组合与组合数公式

组合与组合数公式
1．组合的定义
一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．
组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n 个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m 个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质 2．组合数的概念、公式、性质
组合数
定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个
数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数
表示法
C m
n
组合数 公式 乘积式 C m n
＝A m
n A m m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！
阶乘式
C m
n ＝
n ！
m ！（n －m ）！
性质 C m
n ＝C n －m
n ，C m
n ＋1＝C m
n ＋C m －1
n 备注
①n ，m ∈N *
且m ≤n ；②规定：C 0
n ＝1
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从a 1，a 2，a 3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C 2
3.( ) (2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C 2
4个积．( ) (3)C 3
5＝5×4×3＝60.( ) (4)C 2 016
2 017＝C 1
2 017＝2 017.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 若A 3
n ＝8C 2
n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
答案：A
计算：(1)C 3
7＝________；(2)C 18
20＝________． 答案：(1)35 (2)190
甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．
解析：车票的票价有C23＝3种．
答案：3
探究点1 组合概念的理解
判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？
(3)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？
(4)5个人相互写一封信，共写了多少封信？
【解】 (1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．
(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．
(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．
(4)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．
判断一个问题是否是组合问题的方法技巧
区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起．区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
判断下列问题是排列问题还是组合问题：
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？
解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．
(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．
(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．
探究点2 组合数公式、性质的应用
计算下列各式的值．
(1)3C 3
8－2C 2
5； (2)C 3
4＋C 3
5＋C 3
6＋…＋C 3
10； (3)C 5－n
n ＋C 9－n
n ＋1. 【解】 (1)3C 38－2C 2
5＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.
(2)利用组合数的性质C m n ＋1＝C m n ＋C m －1
n ， 则C 3
4＋C 3
5＋C 3
6＋…＋C 3
10 ＝C 4
4＋C 3
4＋C 3
5＋…＋C 3
10－C 4
4 ＝C 4
5＋C 3
5＋…＋C 3
10－C 4
4＝ …
＝C 411－1＝329.
(3)⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，
5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.
又因为n ∈N *
，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 1
4＋C 5
5＝5. 当n ＝5时，原式＝C 0
5＋C 4
6＝16.
[变条件]若将本例(2)变为：C 5
5＋C 5
6＋C 5
7＋C 5
8＋C 5
9＋C 5
10，如何求解？ 解：原式＝(C 6
6＋C 5
6)＋C 5
7＋C 5
8＋C 5
9＋C 5
10 ＝(C 6
7＋C 5
7)＋C 5
8＋C 5
9＋C 5
10＝… ＝C 6
10＋C 5
10＝C 6
11＝C 5
11 ＝11×10×9×8×75×4×3×2×1
＝462.
关于组合数公式的选取技巧
(1)涉及具体数字的可以直接用n
n －m
C m
n －1＝
n
n －m
·
（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！
＝C m
n 进
行计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式C m
n ＝
n ！
m ！（n －m ）！
计算．
(3)计算时应注意利用组合数的性质C m
n ＝C n －m
n 简化运算．
1.C 5
8＋C 98
100C 7
7＝________．
解析：C 5
8＋C 98
100C 7
7＝C 3
8＋C 2
100×1
＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. 答案：5 006
2．若C 2
3＋C 2
4＋C 2
5＋…＋C 2
n ＝363，则正整数n ＝________． 解析：由C 2
3＋C 2
4＋C 2
5＋…＋C 2
n ＝363， 得1＋C 2
3＋C 2
4＋C 2
5＋…＋C 2
n ＝364， 即C 3
3＋C 2
3＋C 2
4＋C 2
5＋…＋C 2
n ＝364. 又C m n ＋C m －1n ＝C m
n ＋1，则
C 3
3＋C 2
3＋C 2
4＋C 2
5＋…＋C 2
n ＝C 3
4＋C 2
4＋C 2
5＋…＋C 2
n ＝C 3
5＋C 2
5＋C 2
6＋…＋C 2
n ＝…＝C 3
n ＋1，所以C 3
n ＋1＝364，
化简可得（n ＋1）n （n －1）3×2×1＝364，
又n 是正整数，解得n ＝13. 答案：13
3．解方程：C 3n ＋6
18＝C 4n －2
18.
解：由原方程及组合数性质可知， 3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， 所以n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，
3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n ＝2.
探究点3 简单的组合问题
现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 2
10＝
10×9
2×1
＝45种． (2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有C 2
6种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．
根据分类加法计数原理，共有C 2
6＋C 24＝15＋6＝21种不同选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C 2
6种，从4名女教师中选2名的选法有C 2
4种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 2
6×C 24＝
6×52×1×4×3
2×1
＝90种．
[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？
解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．
由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39种．
最多有1名男教师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．
由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30种．
解简单的组合应用题的策略
(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．
(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．
[注意] 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
问全部赛程共需比赛多少场？
解：小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是每组6支球队的任两支球队都要比赛一次，所以小组赛共要比赛2C26＝30(场)．
半决赛中甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛2A22＝4(场)．
决赛只需比赛1场，即可决出胜负．
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．
1．下面几个问题属于组合的是( )
①由1，2，3，4构成双元素集合；
②5支球队进行单循环足球比赛的分组情况；
③由1，2，3构成两位数的方法；
④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．
A．①③B．②④
C．①②D．①②④
解析：选C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故②是组合问题；③④中两位数顺序不同数字不同为排列问题．
2．若C n 12＝C 2n －3
12，则n 等于( )
A ．3
B ．5
C ． 3或5
D ．15
解析：选C.由组合数的性质得n ＝2n －3或n ＋2n －3＝12，解得n ＝3或n ＝5，故选C. 3．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)
解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 4
10＝210种分法． 答案：210
4．计算下列各式的值． (1)C 98
100＋C 199
200； (2)C 3
7＋C 4
7＋C 5
8＋C 6
9； (3)C 38－n
3n ＋C 3n
21＋n .
解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1
200＝100×992×1＋200＝5 150.
(2)C 3
7＋C 4
7＋C 5
8＋C 6
9＝C 4
8＋C 5
8＋C 6
9＝C 5
9＋C 6
9＝C 6
10＝C 4
10＝210.
(3)因为⎩
⎪⎨⎪⎧1≤38－n ≤3n ，
1≤3n ≤21＋n ，
即⎩
⎪⎨⎪⎧19
2≤n ≤37，13≤n ≤21
2
，所以192≤n ≤212.
因为n ∈N *
，所以n ＝10，
所以C 38－n
3n ＋C 3n
21＋n ＝C 28
30＋C 30
31＝C 2
30＋C 1
31＝466.
[A 基础达标]
1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ) A ．72种 B ．84种 C ．120种
D ．168种
解析：选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C 3
10＝120(种)． 2．方程C x
28＝C 3x －828的解为( ) A ．4或9 B ．4 C ．9
D ．5
解析：选A.当x ＝3x －8时，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8时，解得x ＝9.
3．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( ) A ．24种 B ．12种 C ．10种
D ．9种
解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C 1
2＝2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C 2
4＝6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种．故选B.
4．化简C 97
98＋2C 96
98＋C 95
98等于( ) A ．C 97
99 B ．C 97
100 C ．C 9899
D ．C 98
100
解析：选B.由组合数的性质知，C 97
98＋2C 96
98＋C 95
98 ＝(C 97
98＋C 96
98)＋(C 96
98＋C 95
98) ＝C 97
99＋C 96
99＝C 97
100.
5．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( ) A ．2人或3人 B ．3人或4人 C ．3人
D ．4人
解析：选A.设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 1
8－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A. 6．若A 3
n ＝6C 4
n ，则n 的值为________． 解析：由题意知n (n －1)(n －2) ＝6·
n （n －1）（n －2）（n －3）
4×3×2×1
，
化简得
n －3
4
＝1，所以n ＝7.
答案：7
7．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．
解析：从10人中选派4人有C 4
10种方法，对选出的4人具体安排会议有C 24C 1
2种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C 4
10C 24C 1
2＝2 520种． 答案：2 520
8．若C m －1
n ∶C m
n ∶C m ＋1
n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________．
解析：由题意知：⎩⎪⎨⎪
⎧C m －1
n C m n ＝3
4，C
m n
C
m ＋1n
＝45，
由组合数公式得⎩
⎪⎨⎪
⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，
解得：n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35. 答案：35
9．判断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果．
(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？
(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ 解：(1)与顺序无关是组合问题，共有C 5
10种不同分法． (2)大小顺序已确定，故是组合问题，构成三位数共有C 3
9个． (3)握手无先后顺序，故是组合问题，共需握手C 2
10次． 10．(1)解方程：C x －2x ＋2＋C x －3
x ＋2＝110
A 3
x ＋3； (2)解不等式：1C 3x －1C 4x ＜2
C 5x
.
解：(1)原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3，即C 5
x ＋3＝110A 3x ＋3，
所以（x ＋3）！5！（x －2）！＝（x ＋3）！
10·x ！
，
所以1120（x －2）！＝110·x （x －1）·（x －2）！，
所以x 2
－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3， 经检验知，x ＝4是原方程的解． (2)通过将原不等式化简可以得到
6x （x －1）（x －2）－24
x （x －1）（x －2）（x －3）
＜
240
x （x －1）（x －2）（x －3）（x －4）.
由x ≥5，得x 2
－11x －12＜0，解得5≤x ＜12. 因为x ∈N *
，所以x ∈{5，6，7，8，9，10，11}．
[B 能力提升]
11．式子C m ＋2
10＋C 17－m
10(m ∈N *
)的值的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选A.由⎩
⎪⎨⎪⎧m ＋2≤10，
17－m ≤10，得7≤m ≤8，
所以m ＝7或8.
当m ＝7时，原式＝C 9
10＋C 10
10. 当m ＝8时，原式＝C 10
10＋C 9
10， 故原式的值只有一个．
12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有( ) A ．35种 B ．70种 C ．30种
D ．65种
解析：选B.先从7人中选出3人有C 3
7＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C 3
7＝70.
13．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C 3
8＝
8×7×6
3×2×1
＝56.
(2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 2
7＝7×62×1
＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 3
7＝错误!＝35.
14．(选做题)某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？ 解：可分为如下几类比赛：
(1)小组循环赛：每组有C 2
4＝6场，8个小组共有48场；
(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；
(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；
(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；
(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．。