土木类工程应用数学试卷（开卷）
（土木类研究生用，2013-1-11）
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答题要求：（1）过程要完整；
（2）书写要工整。
1. （10分）长为l 的均匀杆，两端有恒定的热流进入，其强度为q ，杆的中点处也有恒定
的热源，其强度为p 。试推导杆的温度场所满足的偏微分方程，并写出其定界条件。
2（10分）利用分离变量法求解
⎪⎩⎪⎨⎧=-===<<<<=∇====,0|,|,0|,|),0,0(,),(00
2b y y y y a x x x x u Q u u Q u b y a x x y x u 其中Q b a ,,都是常数。
3.（10分）用Laplace 变换法求解定解问题
⎪⎩⎪⎨⎧==>===x u u x u a u t x x xx t 0
02|0
|)0(
4. （10分）设一发射源强度公式为，已得到观测数据如下；
t 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
I 3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56 利用最小二乘法，求I与t之间的关系。
5. （10分）用复合Simpson公式计算积分
⎰=21ln
sin
)
(xdx
x
f
I
讨论在误差要求不超过
2
10-条件下的步长，并求数值积分。在此基础上，如果要求将积分
误差精度提高到
3
10-，试利用区间逐次减半法实现之。
6. （10分）Hamiton原理：质点系的运动（满足某些约束条件），必使积分作用量
达到极值（最小值），其中T,U分别表示质点系的动能和位能，t表示时间。设有均匀弦AB，其单位长度的密度为，弦内拉力为N，x=0,x=l两端点固定。若记w(x,t)为弦的横向位移，则整个弦的动能为
而弦内由于变形所积蓄的弹性变形能（位能）为
试利用Hamiton原理推导弦振动方程。
7. （10分）设梁的抗弯刚度不均匀，梁的中间一段的刚度为2E，其长为梁长2l的一半，梁两端各有一段的刚度为E,其长为l/2。如果梁的中间段承受均匀分布载荷q。在考虑不均匀简支梁的弯曲时，简支条件
(位移固定条件)
(弯曲为零)
梁的最小位能原理的泛函为
试用立兹近似法计算梁的中点最大位移。
8. （10分）给出)21(,cos ln )(≤≤=x x x x f 的等距节点函数表，如用抛物线插值
计算)(x f 的近似值，使其截断误差不超过5102
1-⨯，则函数表的步长应取多大？
9. (10分）分别用乘幂法和反幂法计算矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=310121013A 的最大、最小特征值，以及相应的特征向量（要求结果有三位有效数字）。同时计算该矩阵的谱条件数。
10.(10分) 解方程组
,
244,3043,
24343232121-=+-=-+=+x x x x x x x
首先，判断利用SOR(ω=1.5)迭代法是否收敛。在收敛的情况下，估计达到精度达到310-需要的迭代次数，并实际计算之。
