几类二阶变系数常微分方程解法论文
二阶变系数常微分方程几种解法的探讨
胡博（111114109）
（湖北工程学院数学与统计学院湖北孝感 432000）
摘要：常系数微分方程是我们目前可以完全解决的一类方程，而求变系数常微分方程的通解是比较困难的，一般的变系数常微分方程目前是还没有通用解法的。本文主要对二阶变系数常微分方程求解进行了探究，利用特解、常数变易法、变量变换等方法求出了某些二阶变系数线性微分方程的通解，并初步归纳了二阶变系数线性方程的求解基本方法及步骤。
关键词：二阶变系数线性微分方程；变换；通解；特解
To explore the solution of some ordinary differential equations of two order variable coefficient
Zhang jun(111114128)
(School of Mathematics and Statistics Hubei Engineering University Hubei Xiaogan 432000)
Abstract:Differential equation with constant coefficients is a class of equations we can completely solve the present general solution, and change coefficient differential equations is difficult, the variable coefficient ordinary differential equation is at present there
is no general solution. This paper mainly explores the ordinary differential equation with variable coefficients of order two, the use of special solutions, variation of constants, variable transform method to extract some two order linear differential equation with variable coefficients of the general solution, and summarizes the two basic methods for solving the second-order linear equations with variable coefficients and steps.
Key words:Two order variable coefficient linear differential equations; transformation; general solution; special solution
0 引言
二阶变系数常微分方程y′′+p(x)y′+q(x)y=0及其特征值问题是求解数
学物理方程的基础。可见二阶变系数常微分方程在物理学中应用是非常广泛的。但一般二阶变系数微分方程的求解比较困难，至今仍没有通用解法，因此探讨二阶变系数微分方程的解法是非常有必要的。本文主要利用特解、常系数变法、
变量变换等方法来求解某些二阶变系数微分方程的通解，给我们在日后求解二阶变系数微分方程的过程提供了方便。
1 具有特定结构的二阶变系数常微分方程
二阶变系数齐次线性微分方程：f(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=0(1.1)，(其中f(x),p(x),q(x)为连续函数)。
1.1满足条件f(x)r2+p(x)r+q(x)=0,r为常数类型时，方程(1.1)的通解
在求(1.1)通解前，我们先求二阶常系数齐次线性方程
ay′′+by′+cy=0(其中a,b,c为常数且a≠0) (1.1.1)由线性微分方程通解结构定理【1】知，若y1(x),y2(x)是(1.1.1)的两个线性无关的特解，则其通解为y=c1y1(x)+c2y2(x).
假设y=e rx是方程是方程(1.2)的一个特解，则讨论r满足的条件
对y=e rx两边求导得：
y′=re rx,y′′=r2e rx
将其代入方程(1.2)得：(ar2+br+c)e rx=0,
由于e rx≠0，则可知ar2+br+c=0(1.1.2)当r为(1.3)的一个解时，y=e rx必为(1.2)的解
由此很容易求出方程(1.2)的通解。
对比方程(1.1)，(1.1.1)，易知其结构类似，且方程(1.1.1)是(1.1)的特殊形式。所以我们类比上述求解常系数方程的方法，猜想假设(1.1)有一个特解y=
e rx，
将y=e rx，y′=re rx,y′′=r2e rx代入方程(1.1)得：
[f(x)r2+p(x)r+q(x)e rx]=0
其中显然e rx≠0，则有：
f(x)r2+p(x)r+q(x)e rx=0 (1.1.3)
此时若对f(x)，p(x)，q(x)存在常数r使得(1.1.3)对一切x恒成立，则方程(1.1)有一特解y1=e rx,此时要想求出方程(1.1)的通解，还需要找出另一个特解y2，且y1，y2是线性无关的。
联想到常数变易法，易想到假设y 2=u (x )e rx 也是方程(1.1)的一特解， 则y′2=[u′(x )+ru (x )]e rx ,
y′′2=[u′′(x )+2ru′(x )+r 2u (x )]e rx
将y 2，y ′2， y ′′2代入方程(1.1)得：
f (x )u ′′(x )+[2rf (x )+p (x )]u ′(x )+[f (x )r 2+p (x )r +q (x )]u (x )=0
由于f (x )r 2+p (x )r +q (x )=0
⇒ f (x )u ′′(x )+[2rf (x )+p (x )]u ′(x )=0 (1.1.4) 令h (x )=u ′(x ),则h′(x )=u ′′(x ),将方程(1.5)降为一阶线性
⇒1h (x )dh (x )=[−2r −p (x )f (x )
]dx ⇒h (x )=
e −2rx−∫p (x )
f (x )dx 即得出du dx =h (x )=
e −2rx−∫p (x )
f (x )dx 解得u (x )=∫e
−2rx−∫p (x )f (x )dx dx 即得出方程(1.1)另一特解y 2=u (x )e
rx =e rx ∫e −2rx−∫p (x )f (x )dx dx ， 由于y 2y 1=∫e −2rx−∫p (x )
f (x )dx dx ，显然y 1，y 2是线性无关的， 最终得出方程(1.1)的通解为：
y =c 1y 1(x )+c 2y 2(x )
=[c 1+c 2
∫e −2rx−∫p (x )
f (x )dx dx]e rx
结论（1）：二阶变系数齐次线性微分方程f (x )y ′′+p (x )y ′+q (x )y =0，满足条件f (x )r 2+p (x )r +q (x )=0 ，r 为常数情况下，方程的通解为
y =[c 1+
c 2∫e −2rx−∫p (x )f (x )dx dx]e rx ,其中c 1，c 2为常数
例1
求方程xy ′′−2(x +1)y ′+4y =0的通解
解：由题可知f (x )=x,p (x )=−2x −2q (x )=4,
则由f (x )r 2+p (x )r +q (x )=0
