图论与网络流第六章答案蒋长浩
图论与网络流第六章——蒋长浩
在第五章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。对于连通图，其连通的程度也有高有低。例如，下列三个图都是连通图。对于图G1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G6，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。
第六章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的6连通和k连通性。§6.1割点和割边定义6.1.1设)(GVv∈，如果)()(GwvGw>？，则称v为G的一个割点。
（注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。例如，下图中u，v两点是其割点。
定理6.1.1如果点v是简单图G的一个割点，则边集E(G)可划分为两个非空子集1E和6E，使得][1EG和][6EG恰好有一个公共顶点v。
证明留作习题。
推论6.1.1对连通图G，顶点v是G的割点当且仅当vG？不连通。
定理6.1.6设v是树T的顶点，则v是T的割点当且仅当1)(>vd。
证明：必要性：设v是T的割点，下面用反证法证明1)(>vd。
若0)(=vd，则1KT？，显然v不是割点。
若1)(=vd，则vT？是有1)(？vTν条边的无圈图，故是树。从而)(1)(TwvTw=？。因此v不是割点。
以上均与条件矛盾。
充分性：设1)(>vd，则v至少有两个邻点u，w。路uvw是T中一条)，(wu路。因T是树，uvw是T中唯一的)，(wu路，从而)(1)(TwvTw=>？。故v是割点。证毕。
图论优化网络流模型 Konigsberg 七桥问题:当Euler在1736年访问Konigsberg时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel 的河流横经其中，在河上建有七座桥如图所示: 这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。 数学模型：Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示，便得如下的图形: Euler推出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务是不可能实现的。
图的定义：一个有序的二元数组（V，E）称为一个图，记作G =（V，E）。其中V称为顶点集，E称为边。若每个边对应一个数F，称（V，E，F）为一个赋权。如果两点是有序的，则称有向图，否则，无向图。 定义经过G的每条边的迹叫做 G的Euler迹；闭的Euler迹叫做Euler回路或 G回路；含Euler回路的图叫做Euler图。 直观地讲，Euler图就是从一顶点出发每边恰通过一次能回到出发点的那种图，即不重复地行遍所有的边再回到出发点。 定理G是Euler图的充分必要条件是G连通且每顶点皆偶次。 定义包含G的每个顶点的轨叫做Hamilton(哈密顿)轨；闭的Hamilton轨叫做Hamilton圈；含Hamilton圈的图叫做Hamilton图。 直观地讲，Hamilton图就是从一顶点出发每顶点恰通过一次能回到出发点的那种图，即不重复地行遍所有的顶点再回到出发点。 例1 最短路问题（SPP－shortest path problem） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总成本最小？ 例3 指派问题（assignment problem） 一家公司经理准备安排N名员工去完成N项任务，每人一项。由于各员工的特点不同，不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配工作方案可以使总回报最大？ 例4 中国邮递员问题（CPP－chinese postman problem） 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设计一条最短的投递路线（从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局）？这一问题是我国管梅谷教授1960年首先提出，国际上称之为中国邮递员问题。
第六章网络分析与网络计划 网络分析是图论的一个应用分支．它主要是应用图论的理论与方法来解决具有网络性质的管理决策问题．在现实生活和生产实践中，网络分析方法有很广泛的应用．如在企业管理中，如何制订管理计划或设备购置计划，使收益最大或费用最小；在组织生产中，如何使各工序衔接好，使生产任务完成得既快又好；在交通网络中，如何使调运的物资数量多且费用最小等．由于网络分析具有图形直观，方法简便，容易掌握的特点，因此得到迅速的发展，且广泛地应用在各个领域，成为经济活动中许多管理决策的优化问题的重要手段． 网络计划方法是上世纪50年代发展起来的计划控制技术，主要包括计划评审技术(programme evaluation and review technique，简称PERT)和关键路径方法(critical path method或critical path analysis，简称CPM、CPA)．网络计划方法特别适用于现代管理中的多因素多环节的复杂计划的优化控制，成为管理运筹学的重要应用分支． 本章在引入有关图的一些基本概念的基础上，介绍最小生成树、网络最短路、最大流、最小费用最大流等网络分析模型及其解法；并对网络计划图（统筹图）的制作、作业时间参数计算、关键线路方法和计划评审技术等网络计划基本技术和方法进行初步介绍． 第一节图的基本概念 一、图 现实世界中有许多具体事物及关系可以用图形来抽象表示．例如，路线关系、工序安排、区位规划等都可以用图来表达． 我们先通过几个直观的例子，来认识什么是图． 例6-1 歌尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡(Konigsbergs)城域有一个普雷格尔河系，由新河、旧河及其交汇 而成的大河组成，它把该城分成了一岛三岸共四块陆地，陆地之间有七座桥连通，如图6-1(a)所示．当时城内居民在散步时热衷于这样一个问题：从某陆
图论与网络流第六章答案蒋长浩 图论与网络流第六章——蒋长浩 在第五章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。对于连通图，其连通的程度也有高有低。例如，下列三个图都是连通图。对于图G1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G6，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。 第六章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的6连通和k连通性。§6.1割点和割边定义6.1.1设)(GVv∈，如果)()(GwvGw>？，则称v为G的一个割点。 （注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。例如，下图中u，v两点是其割点。 定理6.1.1如果点v是简单图G的一个割点，则边集E(G)可划分为两个非空子集1E和6E，使得][1EG和][6EG恰好有一个公共顶点v。 证明留作习题。
推论6.1.1对连通图G，顶点v是G的割点当且仅当vG？不连通。 定理6.1.6设v是树T的顶点，则v是T的割点当且仅当1)(>vd。 证明：必要性：设v是T的割点，下面用反证法证明1)(>vd。 若0)(=vd，则1KT？，显然v不是割点。 若1)(=vd，则vT？是有1)(？vTν条边的无圈图，故是树。从而)(1)(TwvTw=？。因此v不是割点。 以上均与条件矛盾。 充分性：设1)(>vd，则v至少有两个邻点u，w。路uvw是T中一条)，(wu路。因T是树，uvw是T中唯一的)，(wu路，从而)(1)(TwvTw=>？。故v是割点。证毕。
USACO 4.2.1 Ditch 网络最大流问题算法小结 通过 USACO 4.2.1 Ditch 学习一下最大流算法。可惜它给的测试数据几乎没有任何杀伤力，后面测试时我们采用 DD_engi 写的程序生成的加强版数据。 总体上来说，最大流算法分为两大类：增广路 (Augmenting Path) 和预流推进重标号 (Push Relabel) 。也有算法同时借鉴了两者的长处，如 Improved SAP 。本篇主要介绍增广路类算法，思想、复杂度及实际运行效率比较，并试图从中选择一种兼顾代码复杂度和运行效率的较好方案。以下我们将会看到，有时理论分析的时间复杂度并不能很好的反映一种算法的实际效率。 1. Ford - Fulkerson 方法 所有增广路算法的基础都是 Ford - Fulkerson 方法。称之为方法而不是算法是因为 Ford - Fulkerson 只提供了一类思想，在此之上的具体操作可有不同的实现方案。 给定一个有向网络 G(V,E) 以及源点 s 终点 t ，FF 方法描述如下： Ford-Fulkerson 方法(G,s,t) 1将各边上流量 f 初始化为0 2while存在一条增广路径 p 3do沿路径 p 增广流量 f 4return f 假设有向网络 G 中边 (i,j) 的容量为 c(i,j) ，当前流量为 f(i,j) ，则此边的剩余流量即为 r(i,j) = c(i,j) - f(i,j) ，其反向边的剩余流量为 r(j,i) = f(i,j) 。有向网中所有剩余流量 r(i,j) > 0 ，增广路径p即是残量网络中从源点 s 到终点 t 的路径。 的边构成残量网络 G f 沿路径 p 增广流量 f 的操作基本都是相同的，各算法的区别就在于寻找增广路径 p 的方法不同。例如可以寻找从 s 到 t 的最短路径，或者流量最大的路径。 2. Edmonds - Karp 算法 Shortest Augmenting Path (SAP) 是每次寻找最短增广路的一类算法，Edmonds - Karp 算法以及后来著名的 Dinic 算法都属于此。SAP 类算法可统一描述如下： Shortest Augmenting Path 1 x <-- 0 2while在残量网络 G x中存在增广路 s ~> t 3do找一条最短的增广路径 P 4 delta <-- min{r ij:(i,j)属于 P} 5沿 P 增广 delta 大小的流量 6更新残量网络 G x 7return x 在无权边的有向图中寻找最短路，最简单的方法就是广度优先搜索 (BFS)，E-K 算法就直接来源于此。每次用一遍 BFS 寻找从源点 s 到终点 t 的最短路作为增广路径，然后增广流量 f 并修改残量网络，直到不存在新的增广路径。
图与网络分析试题及答案 一、填空题 1．图的最基本要素是点、点与点之间构成的边 2．在图论中，通常用点表示，用边或有向边表示研究对象，以及研究对象之间具有特定关系。 3．在图论中，通常用点表示研究对象，用边或有向边表示研究对象之间具有某种特定的关系。 4．在图论中，图是反映研究对象_之间_特定关系的一种工具。 5．任一树中的边数必定是它的点数减1。 6．最小树问题就是在网络图中，找出若干条边，连接所有结点，而且连接的总长度最小。7．最小树的算法关键是把最近的未接_结点连接到那些已接结点上去。 8．求最短路问题的计算方法是从0≤f ij≤c ij开始逐步推算的，在推算过程中需要不断标记平衡和最短路线。 二、单选题 1、关于图论中图的概念，以下叙述(B)正确。 A图中的有向边表示研究对象，结点表示衔接关系。 B图中的点表示研究对象，边表示点与点之间的关系。C图中任意两点之间必有边。 D图的边数必定等于点数减1。 2．关于树的概念，以下叙述(B)正确。 A树中的点数等于边数减1 B连通无圈的图必定是树C含n个点的树是唯一的D任一树中，去掉一条边仍为树。 3．一个连通图中的最小树(B)，其权(A)。 A是唯一确定的 B可能不唯一 C可能不存在 D一定有多个。 4．关于最大流量问题，以下叙述(D)正确。 A一个容量网络的最大流是唯一确定的B达到最大流的方案是唯一的C当用标号法求最大流时，可能得到不同的最大流方案D当最大流方案不唯一时，得到的最大流量亦可能不相同。 5．图论中的图，以下叙述(C)不正确。 A．图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。B．图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。C．图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。 D．图论中的图，可以改变点与点的相互位置。只要不改变点与点的连接关系。 6．关于最小树，以下叙述(B)正确。 A．最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图B．最小树是一个网络中连通所有的点，而权数最少的图C．一个网络中的最大权边必不包含在其最小树内D．一个网络的最小树一般是不唯一的。 7．关于可行流，以下叙述(A)不正确。 A．可行流的流量大于零而小于容量限制条件B．在网络的任一中间点，可行流满足流人量=流出量。C．各条有向边上的流量均为零的流是一个可行流D．可行流的流量小于容量限制条件而大于或等于零。 三、多选题 1．关于图论中图的概念，以下叙述(123)正确。 (1)图中的边可以是有向边，也可以是无向边 (2)图中的各条边上可以标注权。(3)结点数等于边数的连通图必含圈(4)结点数等于边数的图必连通。 2．关于树的概念，以下叙述(123)正确。 1)树中的边数等于点数减1(2)树中再添一条边后必含圈。(3)树中删去一条边后必不连通(4)树中两点之间的通路可能不唯一。 3．从连通图中生成树，以下叙述(134)正确。 (1)任一连通图必有支撑树(2)任一连通图生成的支撑树必唯一(3)在支撑树中再增加一条边后必含圈(4)任一连通图生成的各个支撑树其边数必相同 4．在下图中，(abcd)不是根据(a)生成的支撑树。 5．从赋权连通图中生成最小树，以下叙述(124)不正确。 (1)任一连通图生成的各个最小树，其总长度必相等(2)任一连通图生成的各个最小树，其边数必相等。(3)任一连通图中具有最小权的边必包含在生成的最小树上。(4)最小树中可
第六章图论(Graph Theory) ◎知识目标：掌握图的方法与原理；图的基本概念；最小树、最短路、最大流的概念、计算与应用；了解中国邮路问题与解法。 ◎能力目标：通过学习，使学生掌握图的方法与原理，提高分析问题和解决问题的能力。 ◎本章重点：最小树、最短路、最大流的计算与应用 ◎本章难点：最短路的应用、最大流的计算 引例：哥尼斯堡七桥问题 18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。 有关图论研究的热点问题。18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。这就是哥尼斯堡七桥问题。L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。 当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Preg el的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。 Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。 后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。 七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成. 欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。 接下来，欧拉运用网络中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！
第六章图论 §8.1 图论发展史 第一阶段：瑞士数学家欧拉（E. Euler）在1736年发表了一篇题为“依据几何位置的解题方法”的论文，有效地解决了哥尼斯城堡“七桥难题”，从此开创了图论的历史新纪元；所谓“七桥难题”是指：18世纪的哥尼斯堡城中流过一条河，河上有七座桥连接着河的两岸和河中的两个小岛，如图8-1所示：一个游者怎样才能一次连续走过这七座桥而每座桥只走一次，回到原出发点；没有人想出这种走法，又无法说明走法不存在。欧拉将这个问题归结为如图8-2 所示的问题。他用A,B,C,D四点表示河的两岸和小岛，用两点间的连线表示桥。七桥问题变为：从A,B,C,D任意点出发，能否通过每条边一次且仅一次，再回到原点？欧拉证明了这样的走法不存在，并给出了这类问题的一般结论。 图8-1 图8-2 第二阶段：1847年，数学家基尔霍夫（Kirchhoff）运用图论解决了电路理论中的求解联立方程的问题，他引入了“树”的概念，可惜由于他的思想超出了时代的发展而长期未被重视；到1857年，英国数学家凯莱（Cayley）又从化学的角度进一步扩展了“树”的概念，从此图论又有了新的发展。 第三阶段：1857年，英国数学家哈密尔顿（Hamilton）发明了一种游戏，他用一个实心正12面体象征地球，正12面体的20个顶点分别表示世界上20座名城，要求游戏者从任一城市出发，寻找一条可经由每个城市一次且仅一次再回到原出发点的路，这就是“环球旅行”问题。要在图中找一条经过每个点一次且仅一次的路，能成为哈密尔顿回路。 第四个阶段：20世纪以后，随着计算机的不断发展，图论也有了突飞猛进的进展，广泛应用于各科领域：如物理、化学、信息论，博弈论，计算机网络，等等；目前图论已经发展成完整的一个数学分支，并且越来越多的数学爱好者倾向于研究图论。
图论中的网络流量最小割算法改进思路预测图论中的网络流量最小割算法是解决网络流问题的重要方法之一，它的应用广泛，并且在不断进行改进和优化。本文将介绍网络流量最小割算法的基本原理，并探讨一些可能的改进思路和预测未来的发展方向。 一、网络流量最小割算法基本原理 网络流量最小割算法是基于图论的一种解决网络流问题的方法。在一个网络中，节点和边被表示为图的顶点和边，流量被表示为在边上的数字。网络流问题的目标是找到一种最佳的方式来分配流量，使其满足各个节点的要求，并且满足边的容量限制。 网络流量最小割算法的基本原理是通过不断减小割的容量，找到最小割，从而得到最小的网络流量。最小割是指将网络分为两个子集，一个源子集和一个汇子集，使得从源子集到汇子集的所有路径上的容量和最小。 二、改进思路一：增加启发式算法 传统的网络流量最小割算法通常是通过枚举所有可能的割，并计算其容量来找到最小割。然而，随着网络规模的增大，计算量也会呈指数级增长，这对算法的效率提出了挑战。 一种可能的改进思路是引入启发式算法来提高算法的效率。启发式算法可以通过一些预测策略来减少搜索空间，从而加速算法的执行速度。例如，可以利用图的属性或者特征来判断哪些割有较大的概率成
为最小割，从而有针对性地进行搜索。这种改进思路可以在大规模网 络中取得更好的效果。 三、改进思路二：结合机器学习方法 另一种可能的改进思路是结合机器学习方法来进行网络流量最小割 的预测。机器学习可以通过对已有数据的学习和训练，建立模型来进 行预测和决策。 在网络流量最小割中，可以利用已有的网络拓扑结构和流量数据来 训练机器学习模型，从而预测最小割。通过结合机器学习方法，可以 充分利用数据的特征，提高算法的准确性和鲁棒性。 四、未来发展方向的预测 网络流量最小割算法在解决网络流问题方面具有重要的应用价值， 其改进和发展方向也日益引起研究者的关注。 未来，随着网络规模的不断扩大和网络结构的不断复杂化，网络流 量最小割算法将面临更大的挑战和机遇。预计在未来几年内，网络流 量最小割算法将进一步发展，具体表现为以下几个方面： 1. 算法性能的提升：随着计算机硬件的不断进步，预计网络流量最 小割算法的执行效率将得到大幅提升，能够处理更大规模的网络流问题。 2. 算法的自适应性：未来的网络流问题往往具有时变性和不确定性，因此，网络流量最小割算法需要具备自适应性，能够根据实时数据和 网络状态进行调整和优化。
图论中的网络与流问题 图论是数学中的一个重要分支，研究图的性质和图的相关问题。而 网络与流问题是图论中的一个经典研究领域，它关注的是在一个图中 通过网络传输资源的最优方式。 一、网络与流问题的基本概念 在开始深入探讨网络与流问题之前，我们先来了解一些基本的概念： 1. 图的表示：图可以用顶点和边的集合表示，其中每个顶点代表一 个节点，每条边代表两个节点之间的连接关系。 2. 容量：每条边都有一个容量，表示该边所能够传输的资源的上限。 3. 流量：流量指的是通过图中边的实际传输量。 4. 割：图中的割是将图分割成两个或者多个部分的一组边。 5. 源点和汇点：在网络与流问题中，通常会指定一个源点和一个汇点，源点是资源的起始点，而汇点是资源的目的地。 二、最大流问题 最大流问题是网络与流问题中的一个重要应用，它的目标是确定从 源点到汇点最大可能的流量。 为了解决最大流问题，我们可以使用Ford-Fulkerson算法。该算法 通过增广路径的不断寻找和修改流量，直到不能再找到增广路径为止。最终，算法会返回从源点到汇点的最大流量。
除了Ford-Fulkerson算法外，还有其他一些经典的算法可以解决最 大流问题，如Edmonds-Karp算法和Dinic算法等。这些算法都基于不 同的思想和策略，但最终都能得到相同的结果。 三、最小割问题 最小割问题是网络与流问题中与最大流问题相对应的一个重要概念。最小割指的是将图分割成两个部分，并且割边的总容量最小。 解决最小割问题的常用算法有Ford-Fulkerson算法的变形，即利用 最大流问题的解来求解最小割问题。具体来说，可以通过找出最大流 问题的最大流量，并在图中找到与该流量对应的最小割。 四、其他网络与流问题的应用 除了最大流问题和最小割问题外，网络与流问题还有很多其他的应用。 1. 最小费用最大流问题：这个问题的目标是在最大流问题的基础上，找到满足最大流的最小费用分配方案。 2. 二分图最大匹配：给定一个二分图，最大匹配问题的目标是找到 尽可能多的边，使得每个节点都与另一个节点相连。 3. 多组源点汇点的最大流问题：该问题考虑的是有多个源点和多个 汇点的情况下，从源点到汇点的最大流问题。 总结：
基于组合数学的网络流量分析 近年来，随着互联网的发展，网络流量分析逐渐成为热门话题。而在网络流量分析中，组合数学是一种重要的工具。本文将探讨基于组合数学的网络流量分析。 一、组合数学在网络流量分析中的应用 组合数学是研究离散结构和数量关系的数学学科，它在网络流量分析中的应用主要体现在如下三个方面。 1.排列组合 每秒钟的网络流量可以看做是一个数据包的排列，而排列数就是流量的数量。在网络流量分析中，我们通常需要计算每秒钟接收和发送的数据包数量，以作出相应的网络调整。 常见的排列组合问题有：从n个不同元素中取m个并排列的每种不同方式数目是多少？ 2.图论 图论是研究图和网络的数学学科，而在网络流量分析中，我们通常需要利用图论来模拟网络拓扑结构和设计网络算法。 例如，我们可以使用图论中的最小割算法来寻找网络中最短的数据流路径。同时，这个问题也可以用图论中的矩阵代数计算方法来求解，这就是网络流算法。 3.离散概率论 离散概率论是研究离散型随机变量分布和概率的数学学科。 在网络流量分析中，我们通常需要通过样本数据来推断总体流量的分布，还需要寻找网络流量的规律和趋势。而离散概率论中的分布函数和统计方法就是解决这类问题的重要工具。
二、组合数学在网络流量分析中的实践 组合数学与网络流量分析有着紧密的联系，在实践中常常会结合这两个学科来 解决问题。 1.应用于数据包数量分析 我们可以用组合数学的排列组合知识来计算每秒接收和发送的数据包数量，以 便更好地掌握网络流量的动态情况。 例如，我们可以使用组合数学中的排列方法来预测网络传输情况，进而提出相 关的网络优化建议。 2.应用于网络算法研究 组合数学在图论和离散概率论中的应用，也可以为网络算法的开发提供推广思路。 例如，我们可以借鉴离散概率论中的随机游走模型来研究网络流量的分布问题，引入图论中的最小割算法来解决最短路径问题等。 3.应用于网络安全领域 最后，组合数学在网络安全领域的应用也值得一提。我们可以通过组合数学的 方法来分析网络攻击、网络漏洞等问题，并且可以结合网络流量分析的方法，从而更好地实现网络的安全防范。 三、总结 网络流量分析已经成为了越来越广泛的话题，而组合数学正是网络流量分析中 的重要工具之一。希望本文可以帮助读者更好地理解和应用组合数学在网络流量分析中的作用。当然，这只是这个广阔领域中的一个方面，我们期待未来有更多的人参与进来，把组合数学在网络流量分析中的应用不断丰富和拓展。
图论中网络流算法及优化 图论中的网络流算法及优化 在图论中，网络流算法是一类重要的算法，用于解决网络流问题。网络流算法可以在一个由顶点和边组成的图中，找到一种最优的流量分配方式，以满足特定的约束条件。 一、网络流问题的定义 网络流问题是指在一个有向图中，每条边都有一个容量限制，顶点分为源点和汇点，目标是找到从源点到汇点的一条路径，使得路径上流过的边的流量之和最大。 二、最大流算法 最大流算法是解决网络流问题的一种常见方法。其中，最著名的算法是Edmonds-Karp算法。该算法使用广度优先搜索来寻找增广路径，然后根据路径改变边的流量。 三、最小割算法 在网络流问题中，最小割算法用于寻找一个顶点集合，将源点和汇点分开，并且使得集合中顶点与剩余图中的边连接的总容量最小。最小割算法常常用于解决最大流问题的对偶问题，即最小割问题。 四、网络流算法的应用 网络流算法在实际中有广泛的应用。例如，在物流中，可以使用网络流算法来优化货物的运输路径，以最大程度地减少运输成本。在电
力网络中，网络流算法可以帮助优化电力的分配。在社交网络中，网 络流算法可以用于发现社群结构。此外，网络流算法还在医学图像处理、计算机网络等领域有应用。 五、网络流算法的优化 为了提高网络流算法的效率，研究者们提出了许多优化策略。其中，一种常见的优化方法是预流推进算法。该算法通过推进大量的流量来 加速算法的收敛速度。此外，还有一些启发式的方法，如 Dinic算法和Push-Relabel算法，它们通过选择最优的增广路径来减少算法的迭代次数。 六、总结 网络流算法作为图论中的重要算法之一，解决了许多实际问题。最 大流算法和最小割算法是网络流算法中的两大核心算法。网络流算法 在各个领域有广泛的应用，并且持续地进行优化以提高算法效率。在 未来，随着计算机技术的进步，网络流算法将发挥更大的作用，为解 决实际问题提供更加高效的解决方案。 至此，我们对图论中的网络流算法及其优化做了简要的介绍。希望 本篇文章可以帮助你更好地理解和应用网络流算法。
离散数学中的图论和网络流分析离散数学是数学的一个重要分支，主要研究的是离散对象以及离散结构。其中，图论和网络流分析是离散数学中最为重要的两个方向，被广泛应用于计算机科学、信息科学以及通信工程等领域。在本文中，我们将会深入探讨这两个方向的原理和应用，并为读者展示其形式和结构。 一、图论 图论是离散数学中的一个分支，旨在通过图来研究对象和对象之间的关系。一般而言，我们称一个图由若干个点和若干个边组成，其中点表示对象，边表示对象之间的关系。对于一个完整的图，我们可以用以下方式进行表示： G = (V, E) 其中，V 表示图中所有点的集合，E 表示图中所有边的集合。如果两个点之间存在一条边连接它们，我们则称这两个点是相邻的。对于一个图 G，我们可以用以下方式来定义它的度数：
d(v) = |{u | (u, v) ∈ E}| 其中，d(v) 表示点 v 在图 G 中的度数，|{u | (u, v) ∈ E}| 则表示与点 v 相邻的点的个数。 图论可以被广泛应用于计算机科学、信息科学以及通信工程等领域。例如，在计算机科学中，图算法被广泛应用于网络设计、数据库设计、搜索引擎算法等领域。在通信工程中，图算法被广泛应用于路由优化、网络监控、数据传输等领域。 二、网络流分析 网络流分析是一个分支领域，旨在通过图来研究网络流量的分布和优化。在网络流分析中，我们通常将网络看作是一个图，其中节点表示不同的网络设备（例如路由器或交换机），边表示不同的网络连接，流表示网络数据的流动。通常来说，我们使用以下方式来表示一个网络流问题： G = (V, E, s, t, c)
其中，V 表示网络中所有节点的集合，E 表示网络中所有边的 集合，s 表示网络中源节点的位置，t 表示网络中目的节点（或终 端节点）的位置，c 表示网络中每个边能承载的最大流量。 网络流分析可以被广泛应用于计算机科学、信息科学以及通信 工程等领域。例如，在计算机科学中，网络流算法被广泛应用于 路由优化、网络监控、数据传输等领域。在通信工程中，网络流 算法被广泛应用于数据传输、带宽优化等领域。 三、结论 在离散数学中，图论和网络流分析是两个最为重要的分支领域。通过对这两个分支的深入理解，我们可以更好地理解图和网络的 本质，并且能够更好地应用图和网络算法解决不同领域的问题。 虽然图论和网络流分析的结构和原理相对复杂，但是只要认真学 习和掌握，我们就能够在实际问题中灵活运用它们，以达到优化 和提高效率的目的。
图论是离散数学中研究图的性质和关系的一个重要分支，而网络流与最大流最小割定理则是图论中非常重要的概念和定理之一。本文将介绍什么是网络流，以及网络流与最大流最小割定理的理论和应用。 什么是网络流？网络流是一种图论中独特的概念，它描述了一个图中的物体（例如液体、汽车等）在路径之间的流动。其中，图的每条边都有一个容量的限制，表示这条边能够传输的最大流量。网络流问题就是要在给定的图中找到从源点到汇点的最大流量。 例如，考虑一张图，其中有源点S和汇点T，图中的边表示物体传输的路径，边上的数字表示该边的容量。我们的目标是找到从源点到汇点的最大流量。在这个问题中，我们需要根据每条边的容量限制，找到一条路径从源点S到汇点T，并计算出经过该路径的最大流量。然后，我们将这个最大流量转移到其他路径上，然后再找到从源点到汇点的最大流量。最终，我们能够找到图中从源点到汇点的最大流量。 那么，如何确定最大流量呢？这就引入了网络流与最大流最小割定理。最大流最小割定理是图论中一个基本而强大的定理，它指出了最大流与最小割之间的关系。最小割是图中将图分成两部分的边的集合，这样将源点和汇点划分到不同的部分中。割的容量定义为割中所有边的容量之和。最大流最小割定理的核心内容是：在一个图中的最大流等于该图中的最小割。 这一定理的证明非常有趣。首先，我们假设已经存在一个最大流，并找到了对应的最小割。那么，我们可以证明这个最小割的容量与最大流的流量相等。其次，我们还可以证明，如果找到了一个最小割，并计算出割的容量，那么图中的一个最大流就是这个割的容量。 这个定理不仅在图论中具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。例如，在交通规划领域中，可以将道路网络描述为一个图，并通过最大流最小割定理计算出最大的交通流量。此外，该定理还在电路设计、流水线优化等领域有着重要的应用。 总之，网络流与最大流最小割定理是图论中的重要概念和定理。网络流问题描述了图中物体在路径之间的流动，而最大流最小割定理则指出最大流与割的容量之间存在着严格的关系。这一定理不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。通过学习和应用这一定理，我们可以更深入地理解图论的内容，并且能够在实际问题中解决一些复杂的路由和流动问题。
研究内容及拟解决的关键性问题开题报告 1、立题意义,主要研究内容及拟解决的关键性问题 ﻭﻭ2、主要研究内容：群的ｃaｙley图及其ｈamｉlｔｏｎ圈及路径的存在性问题,主要是对一些特殊和常用的群进行了归纳与总结． 3、立题意义：１。将高度抽象的群具体化,变成对应于群的结构的可见模型．2。本文在两个现代重要学科群论与图论之间建立了联系.3。本文还让我们对群的一些老朋友循环群,两面体群，群的直积,生成元及其运算关系有了进一步的了解与复习。4。更重要的是,研究该问题会让你觉得趣味横生．ﻭﻭ 4、解决的关键性问题:将一些特殊的群的图形表示及其hamiltoｎ圈及路径的存在性问题进行了归纳与总结,试着从图形中证明我们已熟悉的定理并推出一些结果.对hamｉlton群中h ａmilton路径及cａyley（{（a,0）,(b，0)，(ｅ，1)}:４zm) 中hamilton圈的存在性,对图cａyｌｅｙ（{(a，０）,（b，０)，(e，１)}: 8zｍ）中hamiｌｔｏn圈的存在性进行了证明．总结一下有两个生成元组成的无向cayleｙ图及其相关性质，特别的对s6的cａylｅy图及其hamiltｏn圈的存在性进行了讨论。ﻭﻭﻭ 5、立论根据及研究创新之处：在本文中引进了群的cayｌey图的概念并对一些常用的群进行研究及归纳。研究群的caylｅｙ图会使我们对抽象的群有形象化的认识，观察一些特殊群ｃayley图的优良性质。研究该题不仅可以对循环群,两面体群，群的直积，生成元及其运算关系有了进一步的了解与复习，而且
觉得十分有趣。 ﻭﻭ研究创新之处就是将特殊群的一些cayley图表示出来,并且通过图来观测群与群之间的关系(比如群的直积）,对一些特殊群的haｍiltｏn圈及路径的存在性进行证明与推广．比如hａmiｌton群,4ｚｍ,８zm，s6的caylｅy图及其hamｉｌｔｏn 圈的存在性．ﻭ ﻭ 6、考文献 ﻭ 1蒋长浩，图论与网络流，，林业,ＸX.7ﻭ ﻭ 2 i。grosanｗ．ｍａgnuｓ，groupｓand their gr ａphs 3 igor paｋａｎdｒados radoｉcic，ｈamｉｌtoｎpaths in cayleyｇraphｓﻭ 7、究工作总体安排及具体进度ﻭ ﻭ 2月初 2月底将林老师给与我的材料进行研究 ﻭﻭ 3月初 3月中旬查阅相关资料ﻭ 4月初定好初稿，在３月下旬定下方向,并开始定稿。ﻭﻭﻭ 林老师的指导下进行修改和纠正。ﻭﻭﻭ５月上旬完成.ﻭﻭ
图论在计算机网络中的应用案例解析计算机网络是现代社会中不可或缺的一部分，它以实现信息的传输 与交流为目标，广泛应用于各个领域。而图论作为一种数学工具，被 广泛应用于计算机网络中，用于解决与网络拓扑、路由算法、网络流、网络安全等相关的问题。本文将通过几个案例的解析，介绍图论在计 算机网络中的应用。 案例一：网络拓扑分析 在计算机网络中，网络拓扑的设计对于网络的性能和可扩展性起着 至关重要的作用。图论可以用于分析和优化网络拓扑，确保网络的高 效运行。 举个例子，某个公司有四个办公地点，每个地点都有多台计算机， 现需要设计一个局域网来连接这些地点。通过图论的方法，可以将每 个地点视为一个节点，计算机之间的连接视为边，构建一个拓扑图。 通过分析拓扑图的结构，可以确定最佳的布线方案，使数据传输路径 最短，网络传输效率最高。 案例二：路由算法优化 在计算机网络中，路由算法用于确定数据从源节点到目标节点的最 优路径。图论可以应用于路由算法的优化中，从而实现路由的高效和 稳定。 假设存在一个较大规模的网络，拓扑结构复杂，节点众多。传统的 路由算法可能面临运算速度慢、路径不稳定等问题。而通过使用图论
中的最短路径算法，如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法，可以高效 地找到源节点到目标节点的最短路径，并避免出现环路和拥塞现象。 通过优化路由算法，可以提高网络的响应速度和数据传输的可靠性。 案例三：网络流分析 在计算机网络中，网络流量的管理与控制也是一个重要的问题。图 论可以应用于网络流问题的分析与优化，以实现网络资源的合理利用 与分配。 举个例子，某个企业的服务器集群面临着高负载的问题，需要合理 调度服务器的负载，以避免出现过载现象。通过使用图论中的最大流 算法，如Ford-Fulkerson算法或Edmonds-Karp算法，可以确定最佳的 流量分配方案，使每台服务器的负载达到均衡状态，提高整个网络的 性能。 案例四：网络安全分析 在计算机网络中，网络安全问题一直备受重视。图论可以用于网络 安全分析中，帮助检测潜在的安全威胁和建立安全机制。 举个例子，某个机构的网络面临着DDoS攻击的威胁，需要寻找最 佳的防御策略。通过使用图论中的图匹配算法、社区划分算法等方法，可以将网络拓扑与攻击特征进行匹配和分析，识别出攻击行为和攻击源，并采取相应的防御措施，确保网络安全。 综上所述，图论在计算机网络中有着广泛的应用。通过对网络拓扑 的分析与优化、路由算法的优化、网络流问题的分析与优化以及网络
图论与网络流理论课后答案 图论与网络流理论是计算机科学中非常重要的两门课程。学生在学习这些课程时，需要掌握各种算法和理论，以便在实际应用中解决各种问题。然而，在学习课程后，学生需要进行一些练习，以巩固他们所学的内容，并提高他们的技能水平。 一种非常有效的学习方法是通过解答题目来练习。本文将提供一些图论与网络流理论的练习题答案，帮助学生评估他们自己的能力，发现自己的错误，以及加强自己的学习。 1. 图论 （1）给定一个无向图G=(V,E)，其中V为点的集合，E为边的集合。一个环是一条从一个点出发，经过若干不同的点，最终返回起点的路径。请问，如何判断一个无向图中是否存在环？ 答：可以使用深度优先搜索（DFS）算法来判断是否存在环。在遍历图的过程中，如果遇到一个已经标记为已访问的顶点，且该顶点不是当前顶点的父亲，则该图中存在一个环。 （2）给定一个带权重的图G=(V,E)，其中每条边都有一个权重。请
问，如何找到一个最小生成树？ 答：可以使用Prim算法或Kruskal算法来找到一个最小生成树。在Prim算法中，从一个起始节点开始，将其与最短的相邻节点相连，并将其加入到生成树中。然后，重复此过程，直到所有节点都加入到生成树中。在Kruskal算法中，首先将所有边按权重排序，然后按照升序逐个添加边，并检查是否形成了环。如果没有形成环，则将该边添加到生成树中，否则舍弃该边。 2. 网络流理论 （1）给定一个网络流G=(V,E)，其中源点为s，汇点为t，每条边都有一个容量和一个费用。请问，如何找到一个最小费用流？ 答：可以使用最小费用最大流算法来找到一个最小费用流。该算法包含两个步骤。第一步是找到一个最大流，可以使用Ford-Fulkerson 算法或者Edmonds-Karp算法。第二步是通过增广路径来增加流量，直到达到最小费用。 （2）给定一个有向无环图G=(V,E)，其中每个节点都有一个点权，且每条边都有一个边权。请问，如何找到从源点s到汇点t的一条最长路径？
第七章图与网络分析 一、单项选择题 1．关于可行流，以下叙述不正确的是（） A.可行流的流量大于零而小于容量限制条件 B．在网络的任一中间点，可行流满足流人量=流出量 C．各条有向边上的流量均为零的流是一个可行流 D．可行流的流量小于或等于容量限制条件而大于或等于零 2．关于最小树，以下叙述（）正确。 A.最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图 B．最小树是一个网络中连通所有的点，而权数最少的图 C．一个网络中的最大权边必不包含在其最小树内 D．一个网络的最小树一般是唯一的。 3．最小树的算法关键是把最近的某些结点连接到那些已接结点上去，前者所指结点是（） A. 边缘结点 B.未接结点 C.已接结点 D.最重要结点 4.最小树问题就是在网络图中，找出若干条边，连接所有结点，而且（） A.连接的总长度最大 B.连接的总长度最小 C.连接的总长度为0 D.计算总长度 5．最小树问题就是在网络图中，找出若干条边，连接（） A.相邻结点 B.头尾结点 C.部分结点 D.所有结点 6．任一树中的边数和它的点数之间的关系是（） A.边数等于点数减1 B.边数等于点数加1 C.点数等于边数减1 D.点数等于边数加1 7．最大流问题中，对于一个可行流，V i V j 有向边上的流量f ij 必须满足的条件 之一是（） A.0≤f ij ≥c ij B.0≥f ij ≤c ij C. 0≤f ij ≤c ij D. 0≥f ij ≥c ij 8.一个连通图中的最小树可能不唯一，其权（） A.是唯一确定的 B.可能不唯一 C.可能不存在 D.一定有多个 二、多项选择题 1.关于图论中图的概念，以下叙述正确的的（） A.图中的边可以是有向边，也可以是无向边 B.图中的各条边上可以标注权 C.结点数等于边数的连通图必含圈 D.结点数等于边数的图必连通 E.图中的边只能是有向边 2.关于最短路，以下叙述不正确的有（） A. 从起点出发到终点的最短路不一定是唯一的，但其最短路线的长度是确 定的 B．从起点出发到终点的最短路是唯一的 C．从起点出发的有向边中的最小权边，一定包含在起点到终点的最短路上
网络流：最小费用最大流（最简单的算法） 最小费用流在OI 竞赛中应当算是比较偏门的内容，但是NOI2008 中employee 的突然出现确实让许多人包括zkw 自己措手不及。可怜的zkw 当时想出了最小费用流模型，可是他从来没有实现过，所以不敢写，此题0 分。zkw 现在对费用流的心得是：虽然理论上难，但是写一个能AC 题的费用流还算简单。先贴一个我写的employee 程序：只有不到70 行，费用流比最大流还好写～ 程序代码:C++ #include
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