFD+∠EDF＝180°，∠AF∠DE，故∠正确；∠∠AF∠ED，∠∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，∠DE平分∠ADC，∠∠ADE＝∠CDE，∠∠DAF＝∠F，故∠正确；故选：A．4．（2021春•德宏州期末）如图所示，AC∠BC，DC∠EC，则下列结论：∠∠1＝∠3；∠∠ACE+∠2＝180°；∠若∠A＝∠2，则有AB∠CE；∠若∠2＝∠E，则有∠4＝∠A．其中正确的有（）A．∠∠∠B．∠∠∠C．∠∠D．∠∠∠∠【思路点拨】由已知可得∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，等量代换即可得出∠结论；延长EC，如图1，由已知条件可得∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，可得∠2＝∠5，根据平角的性质可得∠ACE+∠5＝180°，等量代换即可得出∠结论；由已知条件可得∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，等量代换可得∠A+∠ACE＝180°，根据平行线的判定即可得出∠结论；由平行线的性质可得∠E＝∠4，由已知条件∠2＝∠E，∠2＝∠A，等量代换可得∠4＝∠A．即可得出∠结论．【解题过程】证明：∠AC∠BC，DC∠EC，∠∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∠∠1＝∠3．故结论∠正确；延长EC，如图1，∠DC∠CE，AC∠BC，∠∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，∠∠2＝∠5，∠∠ACE+∠5＝180°，∠∠ACE+∠2＝180°．故结论∠正确；∠∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，∠∠A+∠ACE＝180°，∠AB∠CE．故结论∠正确；∠AB∠CE，∠∠E＝∠4，∠∠2＝∠E，∠2＝∠A，∠∠4＝∠A．故结论∠正确．所以结论正确的有∠∠∠∠．故选：D．5．（2021春•汉川市期末）如图，AD∠BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，∠EAD∠EAD+∠ECD；∠若和∠ECD的角平分线交于点P．下列三个结论：∠AB∠CD；∠∠AOC=12∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠D＝80°．其中结论正确的个数有（）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】∠EAD，∠E＝∠根据平行线的性质与判定即可判断；∠∠AOC＝∠EAP+∠E，而∠EAP==12∠ECD，即可判断；∠利用平行线的性质和角平分线定义即可判断．【解题过程】解：∠AD∠BC，∠∠BAD+∠B＝180o，∠∠B＝∠D，∠∠BAD+∠D＝180o，∠AB∠CD，故∠正确；∠AB∠CD，∠∠ECD＝∠E，∠AP平分∠EAD，∠EAD∠∠EAP=12∠∠AOC＝∠EAP+∠E，∠∠AOC=1∠EAD+∠ECD，故∠正确；2∠∠ECD＝∠E＝60o，∠CP平分∠ECD，∠ECD＝30°，∠∠ECP=12∠∠APC＝70°，∠AOE＝∠COP，∠∠EAP＝40°，∠AP平分∠EAD，∠∠EAD＝2∠EAP＝80°，∠AB∠CD，∠∠D＝∠EAD＝80°，故∠正确；故选：D．6．（2021春•夏津县期末）如图，CB平分∠ACD，∠2＝∠3，若∠4＝60°，则∠5的度数是．【思路点拨】由∠2与∠3间关系，可得到AB与CD的位置关系，利用角平分线的性质和平行线的性质可求得∠5度数．【解题过程】解：∠CB平分∠ACD，∠ACD．．∠∠1＝∠2=12∠∠2＝∠3，∠AB∠CD．∠∠5＝∠2，∠4＝∠ACD＝60°．∠∠5＝∠2＝30°．故答案为：30°．7．（2021秋•嵩县期末）如图，AE∠CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD∠BC，下列结论：∠BC平分∠ABG；∠AC∠BG；∠与∠DBE互余的角有2个；∠若∠A＝α，则∠BDF＝180°−α．其中正确的是．（请把正确结论的序号都填上）8【思路点拨】根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．【解题过程】解：∠CBD＝90°，∠∠ABC+∠EBD＝90°，又∠∠DBG＝∠EBD，∠∠ABC＝∠CBG，∠BC平分∠ABG，∠∠正确，∠∠GBC＝∠ABC＝∠ACB，∠AC∠BG，∠∠正确，∠∠DBE＝∠DBG，∠与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，∠∠错误，∠∠BDF＝180°﹣∠BDG，∠BDG＝90°﹣∠CBG＝90°﹣∠ACB，又∠∠ACB=12×（180°﹣α）＝90°−α2，∠∠BDF＝180°﹣[90°﹣（90°−α2）]＝180°−α2，∠∠错误，故答案为：∠∠．8．（2021春•凤山县期末）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠F．请指出∠A与∠D的数量关系，并说明理由．【思路点拨】根据∠1＝∠2，∠3＝∠2，可得∠1＝∠3，得BF∠CE，根据平行线的性质得∠ABF＝∠C，由∠C ＝∠F，得∠ABF＝∠F，即可得出AC∠DF，得∠A和∠D的数量关系是相等．【解题过程】解：∠A和∠D的数量关系是相等．理由是：如图，∠∠1＝∠2，∠3＝∠2，∠∠1＝∠3，∠BF∠CE，∠∠ABF＝∠C，∠∠C＝∠F，∠∠ABF＝∠F，∠AC∠DF，∠∠A＝∠D．9．（2021春•陇县期末）如图，∠AEM+∠CDN＝180°，EC平分∠AEF．若∠EFC＝62°，求∠C的度数．【思路点拨】根据同角的补角相等可得出∠AEM＝∠CDM，利用“同位角相等，两直线平行”可得出AB∠CD，由“两直线平行，同旁内角互补”及∠EFC＝62°可求出∠AEF＝118°，结合角平分线的定义可求出∠AEC的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠C的度数．【解题过程】解：∠∠CDM+∠CDN＝180°，又∠∠AEM+∠CDN＝180°，∠∠AEM＝∠CDM，∠AB∠CD，∠∠AEF+∠EFC＝180°，∠∠EFC＝62°，∠∠AEF＝118°，∠EC平分∠AEF，∠∠AEC＝59°，∠AB∠CD，∠∠C＝∠AEC＝59°．10．（2021春•江都区校级期中）已知：如图，CD∠AB，FG∠AB，垂足分别为D、G，点E 在AC上，且∠1＝∠2．（1）那么DE与BC平行吗？为什么？（2）如果∠B＝40°，且∠A比∠ACB小10°，求∠DEC的度数．【思路点拨】（1）根据CD∠AB，FG∠AB，可判定CD∠FG，利用平行线的性质可知∠2＝∠BCD，已知∠1＝∠2，等量代换得∠1＝∠BCD，故可证DE与BC平行；（2）根据三角形内角和求出∠ACB＝75°，再根据平行线的性质即可求解．【解题过程】解：（1）DE∠BC，理由如下：∠CD∠AB，FG∠AB，∠CD∠FG．∠∠2＝∠BCD，又∠∠1＝∠2，∠∠1＝∠BCD，∠DE∠BC；（2）∠∠B＝40°，∠ACB﹣10°＝∠A，∠∠ACB+（∠ACB﹣10°）+40°＝180°，∠∠ACB＝75°，由（1）知，DE∠BC，∠∠DEC+∠ACB＝180°，∠∠DEC＝105°．11．（2021春•老河口市期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求证：AD∠CE；（2）若DA平分∠BDC，CE∠AE于E，∠F AB＝55°，求∠1的度数．【思路点拨】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定AB∠CD，得到∠2＝∠ADC，等量代换得出∠ADC+∠3＝180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；（2）由CE∠AE，AD∠CE得出∠DAF＝∠CEF＝90°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC ＝∠2＝35°，再根据角平分线的定义即可得解．【解题过程】（1）证明：∠∠1＝∠BDC，∠AB∠CD，∠∠2＝∠ADC，∠∠2+∠3＝180°，∠∠ADC+∠3＝180°，∠AD∠CE；（2）解：∠CE∠AE于E，∠∠CEF＝90°，由（1）知AD∠CE，∠∠DAF＝∠CEF＝90°，∠∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠F AB，∠∠F AB＝55°，∠∠ADC＝35°，∠DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，∠∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°．12．（2021春•镇江期中）已知：如图所示，∠BAC和∠ACD的平分线交于E，AE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．（1）求证：AB∠CD；（2）试探究∠2与∠3的数量关系，并说明理由．【思路点拨】（1）根据角平分线定义得出∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，根据∠1+∠2＝90°得出∠BAC+∠ACD ＝180°，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠1＝∠3，即可求出答案．【解题过程】（1）证明：∠∠BAC和∠ACD的平分线交于E，∠∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，∠∠1+∠2＝90°，∠∠BAC+∠ACD＝180°，∠AB∠CD；（2）解：∠2+∠3＝90°，理由如下：∠AF平分∠BAC，∠∠BAF＝∠1，∠AB∠CD，∠∠BAF＝∠3，∠∠1＝∠3，∠∠1+∠2＝90°，∠∠2+∠3＝90°．13．（2021秋•禅城区期末）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求证：AB∠CD；（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC＝4∠C，求∠D的度数．【思路点拨】（1）由对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠AEG＝∠C，则可判定AB∠CD；（2）由平角的定义可得∠AGE+∠EGH＝180°，从而可求得∠EGH＝∠AHF，则可判定EC∠BF，则有∠B＝∠AEG，从而可求证；（3）由（2）得BF∠EC，则有∠C+∠BFC＝180°，从而可求∠C的度数，利用三角形的内角和即可求∠D的度数．【解题过程】（1）证明：∠∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，∠∠AEG＝∠C，∠AB∠CD；（2）证明：∠∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，∠∠EGH＝∠AHF，∠EC∠BF，∠∠B＝∠AEG，∠AB∠CD，∠∠C＝∠AEG，∠∠B＝∠C；（3）解：∠BF∠EC，∠∠C+∠BFC＝180°，∠∠BFC＝4∠C，∠∠C+4∠C＝180°，解得∠C＝36°，∠∠C＝∠DGC，∠∠DGC＝36°，∠∠D＝180°﹣∠C﹣∠DGC＝108°．14．（2021秋•南岗区期末）已知：在四边形ABCD中，∠B＝∠D，点E在边BC的延长线上，连接AE交CD于点F，若∠BAF+∠AFC＝180°．（1）如图1，求证：AD∠BC；（2）如图2，过点D作DG∠AE交BE的延长线于点C，若∠G＝∠B，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中除∠B以外的四个与∠G相等的角．【思路点拨】（1）由已知条件可得AB∠CD，从而有∠B＝∠ECD，则可求得∠D＝∠ECD，即可得AD∠BC；（2）利用平行线的性质进行求解即可．【解题过程】（1）证明：∠∠BAF+∠AFC＝180°，∠AB∠CD，∠∠B＝∠ECD，∠∠D＝∠ECD，∠AD∠BC；（2）∠DG∠AE，∠∠G＝∠AEB，由（1）得AD∠BC，∠∠AEB＝∠DAE，∠ADC＝∠DCG，∠∠G＝∠DAE，∠∠B＝∠ADC，∠G＝∠B，∠∠G＝∠ADC＝∠DCG，综上所述，所∠G相等的角有：∠AEB，∠DAE，∠ADC，∠DCG．15．（2021秋•安居区期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．（1）AD与BC平行吗？请说明理由．（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若BE平分∠ABC．试说明：∠∠ABC＝2∠E；∠∠E+∠F＝90°．【思路点拨】（1）由∠ADE+∠BCF＝180°结合邻补角互补，可得出∠BCF＝∠ADC，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出AD∠BC；（2）根据角平分线的定义及∠BAD＝2∠F，可得出∠BAF＝∠F，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出AB∠EF；（3）∠由AB∠EF，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABE＝∠E，结合角平分线的定义可得出∠ABC＝2∠E；∠由AD∠BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠BAD+∠ABC＝180°，再结合∠BAD ＝2∠F，∠ABC＝2∠E可得出∠E+∠F＝90°．【解题过程】解：（1）AD∠BC，理由如下：∠∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∠∠BCF＝∠ADC，（2）AB∠EF，理由如下：∠AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F，∠BAD＝∠F，∠∠BAF=12∠AB∠EF．（3）∠∠ABC＝2∠E，理由如下：∠AB∠EF，∠∠ABE＝∠E．∠BE平分∠ABC，∠∠ABC＝2∠ABE＝2∠E．∠∠E+∠F＝90°，理由如下：∠AD∠BC，∠∠BAD+∠ABC＝180°．∠∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E，∠2∠E+2∠F＝180°，∠∠E+∠F＝90°．16．（2021春•铁西区期末）如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF 的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．（1）请直接写出直线AC与DG的位置关系；（2）求证：BE∠CF；（3）若∠C＝35°，求∠BED的度数．【思路点拨】（1）由对顶角相等可得∠ABF＝∠1，从而有∠ABF＝∠2，即可得AC∠DG；（2）求出∠1＝∠BFG，根据平行线的判定得出AC∠DG，求出∠EBF＝∠BFC，根据平行线的判定得出即可；（3）根据平行线的性质得出∠C＝∠CFG＝∠BEF＝35°，再求出答案即可．【解题过程】解：（1）AC∠DG，理由如下：∠∠ABF＝∠1，∠1＝∠2，∠∠ABF＝∠2，∠AC∠DG；（2）由（1）知AC∠DG，∠∠ABF＝∠BFG，∠∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，∠∠EBF=12∠ABF，∠CFB=12∠BFG，∠∠EBF＝∠CFB，∠BE∠CF．（3）∠AC∠DG，∠C＝35°，∠∠C＝∠CFG＝35°，∠BE∠CF，∠∠CFG＝∠BEG＝35°，∠∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．17．（2021春•广陵区校级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，EP延长线与CD交于点G，点H是MN 上一点，且PF∠GH，试判断直GH与EG的位置关系，并说明理由．【思路点拨】（1）利用邻补角的定义及已知得出∠1＝∠CFE，即可判定AB∠CD；（2）利用（1）中平行线的性质推知∠AEF+∠EFC＝180°，然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF＝90°，即EG∠PF，故结合已知条件PF∠GH，易证GH∠EG；【解题过程】解：（1）AB∠CD，理由如下：∠∠1与∠2互补，∠∠1+∠2＝180°，又∠∠2+∠CFE＝180°，∠∠1＝∠CFE，∠AB∠CD；（2）GH∠EG，理由如下：由（1）知，AB∠CD，∠∠AEF+∠EFC＝180°．又∠∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，∠∠FEP+∠EFP=1（∠BEF+∠EFD）＝90°，2∠∠EPF＝90°，即EG∠PF，∠PF∠GH，∠GH∠EG．18．（2021秋•嵩县期末）图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2．（1）在图1中，证明：∠1＝∠2．（2）图2中，AB，BC是平面镜，入射光线m经过两次反射后得到反射光线n，已知∠1＝30°，∠4＝60°，判断直线m与直线n的位置关系，并说明理由．（3）图3是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？【思路点拨】（1）根据角的关系解答即可；（2）求出∠5+∠6＝180°，根据平行线的判定得出即可；（3）根据平行线的性质和平均的定义得到∠5＝∠6，根据平行线的判定得出即可．【解题过程】（1）证明：∠∠AFE＝∠BFE＝90°，∠θ1＝θ2．（2）解：直线m∠直线n，理由：如图2，∠∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°，∠∠5＝180°﹣∠1﹣∠2＝120°，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4＝60°，∠∠5+∠6＝180°，∠直线m∠直线n；（3）解：∠AB∠CD，∠∠2＝∠3，∠∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，即：∠5＝∠6，∠m∠n．19．（2021秋•上蔡县期末）已知：如图，AB∠CD∠GH，GH过点P．（1）如图1，若∠BAP＝40°，∠DCP＝30°，则∠APC＝（直接写出结果）；（2）如图2，直线MN分别交AB于点E，交CD于点F，点P在线段EF上，点Q在射线FC上．若∠MEB＝110°，∠PQF＝50°，求∠EPQ的度数；（3）如图3，点P在射线FN上，点Q在射线FD上，∠AEF的平分线交CD于点O．若∠PQF= 1∠MEB，试判断OE与PQ是否平行？并说明理由．2（1）依据平行线的性质，即可得到∠APG ＝∠BAP ＝40°，∠CPG ＝∠DCP ＝30，再根据∠APC ＝∠APG +∠CPG 进行计算即可；（2）利用邻补角的定义可得∠BEP ＝180°﹣110°＝70°，利用（1）的结论即可得∠EPQ 的度数； （3）根据对顶角相等以及角平分线的定义可得∠PQF =12∠MEB =12∠AEF ＝∠AEO ，再根据平行线的性质∠AEO ＝∠EOF ，可得∠PQF ＝∠EOF ，根据内错角相等两直线平行即可得OE ∠PQ ．【解题过程】解：（1）∠AB ∠CD ∠GH ，∠∠APG ＝∠BAP ＝40°，∠CPG ＝∠DCP ＝30，∠∠APC ＝∠APG +∠CPG ＝40°+30°＝70°，故答案为：70°；（2）∠∠MEB ＝110°，∠∠BEP ＝180°﹣110°＝70°，由（1）可得：∠EPQ ＝∠EPG +∠QPG ＝∠BEP +∠PQF ＝70°+50°＝120°；（3）OE ∠PQ ．理由：∠∠PQF =12∠MEB ，∠MEB ＝∠AEF ，∠∠PQF =12∠MEB =12∠AEF ，∠EO 平分∠AEF ．∠∠PQF =12∠AEF ＝∠AEO ， ∠AB ∠CD ，∠∠AEO ＝∠EOF ，∠∠PQF ＝∠EOF ，∠OE ∠PQ ．20．（2021春•汉阳区期中）如图1，已知两条直线AB ，CD 被直线EF 所截，分别交于点E ，F ，EM 平分∠AEF 交CD 于点M ，且∠FEM ＝∠FME ．（1）直线AB 与直线CD 的位置关系是 ；（2）如图2，点G 是射线FD 上一动点（不与点F 重合），EH 平分∠FEG 交CD 于点H ，过点H 作HN ∠EM 于点N ，设∠EHN ＝α，∠EGF ＝β．∠当点G 在运动过程中，若β＝56°，求α的度数；∠当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【思路点拨】（1）根据角平分线的性质可得∠AEM＝∠FEM，由已知条件∠FEM＝∠FME，等量代换可得∠AEM＝∠FME，由平行线的判定即可得出答案；（2）由平行线的性质可得β＝∠GEB，由平角的性质可得∠AED＝180°﹣∠GEB，根据角平分线的性质可得∠CEF=12∠AEF，∠FEH=12∠FEG，由∠CEH＝∠CEF+∠FEH可计算出度数，根据垂线的性质可得α+∠CEH＝90°，代入计算即可得出答案；（3）证明方法同（2）．【解题过程】证明：（1）∠EM平分∠AEF，∠∠AEM＝∠FEM，∠∠FEM＝∠FME，∠∠AEM＝∠FME，∠AB∠CD．故答案为：AB∠CD；（2）∠∠AB∠CD，∠β＝∠GEB＝56°，∠∠AEG＝180°﹣∠GEB＝180°﹣56°＝124°，∠EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∠∠CEF=12∠AEF，∠FEH=12∠FEG，∠∠CEH＝∠CEF+∠FEH=12∠AEF+12∠FEG=12(∠AEF+∠FEG)=12∠AED=12×124°=62°，∠HN∠EM，∠α+∠CEH＝90°，∠α＝90°﹣∠CEH＝90°﹣62°＝28°；∠a=12β．理由如下：∠AB∠CD，∠β＝∠GEB，∠∠AED＝180°﹣∠GEB＝180°﹣β，∠EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∠∠CEF=12∠AEF，∠FEH=12∠FEG，∠∠CEH＝∠CEF+∠FEH=12∠AEF+12∠FEG=12(∠AEF+∠FEG)=12∠AEG=12(180°−β)，∠HN∠EM，∠α+∠CEH＝90°，∠α+12(180°−β)=90°，即a=12β．21．（2021秋•南岗区校级期中）已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∠CD．（2）如图2，点M在直线AB、CD之间，连接MG、HM，当∠AGM＝32°，∠MHC＝68°时，求∠GMH的度数．（3）只保持（2）中所求∠GMH的度数不变，如图3，GP是∠AGM的平分线，HQ是∠MHD 的平分线，作HN∠PG，则∠QHN的度数是否改变？若不发生改变，请求出它的度数．若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）【思路点拨】（1）先由邻补角得到∠AGE+∠BGE＝180°，然后结合∠AGE+∠DHE＝180°得到∠BGE＝∠DHE，最后得证AB∠CD；（2）先由AB∠CD得到∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，再结合∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°得到∠GMH＝∠AGM+∠MHC，最后结合已知条件得到∠GMH的大小；（3）先由（2）得到∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝100°，∠MGH+∠MHG＝80°，然后结合角平分线的定义得到∠MGP和∠MHQ，再结合HN∠PG得到∠GHN＝∠PGH，最后由∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ求得∠QHN的大小．【解题过程】（1）证明：∠∠AGE +∠BGE ＝180°，∠AGE +∠DHE ＝180°，∠∠BGE ＝∠DHE ，∠AB ∠CD ．（2）解：∠AB ∠CD ，∠∠AGH +∠CHG ＝180°，即∠AGM +∠MGH +∠MHG +∠MHC ＝180°，∠∠MGH +∠MHG +∠GMH ＝180°，∠∠GMH ＝∠AGM +∠MHC ，∠∠AGM ＝32°，∠MHC ＝68°，∠∠GMH ＝100°．（3）解：∠QHN 的度数不发生改变，理由如下，由（2）得，∠AGM +∠MHC ＝∠GMH ＝100°，∠∠MGH +∠MHG ＝80°，∠GP 、HQ 分别平分∠MGA 和∠MHD ，∠∠MGP =12∠MGA ，∠MHQ =12∠MHD =12（180°﹣∠MHC ）＝90°−12∠MHC ， ∠∠PGH ＝∠MGP +∠MGH =12∠MGA +∠MGH ， ∠HN ∠PG ， ∠∠GHN ＝∠PGH =12∠MGA +∠MGH ，∠∠QHN ＝∠GHN ﹣∠GHQ ＝（12∠MGA +∠MGH ）﹣（∠MHQ ﹣∠MHG ）=12∠MGA +∠MGH ﹣∠MHQ +∠MHG =12∠MGA +80°﹣∠MHQ ，∠∠QHN =12∠MGA +80°﹣（90°−12∠MHC ）＝﹣10°+12（∠MGA +∠MHC ）＝﹣10°+12×100°＝40°．22．（2021秋•香坊区校级期中）点E 在射线DA 上，点F 、G 为射线BC 上两个动点，满足∠DBF ＝∠DEF ，∠BDG ＝∠BGD ，DG 平分∠BDE ．（1）如图1，当点G 在F 右侧时，求证：BD ∠EF ；（2）如图2，当点G 在BF 左侧时，求证：∠DGE ＝∠BDG +∠FEG ；（3）如图3，在（2）的条件下，P 为BD 延长线上一点，DM 平分∠BDG ，交BC 于点M ，DN 平分∠PDM ，交EF 于点N ，连接NG ，若DG ∠NG ，∠B ﹣∠DNG ＝∠EDN ，求∠B 的度数．【思路点拨】（1）通过证明∠DBF＝∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；（2）过点E作GH∠BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α，∠PDM ＝180°﹣α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠B ﹣∠DNG＝∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B＝180°﹣4α，结论可求．【解题过程】证明：（1）∠DG平分∠BDE，∠∠BDG＝∠ADG．又∠∠BDG＝∠BGD，∠∠ADG＝∠DGB．∠AD∠BC．∠∠DEF＝∠EFG．∠∠DBF＝∠DEF，∠∠DBF＝∠EFG．∠BD∠EF．（2）过点G作GH∠BD，交AD于点H，如图，∠BD∠EF，∠GH∠EF．∠∠BDG＝∠DGH，∠GEF＝∠HGE，∠∠DGE＝∠DGH+∠HGE，∠∠DGE＝∠BDG+∠FEG．（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α．∠∠PDM＝180°﹣α．∠DN平分∠PDM∠∠PDN=∠MDN=90°−α2．∠∠EDN=∠PDN−∠PDE=90°−α2−(180°−4α)=72α−90°．∠∠GDN＝∠MDN﹣∠MDG＝90°−α2−α＝90°−32α．∠DG∠ON，∠∠DNG＝90°．∠∠DNG=90°−(90°−32α)=32α．∠DE∠BF，∠∠B＝∠PDE＝180°﹣4α．∠∠B﹣∠DNG＝∠EDN，∠180°−4α−32α=72α−90°，解得：α＝30°．∠∠B＝180°﹣4α＝60°．。

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.3平行线的性质平行线性质定理性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】（1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.（2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.【注意】判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如直线公理：两点确定一条直线.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．【注意】（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.（2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.【变式1-1】（2023秋•简阳市期末）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（）A．70°B．110°C．140°D．150°【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，∴∠5＝180°﹣140°＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝70°，∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，∴∠4＝∠2+∠5＝110°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200°B．210°C．220°D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD 平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直线AB与OM交于点C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠O＝60°．【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求得答案；（2）根据两直线平行，同位角相等及两直线平行，内错角相等即可求得答案；（3）根据两直线平行，同旁内角互补即可证得结论．【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，∴∠PDB＝∠AOB＝45°；（2）∵CE∥OB，∴∠CPD＝∠PDB，∵DF∥OA，∴∠PDB＝∠AOB，∴∠AOB＝∠CPD，∵∠CPD＝45°，∴∠AOB＝45°；（3）相等，理由如下：∵CE∥OB，DF∥OA，∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，∵∠AOB＝∠CPD，∴∠OCP＝∠ODP．【点评】本题考查平行线性质，熟练掌握并利用平行线的性质是解题的关键．【变式1-7】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG 的度数．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-8】（2023秋•原阳县校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求证：CE平分∠BCD．【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，根据平行线的性质可求得∠ABC+∠BCD＝180°，再结合垂线的定义可得∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，再利用角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：过E作EF∥AB交BC于点F，∴∠ABE＝∠FEB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠FEC，∵BE⊥CE，∴∠BEF+∠CEF＝∠ABE+∠DCE＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DCE＝∠BCE，∴CE平分∠BCD．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，证明∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°是解题的关键．【例题2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．【解答】证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式2-1】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，则∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=12∠BAD，∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=12∠B，∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．【例题3】（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（）A．88°B．89°C．90°D．91°【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.【变式3-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是千米．【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，故答案为：8．【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．【变式3-2】（2022春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．【变式3-3】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），即：∠5＝∠6（等量代换），∴l∥m．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式3-4】（2023秋•市南区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝．【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，∴∠BOD＝∠ODC＝32°．∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB＝90°+32°＝122°．∵OE∥DM，∠ANM＝∠EOB＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．【变式3-5】（2023秋•东莞市校级期末）如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝．【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【解答】解：由题意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDC＝50°，∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，∴∠DCE＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【变式3-6】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．【变式3-7】（2023春•岱岳区期末）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】先根据MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，据此得出结论．【解答】解：AB∥CD．理由：∵MN∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【例题4】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB ＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38°B．45°C．52°D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2+∠3＝90°C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠2＝90°【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．【变式4-2】（2023秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为度．【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数．【解答】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，∵FD∥BC，∴∠BDF＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．故答案为：15．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【变式4-3】（2023秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝．【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，∵∠2＝98°，∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，∵m∥n，∴∠1＝∠4＝52°．故答案为：52°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．【变式4-4】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．55°【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式4-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD 的度数．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式4-6】（2023秋•盐城期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，则∠ACD的度数为．【分析】过点C作CF∥AB，则有AB∥CF∥DE，从而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度数．【解答】解：过点C作CF∥AB，如图，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（）A．58°B．64°C．72°D．60°【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）A．77°B．64°C．26°D．87°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式5-2】（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．【变式5-4】（2023秋•阳城县期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝．【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠5，由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，∴∠4＝∠2，∵∠1＝∠2+∠4＝110°，∴∠2＝∠4＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型．【变式5-5】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1+∠2＝135°B．∠2﹣∠1＝15°C．∠1+∠2＝90°D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，∴∠1+∠2＝135°，故选：A．【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．【变式5-6】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．【解答】解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【例题6】（2023秋•仁寿县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质得到AD⊥EF，故①符合题意；∠CEF＝∠BCE，根据余角的性质得到∠CEF ＝∠ACE，故③符合题意；根据角平分线的定义得到CE平分∠ACB，故②符合题意；根据已知条件无法证明AB∥CF，故④不符合题意．【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，∴AD⊥EF，故①符合题意；∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∵EC⊥CF，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，∵∠EFC＝∠ACF，∴∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故②符合题意；∵EC⊥CF，要使AB∥CF，则CE⊥AB，∵CE平分∠ACB，但AC不一定与BC相等，∴无法证明AB∥CF，故④不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【变式6-1】（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式6-2】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．【变式6-3】（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°．【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：∵AB∥CF，∠ACF＝80°，∴∠BAC＝∠ACF＝80°，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，∴DE∥AB．（2）DE∥AB，∠CED＝71°，∴∠B＝∠CED＝71°，∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定．【变式6-4】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度数为60°；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【变式6-5】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．。

《5．3.1 平行线的性质》教案第1课时平行线的性质【教学目标】1．理解平行线的性质；(重点)2．能运用平行线的性质进行推理证明．(重点、难点)【教学过程】一、情境导入窗户内窗的两条竖直的边是平行的，在推动过程中，两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1、∠2有什么数量关系？二、合作探究探究点一：平行线的性质如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B＝65°，求∠D的度数．解析：利用“两直线平行，内错角相等，同旁内角互补”的性质可求出结论．解：∵AB∥CD，∴∠BED＝∠B＝65°.∵BE∥FD，∴∠BED＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°.方法总结：已知平行线求角度，应根据平行线的性质得出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．再结合已知条件进行转化．探究点二：平行线与角平分线的综合运用如图，DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD 的度数．解析：先利用GF ∥CE ，易求∠CAG ，而∠PAG ＝12°，可求得∠PAC ＝48°.由AP 是∠BAC 的角平分线，可求得∠BAP ＝48°，从而可求得∠BAG ＝∠BAP ＋∠PAG ＝48°＋12°＝60°，即可求得∠ABD 的度数．解：∵FG ∥EC ，∴∠CAG ＝∠ACE ＝36°.∴∠PAC ＝∠CAG ＋∠PAG ＝36°＋12°＝48°.∵AP 平分∠BAC ，∴∠BAP ＝∠PAC ＝48°.∵DB ∥FG ，∴∠ABD ＝∠BAG ＝∠BAP ＋∠PAG ＝48°＋12°＝60°.方法总结：(1)利用平行线的性质可以得出角之间的相等或互补关系，利用角平分线的定义，可以得出角之间的倍分关系；(2)求角的度数，可把一个角转化为一个与它相等的角或转化为已知角的和差．探究点三：平行线性质的探究应用如图，已知∠ABC .请你再画一个∠DEF ，使DE ∥AB ，EF ∥BC ，且DE 交BC 边与点P .探究：∠ABC 与∠DEF 有怎样的数量关系？并说明理由．解析：先根据题意画出图形，再根据平行线的性质进行解答即可．解：∠ABC 与∠DEF 的数量关系是相等或互补．理由如下：如图①，因为DE ∥AB ，所以∠ABC ＝∠DPC .又因为EF ∥BC ，所以∠DEF ＝∠DPC ，所以∠ABC ＝∠DEF .如图②，因为DE ∥AB ，所以∠ABC ＋∠DPB ＝180°.又因为EF ∥BC ，所以∠DEF ＝∠DPB ，所以∠ABC ＋∠DEF ＝180°.故∠ABC 与∠DEF 的数量关系是相等或互补．方法总结：画出满足条件的图形时，必须注意分情况讨论，即把所有满足条件的图形都要作出来．三、板书设计平行线的性质⎩⎨⎧⎭⎬⎫两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补求角的大小或说明角之间的数量关系【教学反思】平行线的性质是几何证明的基础，教学中注意基本的推理格式的书写，培养学生的逻辑思维能力，鼓励学生勇于尝试．在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂交给学生，让学生在动口、动手、动脑中学数学第2课时平行线的性质和判定及其综合运用【教学目标】1．掌握平行线的性质与判定的综合运用；(重点、难点)2．体会平行线的性质与判定的区别与联系．【教学过程】一、复习引入问题：平行线的判定与平行线的性质的区别是什么？判定是已知角的关系得平行关系，性质是已知平行关系得角的关系．两者的条件和结论刚好相反，也就是说平行线的判定与性质是互逆的．二、合作探究探究点一：先用判定再用性质如图，C，D是直线AB上两点，∠1＋∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF ∥AB.(1)CE与DF平行吗？为什么？(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数．解析：(1)由∠1＋∠DCE＝180°，∠1＋∠2＝180°，可得∠2＝∠DCE，即可证明CE∥DF；(2)由平行线的性质，可得∠CDF＝50°.由DE平分∠CDF，可得∠CDE＝1 2∠CDF＝25°.最后根据“两直线平行，内错角相等”，可得到∠DEF的度数．解：(1)CE∥DF.理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DCE＝180°，∴∠2＝∠DCE，∴CE∥DF；(2)∵CE∥DF，∠DCE＝130°，∴∠CDF＝180°－∠DCE＝180°－130°＝50°.∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝12∠CDF＝25°.∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠CDE＝25°.方法总结：根据题目中的数量找出各量之间的关系是解这类问题的关键．从角的关系得到直线平行用平行线的判定，从平行线得到角相等或互补的关系用平行线的性质，二者不要混淆．探究点二：先用性质再用判定如图，已知DF∥AC，∠C＝∠D，CE与BD有怎样的位置关系？说明理由．解析：由图可知∠ABD和∠ACE是同位角，只要证得同位角相等，则CE∥BD.由平行线的性质结合已知条件，稍作转化即可得到∠ABD＝∠C.解：CE∥BD.理由如下：∵DF∥AC，∴∠D＝∠ABD.∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠C，∴CE∥BD.方法总结：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．探究点三：平行线性质与判定中的探究型问题如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF.(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；(2)∠AFD与∠AED之间有怎样的数量关系？解析：平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线．解：(1)∠AED＝∠BAE＋∠CDE.理由如下：如图，过点E作EG∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥CD，∴∠AEG＝∠BAE，∠DEG＝∠CDE.∵∠AED＝∠AEG＋∠DEG，∴∠AED＝∠BAE＋∠CDE；(2)同(1)可得∠AFD ＝∠BAF ＋∠CDF .∵∠BAF ＝2∠EAF ，∠CDF ＝2∠EDF ，∴∠BAE ＋∠CDE ＝32∠BAF ＋32∠CDF ＝32(∠BAF ＋∠CDF )＝32∠AFD ，∴∠AED ＝32∠AFD .方法总结：无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解．三、板书设计⎭⎬⎫同位角相等内错角相等同旁内角互补判定性质两直线平行【教学反思】本节内容的重点是平行线的性质及判定的综合，直接运用了“∵”“∴”的推理形式，为学生创设了一个学习推理的环境，逐步培养学生的逻辑推理能力．因此，这一节课有着承上启下的作用，比较重要．本节内容的难点是理解平行线的性质和判定的区别，并在推理中正确地应用．由于学生还没有学习命题的概念和命题的组成，不知道判定和性质的本质区别和联系是什么，所以在教学中，应让学生通过应用和讨论，体会到如果已知角的关系，推出两直线平行，就是平行线的判定；反之，如果两直线平行，得出角的关系，就是平行线的性质《5.3.1 平行线的性质》导学案第1课时 平行线的性质【学习目标】：1.掌握两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补，并能熟练运用.2.通过独立思考，小组合作，运用猜想、推理的方法，提升自己利用图形分析问题的能力.3.激情投入，全力以赴，培养严谨细致的学习习惯.【重点】：平行线的性质.【难点】：根据平行线的性质进行推理.【自主学习】一、知识链接平行线的判定方法有哪几种？二、新知预习如图，直线a与直线b平行，直线c与它们相交.（1）量一量：用量角器量图中8个角的度数.（2）说一说：由测量的结果，你发现∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8、∠3与∠6、∠4与∠5、∠3与∠5、∠4与∠6的大小有什么关系？（3）想一想：（2）中的各对角分别是什么角？（4）议一议：两条平行直线被第三条直线所截，所得的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？三、自学自测1.如图，直线a∥b，∠1=70°，那么∠2的度数是（）A.50°B.60°C.70°D.80°2.下列说法中，（1）同位角相等，两直线平行；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）内错角相等，两直线平行；（4）同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.其中是平行线的性质的是（）A.（1）和（3）B.（2）C.（4）D.（2）和（4）【课堂探究】要点探究探究点：平行线的性质问题1：画两条平行线a//b，然后画一条截线c与a、b相交，标出如图所示的角. 度量所形成的8个角的度数，把结果填入下表：角∠1 ∠2 ∠3 ∠4度数角∠5 ∠6 ∠7 ∠8度数观察：∠1~ ∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？说出你的猜想.猜想：两条平行线被第三条直线所截，同位角 .思考：再任意画一条截线d，同样度量各个角的度数，你的猜想还成立吗？问题2：如图，已知a//b,那么∠2与∠3相等吗？为什么?问题3：如图,已知a//b,那么∠2与∠4有什么关系呢？为什么?例1.如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？例2：小明在纸上画了一个∠A，准备用量角器测量它的度数时，因不小心将纸片撕破，只剩下如图的一部分，如果不能延长DC、FE的话，你能帮他设计出多少种方法测出∠A的度数？【当堂检测】1.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截(1)从∠1=110°可以知道∠2 是多少度吗,为什么？(2)从∠1=110°可以知道∠3是多少度吗,为什么？(3)从∠1=110°可以知道∠4 是多少度吗,为什么？2.如图，一条公路两次拐弯的前后两条路互相平行.第一次拐弯时∠B是142°，第二次拐弯时∠C是多少度？为什么？3.如图，直线 a ∥ b,直线b垂直于直线c，那么直线a垂直于直线c吗?4.如果有两条直线被第三条直线所截，那么必定有（）A.内错角相等B.同位角相等C.同旁内角互补D.以上都不对5.(1)如图1,若AB∥DE , AC∥DF，试说明∠A=∠D.请补全下面的解答过程,括号内填写依据.解: ∵ AB∥DE( )∴∠A=_______ ( )∵AC∥DF( )∴∠D=______ ( )∴∠A=∠D ( )(2)如图2,若AB∥DE , AC∥DF，试说明∠A+∠D=180o.请补全下面的解答过程,括号内填写依据.解: ∵ AB∥DE( )∴∠A= ______ ( )∵AC∥DF( )∴∠D+ _______=180° ( )∴∠A+∠D=180°（）6.【拓展题】如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，∠2和∠3有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？5.3.1 平行线的性质第2课时平行线的性质和判定及其综合运用【学习目标】：1.进一步熟悉平行线的判定方法和性质.2.运用平行线的性质和判定进行简单的推理和计算.【重点】：平行线的判定方法和性质.【难点】：平行线的性质和判定的综合运用.【自主学习】一、知识链接1.平行线的判定方法有哪些？2.平行线的性质有哪些？二、新知预习1.两条直线被第三条直线所截，同位角、内错角相等，或者说同旁内角互补，这句话对吗？2.自主归纳：（1）两直线平行，同位角，内错角，同旁内角 .（2）不难发现，平行线的判定，反过来就是，注意它们之间的联系和区别.（3）运用平行线的性质时，不要忽略前提条件“”，不要一提同位角或内错角，就认为是相等的.【课堂探究】一、要点探究探究点：平行线的性质和判定及其综合应用例1.如图，三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°.（1）DE和BC平行吗？为什么？（2）∠C是多少度？为什么？做一做：已知AB∥CD，∠1 = ∠2.试说明:BE∥CF.例2.如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P 、∠PCD的数量关系，并说明理由.例3.如图，若AB//CD ，你能确定∠B 、∠D 与∠BED 的大小关系吗？说说你的看法．【变式题1】如图，AB//CD ，探索∠B 、∠D 与∠DEB 的大小关系 .【变式题2】如图,AB ∥CD,则∠A ，∠C 与∠E 1，∠E 2，…，∠E n 有什么关系？【变式题3】如图,若AB ∥CD, 则∠A ，∠C 与各拐角之间有什么关系？EDC BA【当堂检测】1.填空：如图,(1)∠1= 时，AB∥CD.(2)∠3= 时，AD∥BC.2.直线a,b与直线c相交，给出下列条件：①∠1= ∠2;②∠3= ∠6;③∠4+∠7=180°;④∠3+ ∠5=180°，其中能判断a//b的是( )A. ①②③④ B .①③④ C. ①③ D. ④3. 有这样一道题：如图，AB//CD,∠A=100°, ∠C=110°,求∠AEC的度数. 请补全下列解答过程.解：过点E作EF//AB.∵AB//CD（已知）,∴ // (平行于同一直线的两直线平行）.∴∠A+∠ =180°，∠C+∠ =180°(两直线平行，同旁内角互补）.又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）,∴∠ = °, ∠ = °.∴∠AEC=∠1+∠2= °+ ° = °.4.已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1= ∠2，试说明∠3=∠E.5.如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD的度数.第五章相交线与平行线5.3.1《平行线的性质》同步练习一、单选题（共15题；共30分）1、如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20o，那么∠2的度数是（ )A、30°B、25°C、20°D、15°2、如图所示BC//DE，∠1=108°，∠AED=75°，则∠A的大小是（）A、60°B、33°C、30°D、23°3、两条平行直线被第三条直线所截，下列命题中正确的是（）A、同位角相等，但内错角不相等B、同位角不相等，但同旁内角互补C、内错角相等，且同旁内角不互补D、同位角相等，且同旁内角互补4、一架飞机向北飞行，两次改变方向后，前进的方向与原来的航行方向平行，已知第一次向左拐50°，那么第二次向右拐（）A、40°B、50°C、130°D、150°5、如图，下列说法正确的是（）A、若AB//CD，则∠1=∠2B、若AD//BC，则∠B+∠BCD=180ºC、若∠1=∠2，则AD//BCD、若∠3=∠4，则AD//BC6、下列图形中，由AB//CD能得到∠1=∠2的是（）A、 B、C、 D、7、下列语句：①两条不相交的直线叫做平行线；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若AB=BC，则点B是AC的中点；④若两角的两边互相平行，则这两个角一定相等；其中说法正确的个数是（）A、1B、2C、3D、48、同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（）A、平行或垂直B、平行或相交C、平行、相交或垂直D、相交9、下列生活实例中；①交通道口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队；④百米跑道线；⑤火车的平直铁轨线．其中属于平行线的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个10、如图，AB∥CD，∠A=46°，∠C=27°，则∠AEC的大小应为（）A、19°B、29°C、63°D、73°11、如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=50°，∠1=35°，∠2的度数为（）A、95°B、65°C、85°D、35°12、如图，已知：AB∥CD，CE分别交AB、CD于点F、C，若∠E=20°，∠C=45°，则∠A的度数为（）A、5°B、15°C、25°D、35°13、如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=（）A、20°B、25°C、30°D、35°14、如图，若a∥b，则下列选项中，能直接利用“两直线平行，内错角相等”判定∠1=∠2的是（）A、 B、C、 D、15、如图，如果AB∥CD，那么图中相等的内错角是（）A、∠1与∠5，∠2与∠6B、∠3与∠7，∠4与∠8C、∠5与∠1，∠4与∠8D、∠2与∠6，∠7与∠3二、填空题（共5题；共10分）16、如图，已知：∠A=∠F，∠C=∠D，求证：BD∥EC，下面是不完整的说明过程，请将过程及其依据补充完整．证明：∵∠A=∠F（已知）∴AC∥________，________∴∠D=∠1________又∵∠C=∠D（已知）∴∠1=________________∴BD∥CE ________17、如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为________ 度（用关于α的代数式表示）．18、如图所示,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、•后的两条路平行,若第一次拐角是150°,则第二次拐角为________ .19、如图，把含有60 º角的三角尺ABC的直角顶点C放在直线DE上，当AB∥DE。

5.3平行线的性质【考点梳理】考点一：平行线的性质考点二：根据平行线性质探究角的关系考点三：根据平行线性质求角的大小考点四：平行线性质在生活应用问题考点五：平行线之间的距离问题考点六：与命题有关的问题考点七：平行线的判定和性质的综合问题知识一：平行线的性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单地说:两直线平行，同位角相等.2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单地说:两直线平行，内错角相等.3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单地说:两直线平行，同旁内角互补.注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。

一个结论：平行线间的距离处处相等。

例如：应用于说明矩形（包括长方形、正方形）的对边相等，还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形，或以下底为底的两等面积的三角形。

（因为梯形的上底与下底平行，平行线间的高相等，所以，就有等底等高的三角形。

）知识二、命题判断一件事情的语句叫命题。

命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。

例如：“明天可能下雨。

”这句语句______命题，而“今天很热，明天可能下雨。

”这句语句_____命题。

(填“是”或“不是”)1命题分为真命题与假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。

假命题指题设成立，但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。

2逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。

注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。

题型一：平行线的性质1．（2023下·广西贺州·七年级统考期末）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a b ∥，∠1＝70°，则∠2的度数是（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．110°【答案】C 【分析】由a b ∥，∠1＝70°，可得2170,Ð=Ð=°从而可得答案．【详解】解：∵a b ∥，∠1＝70°，∴2170,Ð=Ð=°故选C【点睛】本题考查的是平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键．2．（2024上·河南周口·七年级河南省淮阳中学校考期末）如图，沿路线A B C D →→→行走，若AB CD ∥，122B ∠=︒，则C ∠=（）A ．58︒B ．122︒C ．128︒D ．132︒【答案】B 【分析】本题考查平行线性质，根据两直线平行，内错角相等，即可解题．【详解】解： AB CD ∥，122B ∠=︒，C ∴∠=122B ∠=︒，故选：B ．3．（2024上·河南周口·七年级统考期末）如图，AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，EG 平分BEF ∠，170=︒∠，则3∠的度数为（）A ．70︒B ．80︒C ．40︒D ．30︒【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质；根据角平分线的定义求出BEF ∠，再根据平行线的性质即可求出3∠．【详解】解：∵170=︒∠，EG 平分BEF ∠，∴170BEG ∠=∠=︒，∴1140BEF BEG ∠=∠+∠=︒，∵AB CD ，∴318040BEF ∠=︒-∠=︒，故选：C ．题型二：根据平行线性质探究角的关系4．（2024下·七年级课时练习）如图，直线a ，b 被c ，d 所截，且a b ∥，则下列结论中正确的是（）A ．14∠=∠B ．23180∠+∠=︒C ．3=4∠∠D ．24180∠+∠=︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A ．由a b ，无法判断1∠和4∠的大小，故本选项错误，不符合题意；B ．由a b ，无法得出23180∠+∠=︒，故本选项错误，不符合题意；C ．因为a b ，所以3=4∠∠，故本选项正确，符合题意；D ．由a b ，无法得出24180∠+∠=︒，故本选项错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习）如图：,AB CD OE ∥平分,,,40BOC OF OE OP CD ABO ∠⊥⊥∠=︒，则下列结论：①OF 平分BOD ∠②POE BOF ∠=∠③70BOE ∠=︒④2POB DOF ∠=∠，其中结论正确的序号是（）A ．只有①②③B ．只有①③④C ．①②③④D ．只有①④【答案】A 【分析】根据AB ∥CD 可得40BOD ABO ∠=∠=︒，利用平角得到140COB ∠=︒，再根据角平分线的定义得到70BOE ∠=︒，则③正确；利用OP CD ⊥，AB ∥CD ，40ABO ∠=︒，可得50OB ∠=︒，20BOF ∠=︒，20FOD ∠=︒，进而可得OF 平分BOD ∠，则①正确；由70EOB ∠=︒，50POB ∠=︒，20POE ∠=︒，由20BOF POF POB ∠=∠-∠=︒，进而可得POE BOF ∠=∠，则②正确；由②可知50POB ∠=︒，20FOD ∠=︒，则④不正确．【详解】③AB ∥CD ，40BOD ABO ∴∠=∠=︒，18040140COB ∴∠=︒-︒=︒，又OE 平分BOC ∠，BOE ∴∠=12COB ∠=1214070⨯︒=︒，故③正确；①OP CD ⊥ ，90POD ∴∠=︒，又AB ∥CD ，90BPO ∴∠=︒，又40ABO ∠=︒ ，904050POB ∴∠=︒-︒=︒，907020BOF EOF EOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，402020FOD ∠=︒-︒=︒，OF ∴平分BOD ∠，故①正确；②70EOB ∠=︒ ，904050POB ∠=︒-︒=︒，705020POE ∴∠=︒-︒=︒，POE BOF ∴∠=∠，故②正确；④由①可知904050POB ∠=︒-︒=︒，402020FOD ∠=︒-︒=︒，故2POB DOF ∠≠∠，故④不正确．故结论正确的是①②③，故选A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是要注意将垂直、平行、角平分线的定义结合应用，弄清图中角和角的关系，再进行解答．6．（2024上·四川巴中·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，E 为AB 上一点，且EF CD ⊥垂足为F ，90CED ∠=︒，CE 平分AEG ∠，且CGE α∠=，则下列结论：①1902AEC α∠=︒-；②DE 平分GEB ∠；③CEF GED ∠=∠；④180FED BEC ∠+∠=︒；其中正确的有（）A ．①②B ．②③④C ．①②③④D ．①③④【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟记“一般地，从一个角的顶点出发，在角的内部把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线”，“当两直线所组成的角为直角时，称它们互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线”的相关概念，利用α表示各个角度．根据角平分线的性质，角平分线和垂线的定义逐个分析计算即可．【详解】解：CGE α∠= ，AB CD ∥，CGE GEB α∴∠=∠=，180AEG α∴∠=︒-，CE 平分AEG ∠，119022AEC CEG AEG α∴∠=∠=∠=︒-，故①正确；90CED ∠=︒ ，1122DEB GEB α∴∠==∠，即DE 平分GEB ∠，故②正确；EF CD ⊥ ，AB CD ∥，90AEF ∴∠=︒，90AEC CEF ∴∠+∠=︒，12CEF α∴∠=，12GED GEB DEB α∠=∠-∠= ，CEF GED ∴∠=∠，故③正确；190902FED BED α∠=︒-∠=︒- ，1180902A BEC EC α∠=∠=︒-︒+，180FED BEC ∴∠+∠=︒故④正确；综上所述，正确的有①②③④，故选：C ．题型三：根据平行线性质求角的大小7．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，直线m n ∥，含有45︒角的三角板的直角顶点O 在直线m 上，点A 在直线n 上，若120∠=︒，则2∠的度数为（）A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．45︒【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，过B 作BK m ∥，推出BK n ∥，由平行线的性质得到120OBK ∠=∠=︒，2ABK ∠=∠，求出25ABK ABO OBK ∠=∠-∠=︒，即可得到225∠=︒．【详解】解：过B 作BK m ∥，∵m n ∥，∴BK n ∥，∴120OBK ∠=∠=︒，2ABK ∠=∠，∵45ABO ∠=︒，∴452025ABK ABO OBK ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴225ABK ∠=∠=︒．故选：B ．8．（2024上·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）如图，直线MN PQ ∥，点A C 、分别在直线MN PQ 、上，AD 平分BAN ∠，CD 平分110ECQ B ∠∠︒，＝，若DCQ α∠=，则1∠等于（）A ．30α︒+B ．30α︒-C ．35α︒+D ．35α︒-【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．过点B 作BG PQ ∥交AD 于点G ，由CD 平分ECQ DCQ α∠∠=，可知2ECQ α∠=，故2EBG ECQ α∠=∠=，由110ABE ∠=︒可知1102ABG ABE EBG α∠=∠-∠=︒-，再由MN PQ BG PQ ∥，∥可知()1801801102BAN ABG α∠=︒-∠=︒-︒-，根据AD 平分BAN ∠可得出NAD ∠的度数，进而得出结论．【详解】解：如图，过点B 作BG PQ ∥交AD 于点G ，∵CD 平分ECQ DCQ α∠∠=，，∴2ECQ α∠=，∴2EBG ECQ α∠=∠=，∵110ABE ∠=︒，∴1102ABG ABE EBG α∠=∠-∠=︒-，∵MN PQ BG PQ ∥，∥，∴()1801801102702BAN ABG αα∠=︒-∠=︒-︒-=︒+，∵AD 平分BAN ∠，∴1352NAD BAN α∠=∠=︒+，∴135NAG α∠=∠=︒+．故选：C ．9．（2024·全国·七年级竞赛）如图，82BAC ∠=︒，68CDE ∠=︒，AF 平分BAC ∠，若AF D E ⊥，则ACD ∠的度数为（）A ．18︒B ．19︒C ．20︒D ．21︒【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质，角平分线的性质，垂直的性质，合理作出平行线是解题的关键．如图所示，作DG AF 交AC 于G ，作CH AF ∥，根据平行线的性质可求出ACH ∠的度数，根据垂直的性质可求出CDG ∠的度数，最后根据ACD ACH DCH ∠=∠-∠即可求解．【详解】解：如图所示，作DG AF 交AC 于G ，作CH AF ∥，∵AF 平分BAC ∠，∴82241CAF ∠=︒÷=︒，∴41AGD ACH CAF ∠=∠=∠=︒，∵68DE AF CDE ⊥∠=︒，，∴906822DCH CDG ∠=∠=︒-︒=︒，∴412219ACD ACH DCH ∠=∠-∠=︒-︒=︒．题型四：平行线性质在生活应用问题10．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，一条街道有两个拐角ABC ∠和BCD ∠，已知AB CD ∥，若150ABC ∠=︒，则BCD ∠的度数是（）A ．30︒B ．120︒C ．130︒D ．150︒【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，由AB CD ，根据两直线平行，内错角相等，可得BCD ∠的度数，解题的关键是将实际问题转化为数学问题求解．【详解】∵150AB CD ABC ∠=︒，∴150BCD ABC ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）．故选：D ．11．（2023下·江西抚州·七年级统考期中）一辆行驶中的汽车经过两次拐弯后，仍向原方向行驶，则两次拐弯的角度可能是（）A ．先右转30︒，后左转60︒B ．先左转30︒，后右转60︒C ．先右转30︒，后左转150︒D ．先右转30︒，后左转30︒【答案】D【分析】利用平行的性质：两直线平行，同位角相等来选择即可．【详解】解：两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，即转弯前与转弯后的道路是平行的，因而右转的角与左转的角应相等，理由是两直线平行，同位角相等．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，能够根据条件，找到解决问题的依据是解决本题的关键．12．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA AE ⊥，垂足为A ，CD AE ∥，则ABC BCD ∠+∠=（）A ．270︒B ．250°C ．230︒D ．200︒【答案】A 【分析】过B 作BF CD ∥，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解．【详解】解：如图，过B 作BF CD ∥，∵CD AE ∥，则BF AE ，∴180BCD CBF ∠+∠=︒，∵BA AE ⊥，∴90BAE ∠=︒，∴18090ABF BAE ∠=︒-∠=︒，∴270ABC BCD ABF CBF BCD ∠+∠=∠+∠+∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键．题型五：平行线之间的距离问题13．（2023下·湖南娄底·七年级统考期末）如图，∥MN AB ，P ，Q 为直线MN 上的任意两点，PAB 和QAB 的面积关系是()A ．PAB QAB S S >△△B ．PAB QABS S =△△C ．PAB QAB S S <△△D ．无法确定【答案】B 【分析】根据两条平行线之间的距离处处相等，可知PAB 与QAB 底边AB 边上的高相等，从而得到它们的面积相等．【详解】解：因为∥MN AB ，所以点P 与点Q 到直线AB 的距离相等，即PAB 与QAB 是同底等高的两个三角形，故PAB QAB S S =△△．故选：B ．【点睛】本题考查两条平行线之间的距离处处相等，掌握这一性质是解题的关键．14．（2023下·广西桂林·七年级校联考期末）如图，AD BC ∥，5BC =，点E 在BC 上，8BE =，DCE △的面积为6，则ABE 的面积为（）A ．6B ．12C ．16D ．20【答案】C 【分析】ABE 的边BE 上的高和DCE △的边CE 上的高长度相同，设高为h ，可求得ABE S 和DCE S 之间的数量关系．【详解】∵5BC =，8BE =，∴853CE BE BC =-=-=．∵AD BC ∥，∴ABE 的边BE 上的高和DCE △的边CE 上的高长度相同．设ABE 的边BE 上的高和DCE △的边CE 上的高为h ．根据题意，得1322DCE S h CE h == △，142ABE S h BE h == △．∴8861633ABE DCE S S ==⨯=△△．故选：C ．【点睛】本题主要考查两条平行线之间的距离（如果两条直线平行，那么其中一条直线上每个点到另一条直线的距离都相等，这个距离，叫做这两条平行线之间的距离），牢记两条平行线之间的距离的定义是解题的关键．15．（2022下·河北石家庄·七年级校考期末）如图，点P 、Q 为平面内两个定点，定直线a PQ ∥，M 是直线a 上一动点，对下列各值：①PQM 的周长；②PQM 的面积；③点M 到PQ 的距离；④PMQ ∠的大小.其中会随点M 的移动而变化的是（）A ．②③B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C 【分析】根据平行线间的距离不变即可判断③；根据三角形的周长和点M 的运动变化可判断①④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断②；进而可得答案．【详解】解：∵直线a PQ ∥，∴点M 到直线PQ 的距离不会随点M 的移动而变化，故③正确；∵PM ，QM 的长随点M 的移动而变化，∴PQM 的周长会随点M 的移动而变化，PMQ ∠的大小会随点M 的移动而变化，故①④错误；∵点M 到直线PQ 的距离不变，PQ 的长度不变，∴PQM 的面积不会随点M 的移动而变化，故②正确；综上，不会随点M 的移动而变化的是①④．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键．题型六：与命题有关的问题16．（2024下·全国·七年级专题练习）下列各命题的逆命题是假命题的是（）A ．两直线平行，同旁内角互补B ．若两个数0a b +=，则这两个数为相反数C ．对顶角相等D．如果22a b=，那么a b=【答案】C【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，写出命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；a b+=，是真命题，不符合题意；B、逆命题为如果两个数互为相反数，那么0C、逆命题为相等的角为对顶角，是假命题，符合题意；D、逆命题为如果a b=，那么22a b=，是真命题，不符合题意．故选：C．17．（2023下·辽宁鞍山·七年级校考阶段练习）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；⑤垂直于同一条直线的两条直线垂直，其中的假命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；②在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，原命题是真命题；④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短是真命题；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题，故选：B．18．（2023下·广西玉林·七年级统考期中）下列命题；①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a b ，b c P ，则a c P ；④a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a b ⊥r r ，b c ⊥，则a c P ；其中真命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；②两个锐角的和不一定是钝角，错误，是假命题，不符合题意；③a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a b ，b c P ，则a c P ；正确，是真命题，符合题意；④a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a b ⊥r r ，b c ⊥，则a c P ，正确，是真命题，符合题意；真命题有2个，故选：B ．题型七：平行线的判定和性质的综合问题19．（2024上·江苏南通·七年级统考期末）如图，AE BD ∥，A BDC ∠=∠，AEC ∠的平分线交CD 的延长线于点F ．(1)求证：AB CD ∥；(2)探究A ∠，AEC ∠，C ∠之间的数量关系，并说明理由；(3)若140BDC ∠=︒，20F ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)360A AEC C ∠+∠+∠=︒，理由见解析(3)100C ∠=︒【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）由平行线的性质可得180A ABD ∠+∠=︒，求出ABD BDF ∠=∠，即可得证；（2）作EG AB ∥，则180A AEG ∠+∠=︒，EG CD ∥，再由平行线的性质可得180C CEG ∠+∠=︒，即可得出答案；（3）作EG AB ∥，则180A AEG ∠+∠=︒，求出40AEG =︒∠，得出EG CD ∥，由平行线的性质可得20GEF F ∠=∠=︒，从而得出60AEF GEF AEG ∠=∠+∠=︒，由角平分线的定义可得2120AEC AEF ∠=∠=︒，由（2）可得360A AEC C ∠+∠+∠=︒，由此即可得出答案．【详解】（1）证明：AE BD ∥ ，180A ABD ∴∠+∠=︒，180BDC BDF A BDC ∠+∠=︒∠=∠ ，，ABD BDF ∴∠=∠，AB CD ∴∥；（2）解：360A AEC C ∠+∠+∠=︒，理由如下：如图，作EG AB ∥，，则180A AEG ∠+∠=︒，由（1）可得AB CD ∥，EG CD ∴∥，180C CEG ∴∠+∠=︒，360A AEG C CEG ∴∠+∠+∠+∠=︒，AEG CEG AEC ∠+∠= ，360A AEC C \Ð+Ð+Ð=°；（3）解：如图，作EG AB ∥，，则180A AEG ∠+∠=︒，140BDC A BDC ∠=︒∠=∠ ，，40AEG ∴∠=︒，由（1）可得AB CD ∥，EG CD ∴∥，20GEF F ∴∠=∠=︒，204060AEF GEF AEG ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，AEC ∠的平分线交CD 的延长线于点F ，2120AEC AEF ∴∠=∠=︒，由（2）可得：360A AEC C ∠+∠+∠=︒，360100C A AEC ∴∠=︒-∠-∠=︒．20．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，已知：ABC 中，D 、E 、F 、G 分别在BC 、AC 和AB 上，连接DE 、BF 和FG ，AGF ABC ∠=∠，180GFB EDB ∠+∠=︒．(1)判断BF 与DE 的位置关系，并证明；(2)若BF AC ⊥，150EDB ∠=︒，求AFG ∠的度数．【答案】(1)BF DE ∥，理由见详解(2)60︒【分析】本题考查了平行线的性质和判定，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．（1）先证明GF BC ∥，可得GFB FBD =∠∠，等量代换后可得180FBD EDB ∠+∠=︒，继而得到BF DE ∥；（2）由平行线同旁内角互补，可得18030DBF EDB ∠=︒-∠=︒，根据平行线内错角相等可得30GFB DBF ∠=∠=︒，依据90AFB ∠=︒，可计算出AFG ∠．【详解】（1）解：BF DE ∥，理由如下：∵AGF ABC ∠=∠，∴GF BC ∥，∴GFB FBD =∠∠，又∵180GFB EDB ∠+∠=︒．∴180FBD EDB ∠+∠=︒，∴BF DE ∥．（2）由（1）可知，GF BC ∥，BF DE ∥．∵150EDB ∠=︒，∴18030DBF EDB ∠=︒-∠=︒，∵GF BC ∥，∴30GFB DBF ∠=∠=︒，∵BF AC ⊥，∴90AFB ∠=︒，∴9060AFG GFB ∠=︒-∠=︒．21．（2024上·湖南衡阳·七年级衡阳市华新实验中学校考期末）问题情境1：如图1，AB CD ∥，P 是ABCD 内部一点，P 在BD 的右侧，探究B ∠，P ∠，D ∠之间的关系？（1）如图2，过P 作PE AB ，可得B ∠，P ∠，D ∠之间满足______关系．（直接写出结论）问题情境2如图3，AB CD ∥，P 是AB ，CD 内部一点，P 在BD 的左侧，（2）得B ∠，P ∠，D ∠之间满足______关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB CD ∥，ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ．（3）如图4，若80E ∠=︒，求BFD ∠的度数；（写证明过程）（4）如图5中，13ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=∠，写出M ∠与E ∠之间数量关系并证明结论．【答案】（1）360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）B D BPD ∠+∠=∠；（3）140︒；（4）6360E M ∠+∠=︒，证明见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：（1）先证明PE AB CD ∥∥，再由平行线的性质得到180180B BPE D DPE +=︒+=︒∠∠，∠∠，进而可得360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）如图所示，过P 作PE AB ，先证明PE AB CD ∥∥，再由平行线的性质得到B BPE D DPE ==∠∠，∠∠，进而可得B D BPD ∠+∠=∠；（3）由（1）（2）的结论可得F ABF CDF ∠=∠+∠，360E ABE CDE ++=︒∠∠∠，则可求出280ABE CDE ∠+∠=︒，再由角平分线的定义可得1114022F ABF CDF ABE CDE =+=+=︒∠∠∠∠∠；（4）由（1）（2）的结论可知M ABM CDM ∠=∠+∠，360E ABE CDE ++=︒∠∠∠，进而得到3ABF CDF M +=∠∠∠，再由角平分线的定义得到6ABE CDE M +=∠∠∠，则6360E M ∠+∠=︒．【详解】解：（1）∵AB CD ∥，PE AB ，∴PE AB CD ∥∥，∴180180B BPE D DPE +=︒+=︒∠∠，∠∠，∴360B BPE D DPE +++=︒∠∠∠∠∵BPD BPE DPE =+∠∠∠，∴360B BPD D ∠+∠+∠=︒，故答案为：360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）如图所示，过P 作PE AB ，∵AB CD ∥，PE AB ，∴PE AB CD ∥∥，∴B BPE D DPE ==∠∠，∠∠，∴B D BPE DPE+=+∠∠∠∠∵BPD BPE DPE =+∠∠∠，∴B D BPD ∠+∠=∠，故答案为：B D BPD ∠+∠=∠；（3）由（1）（2）的结论可知F ABF CDF ∠=∠+∠，360E ABE CDE ++=︒∠∠∠，∵80E ∠=︒，∴360280ABE CDE E ∠+∠=︒-∠=︒，∵ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，∴1122ABF ABE CDF CDE ==∠∠，∠∠，∴1114022F ABF CDF ABE CDE =+=+=︒∠∠∠∠∠；（4）6360E M ∠+∠=︒，证明如下：由（1）（2）的结论可知M ABM CDM ∠=∠+∠，360E ABE CDE ++=︒∠∠∠，∵13ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=∠，∴1133M ABM CDM ABF CDF =+=+∠∠∠∠∠，∴3ABF CDF M +=∠∠∠，∵ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，∴22ABE ABF CDE CDF ∠∠∠∠=，=，∴()2226ABE CDE ABF CDF ABF CDF M ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴6360E M ∠+∠=︒．一：选择题22．（2024下·黑龙江绥化·七年级校考）如图，已知直线c 与直线a b ，都相交．若145a b ∠=︒，∥，则2∠=（）A ．145︒B ．135︒C ．55︒D ．45︒【答案】B 【分析】本题考查邻补角互补，平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据两直线平行同位角相等即可得出3145∠=∠=︒，再根据邻补角互补求解即可．【详解】解：如图，∵a b ∥，∴3145∠=∠=︒，∴21803135∠∠︒︒=-=．故选B ．23．（2024下·全国·七年级假期作业）下列语句中，是命题的个数为（）①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段1cm AB =；④同角的余角相等；⑤同位角相等．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的概念是解题的关键；因此此题可根据“一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题”进行排除选项．【详解】解：①②④⑤符合命题的定义，而③不能写出题设与结论出来，故不是命题，所以是命题的个数有4个；故选C ．24．（2024上·河南南阳·七年级统考期末）如图，直线a b ∥，直线c 与直线a 、b 分别相交于A 、B 两点，AC AB ⊥于点A ，交直线b 于点C ．如果138∠=︒，那么2∠的度数为（）A ．52︒B ．48︒C ．38︒D ．32︒【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可．【详解】解：∵AC AB ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵a b ∥，∴12180BAC ∠+∠+∠=︒，∴2180903852∠=︒-︒-︒=︒；故选：A ．25．（2024上·江苏南通·七年级统考期末）将一直尺和一块含30︒角的三角尺按如图放置，若40CDE ∠=︒，则BFA ∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．130︒D ．140︒【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据题意知AF DE ∥，进而可得40CFA CDE ∠=∠=︒，再由邻补角定义即可求解，准确识图是解题的关键．【详解】解：由题意可知AF DE ∥，∵40CDE ∠=︒，∴40CFA CDE ∠=∠=︒，∴180140BFA CFA ∠=︒-∠=︒，故选：D ．26．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，已知：ABC 中，D 、E 、F 、G 分别在BC 、AC 和AB 上，连接DE 、BF 和FG ，AGF ABC ∠=∠，180GFB EDB ∠+∠=︒．(1)判断BF 与DE 的位置关系，并证明；(2)若BF AC ⊥，150EDB ∠=︒，求AFG ∠的度数．【答案】(1)//BF DE ，理由见解析(2)60︒【分析】本题考查了平行线的判定与性质和余角的计算，熟练掌握平行线的相关判定和性质是解题关键．（1）由AGF ABC ∠=∠，根据“同位角相等，两直线平行”得GF BC ∥，再根据“两直线平行，内错角相等”得GFB FBD =∠∠，再利用“同旁内角互补，两直线平行”，即可证得结论；（2）由GF BC ∥，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可求出30DBF ∠=︒，再根据“两直线平行，内错角相等”得30GFB DBF ∠=∠=︒，然后根据余角定义即可求出AFG ∠的度数．【详解】（1）解：BF DE ∥，理由如下：AGF ABC ∠=∠，GF BC \∥，∴GFB FBD =∠∠，又 180GFB EDB ∠+∠=︒，∴180FBD EDB ∠+∠=︒，∴BF DE ∥．（2）解：由（1）可知，GF BC ∥，BF DE ∥，150EDB ∠=︒，∴18015030DBF ∠=︒-︒=︒，∴30GFB DBF ∠=∠=︒，BF AC ⊥，∴90AFB ∠=︒，∴9060AFG GFB ∠=︒-∠=︒．27．（2024上·浙江金华·七年级统考期末）如图，已知AB AC ⊥于点A ，90C EDC ∠+∠=︒．(1)试说明180BAE E +=︒∠∠．（填空）已知AB AC ⊥，得90BAC ∠=︒，所以C ∠+______90=︒，又已知90C EDC ∠+∠=︒，根据______，得B EDC ∠=∠，根据______，得AB DE ∥，根据______，得180BAE E +=︒∠∠．(2)若,55C EAC E ∠=∠∠=︒，求B ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)55B ∠=︒．【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．（1）根据互余关系，平行线的判定和性质，作答即可；（2）根据C EAC ∠=∠，得到AE BC ∥，进而得到EDC E ∠=∠，根据EDC B ∠=∠，即可得出结果．【详解】（1）解：已知AB AC ⊥，得90BAC ∠=︒，所以90C B ∠+∠=︒，又已知90C EDC ∠+∠=︒，根据同角的余角相等，得B EDC ∠=∠，根据同位角相等，两直线平行，得AB DE ∥，根据两直线平行，同旁内角互补，得180BAE E +=︒∠∠；故答案为： B ∠，同角的余角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）∵C EAC ∠=∠，∴AE BC ∥，∴EDC E ∠=∠，由（1）知：EDC B ∠=∠，∴55B E ∠=∠=︒．一、单选题28．（2024上·四川宜宾·七年级统考期末）如图，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ∥，EF 是DEC ∠的角平分线，有下列四个结论：①BDE DBE ∠=∠；②EF BD ∥；③ABF FEC BFE ∠=∠+∠；④ABF ABED S S =△四边形．其中，正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．利用DE AB ∥，BD 平分ABC ∠，EF 平分DEC ∠，可以判断出①②正确；再证明DBF BFE ∠=∠，再利用FEC DBC ABD ∠=∠=∠，可判断出③正确；根据EF BD ∥，推出BDF V 与BDE 是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确．【详解】解：∵DE AB ∥，∴ABD BDE ∠=∠，ABC DEC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，EF 平分DEC ∠，∴12ABD DBE ABC ∠=∠=∠，12DEF FEC DEC ∠=∠=∠，∴BDE DBE ∠=∠，FEC DBC ABD ∠=∠=∠，∴EF BD ∥，故①②正确；∵EF BD ∥，∴DBF BFE ∠=∠，∵ABF ABD DBF ∠=∠+∠，FEC ABD ∠=∠，∴ABF FEC BFE ∠=∠+∠，故③正确；∵EF BD ∥，∴BDF V 与BDE 是等底等高的三角形，∴BDF BDE S S =△△，∴ABF ABED S S =△四边形，故④正确，∴①②③④正确．故选：D ．29．（2024上·山西长治·七年级统考期末）如图，AB CD ，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，则APC ∠的度数为（）A ．140︒B ．130︒C ．120︒D ．110︒【答案】D 【分析】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．过P 作直线∥MN AB ，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出APN ∠，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN CD ∥，进而可求出NPC ∠，从而求出APC ∠．【详解】解：过P 作直线∥MN AB ，如下图所示，∵∥MN AB ，130PAB ∠=︒，∴180PAB APN ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∴18050APN PAB ∠=︒-∠=︒，∵∥MN AB ，AB CD ，120PCD ∠=︒，∴MN CD ∥，∴180PCD NPC ∠+∠︒＝，∴60NPC ∠︒＝，∴6050110APC NPC APN ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：D ．30．（2024上·福建泉州·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，直线l 分别交AB ，CD 于点E ，F ，且满足1BEP BEF n ∠∠=，1DFP DFE n ∠∠=，则P ∠的度数为（）A ．1801n + B ．180n C ．1801n -o D ．不确定【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，过P 作PG AB ∥，由平行的判定方法得PG AB CD ∥∥，由平行线的性质得1EPG BEP BEF n ∠=∠=∠，1FPG DFP DFE n ∠=∠=∠，180BEF DFE ∠+∠=︒，等量代换计算得180EPG DFP n︒∠+∠=，即可求解；掌握性质，作出辅助线求解是解题的关键．【详解】解：如图，过P 作PG AB ∥，PG AB CD ∴∥∥，1EPG BEP BEF n ∴∠=∠=∠，1FPG DFP DFE n∠=∠=∠，180BEF DFE ∠+∠=︒，BEF n EPG ∴∠=∠，DFE n DFP ∠=∠，180n EPG n DFP ∴∠+∠=︒，180EPG DFP n︒∴∠+∠=，180P n ︒∴∠=；故选：B ．31．（2024上·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，,AB CD A BCD ∠=∠∥，点M 是边AD 上一点，连接BM ，延长BM 、CD 交于点P ．点N 是边BC 上一点，连接MN ，使得NMC MCN ∠=∠，作NMP ∠的平分线MQ 交CP 于点Q ．若CMQ α∠=，则AMP ∠的度数用含α的式子表示为（）A ．180α︒-B ．1802α︒-C ．45α︒+D ．90α︒+【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．证明2PMD α∠=，可得结论．【详解】解：设NMC x ∠=．∥ AB CD ，A ADP ∴∠=∠，A BCD ∠=∠ ，APD BCD ∴∠=∠，AD BC ∴∥，NM NC = ，NMC NCM x ∴∠=∠=，CMD NCM x ∴∠=∠=，MQ 平分NMP ∠，QMP QMN x α∴∠=∠=+，()2PMD PMQ QMD x x ααα∴∠=∠+∠=++-=，1801802AMP PMD α∴∠=︒-∠=︒-．故选：B ．32．（2024上·重庆巴南·七年级校考期末）如图，,AB CD BF ∥平分,EBA DG ∠平分,CDE E α∠∠=，则H ∠的度数用含α的式子表示为（）A ．180α︒-B ．12αC ．1902α︒+D ．1902α︒-【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线．根据角平分线得出12,34,∠=∠∠=∠过H 作,HM DC ∥过E 作,EN AB ∥证出2123,513,FHG FHM α=∠-∠∠=∠-∠=∠-∠即可得结论；【详解】BF 平分,EBA DG ∠平分,CDE Ð12,34,∴∠=∠∠=∠过H 作,HM DC ∥过E 作,EN AB ∥,AB CD ∥Q ,AB CD HM EN ∴∥∥∥15,216,35,623,FHM FHG CDE α∴∠=∠=∠+∠∠=+∠∠=∠∠=∠=∠2123,513,FHG FHM α∴=∠-∠∠=∠-∠=∠-∠.2FHG α∴∠=故选：B ．33．（2023下·山东济南·七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）下列结论：①如图1，AB CD ∥，则180A E C ∠+∠+∠=︒；②如图2，AB CD ∥，则P A C ∠=∠-∠；③如图3，AB CD ∥，则1E A ∠=∠+∠；④如图4，直线AB CD EF ∥∥，点O 在直线EF 上，则180αβγ∠-∠+∠=︒．正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质；①过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图2，先根据三角形外角的性质得出1C P ∠=∠+∠，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图3，过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质可得出1180A AEC ∠+∠-∠=︒，即得1801AEC A ∠=︒+∠-∠；④如图4，根据平行线的性质得出BOF α∠=∠，180COF γ∠+∠=︒，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E 作直线EF AB ∥，AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，1180A ∴∠+∠=︒，2180C ∠+∠=︒，12360A C ∴∠+∠+∠+∠=︒，360A AEC C ∴∠+∠+∠=︒，故①错误；②如图2，1∠ 是CEP 的外角，1C P ∴∠=∠+∠，AB CD ∥，1A ∴∠=∠，即P A C ∠=∠-∠，③如图3，过点E 作直线EF AB ∥，AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，3180A ∴∠+∠=︒，12∠=∠，1180A AEC ∴∠+∠-∠=︒，即1801AEC A ∠=︒+∠-∠，故③错误；④如图4，AB EF ∥，BOF α∴∠=∠，CD EF ∥，180COF γ∴∠+∠=︒，BOF COF β∠=∠+∠ ，COF αβ∴∠=∠-∠，180γαβ∴∠+∠-∠=︒，故④正确；综上结论正确的个数为2，故选：B ．二、填空题34．（2024下·江苏·七年级周测）如图，一辆汽车经过一段公路两次拐弯后，和原来的行驶方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行．第一次拐的角B ∠等于142︒，第二次拐的角∠C 的度数为．【答案】142︒/142度【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出B C ∠=∠，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及其应用．【详解】∵原来的行驶方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行，∴142C B ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）．35．（2024上·山东济南·七年级统考期末）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点A 与直尺的一边重合，若130∠=︒，则2∠的度数是°．【答案】60【分析】本题考查了平行线的性质，互余关系；由13∠∠，互余可求得3∠，再由平行线的性质即可求得结果．【详解】解：如图，∵1+3=90∠∠︒，130∠=︒，∴390160∠=︒-∠=︒；∵直尺的两边平行，∴2360∠=∠=︒，故答案为：60．36．（2024上·河南南阳·七年级统考期末）将一副三角板按如图所示重叠放置，其中45BOA ∠=︒，30DOC ∠=︒，90BAO ∠=︒，90DCO ∠=︒，30︒和45︒的两个角顶点重合在一起．若将三角板AOB 绕点O 旋转，在旋转过程中，当AB OC ∥时，BOC ∠=．【答案】45︒或135︒【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键．根据题意画出图形，由平行线的性质可得出答案．【详解】解：如图1，当AOB 绕点O 顺时针旋转90︒时，AB OC ∥，此时45BOC ABO ∠=∠=︒．。

平行线的性质同步测试试题（一）一．选择题1．下列命题中，是真命题的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．对角线相等的菱形是正方形2．下列命题：①三点确定一个圆；②圆中90°的角所对的弦是直径；③长度相等的弧是等弧；④等弧所对的弦相等．其中真命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形4．下列命题正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的矩形是正方形C．16的平方根是±4D．有一组邻边相等的四边形是菱形5．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF⊥DE垂足为F，则∠ABE与∠EDC的数量关系是（）A．∠ABE＝∠EDC B．∠ABE+∠EDC＝180°C．∠EDC﹣∠ABE＝90°D．∠ABE+∠EDC＝90°6．给出下列命题：①弦是直径；②圆上两点间的距离叫弧；③长度相等的两段弧是等弧；④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等；⑤圆是轴对称图形，不是中心对称图形；⑥直径是弦．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．47．下列命题中，是真命题的是（）A．﹣1的平方根是1B．5是25的一个平方根C．（﹣4）2的平方根是﹣4D．64的立方根是±48．如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝（x＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线AB交x轴于C（x0，0），下列命题：①＝；②当x1＜x＜x2时，kx+b＞；③若M（t，s）为线段AB的中点，则t＝x0，其中真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝64°，则∠2＝（）A．116°B．122°C．128°D．142°10．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点M、N，点H在直线CD上，HG⊥EF于点G，过点作GP∥AB．则下列结论：①∠AMF与∠DNF是同旁内角；②∠PGM＝∠DNF；③∠BMN+∠GHN＝90°；④∠AMG+∠CHG＝270°．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2 个C．3个D．4个二．填空题11．“平行四边形两组对边分别相等”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）12．命题“如果ab＝0，则a＝0”的逆命题是．13．如图，DA平分∠BDF，∠3＝∠4，若∠1＝50°，∠2＝130°，则∠CBD＝°．14．如图，a∥b，c，d是截线，∠1＝80°，则∠2+∠3﹣∠4＝°．15．如图，直线AB∥CD，AE平分∠BAC，AE⊥AF，若∠ACD＝110°，则∠F AG＝．三．解答题16．如图，DE平分∠ADF，DF∥BC，点E，F在线段AC上，点A，D，B在一直线上，连接BF．（1）若∠ADF＝70°，∠ABF＝25°，求∠CBF的度数；（2）若BF平分∠ABC时，求证：BF∥DE．17．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，将求证∠CDG＝∠B的过程填写完整．证明：∵EF∥AD（已知）∴∠2＝（）又∵∠1＝∠2（）∴∠1＝（）∴AB∥DG（）∴∠CDG＝（）18．完成下列推理，并填写完理由．已知，如图，∠BAE+∠AED＝180°，∠M＝∠N，试说明：∠1＝∠2．解：∵∠BAE+∠AED＝180°（已知）∴∥（）∴∠BAE＝又∵∠M＝∠N（已知）∴∥（）∴∠NAE＝（）∴∠BAE﹣∠NAE＝﹣（）即∠1＝∠219．填空：如图，已知DG⊥BC，BC⊥AC，EF⊥AB，∠1＝∠2，试判断CD与AB的位置关系．解：CD⊥AB，∵DG⊥BC，BC⊥AC（已知），∴∠DGB＝∠＝90°（垂直定义）．∴DG∥AC（）．∴∠2＝∠．，∴∠1＝∠（等量代换）．∴EF∥（同位角相等，两直线平行）．∴∠AEF＝∠ADC（）．∵EF⊥AB，∴∠AEF＝90°．∴∠ADC＝90°．即：CD⊥AB．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原命题是假命题；B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原命题是假命题；C、有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；D、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；故选：D．2．【解答】解：不共线的三点确定一个圆，所以①为假命题；圆中90°的圆周角所对的弦是直径，所以②为假命题；长度相等的弧不一定等弧，能完全重合的弧为等弧，所以③为假命题；等弧所对的弦相等，所以④为真命题．故选：D．3．【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以A选项错误；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项错误；C、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以C选项正确；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以D选项错误．故选：C．4．【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；B、对角线垂直的矩形是正方形，故原命题错误，不符合题意；C、16的平方根是±4，正确，符合题意；D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意，故选：C．5．【解答】解：过F点作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠BFG＝∠ABF，∠DFG+∠CDF＝180°，∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABF，∴∠BFG+∠DFG+∠CDF＝∠ABF+180°，∴90°+∠CDE＝∠ABE+180°，即∠EDC﹣∠ABE＝90°．故选：C．6．【解答】解：①弦不一定是直径，原命题是假命题；②圆上任意两点间的部分叫弧，原命题是假命题；③在同圆或等圆中，长度相等的两段弧是等弧，原命题是假命题；④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，是真命题；⑤圆是轴对称图形，也是中心对称图形，原命题是假命题；⑥直径是弦，是真命题．故选：B．7．【解答】解：A、﹣1没有平方根，原命题是假命题，不符合题意；B、5是25的一个平方根，是真命题，符合题意；C、（﹣4）2的平方根是±4，原命题是假命题，不符合题意；D、64的立方根是4，原命题是假命题，不符合题意；故选：B．8．【解答】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线y＝（x＞0）上，∴x1y1＝x2y2＝m2+1，∴＝，所以①正确；∵当x1＜x＜x2时，直线y＝kx+b在双曲线y＝（x＞0）上方，∴kx+b＞，所以②正确；∵M（t，s）为线段AB的中点，∴t＝，∵kx+b＝，∴kx2+bx﹣m2﹣1＝0，∴x1+x2＝﹣，把C（x0，0）代入y＝kx+b得kx0+b＝0，∴x0＝﹣，∴x1+x2＝x0，∴t＝x0，所以③正确．故选：D．9．【解答】解：∵∠1＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°＝116°，∵AE平分∠BAC，∴∠3＝∠4＝116°÷2＝58°，∵AC∥BD，∴∠2+∠4＝180°，∴∠2＝180°﹣58°＝122°．故选：B．10．【解答】解：∵∠AMF与∠DNF不是同旁内角，∴①错误；∵AB∥CD，GP∥AB，∴AB∥CD∥GP，∴∠PGM＝∠CNM＝∠DNF，∠BMN＝∠HNG，∠AMN+∠HNG＝180°，故②正确；∵HG⊥MN，∴∠HNG+∠GHN＝90°，∴∠BMN+∠GHN＝90°，故③正确；∵∠CHG＝∠MNH+∠HGN，∴∠MNH＝∠CHG﹣90°，∴∠AMN+∠HNG＝∠AMN+∠CHG﹣90°＝180°，∴∠AMG+∠CHG＝270°，故④正确，故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：“平行四边形两组对边分别相等”的逆命题是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，是真命题，故答案为：真．12．【解答】解：命题“如果ab＝0，则a＝0”的逆命题是“如果a＝0，则ab＝0”，故答案为：如果a＝0，则ab＝0．13．【解答】解：∵∠1＝50°，∴∠DBE＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°，∵∠2＝130°，∴∠DBE＝∠2，∴AE∥CF，∴∠4＝∠ADF，∵∠3＝∠4，∴∠EBC＝∠4，∴AD∥BC，∵AD平分∠BDF，∴∠ADB＝∠ADF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠4＝∠CBD，∴∠CBD＝∠EBC＝＝65°．故答案为：65．14．【解答】解：如图所示：∵∠1＝80°，∴∠4＝100°，∵a∥b，∴∠3＝∠5，∴∠2+∠3＝∠2+∠5＝180°，∴∠2+∠3﹣∠4＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80°．15．【解答】解：∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∵∠ACD＝110°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝70°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝35°，∴∠F AG＝180°﹣∠CAE﹣∠EAF＝180°﹣35°﹣90°＝55°，故答案为：55°．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）∵DF∥BC，∴∠ABC＝∠ADF＝70°，∵∠ABF＝25°，∴∠CBF＝70°﹣25°＝45°；（2）证明：∵DF∥BC，∴∠ABC＝∠ADF，∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADF，∴∠ADE＝ADF，∠ABF＝ABC，∴∠ADE＝∠ABF，∴BF∥DE．17．【解答】证明：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝∠3（等量代换），∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠CDG＝∠B（两直线平行，同位角相等）．故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等；已知；∠3，等量代换；内错角相等，两直线平行；∠B，两直线平行，同位角相等．18．【解答】解：∵∠BAE+∠AED＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠BAE＝∠AEC，又∵∠M＝∠N（已知），∴AN∥EM（内错角相等，两直线平行），∴∠NAE＝∠MEA（两直线平行，内错角相等），∴∠BAE﹣∠NAE＝∠CEA﹣∠MEA（等量减等量，差相等），即∠1＝∠2．故答案为：AB，CD，同旁内角互补，两直线平行；∠AEC；AN，EM，内错角相等，两直线平行；∠MEA，两直线平行，内错角相等；∠CEA，∠MEA，等量减等量，差相等．19．【解答】解：CD⊥AB，∵DG⊥BC，BC⊥AC（已知），∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）．∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠ACD．，∴∠1＝∠ACD（等量代换）．∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．∴∠AEF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等）．∵EF⊥AB，∴∠AEF＝90°．∴∠ADC＝90°．即：CD⊥AB．故答案为：ACB；同位角相等，两直线平行；ACD；ACD；CD；两直线平行，同位角相等..。

数学随堂小练人教版七年级下册：5.3平行线的性质一、单选题1.如图，直线a b ∥，160∠︒＝，则2∠＝（ ）A.30°B.60°C.45°D.120°2.如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若240∠=︒，则1∠的度数是（ ）A ．60°B ．50° C． 40° D． 30°3.如图，B C ∠∠＝，A D ∠∠＝.下列结论: ①//AB CD ；②//AE DF ；③AE BC ⊥；④AMC BND ∠∠＝，其中正确的结论有（ ）A.①②④B.②③④C.③④D.①②③④4.下列语句，不是命题的是（ ）A.俄罗斯是2018年世界杯的举办国B.两直线不相交就是平行C.连接A B ，两点D.两点之间线段最短5.下列命题是真命题的是（ ）A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等B.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补C.两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相垂直D.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直6.下列推理中，错误的是（ ）A.AB CD ＝，CD EF ＝，AB EF ∴＝B.αβ∠∠＝,βγ∠∠＝,αγ∴∠∠＝C.//a b ，//b c ，//a c ∴D.AB EF ⊥，EF CD ⊥，AB CD ∴⊥7.如图，AB CD ∥，110C ∠︒＝，120B ∠︒＝，则BEC ∠＝（ ）A.110︒B.120︒C.130︒D.150︒8.如图，AB CD ，EF BD ⊥，垂足为E ，240∠︒＝，则1∠的度数为（）A.50︒B.40︒C.45︒D.25︒9.如图，AB DE ∥，90ADB ∠︒＝，则B ∠与1∠的关系是（ ）A.互余B.相等D.互补或相等二、填空题10.命题:“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是 , ，结论是 .11.已知三条不同的直线a ，b ，c 在同一平面内，下列四个命题:①如果//a b ，a c ⊥，那么b c ⊥；②如果//b a ，//c a ，那么//b c ；③如果b a ⊥，c a ⊥，那么b c ⊥；④如果b a ⊥，c a ⊥，那么//b c .其中真命题是（填写所有真命题的序号）12.如图,已知直线//,110,AB CD DCF AE AF ∠==,则A ∠=__________度13.命题:①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③同位角相等;④同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行。