(2)销量从 200 件增到 400 件, 总收入增加了: R R(400) R(200) x (1000 )dx 200 2 400 x 2 400 = (1000 x ) |200 170000 (元) 返回 4 案例 3.17 某水泥厂生产水泥的边际 50 成本为 C ( x ) 100 (元/吨) ,其中 x 为产 x x 年这期间的总产量 Q 为
x a P ( t )dt Q( x ) Q(a ) 两边同时对 x 求导,且因 Q(t ) P (t ) ,于是 d x P ( t )dt [Q( x ) Q(a )] Q( x ) P ( x ) dx a 返回 引例 3.7 设某商品的价格 P 是 参考答案 参考答案 2 3 1、V r tg 3 2、10年中该项投资的纯收入的贴现 值为96.75万元 返回 引例 3.6 设某种产品其总产量的 变化率(即边际产量)是时间 t 的连续 函数 P P ( t ) ,求从第 a 年到第 x 年这期 间的总产量. 引例3.6 解 由定积分概念,从第 a 年起到第 元时,消费支出增加多少? 案例3.20 解 消费支出增加为 W 1600 900 15 dx 30 x x 1600 900 300 (元) 因此, 当个人收入由 900 元增加到 1600 元时,消费支出增加 300 元. 返回 案例 3.21 设某种服装的销售量在时 2 t t 0 (千件 . t3 刻 时的变化率为 Q ( t ) 4 /月) , TL( t ) L( x )dx , 0 t 投入使用 t 年的时累积利润 当 (TL( t )) L( t ) 0 时,即当收益等于维修成本时, 机器报废,累积利润最大. 1 2 2 81 t 2 t 因此 ,得 t=6(年). 4 这台机器使用 6 年后应报废,6 年的累积利润为: 1 2 1 t(万元) 益与时间的函数关系为 R( t ) 8 , 4 2 C ( t ) 2 t(万 维修成本与时间的函数关系为 元).假定机器报废时没有任何成本或残留价值. 试问其利用率最高(即累积利润最大)时,这台 机器应使用多少年?并计算总利润. 解 设利润与时间的关系为 L( t ) ,则 L(t ) R(t ) C (t ) . 案例3.17 案例3.20 案例3.23 课堂练习 1、有一半径为r的圆柱木料,现过 底圆的中心与底面成a角(锐角)作一平面, 截下该木料上一块楔形木块,求这楔形 木块的体积. 参考答案 课堂练习 2、某投资项目的成本为l百万元,在 10年中年可收益25万元,投资年利率5%. 试求这10年中该项目的纯收入的贴现值. R( x ) 1000 x (元/台) , 其中 Leabharlann Baidu x 为产量 (单位: 台) . 求(1)生产多少台时总利润最大? (2)总利润最大时总收入为多少? 案例3.18 解 (1)由于利润函数 L( x) R( x) C( x)所以 L( x ) R( x ) C ( x ) 1000 x 400 900 0 L( x )dx 900 0 (18 0.02 x )dx (18 x 0.01 x 2 ) 0 8100 900 (3)生产 800 件的总利润为 L(800) 800 0 L( x )dx 800 0 (18 0.02 x )dx (18 x 0.01 x 2 ) 0 8000 案例3.23 解 (1) 由于边际利润等于边际收入和边际 成本的差 L( x) R( x) C ( x) 20 0.02 x 2 18 0.02 x 令 L( x ) 0 ,得唯一驻点 x=900 件时总利润最大. 因此,当 x=900 (2)总利润的最大值为 L(900)
(100 50 x 50 x )dx 100 x 100 x C , 10000 (100 )dx (100 x 100 x ) 6400 362000 (元) , 因此,总成本的增加量 36.2 万元的投资. 返回 案例 3.18 已知某产品的边际成本函数为 3x C ( x ) 400 (元/台) ,边际收入函数为 2 Q x ( t )dt (100 12t )dt 2 2 4 4 4 (100t 6t ) 2 272 2 因此, t 2 到 t 4 这两小时的总产量为 272 单位. 返回 案例 3.20 在某地区当消费者个人收 入为 x 时,消费支出W ( x ) 的变化率 15 , 当个人收入由 900 元增加到 1600 W ( x ) x d x P ( t )dt [ R( x ) R(a )] R( x ) P ( x ) dx a 返回 案例 3.16 已知销售某种产品 x 件时,总收 x 2 入 R(x)的变化率(边际收入) (单位:元/件)为 R( x ) 1000 x0 (1)求销售 100 件时该产品的总收入; (2)求销售从 200 件增到 400 件时,总收入增 加了多少? 引例3.7 §3.4.2 微积分基本公式 定理 3.2 (微积分基本公式) 若函数 F ( x ) ] 是连续函数 f ( x ) 在区间[a ,b 上的一个原函数,则
b a f ( x) d x F ( ) b F ( a ) 称为微积分基本公式也称为牛顿-莱布尼兹公式. 案例3.16 案例3.18 案例3.21 案例3.19 案例3.22 销售量 t 的连续函数 P P ( t ) , 当销售 量从 a 变动到 x 时的收益 R 为多少? 引例3.7 解 由定积分概念, 销售量从 a 变动到 x 时的收益 R 为
x a P ( t )dt R( x ) R(a ) 两边同时对 x 求导,且因 R(t ) P (t ) , 于是 (元)因此,当产量为1200台时,所获利润最大,此时的 总收入为192万元. 返回 案例 3.19 某工厂生产某商品总 0 1 t 2 产量在时刻 t 的变化率为 x( t ) 1 0 (单位/小时) .求由 t 2 到 t 4 这两小时 的总产量. 案例3.19 解 设总产量为 x(t ) ,则 a x §3.4.1 变上限积分* b 上 ] 定理 3.1 设函数 f ( x ) 在区间 [a , 连续,则变积分上限函数 ( x ) f ( t )dt a x 在区间[a , b]上可导,且 d x ( x ) f ( t )d t dx a 引例3.6 f( x ) ( a x ) b 9 3 6 TL(6) [ R( t ) C ( t )]dt (81 t 2 )dt (81t t 3 ) 0 324 0 0 4 4 6 6 因此,这台机器使用 6 年后应报废,6 年的累积利 润为 324 万元. 返回 案例 3.23 某食品厂生产某种食品的 边际成本为 C ( x ) 2 (元/件)(固定成本为 0) , 而边际收入为 R( x ) 20 0.02 x (元/件),求: (1) 产量 x 为多少时总利润最大? (2) 总利润的最大值是多少? (3) 生产 800 件时的总利润为多少? 试求一年内的总销售量. 案例3.21 解 所求的总销售量为 Q Q( t )dt (4t 0.3t 2 )dt 0 0 12 12 12 (2t 0.1t ) 0 115.2 2 3 因此, 一年内的总销售量为 115.2 千件. 返回 案例 3.22 某加工厂已购置一台机器, 收 800 返回 §3.4 微积分基本公式 §3.4.1 变上限积分 * ] 定义 3.4 设函数 f ( x ) 在区间[a ,b 上可积, x [ a, b ] ,则变动上限的积分
x a f ( t )dt (a x b) 是上限 x 的函数,称为变积分上限函数(变上限 积分) ,记作 ( x ) f ( t )dt 量(单位:吨).求当产量从 6400 吨增加到 10000 吨时,总成本的增加量. 案例3.17 解 设产量从 6400 吨增加到 1 万吨时,总成本 的增加量 C ,则 C 10000 6400 C ( x )dx 10000 6400 50 (100 )dx x 又因为 C 10000 6400 解 (1)因为销售 100 件时该产品的总收入 是 R(100) ,所以 R(100) 1 0 0 0 R( x )dx 1 0 0 0 x (1000 )dx 2 又因为 R(100) 100 0
x x2 (1000 )dx 1000 x C ,所以 2 4 x x 2 100 (1000 )dx (1000 x ) |0 97500 (元) 2 4 3x x 600 2 2 令 L( x) 0,得驻点 x=1200由于是唯一的驻点,由问 题的实际意义当x=1200台时利润最大. 2)获最大利润时的总收入为 R(1200) 1200 0 R( x )dx 1200 0 x 2 1200 (1000 x )dx (1000 x ) 0 1920000 2