圆锥曲线
【高考命题规律】
小题部分：2013年第4题考查了双曲线的渐近线方程，第10题考查了椭圆中的中点弦公式；2014年第4题考查了双曲线中焦点到渐近线距离公式，第10题考查了抛物线中的焦点弦结论；2015年第5题结合向量考查了双曲线中的焦点三角形结论，第14题以椭圆的基本性质为背景，考查了圆的方程；2016年第5题考查了双曲线标准方程满足的条件，第10题以抛物线为背景，结合圆的方程，考查抛物线的焦准距；2017年第10题考查抛物线的焦点弦公式，第14题以双曲线为背景，结合圆的知识，考查离心率。预测2018年仍然会考两道小题，加上解答题会包含解析几何四大曲线，小题仍以圆锥曲线基本性质为主，几乎都会考到小结论，很有可能模式与前两年一样，以圆锥曲线为背景，必然会夹杂圆的有关知识，本章节知识点繁多，可易可难，亲们想要全部掌握，必须下苦功夫，小结论参考基础知识整合部分，会推导，会应用，善于化简，能够进行大的计算量是本章内容得分之关键！
【基础知识整合】椭圆知识点
（一）椭圆的图像与性质
定义：平面上到两定点1(,0)F c -，2(,0)F c 的距离之和等于定值2(22)a a c >的点的集合.（求轨迹方法：1:求什么设什么，设(,)P x y ，2：找条件，12||||2PF PF a +=，3：代入数据
2a ，4：化简得22
2221x y a a c
+=-，5：检验，可能挖点）
令2
2
2
a c
b -=，得到焦点在x 轴上的椭圆标准方程22221
x y
a b
+=
（1212||||2||PF PF a F F +=>，222a c b -=，c e a ==）其中1max ||PF a c
=+1min ||PF a c
=-当2PF x ⊥轴时，2
2||b PF a
=
共焦点的椭圆方程设为：22
221
x y a m b m
+=++共离心率的椭圆方程设为：22
22
1x y ma mb
+=若点00(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上，则过点P 且与椭圆相切的直线方程是00221x x y y a b +=.
若点00(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外，则过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为12,P P ，
则切点弦12PP 的直线方程是
00221x x y y
a b
+=.
（二）椭圆中的焦点三角形
★题设：若1||PF m =，2||PF n =，12F PF θ∠=，
结论：222
2[,]1cos b mn b a θ=∈+，22222cos [,]1cos b m n b c b θθ
⋅=∈-+ ，122tan (0,]
2PF F S b bc θ∆=⋅∈证明如下：由余弦定理得：
2
2
2
2
2
(2)2cos ()2(1cos )42(1cos )c m n mn m n mn a mn θθθ=+-=+-+=-+2
21cos b mn θ
⇒=
+122
2222sin
cos 112sin 22sin tan 221cos 22cos 2
PF F b S mn b b θθ
θ
θθθθ
∆==⋅=⋅
=⋅+题设：若椭圆上存在一点P ，使得12F PF θ∠=，求离心率范围.结论:2
1cos sin 22
e θθ
-≥
=证明如下：
2
2
2222222
222()1cos 2(1cos )1cos 2(1)1cos 1cos 22b m n a c mn a b a e e a θθθθθ+--⎛⎫=
≤=⇒≤+⇒
≤+⇒-≤+⇒≥ ⎪+⎝⎭
题设：焦点三角形12PF F 中，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，结论：则离心率sin()
sin sin e αβαβ
+=
+证明如下：12||22sin sin sin()22sin 2sin sin sin sin sin F F c R e a m n R R θθαββααβαβ
+=
====
++++（三）椭圆中的中点弦（点差法或韦达定理）
★题设：AB 是不平行于对称轴的弦，P 是AB 的中点，结论：22
AB OP
b k k a
⋅=-证明如下：
推论1：若,A B 关于原点O 对称，P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，结论：22
PA PB
b k k a
⋅=-证明如下：设1122(,),(,)P x y A x y ，则22(,)B x y --，所以211221
211221
()()PA PB y y y y y y k k x x x x x x ---+=
⋅==---+所以22
21212122
212121PA PB
y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=
-+-又22
11222222222
2121212222222
212222
101
x y x x y y y y b a b a b x x a x y a b ⎧+=⎪---⎪⇒+=⇒=-⎨-⎪+=⎪⎩所以22PA PB
b k k a
⋅=-.
推论2：若l 是椭圆上不垂直于对称轴的切线，M 为切点，结论：2
2
l OM
b k k a
⋅=-双曲线知识点
（一）双曲线的图像与性质
定义：平面上到两定点1(,0)F c -，2(,0)F c 的距离之差的绝对值等于定值2(22)a a c <的点的集合.（求轨迹方法：1:求什么设什么，设(,)P x y ，2：找条件，12||||||2PF PF a -=，3：代入数据
2
2
2
2
|()()2x c y x c y a ++-+=，4：化简得22
22
2
1x y a c a
-=-，5：检验，可能挖点）令2
2
2
c a b -=，得到焦点在x 轴上的双曲线标准方程22221
x y
a b
-=（1212||||||2||PF PF a F F -=<，222c a b -=，2
1c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
，已知任意两个量关系，设k ）
