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二阶变系数常微分方程几种解法的探讨胡博（111114109）（湖北工程学院数学与统计学院湖北孝感 432000）摘要：常系数微分方程是我们目前可以完全解决的一类方程，而求变系数常微分方程的通解是比较困难的，一般的变系数常微分方程目前是还没有通用解法的。
本文主要对二阶变系数常微分方程求解进行了探究，利用特解、常数变易法、变量变换等方法求出了某些二阶变系数线性微分方程的通解，并初步归纳了二阶变系数线性方程的求解基本方法及步骤。
关键词：二阶变系数线性微分方程；变换；通解；特解To explore the solution of some ordinary differential equations of two order variable coefficientZhang jun(111114128)(School of Mathematics and Statistics Hubei Engineering University Hubei Xiaogan 432000)Abstract:Differential equation with constant coefficients is a class of equations we can completely solve the present general solution, and change coefficient differential equations is difficult, the variable coefficient ordinary differential equation is at present thereis no general solution. This paper mainly explores the ordinary differential equation with variable coefficients of order two, the use of special solutions, variation of constants, variable transform method to extract some two order linear differential equation with variable coefficients of the general solution, and summarizes the two basic methods for solving the second-order linear equations with variable coefficients and steps.Key words:Two order variable coefficient linear differential equations; transformation; general solution; special solution0 引言二阶变系数常微分方程y′′+p(x)y′+q(x)y=0及其特征值问题是求解数学物理方程的基础。
一类二阶变系数线性微分方程解题方法探究1. 引言1.1 研究背景二阶线性微分方程是微积分中的重要内容，通过对其求解可以研究各种物理现象和工程问题。
一般情况下，二阶线性微分方程的系数是常数，但在实际问题中，系数往往是变化的，这就是变系数线性微分方程。
变系数线性微分方程是一类具有很高难度的微分方程，在传统的数学建模和求解中往往难以得到简洁的解析解。
目前，关于变系数线性微分方程的研究主要集中在数值求解和特殊情况下的解法探究上，而对于一般情况下的解法仍存在一定的挑战。
有必要对一类二阶变系数线性微分方程的解题方法进行深入探究，以完善相关理论和方法，推动微分方程领域的发展和应用。
1.2 研究目的本文旨在探究一类二阶变系数线性微分方程的解题方法，旨在通过研究该类微分方程的一般形式，特殊情况下的解法探究以及变系数对解的影响分析，深入理解微分方程中变系数的作用机制。
本研究旨在通过数值方法求解，探讨在实际应用中如何有效地求解该类微分方程，从而为工程问题中的应用提供理论支撑。
通过实例分析，将具体问题与理论相结合，验证所提出的解题方法的有效性和实用性。
最终，通过对变系数线性微分方程的解析解与数值解进行对比，分析方法的优缺点，探讨未来研究的方向，为这一领域的深入研究提供基础。
1.3 相关工作相关工作是指已经在变系数线性微分方程解题方法方面取得一定成果的学者们的工作。
在这个领域中，已经有许多学者对不同类型的二阶变系数线性微分方程进行了探究与解析，并提出了各种解题方法。
某些学者使用变换方法将一个复杂的二阶变系数线性微分方程化简为一个更容易求解的形式；另一些学者则采用特殊函数法或级数解法来求解特定类型的变系数微分方程。
还有学者尝试将变系数微分方程转化为常系数微分方程来求解，以简化计算过程。
一些研究者也尝试使用计算机数值模拟的方法来求解二阶变系数线性微分方程，通过数值求解可以得到更精确的数值解，并且可以应用于实际工程和科学问题中。
目录一、论文正文摘要 (1)1引言 (1)2构造系数函数法 (1)2.1第一种构造系数函数法 (1)2.1.1应用举例 (4)2.2第二种构造系数函数法 (5)2.2.1应用举例 (5)3常数变异法 (5)3.1求二阶变系数齐次线性微分方程的通解 (6)3.2求二阶变系数非齐次线性微分方程的解 (6)3.3.1 应用举例 (8)4 总结 (9)致谢 (9)参考文献 (9)二、附录开题报告 (11)中期检查报告 (12)结题报告 (14)答辩报告 (15)答辩过程记录 (16)指导教师：贾化冰二阶变系数线性微分方程的求解问题苏鲜娜 （宝鸡文理学院 数学与信息科学学院，陕西 宝鸡 721013 ）摘 要:本文考虑二阶变系数线性微分方程的求解问题.基于系数函数的特点,利用常数变异法,获得二阶变系数线性微分方程的通解，并举例说明。
关键词:二阶变系数线性微分方程；通解；常数变易法1 引言随着科学的发展和社会的不断进步，微分方程的应用也越来越广泛，比如在物理，化学，电子技术，自动控制等领域，它都发挥着及其重要的作用，同时也都提出了许多有关微分方程的问题。
对于有关常系数线性微分方程的问题，已有许多研究者提出了各种不同的求解方法，然而，对于变系数线性微分方程，特别是二阶甚至高阶变系数线性微分方程的求解问题却研究的并不是很多，作为微分理论重要组成部分的二阶变系数线性微分方程，在现代科技、工程等各领域中都具有广泛的应用，可是对于如何来求解二阶变系数线性微分方程, 虽然对其解的结构已有一定研究，但是却仍然没有一种成规的方法.无论是在中国还是在外国现行的《高等数学》[1]中，也只是对于常系数微分方程的求解问题做了比较详细的研究与归纳，即使在《常微分方程》中也没有对二阶变系数微分方程的通解或者特解作出更深一步的研究。
如果()p x ,()q x 为连续且非常数的函数，那么方程()()()y p x y q x y f x '''++=，被称为二阶变系数线性微分方程。
二阶变系数线性齐次微分方程的一些解法二阶变系数线性齐次微分方程的求解方法有多种，其中常用的有拉普拉斯变换、迭代、改型四阶 Runge-Kutta 法等。
1、拉普拉斯变换：拉普拉斯变换可以用于求解二阶变系数线性齐次微分方程。
该方法被称为拉普拉斯变换是由波扎西在1820年提出的，其原理是使用一种变换把微分方程变换成容易求解的线性方程组。
例如：考虑以下方程：$y\prime\prime +222ty\prime +529y=0$可以使用以下四步法将其转换为可以直接求解的形式：(1) 用拉普拉斯变量$z=y\prime$，等号右边变为：$z\prime+222tz+529y=0$(2)$y\prime=z$，两边同时乘以$e^{\int{222t}dt}$，此时等号两边的导数消去，得：$e^{\int{222t}dt}z+222te^{\int{222t}dt}y=0$，再变形得：$z+222te^{\int{-222t}dt}y=0$(3)将等号两边都乘以$e^{\int{-222t}dt}$，则有：$e^{\int{-222t}dt}z+222y=0$(4)等号两边同时除以$222$，则有：$\frac{e^{\int{-222t}dt}}{222}z+y=0$这样就可以将方程变换为可以直接求解的标准形式：$\frac{dz}{dt}+p(t)z+q(t)y=0$，这就是二阶变系数线性齐次微分方程的拉普拉斯变换所得到的结果。
2、迭代法迭代法是指通过某种规则迭代取不断精确的数据，从而求解问题的方法。
它指定了一系列迭代公式，用来在定义域上以增量方式估计近似解。
迭代法可以用来求解二阶变系数线性齐次微分方程，其基本原理是首先对方程进行拉弦展开（也叫做多项式拟合），然后分别求出每次迭代时的Y和V值，并用它们来更新下一次的Y和V 值，从而不断地进行反复的迭代操作，直到找到足够精确的解。
2011届本科毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学07-(4)实验班学生姓名：曼则热古丽．图尔荪指导教师：吐尔洪.艾尔米丁答辩日期：2011年5月11日新疆师范大学教务处目录引言................................................................................................................. 错误！未定义书签。
1 二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用..................................... 错误！未定义书签。
2 二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用............................................. 错误！未定义书签。
2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程....................... 错误！未定义书签。
2.2未知函数代换................................................................................... 错误！未定义书签。
3二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用.................................. 错误！未定义书签。
3.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法....................................... 错误！未定义书签。
3.2应用................................................................................................... 错误！未定义书签。
4 总结............................................................................................................. 错误！未定义书签。
微分方程应用二阶常微分方程的解法和物理应用微分方程应用一、引言微分方程是数学中重要的一种方程形式，在各个领域中都有广泛的应用。
其中，二阶常微分方程是微分方程中的常见形式之一，其解法和物理应用具有重要意义。
本文将围绕二阶常微分方程展开讨论，分析其解法和物理应用。
二、二阶常微分方程的解法二阶常微分方程可以写作：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$$其中，$y''(x)$表示函数$y(x)$的二阶导数，$y'(x)$表示函数$y(x)$的一阶导数，$p(x)$、$q(x)$和$f(x)$为已知函数。
在解二阶常微分方程时，常采用以下两种方法。
1. 特征方程法特征方程法是解二阶常微分方程的常用方法之一。
首先，我们将二阶常微分方程转化为特征方程，并求解该特征方程的根。
假设特征方程有两个不同的实根$\lambda_1$和$\lambda_2$，则二阶常微分方程的通解可以表示为：$$y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$$其中，$C_1$和$C_2$为待定常数。
2. 变量分离法变量分离法也是解二阶常微分方程的常用方法之一。
我们将二阶常微分方程通过一些变换，化为可分离变量的形式。
然后，对方程进行逐步积分，并对变量进行分离，最终求得方程的解。
变量分离法灵活简便，适用于不同形式的二阶常微分方程。
三、二阶常微分方程的物理应用二阶常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
下面介绍几个典型的物理应用例子。
1. 自由振动在弹簧振子的运动中，可通过二阶常微分方程描述其自由振动。
方程形式如下：$$m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0$$其中，$m$表示弹簧振子的质量，$k$表示弹簧的弹性系数。
通过求解该二阶常微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律。
2. 热传导热传导现象可用二阶常微分方程进行描述。
热传导方程如下：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$其中，$u$表示温度的变化，$a$为传热系数。
二阶常微分方程解的存在问题分析毕业论文目 录§1 引言 (1)§2 常系数线性微分方程的解法 (1)2.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法——特征方程法 (1)2.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 (3)2.2.1类型Ⅰ：x n e x P x f λ)()(= (3)2.2.2类型Ⅱ：x n m e x x P x x P x f λωω)sin )(cos )(()(+= (6)§3 二阶微分方程的降阶和幂级数解法 (7)3.1 可将阶的一些方程类型 (7)3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法 (10)3.3 二阶变系数线性微分方程的常系数化 (12)3.3.1 欧拉方程 (12)3.3.2 二阶线性微分方程的常系数化 (13)§4 拉普拉斯变换 (14)§5 二阶微分方程的存在唯一性 (16)5.1 存在唯一性定理 (16)5.2 应用举例 (21)5.2.1 关于二阶线性齐次方程解的零点 (21)5.2.2 二阶线性非齐次方程的边值问题 (21)致 谢 (24)参考文献 (25)§1 引言二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。
这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。
本文将主要介绍几种不同类型的二阶线性微分方程的解法，及二阶微分方程的初值问题的存在唯一性定理。
§2 常系数线性微分方程的解法2.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法——特征方程法若21,y y 是二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y ，其中q p ,均为常数 （2.1）的两个线性无关的解，那么（2.1）的通解就可表示成2211y C y C y +=（21,C C 为任意常数）由此可知，只要找到方程（2.1）的两个线性无关的解，就能求出（2.1）的通解。
二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础．对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析．关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解The Numerical Solutions ofSecond-Order Ordinary Differential Equations with the Boundary Value ProblemsABSTRACTThe numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numerical methods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.For the second-order ordinary differential equations with the boundary value problems, we review two kinds of numerical methods commonly used for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. There are mainly two ways to create these finite difference methods: i.e. Taylor series expansion method and Numerical Integration. The later one is more flexible, because at the same time it can get the estimates of the truncation errors. We give the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. In the first chapter, we will introduce some backgrounds of the ordinary differential equations and the difference method. In the second chapter, we will obtain difference schemes of the numerical solutions of the Second-Order ordinary differential equations with the boundary value problems through the Taylor expansion. In the third chapter, we using Matlab tosolve the specific examples on the basis of the second chapter, and analyzing the errors.KEY WORDS: Ordinary Differential Equations, Boundary Value Problems, Finite Difference Method, Taylor Expansion, Numerical Solution毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
一类二阶变系数线性微分方程解题方法探究1. 引言1.1 研究背景二阶变系数线性微分方程是微分方程理论中的一个重要分支，它在物理、工程、经济等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常会遇到一些具有变化系数的二阶微分方程，例如阻尼振动问题、传热问题、电路问题等。
这些问题的解析求解通常比较困难，需要借助一定的数学方法和技巧去解决。
在过去的研究中，人们已经对一阶和二阶变系数线性微分方程进行了深入的探讨和研究，提出了一系列解题方法和技巧。
随着科学技术的不断发展，一些特殊的变系数微分方程问题仍然存在研究空白，需要进一步的深入探讨。
对一类二阶变系数线性微分方程解题方法的探究具有重要的理论意义和实际意义。
通过研究这些问题，不仅可以推动微分方程理论的发展，还可以为解决实际问题提供更有效的数学工具和方法。
在这样的背景下，本文将探讨一类二阶变系数线性微分方程的解题方法，为相关领域的研究和应用提供一定的理论支持和参考。
1.2 研究意义二阶变系数线性微分方程是微积分课程中的一个重要内容，其解题方法对于深入理解微分方程的理论和应用具有重要意义。
通过对这类微分方程解法的探究，可以帮助学生加深对微分方程理论的理解，提高其数学建模和解决实际问题的能力。
对二阶变系数线性微分方程解题方法的探究也有助于推动微分方程理论在工程、物理、生物等领域的应用。
在实际工作中，二阶变系数线性微分方程常常出现在各种领域的建模和计算中。
掌握了解题方法，可以更好地解决实际工程问题，提高工作效率，促进科学技术的发展。
对变系数线性微分方程解题方法的研究也可以拓展数学领域的理论，为数学研究提供新的思路和方法。
对一类二阶变系数线性微分方程解题方法的探究具有重要意义，可以促进数学理论的发展，提高数学应用的能力，推动科学技术的进步。
1.3 研究目的研究目的是为了深入探究一类二阶变系数线性微分方程的解题方法，帮助我们更好地理解和应用这类微分方程。
通过研究，我们可以掌握不同类型微分方程的解法技巧，提高我们解决实际问题的能力。
目录1 引言 ................................ - 4 -2 二阶常系数常微分方程的几种解法.................... - 4 - 2.1 特征方程法........................... - 4 -2.1.1 特征根是两个实根的情形...................... - 5 - 2.1.2 特征根有重根的情形....................... - 5 -2.2 常数变易法........................... - 7 -2.3 拉普拉斯变换法.......................... - 8 -3 常微分方程的简单应用......................... - 9 -3.1 特征方程法........................... - 10 -3.2 常数变易法........................... - 12 -3.3 拉普拉斯变换法.......................... - 13 -4 总结及意义............................. - 14 -参考文献. .......................... - 15 -二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文主要介绍了二阶常系数微分方程的三种解法：特征方程法、常数变异法和拉普拉斯变换法，并着重讨论了特征方程根为实根、复根及重根的情形针对这三种解法的特点，分别将其应用到求解弹簧振子系统的振子的运动方程。
关键词：二阶常微分方程 ; 特征根法；常数变异法；拉普拉斯变换METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITSAPPLICATIONAbstract:This paper mainly introduces three kinds of solution for order differential equation with constant coefficients: characteristic equation method, the method of variation of constant and Laplasse transform method, and discusses the characteristics of Fang Chenggen is the real root, complex roots and root. According to the characteristics of the three solution, were applied to the equations of motion of vibrator for spring oscillator system.Keywords: second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform two the1引言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是数学分析里大部分思想和理论的根源。
目录1 引言12 一阶变系数常微分方程的解法探讨12.1 变系数一阶微分方程的几个可积类型12.2 应用举例73二阶变系数线性微分方程的解法探讨93.1用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解93.1.1对变系数线性二阶微分方程特解的探索113.1.2 确定的通解123.1.3用常数变易法确定的特解143.1.4应用举例153.2二阶变系数线性微分方程的积分因子解法173.2.1关于二阶变系数线性微分方程的积分因子的一些结论173.2.2讨论如何求出193.2.3应用举例203.3二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法223.3.1利用自变量的变换实现常系数化223.3.2利用未知函数的齐次线性变换实现常系数化243.3.3 应用举例264三阶变系数线性微分方程的解法探讨284.1 方程（4.1）化为常系数方程的一种充要条件294.2 应用举例33结束语34参考文献34致35变系数常微分方程的解法探讨数学计算机学院数学与应用数学专业2013届余小艳摘要：求变系数常微分方程的解，迄今为止没有一种确定的方法. 本文通过寻找特解和变量代换等方法得到了一些新的求解一类二阶变系数线性微分方程通解的方法，并讨论了一阶变系数线性微分方程和三阶变系数线性微分方程化为常系数方程的几个充要条件. 又举例说明了这些方法的可行性，有效扩充了变系数微分方程可解围.关键词：变系数常微分方程；二阶变系数微分方程；通解；变量变换中图分类号：O175.1Discussion on the Solution of Ordinary Differential Equation withVariable CoefficientAbstract: So far, there hasn’t been an established method on how to solve Ordinary Differential Equation (ODE) with Variable Coefficients. This paper presents some methods of solving the second order linear ODE with variable coefficients by means of searching special solution and variable transformation, etc. This paper also gives an introduction to the necessary and sufficient conditions of first order linear ODE and 3 rd order linear ODE with variable coefficient that can be translated into constant coefficients. Moreover, we give some examples to illustrate the feasibility of these methods. Hence, the results effectively extend the solvable for the variable coefficient differential equations.Key words: variable coefficients ordinary differential equations；second order differential equations with variable coefficients；general solutions；variable transformation变系数常微分方程的解法探讨1 引言常微分方程已经成为数学领域中一项十分重要的学科,并且在求解问题,模型,指导实践中有着极为广泛的应用.二阶变系数线性常微分方程是常微分方程中一类常见的方程，但迄今为止，二阶变系数常微分方程的通解问题在数学领域并没有解决.变系数线性微分方程在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，因此，研究变系数线性微分方程的求解方法，具有重要的理论意义和应用价值.众所周知，变系数一阶微分方程具有一般的解法，由于在理论研究和实际应用中出现有大量的二阶及三阶以上的高阶变系数线性微分方程，因此，近年来数学领域对高阶变系数线性微分方程求解方程的研究，并取得了一些成果.本文在总结变系数一阶常微分方程解法的同时，着重就二阶及三阶变系数线性微分方程的求法进行了探讨，最后又给出了这些解法的应用及推广.2一阶变系数常微分方程的解法探讨2.1变系数一阶微分方程的几个可积类型对于一阶常微分方程我们常用解法有：分离变量法，变量替换法，积分因子法，常数变易法等.在此，主要讨论变系数一阶微分方程的几个可积类型.为确定起见，在以下讨论中规定一般的变系数一阶微分方程的标准形式为：(2.1)定理2.1[2]设.如果等式(2.2)在I上成立（k为常数），则方程(2.3) 是可积的.证明令,则(2.4) 将（2.2），（2.4）代入（2.3），得,. 属于可分离变量型，而V可由（2.4）解出，所以方程（2.2）是可积的.推论2.1 设为常数，则方程(2.5) 是可积的.在定理2.1中，令,则,即得推论2.1.利用推论2.1，可以用化归为可分离变量型的求解方法，统一处理有关类型的一阶方程.(1)奇次方程(2.6)是（2.5）式，当时的特例.由定理2.1知，可令,将（2.6）式化归为可分离变量型来求解.(2)线性一阶方程(2.7)是(2.5)式，当时的特例.由定理2.1，可令,将（2.7）化归为来求解，其中.(3) Bernoulli方程.(2.8)这是（2.5）式，在时的特例.由定理2.1知，可令,将（2.8）化归为可分离变量型来求解.推论2.2 设如果存在常数,使得(2.9) 成立，则Riccati方程(2.10) 是可积的.证明将（2.9）式变形为令它是Brinoulli方程的通解.显然，.在定理2.1中，令,应用定理2.1（此时定理中的），知方程即（2.10）是可积的.推论2.3 为常数，则一阶微分方程是可积的，其中为常数.在定理2.1中，令即可得推论2.3.定理2.2设为常数，则方程（2.11）是可积的.证明令则（2.11）可变形为.由定理2.1推论2.1，知（2.11）是可积的.推论2.4 设为常数，则下列方程都是可积的..在（2.11）中，令分别等于即得结论.2.2 应用举例例2.1解方程(2.12)解将（2.11）变形为,.由定理2.1，推论2.1知，可令(2.12)可化为两边积分，得(2.12)的通解为例2.2解方程(2.13)解取，容易验证条件（2.9）是满足的.由定理2.1，推论2.2知，故（2.13）可积.令（2.13）变形为两边积分，得为任意常数. 令则为任意常数为（2.13）的通解.3 二阶变系数线性微分方程的解法探讨3.1 用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解众所周知，的通解为其中，,且线性独立.引理3.1[3]若为之解，则仍为之解，且时，为的通解.引理 3.2若为之一特解，则为之通解.关键性的问题是如何找的两线性无关的解和的特解.3.1.1对变系数线性二阶微分方程特解的探索关于变系数线性二阶微分方程如何视查其特解，有如下的探索.（1）若，则为其特解.特殊地：当，即时，为其特解.当，即时，为其特解.例：①,为其特解；②,为其特解；③,为其特解；（2）若,则为其特解；（3）科西-尤拉方程(为常数) 令去试探例：解方程令,a得=0故有通解.3.1.2确定的通解定理3.1 若方程，已知一个特解，则可用公式确立其另一个特解：,且线性独立.证明令, 则带入方程整理：由有积分从而只要不是常数。
二阶变系数线性微分方程的解法王莉【摘要】探讨微分方程解法,明确方程解法技巧,提出3种新的解决方案,拓展二阶变系数线性微分方程的处理方法.【期刊名称】《湖南城市学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(025)003【总页数】2页(P71-72)【关键词】二阶变系数;线性;微分方程;变量交换【作者】王莉【作者单位】湖南汽车工程职业学院,湖南长沙 410000【正文语种】中文微分方程来源于生产实践，建立在客观事物发展规律基础之上，能够全面、具体反映各类现象，帮助人们更好地了解事物发展规律，预测未来，其发展是社会实践的结果，二者互相作用，相互促进。
微分方程是自然学科及偏微分方程发展的重要基础，也是相关领域发展的主要驱动力。
自发展以来，受到了多位学者的关注，且相关理论研究成果较为丰富，在一定程度上完善了微分方程理论体系。
根据微分方程基本理论来看，任何非线性微分方程的解都能够纳入到相应的解组当中。
不仅如此，高阶微分方程能够通过降阶法，简化其繁琐的内容，将其转化为一阶或者二阶方程进行求解。
可见，低阶微分方程求解在整个微分方程求解中占据十分重要的地位，也是求解的开始。
在数学领域中，任何一个一阶或者二阶微分方程都具有可解性特点，而变系数二阶线性微分方程难度较大[1]。
目前为止，仅有一个近似解法，还没有一个较好的方法能够解决该问题，加之幂级数解法计算量较大，且难以求得结果，在理论上难以达到求解目标。
因此加强对二阶变系数线性微分方程解法的研究十分必要，不仅能够丰富微分方程理论体系，还能够帮助我们寻找到一种较为简单的计算方法。
现阶段，该类方程在物理学等领域中应用范围较广。
如在散射理论中，常见的Riccati等方程均属于该类方程。
不可否认，很多实践应用问题都需要该类方程求解，才能够挖掘领域内的知识，进而将知识回归到实践中，指导实践工作。
同时该类方程是求解数学、物理等方程的重要基础，在推进上述学科发展中具有深刻意义。
文献综述前言常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。
二阶变系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。
关于它的解结构己有十分完美的结论，但其求解方法却各有不同，因此.二阶变系数线性微分方程的求解方法成为常微分方程研究的热点问题之一。
主题牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。
20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。
在当代由电力网、城市交通网、自动运输网、数字通讯网、灵活批量生产网、复杂的工业系统、指令控制系统等提出大系统的数学模型是常微分方程组描述的。
常微分方程的概念、解法和其它理论很多，张孝理在《二阶线性微分方程求解的一个新方法》中构想了求解二阶变系数线性微分方程的一个新方法，分离变量法在所给条件下，将二阶线性微分方程通过变换将其化为变量可分离方程，并指出这种转化所作的函数变换，从而得到了变系数一阶线性齐次微分方程的一些新的、实用的可积判据和可积类型，推广了前人的可积性结果，扩大了微分方程的求积范围。
而杨万顺在《二阶变系数线性常微分方程的求解》里讨论了系数满足一定条件下微分方程的初等解法，并举例说明它的一些简单应用。
二阶变系数常微分方程求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，关于通解的求法及表达式，梁红亮和徐华伟的《一类二阶变系数常微分方程的初等解法》中给出了一类二价变系数常微分方程可积的充分条件及其通解表达式，并举例说明它的此简中应用。
刘琼在《一类二阶变系数微分方程的解》中通过变量变换，将变系数线性常微分方程化为常系数线性常微分方程，再利用常数变易法给出了一类二阶变系数非齐线性微分方程的通解。
何基好和秦勇飞在《一类二阶线性变系数微分方程通解的解法》中研究了一类二阶线性变系数微分方程通解的解法，也利用特解和常数变易法，给出一类二阶线性变系数微分方程的通解公式。
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浅谈二阶线性常系数微分方程的解法
作者：高仕学
来源：《中国校外教育·基教(中旬)》2013年第02期
在高等数学中，解二阶线性常系数微分方程是比较困的。
因此，没有更多的理论探讨，而是在给出方程解的结构基础上，举例讨论方程的解法，从而得出方程求解的一般方法。
此法可推广到高阶线性常系数微分方程。
方程定义解的结构求解方法高等数学中的二阶线性常系数微分方程求解的问题，是学生难以解决的问题，甚至无法解决的问题。
为了更好地帮助学生学习，根据笔者30多年的教学经验，对二阶线性常系数微分方程的解法进行讨论。
一、微分方程的定义及其解的结构
二、二阶线性常系数微分方程的解法
1.二阶线性常系数齐次微分方程
2.二阶线性常系数非齐次微分方程总之，高等数学中二阶线性常系数微分方程求解的问题很复杂，需要我们掌握齐次和非齐次微分方程解的结构，在求解时一定要注意特解的组成，特别是非齐次微分方程的特解。
只要我们多练习，而且不断总结求解方法，再复杂的问题也可以解决。
参考文献：
[1]黄江.高等数学.重庆大学出版社，2009，8.
[2]郑文.高等数学.电子科技大学出版社，2010，7.。
一类二阶变系数微分方程的解
一类二阶变系数微分方程是指具有两个未知函数的一类常微分方程，即其变量在每个各点上可以对应多种值，函数的解以及它们的特性有数学家研究，可以把它想像成椭圆或抛物线。
一类二阶变系数微分方程的解有三种：
一、常系数解法：若系数a、b、c不随时间变化，即a、b、c是常数，则可将该方程改写为常系数微分方程，可以直接用模拟积分解法或者其它积分解法解决。
二、逐步积分解法：当a、b、c都随时间变化，但是他们在各点把a和b看做常数时，可以采用逐步积分法来求解。
三、曲线拟合解法：当a、b、c都随时间变化，可以采用曲线拟合技术进行求解，采用拟合技术将原方程拟合到一条曲线上，然后对拟合后的曲线求解。
四、有限差分法：有限差分法是一种基于积分的计算技术，它采用离散化的方法分析一类二阶变系数微分方程，是在一类二阶常系数方程的基础上把时间段划分成若干的小颗粒，每一小颗粒上可以看到系数a、b、c的值，然后用逐步迭代法求解。
五、矩阵混沌解法：采用矩阵混沌方法作为一类二阶变系数微分方程求解方法，它是将该方程改写成矩阵的形式，然后求解矩阵的混沌状态，并从混沌中取出解。
以上就是一类二阶变系数微分方程的六种求解方法，根据实际需要，会采用不同的解法对一类二阶变系数微分方程进行求解，取得准确的解。
二阶常系数线性微分方程的解法数学科学学院 信息与计算科学指导老师摘要：在线性微分方程中，若未知函数与未知函数各阶导数的系数都是常数，则称它为常系数线性微分方程，他在工程技术中经常用到。
下面主要讨论二阶常系数线性微分方程的解法，所用方法可以推广到一般高阶常系数线性微分方程，但在这里我们不做过多的描述。
关键词：二阶，常系数，奇次，非奇次，特征方程，特征根，通解。
1.二阶常系数线性微分方程1.1二阶常系数次齐线性微分方程1.2二阶常系数非齐次线性微分方程正文：1.1常系数齐次线性微分方程为了说明问题简单起见，先来考虑二阶常系数线性方程'''a 0y y by ++=， （1）其中a,b 为常数.我们推测，方程有形如x e λ的指数解，λ为待定参数。
于是以 xy e λ=代入方程（1）进行试探，得出2()0x a b e λλλ++=。
因 x e λ0≠，故 x y e λ=是方程（1）的解的充要条件是，λ为二次方程20a b λλ++=， （2）的根。
有鉴于此，称（2）为方程(1)的特征方程，而称（2）的根为特征根。
设12,λλ是方程（2）的两个根，下面分三种情况进行讨论讨论1.1.1 【 改为编号（1），因为这不是标题二是分情况讨论】 12,λλ是互异实根，则12x x e e λλ与是方程（1）的两个线性无关的解，于是（1）的通解为（顶到左端）1212x x y c e c e λλ=+.1.1. 2 【改为（2）】 121e x y λλλλ===是二重实根，则是方程（1）的一个解。
今用降阶法求出另一特解。
作特解'()x u v ye λ-==，推出'(2)0u a u λ++=。
因λ是重根，故必'20,0.1,a u u λ+===从而取既得方程（1）的特解2x y xe λ=。
于是（1）的通解为12().x y c c x e λ=+1.1.3 【改为（3）】 设12i i λαβλαβ=+=-与是一对共轭复根，（该行要写满） 230.i a b λαβαβααβ=±-++==2(代入)带入方程得（退后两个汉字距离）利用以上等式容易验明12cos sin x x y e x y e x ααββ==与都是方程（1）的解。
几类二阶变系数常微分方程解法论文二阶变系数常微分方程几种解法的探讨胡博（111114109）（湖北工程学院数学与统计学院湖北孝感 432000）摘要：常系数微分方程是我们目前可以完全解决的一类方程，而求变系数常微分方程的通解是比较困难的，一般的变系数常微分方程目前是还没有通用解法的。
本文主要对二阶变系数常微分方程求解进行了探究，利用特解、常数变易法、变量变换等方法求出了某些二阶变系数线性微分方程的通解，并初步归纳了二阶变系数线性方程的求解基本方法及步骤。
关键词：二阶变系数线性微分方程；变换；通解；特解To explore the solution of some ordinary differential equations of two order variable coefficientZhang jun(111114128)(School of Mathematics and Statistics Hubei Engineering University Hubei Xiaogan 432000)Abstract:Differential equation with constant coefficients is a class of equations we can completely solve the present general solution, and change coefficient differential equations is difficult, the variable coefficient ordinary differential equation is at present thereis no general solution. This paper mainly explores the ordinary differential equation with variable coefficients of order two, the use of special solutions, variation of constants, variable transform method to extract some two order linear differential equation with variable coefficients of the general solution, and summarizes the two basic methods for solving the second-order linear equations with variable coefficients and steps.Key words:Two order variable coefficient linear differential equations; transformation; general solution; special solution0 引言二阶变系数常微分方程y′′+p(x)y′+q(x)y=0及其特征值问题是求解数学物理方程的基础。
可见二阶变系数常微分方程在物理学中应用是非常广泛的。
但一般二阶变系数微分方程的求解比较困难，至今仍没有通用解法，因此探讨二阶变系数微分方程的解法是非常有必要的。
本文主要利用特解、常系数变法、变量变换等方法来求解某些二阶变系数微分方程的通解，给我们在日后求解二阶变系数微分方程的过程提供了方便。
1 具有特定结构的二阶变系数常微分方程二阶变系数齐次线性微分方程：f(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=0(1.1)，(其中f(x),p(x),q(x)为连续函数)。
1.1满足条件f(x)r2+p(x)r+q(x)=0,r为常数类型时，方程(1.1)的通解在求(1.1)通解前，我们先求二阶常系数齐次线性方程ay′′+by′+cy=0(其中a,b,c为常数且a≠0) (1.1.1)由线性微分方程通解结构定理【1】知，若y1(x),y2(x)是(1.1.1)的两个线性无关的特解，则其通解为y=c1y1(x)+c2y2(x).假设y=e rx是方程是方程(1.2)的一个特解，则讨论r满足的条件对y=e rx两边求导得：y′=re rx,y′′=r2e rx将其代入方程(1.2)得：(ar2+br+c)e rx=0,由于e rx≠0，则可知ar2+br+c=0(1.1.2)当r为(1.3)的一个解时，y=e rx必为(1.2)的解由此很容易求出方程(1.2)的通解。
对比方程(1.1)，(1.1.1)，易知其结构类似，且方程(1.1.1)是(1.1)的特殊形式。
所以我们类比上述求解常系数方程的方法，猜想假设(1.1)有一个特解y=e rx，将y=e rx，y′=re rx,y′′=r2e rx代入方程(1.1)得：[f(x)r2+p(x)r+q(x)e rx]=0其中显然e rx≠0，则有：f(x)r2+p(x)r+q(x)e rx=0 (1.1.3)此时若对f(x)，p(x)，q(x)存在常数r使得(1.1.3)对一切x恒成立，则方程(1.1)有一特解y1=e rx,此时要想求出方程(1.1)的通解，还需要找出另一个特解y2，且y1，y2是线性无关的。
联想到常数变易法，易想到假设y 2=u (x )e rx 也是方程(1.1)的一特解， 则y′2=[u′(x )+ru (x )]e rx ,y′′2=[u′′(x )+2ru′(x )+r 2u (x )]e rx将y 2，y ′2， y ′′2代入方程(1.1)得：f (x )u ′′(x )+[2rf (x )+p (x )]u ′(x )+[f (x )r 2+p (x )r +q (x )]u (x )=0由于f (x )r 2+p (x )r +q (x )=0⇒ f (x )u ′′(x )+[2rf (x )+p (x )]u ′(x )=0 (1.1.4) 令h (x )=u ′(x ),则h′(x )=u ′′(x ),将方程(1.5)降为一阶线性⇒1h (x )dh (x )=[−2r −p (x )f (x )]dx ⇒h (x )=e −2rx−∫p (x )f (x )dx 即得出du dx =h (x )=e −2rx−∫p (x )f (x )dx 解得u (x )=∫e−2rx−∫p (x )f (x )dx dx 即得出方程(1.1)另一特解y 2=u (x )erx =e rx ∫e −2rx−∫p (x )f (x )dx dx ， 由于y 2y 1=∫e −2rx−∫p (x )f (x )dx dx ，显然y 1，y 2是线性无关的， 最终得出方程(1.1)的通解为：y =c 1y 1(x )+c 2y 2(x )=[c 1+c 2∫e −2rx−∫p (x )f (x )dx dx]e rx结论（1）：二阶变系数齐次线性微分方程f (x )y ′′+p (x )y ′+q (x )y =0，满足条件f (x )r 2+p (x )r +q (x )=0 ，r 为常数情况下，方程的通解为y =[c 1+c 2∫e −2rx−∫p (x )f (x )dx dx]e rx ,其中c 1，c 2为常数例1求方程xy ′′−2(x +1)y ′+4y =0的通解解：由题可知f (x )=x,p (x )=−2x −2q (x )=4,则由f (x )r 2+p (x )r +q (x )=0⇒xr2−2(x+1)r+4=0⇒(r−2)(rx−2)=0因为r为常数，所以易得r=2，则原方程的一个特解为：y1=e2x假设原方程另一特解y 2=u(x)e2x,( u(x)不为常数)则有y′2=[u′(x)+2u(x)]e2xy′′2=[u′′(x)+4u′(x)+4u(x)]e2x将y2，y′2，y′′2代入原方程得：x[u′′(x)+4u′(x)+4u(x)]e2x−2(x+1)[u′(x)+2u(x)]e2x+4u(x)e2x=0整理得：u′′(x)u′(x)=−2+2x解得u(x)=−12(x2+x+12)e−2x即y2(x)= u(x)e2x=−12(x2+x+12)显然y1=e2x y2(x)= u(x)e2x=−12(x2+x+12)，是线性无关的故原方程通解为：y=c1e2x−12(x2+x+12)1.2 满足条件f(x)r′(x)+f(x)r2(x)+p(x)r+q(x)=0,r(x)为连续可导函数，方程(1.1)的通解要求方程(1.1)的通解同上，主要是要求出方程(1.1)的两个线性无关的特解，类比1.1的求法，猜想方程(1.1)由一特解y=e∫r(x)dx,则y′=r(x)e∫r(x)dx,y′′=r′(x)e∫r(x)dx+r2(x)e∫r(x)dx将y，y′，y′′代入方程(1.1)f(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=0中得：e∫r(x)dx(f(x)r′(x)+f(x)r2(x)+p(x)r+q(x))=0由于e∫r(x)dx≠0，故有f(x)r′(x)+f(x)r2(x)+p(x)r+q(x)=0(1.2.1)此时若对已知f(x)，p(x)，q(x)而言存在函数r(x)能使(2.1)式恒成立，则可知方程(1.1)必有一特解y1=e∫r(x)dx由常数变易法可设方程(1.1)的另一特解y2=v(x)e∫r(x)dx,( v(x)为非常数，且y1，y2线性无关)将y 2=v (x )e ∫r (x )dx 代入方程(1.1)，整理可得：f (x )v ′′(x )+(2f (x )r (x )+p (x ))v ′(x )+(f (x )r ′(x )+f (x )r 2(x )+p (x )r +q (x ))v (x ) =0由(2.1)式知f (x )r ′(x )+f (x )r 2(x )+p (x )r +q (x )=0，故有：f (x )v ′′(x )+(2f (x )r (x )+p (x ))v ′(x )=0 也成立 (1.2.2) 方程 (2.2) 不含v (x )项，则可降为一阶线性方程，令v ′(x )=g (x ),则方程 (1.2.2)可化为：f (x )g ′(x )+(2f (x )r (x )+p (x ))g (x )=0⇒g (x )=e −∫2f (x )r (x )+p (x )f (x )dx 即得出v ′(x )=g (x )=e−∫2f (x )r (x )+p (x )f (x )dx ， ⇒v (x )=∫e−∫2f (x )r (x )+p (x )f (x )dx dx 故y 2=v (x )e ∫r (x )dx =e ∫r (x )dx ∙∫e −∫2f (x )r (x )+p (x )f (x )dx dx因此方程(1.1)的通解为y =c 1y 1(x )+c 2y 2(x )=e∫r (x )dx (c 1+c 2∫e −∫2f (x )r (x )+p (x )f (x )dx dx)结论2：二阶变系数齐次微分方程(1.1)满足条件f (x )r ′(x )+f (x )r 2(x )+p (x )r +q (x )=0，则其通解为y =e ∫r (x )dx (c 1+c 2∫e −∫2f (x )r (x )+p (x )f (x )dx dx)例2：求y ′′−2sin x y ′−(cos x −sin 2(x ))y =0的通解解：由题知f (x )=1,p (x )=−2sin x ,q (x )=−cos x +sin 2(x )则得出：r ′(x )+r 2(x )−2sin x r (x )−cos x +sin 2(x )=0r ′(x )−cos x +(y −sin x )2=0易得r (x )=sin x,则由结论2得原方程通解为：y =e ∫sin xdx (c 1∫e −∫(2sinx−2sinx )dx dx +c 2)=e −cosx (c 1x +c 2)1.3 满足条件f(x)r′(x)+f(x)r2(x)+p(x)r+q(x)=0,的非齐次变系数常微分方程f(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=g(x)(1.3.1)的通解前面1.1、1.2都是讨论的齐次变系数微分方程，而1.3是对应的非齐次微分方程，故可用常数表变易法求解方程由齐次方程方程(1.3.1)。
