正切函数
1.正切函数的图像
(1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x x
cos sin --=tanx
(其中x ≠k π+2π
,k ∈Z)推出正切函数的周期为π.
(2)根据tanx=x x
cos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0,
从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π
,k ∈Z}
(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π
).利用单位圆中的正切线，通
过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π
(k
∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.
y=tanx
2.余切函数的图像如下：
y=cotx
3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx
余切函数y=cotx
注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)内是增函数，但不能说成在整个
定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此.
【重点难点解析】
本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切
线作.因y=tanx 定义域是{x ｜x ∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π
(k
∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.
1.正切函数应注意以下几点：
(1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π
,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2)
正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π
)(k ∈Z)上是连续的；(3)
在每一个区间(k π-2π,k π+2π
)(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数.
2.解正切不等式一般有以下两种方法：
图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.
例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间.
分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保留，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像.
解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π
］
-tanx,x ∈(k π-2π
,k π)(k ∈Z)
所以其图像如图所示，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π
,k
π］(k ∈Z).
说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx ｜的最小正周期为π.一般地，y=A ｜
tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同，均为
ω
π.
例2 求函数y=lg(tanx-3)+3cos 2+x 的定义域. 解：欲使函数有意义，必须
tanx ＞3, 2cosx+3≥0,
x ≠k π+2π
(k ∈Z)
由此不等式组作图
∴函数的定义域为(k π+3π,k π+2π
).
评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.
例3 求函数y=tan(2x-3π
)的单调区间.
解：y=tanx,x ∈(-2π+k π, 2π
+k π)(k ∈Z)是增函数.
∴-2π+k π＜2x-3π＜2π
+k π,k ∈Z.
即-12π+2πk ＜x ＜125π+2π
k ，k ∈Z
函数y=tan(2x-3π
)的单调递增区间是(-12π+2πk ,125π+ 2πk ).(k ∈Z)
例4 求函数f(x)=tan(2x+3π
)的周期.
解：因为tan(2x+3π+π)=tan(2x+3π
)
即tan ［2(x+2π)+3π］=tan(2x+3π
)
∴tan(2x+3π)的周期是2π
.
例5 求函数y=3tan(2x+3π
)的对称中心的坐标.
分析：y=tanx 是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(2π
k ,0)(k ∈Z).函数y=Atan(ω
x+φ)的图像可由y=tanx 经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x 轴交点.
解：由2x+3π= 2π
k ,(k ∈Z)得 x=4πk -6π
(k ∈Z)
∴对称中心坐标为(4πk -6π
,0)(k ∈Z)
注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质加以比较研究.
【难题巧解点拔】
例 判断函数f(x)=tan(x-4π)+tan(x+4π
)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.
分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x 有f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.
解：此函数的定义域为{x ｜x ∈R 且x ≠k π+4π
,k ∈Z}它是关于原点对称.
又f(-x) =tan(-x+4π)+tan(-x-4π
)
=-tan(x-4π)-tan(x+4π
)=-f(x)
故此函数是奇函数.
y=tan(x-4π)+tan(x+4π
)
