532命题定理的证明()

内容数学：5.3平行线的性质-5.3.2命题、定理教案（人教新课标七年级下）第2 周课时11 授课时间：年月日授课教师：课题5.3.2 命题、定理课型新授教学目的知识与技能：了解命题的概念，并能区分命题的题设和结论.过程与方法：经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解.情感态度与价值观：初步培养学生不同几何语言相互转化的能力.重点命题的概念和区分命题的题设与结论.难点区分命题的题设和结论.媒体多媒体课件教法引导发现法教学过程教师活动学生活动创设情境复习导入教师出示下列问题：1.平行线的判定方法有哪些2.平行线的性质有哪些.尝试活动探索新知了解命题和它的构成.教师给出下列语句①如果两条直线都与第三条直线平行那么这条直线也互相平行；②等式两边都加同一个数结果仍是等式；③对顶角相等；④如果两条直线不平行那么同位角不相等.教师给出命题的定义.判断一件事情的语句叫做命题. （3）命题的组成.①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项.②命题的形成.真命题与假命题：教师出示问题：如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果a＞b. b＞c那么a＝b如果两个角互补，那么它们是邻补角.（三）尝试反馈理解新知学生能积极的思考教师所出示的各个问题复习巩固有关的知识点为本节课的学习打下良好的基础.（注意:平行线的判定方法三种另外还有平行公理的推论）学生学生能由教师的引导分析每个语句的特点.思考：你能说一说这4个语句有什么共同点吗？并能耐总结出这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断.初步感受到有些数学语言是对某件事作出判断的.判断语句“画AB∥CD”有没有判断成分是不是命题.学生并能举例说明是命题和不是命题的语句.与同组同学共同分析上述四个命题的题设和结论重点分析第②、③语句.第②命题中“存在一个等式”而且“这等式两边加同一个数”是题设，“结果仍是等式”是结论.第③命题中，“两个角是对顶角”是题设，“这两角相等”是结论.学生能思考：你认为这几句话对吗？它们是不是命题？第 2 周课时 11 授课时间：年月日授课教师：教学过程明确命题有正确与错误之分：命题的正确性是我们经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，作为真命题，定理也可以作为继续推理的依据.1.“等式两边乘同一个数，结果仍是等式”是命题吗？它们题设和结论分别是什么？2.命题“两条平行线被第三第直线所截，内错角相等”是正确的？命题“如果两个角互补，那么它们是邻补角”是正确吗？再举出一些命题的例子，判断它们是否正确.总结拓展教师引导学生完成本节课的小结，强调重要的知识点.布置作业习题5.3第11题.学生能由教师的讲解理解命题有真有假，并能通过举反例说明命题的错误.解答：1.是命题，题设是“等式两边乘同一个数”，结论是“结果仍是等式”.2.第一个命题正确，第二个命题错误.可举出例子说明，如两条直线平行，同旁内角互补，但这两个同旁内角不是邻补角.对于学生所举的错误命题，教师应给归纳一下，有两类：第一类是命题题设不足于确定命题结正确，如“同位角相等”，这里条件不够.学生能由教师的引导进行思考：通过本节课的学习，你有什么收获呢？你还有什么疑惑呢？总结本节课所学习的知识并能把本节课的知识形成知识网络.板书设计5.3.2 命题、定理概念：___________________________构成:_____________________________命题分类:真命题:_______________________假命题:_______________________定理:_____________________________引入资料及出处教后记本节课的教学内容较简单，通过本节课的教学学生能在了解命题的概念，并能区分命题的题设和结论的基础上知道命题有真假之分，其中的真命题又叫做定理，对于假命题只要举出反例加以说明即可，其中推理过程叫做证明，学生小组合作学习的积极性较高，体现出学生愿学乐学心态，教师要及时性的鼓励与表扬.组长教导处2011年浙江省奉化市中考思想品德专题总复习：科学发展观、可持续发展生物：第11章人体内的废物排入环境同步测试（苏教版七年级下）2011届高考历史第二轮专题检测试题59人教版七年级上册第三单元单元练习6套第三单元复习试卷6网络信息调查功能的设计与实现2010－2011学年度南昌市高三第一轮复习训练题数学（12）（圆锥曲线）1语文：第5课《苏州园林》同步练习(鄂教版九年级下)从《沁园春雪》看阅读教学“三要素”化学：3.1《认识氧气》同步练习（粤教版九年级上）浙江省2011年高考模拟试卷物理卷（4）历史：第12课《北伐战争》同步练习（鲁教版八年级上）2011届高考历史第二轮专题检测试题56第 3周第2次课教案总6 次备课教师：钱厉风福建省厦门外国语学校中美班2010年入学考试数学试题（无答案）广东省中山市镇区五校20102011学年高二上学期期中联考政治（文）2012《高考密码》高中生物总复习（新课标人教版）：必修三课时训练(第六章生态环境的保护)苏教版必修1～5全部教案学案-第27课时——幂函数（1）教师版苏教版必修1～5全部教案学案-第18课时6.1.3 分层抽样安徽省泗县双语中学11-12学年高二上学期实验班竞赛试题（英语）2011年中考数学三轮复习综合训练(8)及答案数学：7.1轴对称现象教案1（北师大版七年级下）2011中考数学考前专题：样本与总体化学：8.2《合成材料》素材（旧人教版必修2）2010年山东青岛市高三第一次教学质量检测文科数学试卷【物理】2011年高三100套选择题小专题专项训练（23）苏教版必修1～5全部教案学案-第16课——指数函数（1）配套练习苏教版必修1～5全部教案学案-第9课——分段函数——配套练习翼教版七年级语文上册 19《四季交响曲》同步练习（无答案）（《论语》选读）之《诲人不倦》教学设计之二[名校联盟]山西省孝义三中2010-2011学年高一单元测试（一）生物试题苏教版必修1～5全部教案学案-第25课时6.4.1线性回归方程(1)语文：第20课《罗布泊，消失的仙湖》同步练习（鲁教版七年级上）物理：鲁科版必修2 3.1 运动的合成与分解（同步练习）2011高考语文第一轮总复习提分卡：语病[名校联盟]广西区桂林十八中2010-2011学年高一下学期期中考试英语试题普通高校招生统一考试数学试卷分章节汇编及详细答案-2.3指数函数与对数函数生物：1.2《内环境稳态的重要性》测试3（新人教版必修3）数学：1.9整式的除法（第2课时）教案（北师大版七年级下）2011年一模试题分类 (电化学)2011年湖北地理中考会考专题复习系列资料——中国的疆域与人口复习学案© 2011 教学考试网. All Rights Reserved. 冀ICP备10203516号-1。

《命题、定理、证明》教案学习目标：1.掌握命题的概念，并能分清命题的组成部分；2.对命题的真假有一个初步的了解．一、自主学习（一）命题：1、阅读思考：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这条直线也互相平行；②等式两边都加同一个数，结果仍是等式；③对顶角相等；④如果两条直线不平行，那么同位角不相等.这些句子都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断2、定义：的语句，叫做命题.（二）命题的构成：1、许多命题都由和两部分组成.是已知事项，是由已知事项推出的事项.2、命题常写成“如果……那么……”的形式，这时，“如果”后接的部分．．．．．．是.．．．．．是，“那么”后接的的部分（三）命题的分类：真命题：.假命题：.定理：的真命题.一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做.二、合作探究1、指出下列命题的题设和结论：(1)如果两个数互为相反数，这两个数的商为-1；(2)两直线平行，同旁内角互补；(3)同旁内角互补，两直线平行；(4)等式两边乘同一个数，结果仍是等式；(5)绝对值相等的两个数相等；(6)如果AB⊥CD，垂足是O，那么∠AOC＝90°.2、把下列命题改写成“如果……那么……”的形式：(1)互补的两个角不可能都是锐角：.(2)垂直于同一条直线的两条直线平行：.(3)对顶角相等：.3、判断下列命题是否正确：(1)同位角相等；(2)如果两个角是邻补角，这两个角互补；(3)如果两个角互补，这两个角是邻补角.三、学以致用1、判断下列语句是不是命题.（1）延长线段AB；（2）两条直线相交，只有一交点；（3）画线段AB的中点；（4）若|x|=2，则x=2；（5）角平分线是一条射线.2、选择题.（1）下列语句不是命题的是（）A 、两点之间，线段最短B 、不平行的两条直线有一个交点C 、x 与y 的和等于0吗？D 、对顶角不相等（2）下列命题中真命题是（）A 、两个锐角之和为钝角B 、两个锐角之和为锐角C 、钝角大于它的补角D 、锐角小于它的余角（3）命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。

你能证明他们吗？1、全等三角形的判定及性质：（1）三边对应相等的两个三角形________；（简写成“边边边”或“SSS”）（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形________；（简写成“________”或“________”）（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形________；（简写成“________”或“________”）（4）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形________；（简写成“________”或“________”）（5）全等三角形的对应边________，对应角________．2、等腰三角形的两个底角________．（简称“等边对________”）；有两个角相等的三角形是________三角形（简称“等角对________”）．3、等腰三角形是有两条边相等的三角形，在等腰三角形中，________、________、________互相重合，简称“三线合一”．等边三角形是特殊的等腰三角形，也满足“三线合一”．识别等边三角形可以从以下几个方面考虑：（1）________相等；（2）________相等；（3）有一个角为________的等腰三角形．4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它对应的直角边等于________．5、先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为________．6、如图所示，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°7、一个等腰三角形的两个内角和为100°，则它的顶角度数为（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°8、如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，则∠B等于（）A．50°B．40°C．25°D．20°9、某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm10、如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是（）A．5 B．4 C．3 D．211、如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论：①EM＝FN；②CD＝DN；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12、如图，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠ACB＝1∶2∶3，CD⊥AB于D，AB＝a，则DB等于（）A．B．C．D．13、我们来研究“雪花曲线”的有关问题：图（1）是边长为1的正三角形，将此正三角形的每条边三等分，而以居中的那一条线段为底边再作正三角形，然后以其两腰代替底边，得到第二个图形如图（2）；再将图（2）中的正三角形的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第三个图形如图（3），如此继续下去，得到的第五个图形的周长应等于（）A．3 B．C．D．14、等腰三角形底边是5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为________．15、如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有________个．16、如图所示，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB 边上的点E处，折痕为BD．求△AED的周长．17、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BP＝CE，BD＝CP，则∠DPE＝________．18、如图，点D、E在△ABC的BC边上，∠BAD＝∠CAE，要推理得出△ABE≌∠ACD，可以补充的一个条件是________（不添加辅助线，写出一个即可）．15题16题17题18题19、如图，已知B、F、E、D在一条直线上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求证：（1）AE＝CF；（2）∠AFE＝∠CEF．20、如图，已知等腰△ABC的周长为50cm，AD是底边上的高，△ABD的周长为40cm，求AD的长．21、求证：等腰三角形的底角必为锐角.22、如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇，在△ABC的哪条边上相遇？23、（2011，福建漳州三中第一次月考）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A．10米B．15米C．25米D．30米24、（2012，重庆石柱九年级上学期期末）如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则这样的点P的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．125、（2012，北京海淀九年级上学期期末考试）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，若∠ADC＝15°，则∠ABE＝________°．23题24题25题26题26、（2010，浙江永嘉二模）阅读：下题及证明过程．已知：如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，点E 是AD上的一点，且EB＝EC，∠ABE＝∠ACE．求证：∠BAE＝∠CAE．证明：在△AEB和△AEC中，∴△AEB≌△AEC（），∴∠BAE＝∠CAE（）．上面的证明过程是否正确？若正确，请在各步后面的括号内填入依据；若不正确，请给予正确的证明．27、（2011，铜仁）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C．等腰三角形是中心对称图形D．等腰三角形是轴对称图形28、（2011，江西）如图，下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DCC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC29、（2011，芜湖）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为（）A．B．4 C．D．30（2011，河南）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为________．31（2011，茂名）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度．32（2011，江苏镇江常州）已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，DA平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC，求证：AB＝AC．29题30题31题32题33（2010，浙江金华）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B、C重合），F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．（1）你添加的条件是：________；（2）证明：34（2010，四川内江）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．直角三角形1、如图①，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG、DE．（1）猜想图①中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；（2）将图①中的正方形CEFG绕着点C旋转一定的角度，得到如图②、如图③的情形．请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图③说明你的判断．2、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于________．3、勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是________．4、直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形________，简单表示为________．5、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为________．其中一个命题称为另一个命题的________．6、一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为________，其中一个定理称为另一个定理的________．7、下列条件可以证明两个直角三角形全等的是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等8、若a、b、c分别是三角形的三边，那么下列各项中，不能构成直角三角形的是（）A．B．a＝32，b＝42，c＝52 C．a＝7，b＝24，c＝25 D．a＝15，b＝9，c＝129、下列定理中，不存在逆定理的是（）A．等边三角形的三个内角都等于60°B．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C．同位角相等，两直线平行D．全等三角形的对应角相等10、如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．4 B．6 C．16 D．5511、如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对12、写出命题“三角形两边之和大于第三边”的逆命题：________________，并判断真假：是________命题（填“真”或“假”）．13、利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中—个十分著名的定理，这个定理称为_______，该定理的结论的数学表达式是__________．14、如图，甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙，中的实线）是________．15、如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE、CD交于O，且AO平分∠BAC，那么图中全等的三角形共有________对．13题14题15题16、已知，如图，AB＝CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE＝BF，∠D＝60°，则∠A＝________°.17、如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h cm，则h的最小值大约为________ cm．（精确到个位，参考数据：）18、如图所示，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积．19、如图所示，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F处，求CE的长．20、已知：如图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点A处沿棱柱的表面爬到顶点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？21、（2011，福建漳州三中第一次月考）下列说法正确的是（）A．每个命题都有逆命题B．真命题的逆命题是真命题C．假命题的逆命题是真命题D．每个定理都有逆定理22、（2010，河北高碑店期中）有六根木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（）A．4，5，8 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，1223、（2011，甘肃金昌四中期中）一个正方形（如图所示）摆放在桌面上，则正方形的边长为________．24、（2010，河北石家庄28中一模）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为________．25、（2010，湖南株洲模拟）如图所示，已知AD为△ABC的高，E为AC上一点，连接BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD．求证：BE⊥AC．26、（2010，长沙）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A．3、4、5 B．6、8、10 C．、2、D．5、12、1327、（2011，浙江金华）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．600m B．500m C．400m D．300m28、（2011，四川宜宾）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．629、（2011，凉山州）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：________________________________．30、（2011，新疆建设兵团）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，则BC边上的高AD等于________ cm．31、（2010·湖北恩施）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，DC＝3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点A，B，E在同一直线上），连接CF，则CF＝________．线段的垂直平分定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的________相等．定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上．定理：三角形三条边的垂直平分线相交于________，并且这一点到三个顶点的________相等．1、（2011，湖北随州）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE＝4，FC＝3，求EF长．2、如图①所示，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，AF＝CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB＝MD，ME＝MF；（2）求E、F两点移动至如图②所示位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明．3、如图所示，AC＝AD，BC＝BD，则（）A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分∠ACB D．以上结论均不对4、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交斜边AB于点D，交BC于点E，AB＝7.8，AC＝3.9，在Rt△ABC的内部，等于60°的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5、如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，DE垂直平分AC，∠A＝50°，则∠DCB的度数是（）A．15°B．30°C．50°D．65°6、如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边中线的交点处C．AC、BC两边垂直平分线的交点处D．∠A、∠B两内角的平分线的交点处7、如图所示，B，C，E三点在同一直线上，∠B＝57°，DC是AB的垂直平分线，则∠ACE＝________．8、如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D．（1）若∠A＝40°，则∠DBC＝________．（2）若AB＝AC ＝14，BC＝10，则△BCD的周长＝________．（3）若△BCD的周长为26，BC＝9，则AB＝________．9、在如图的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，折叠该纸片，使点A与B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和E，则折痕DE的长为________．10、如图，△ABC中，∠BAC＝100°，EF、MN分别为AB、AC的垂直平分线，若BC＝12cm，则△FAN的周长为________ cm，∠FAN＝________．11、要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是________．12、如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，点E在线段AD上，并且∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD垂直平分BC．13、有三个村庄A、B、C（如图所示）．现在要建一所学校，使学校到A、B、C三个村庄的距离相等．请用尺规作出学校的位置．14、如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC延长线于E，交AC于F，∠A＝50°，AB＋BC＝6cm，求：（1）△BCF的周长；（2）∠EFC的度数．15、如图，一辆汽车在直线型公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄．（1）当汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在公路AB上分别画出P、Q的位置（保留作图痕迹）；（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段上离M、N两村庄都越来越近？在哪一段上离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远（分别用文字表述你的结果，不必证明）？（3）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M、N的距离相等？如果存在，请画出这一点（保留作图痕迹，不必证明）；如果不存在，请简要说明理由．16、（2012，福建福州凤城中学八年级期中）如图，△ABC中，D为BC上一点，△ABD的周长为12cm，DE是线段AC的垂直平分线，AE＝5cm，则△ABC的周长是（）A．17cm B．22cm C．29cm D．32cm17、（2011，福建漳州三中第一次月考）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高线的交点D．三条垂直平分线的交点18、（2011，甘肃白银平川二中期中）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连接CQ与AB相交于点D，连接AC，BC．那么：（1）∠ADC＝________；（2）当线段AB＝4，∠ACB＝60°时，∠ACD＝________，△ABC的面积等于________．19、（2011，福建漳州三中第一次月考）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．（1）作AB的垂直平分线，分别交BC于点M，交AB于点N（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想．20、（2012，重庆石柱九年级上学期期末）为了推进农村新型合作医疗制度改革，某镇准备新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．（要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）21、（2010，义乌）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（）A．6 B．5 C．4 D．322、（2011，浙江绍兴）如图所示，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（）A．7 B．14 C．17 D．2023、（2011，广西河池）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB＋BCC．AD＝BD＝BC D．点D是线段AC的中点24、（2011，广东河源梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点君，已知∠BAE＝30°，则∠C的度数为________．25、（2011，山东莱芜）如图，已知在△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC＝6cm，则AD＝________ cm．26、（2007，河南）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是________．27、（2011，四川乐山）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BD于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．角平分线1、如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为点F，DE与AB相交于点E．已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点，设DP＝x cm（x＞0），四边形BCDP 的面积为y cm2．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，△PBC的周长最小？并求此时y的值．定理：角平分线上的点到这个角的两边的________相等．定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的________．定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________的距离相等．2、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论中，正确的个数是（）①AD上任意一点到点B、C的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF．A．1个B．2个C．3个D．4个3、如图，在△ABC中，∠ABC、∠BCA的平分线相交于点O，下列结论正确的是（）A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．不能确定4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝10cm，则△DBE的周长为（）A．10cm B．8cm C．12cm D．9cm5、如图所示，l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）A．一条B．两处C．三处D．四处6、已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离分别等于（）A．2cm、2cm、2cm B．3cm、3cm、3cm C．4cm、4cm、4cm D．2cm、3cm、5cm已知∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为________．7、如图，∠AOB＝60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD＝CE，则∠DOC＝________．8、如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC且过O点，AB＝8，AC＝7，则△AMN的周长为________．9、在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，AC＝8cm，AD＝10cm，则点D到AB的距离为________．10、如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB＝OC．11、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC中点，DM平分∠ADC求证：AM平分∠DAB．12、在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在A区内，到公路、铁路的距离均为350m，测得∠CBD＝60°，请你在如图所示的作战图中标出蓝方指挥部的位置．（比例尺为：1∶35 000，其中BC表示铁路，BD表示公路）13、（2011，四川彭州北君平中学）如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF＝EF；③DO＝EO；④∠OFD＝∠OFE．其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14、（2012，安徽宿州祁县中学九年级第二次月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝8cm，BD＝5cm，那么点D到直线AB的距离是________．15、（2011，福建漳州三中第一次月考）已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于点D，且BD＝CD．求证：点D在∠BAC的平分线上．16、（2011，浙江衢州）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点：若PA＝2，则PQ的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．417、（2010·益阳中考）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定P点的方法正确的是（）A．P为∠A、∠B两角平分线的交点B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC、AB两边上的高的交点D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点18、（2011年十堰市）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C作射线OC．由此做法得△MOC≌△NOC的依据是（）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS19、（2011，辽宁丹东）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC＝9，则AE的值是（）A．B．C．6 D．420、（2011，湖北恩施）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B． 5.5C．7 D．3.521、（2011，河南）如图，在ABCD中，∠A＝四边形90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为________．19题20题21题22题22、（2011，湖南岳阳）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为________．23、（2011，江苏扬州）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．24、（2011，广西桂林）求证：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．已知：求证：证明：25、已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．（1）如图①，若点O在边BC上，求证：AB＝AC：（2）如图②，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示．本章检测1、下列命题中，是真命题的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线和高重合B．若三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等C．等腰三角形两角相等D．等腰三角形一定是锐角三角形2、在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于（）A．1∶2∶3 B．1∶2∶C．1∶∶2 D．1∶∶3、如图所示，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中使△ABC≌△AED 的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4、已知图中的两个三角形全等，则的α度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°5、尺规作图作∠AOB的平分线方法如下（见图）：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS6、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．93题4题5题6题7、如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是（）A．100°B．80°C．70°D．50°8、如图所示，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，又DE∥BC，交AC于E，若DE＝4cm，AE＝5cm，则AC等于（）A．5cm B．4cm C．9cm D．1cm9、在Rt△ABC中，如图所示，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE＝3.8cm，则BC等于（）A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm10、如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD ＝CE，连接DE，DF，EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤7题8题9题10题11、已知如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．上述结论正确的是________．（填序号）12、如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°．把△ADC沿直线AD折过来，点C落在点C′的位置上，如果BC＝4，那么BC′＝________．13、如图所示，在△ABC中，高AD，CE相交于H，且CH＝AB，侧∠ACB＝________度．14、如图，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为D，E为AC的中点，AD＝DE＝6cm，则∠ACD＝________°，AC＝________ cm，∠DAC＝________°，△ADE是________三角形．11题12题 13题14题15、如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则正方形E的面积是________.16、如图，点F、C在线段BE上，且∠1＝∠2，BC＝EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件________．17、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝________．18、将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是________cm2．15题16题17题18题19、如图，已知∠AOB，点M、N．求作点B，使点P在∠AOB的平分线上，且PM＝PN（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．20、如图，已知：AB＝AC，DB＝DC，求证：AD⊥BC．21、某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米要8元，求买这种草皮至少需多少元？22、如图①，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB＝2AD．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）保持图①中△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图②中的位置（垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系，并给予证明；（3）保持图②中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图③中的位置（垂线段AD、BE在直线MN的异侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系，并给予证明．23、一个直立的火柴盒在桌面上倒立，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′、AC′、AC，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2．24、学完“证明（二）”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M、N分别在正三角形ABC的边BC、CA上，且BM＝CN，AM、BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM＝CN”与“∠BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍为真命题？②若将题中的点M、N分别移到BC、CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM＝60°？③若将题中的条件“点M、N分别在正三角形ABC的边BC，CA上”改为“点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上”，是否仍能得到∠BQM＝60°？对②，③进行证明．。

5.3.2 综合法和分析法同步测控我夯基，我达标1.设x 、y∈R +,且x+y-xy=43,则( )A.x+y≥3或0<x+y≤1B.1≤x+y≤3C.x+y≥1D.x+y≥3解析:∵x、y∈R +,∴2yx +≥xy . ∴xy≤(2yx +)2.∴-xy≥-(2yx +)2.∴x+y -xy≥(x+y)-(2y x +)2, 即43≥(x+y)-(2yx+)2.∴(x+y)2-4(x+y)+3≥0.∴x+y≥3或0<x+y≤1.答案:A2.设a 、b∈R +,A=b a +,B=b a +,则A 、B 的大小关系是( )A.A≥BB.A≤BC.A>BD.A<B解析:∵a、b∈R +,∴A 2=a+b+2ab >a+b=B 2,∴A 2>B 2.∴A>B.答案:C3.若1<x<10,下面不等式中正确的是( )A.(lgx)2<lgx 2<lg(lgx)B.lgx 2<(lgx)2<lg(lgx)C.(lgx)2<lg(lgx)<lgx 2D.lg(lgx)<(lgx)2<lgx 2解析:∵1<x<10,∴0<lgx<1.∴lg(lgx)<0.又∵(lgx)2-lgx 2=(lgx)2-2lgx=lgx(lgx-2),lgx>0,lgx-2<0,∴lgx(lgx -2)<0.∴(lgx)2<lgx 2.∴lg(lgx)<(lgx)2<lgx 2.答案:D4.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( ) A.(a+b)(a 1+b 1)≥4 B.a 3+b 3≥2ab 2C.a 2+b 2+2≥2a+2bD.||b a -≥b a -解析:∵a>0,b>0, ∴(a+b)(a 1+b 1)=2+a b +b a≥4恒成立.又a 2+b 2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0,∴a 2+b 2+2≥2a+2b 恒成立.当a≥b 时,(||b a -)2=a-b.而(b a -)2=a+b-2ab =a-b+2b-2ab =(a-b)+2b (a b -). ∵a≥b>0,∴a b -≤0.∴(a -b)+2b (a b -)≤a -b, 即||b a -≥b a -.当a<b 时,||b a ->0.而b a -<0, ∴||b a -≥b a -成立.答案:B5.设M=a+21-a (2<a<3),N=log 21(x 2+161),则M 、N 的大小关系是( )A.M>NB.M=NC.M<ND.不确定解析:∵x 2+161≥161, ∴N=21log (x 2+161)≤4. 又∵M=a+21-a =a-2+21-a +2,2<a<3,∴0<a -2<1.∴a -2+21-a >2. ∴a+21-a >4.∴M>N.答案:A6.使不等式a +>+153成立的正整数a 的最大值为( )A.7B.8C.9D.10解析:用分析法可证a=9时,不等式不成立;当a=8时,不等式成立.答案:B7.已知b>a>0,且a+b=1,那么( ) A.2ab<b a b a --44<2ba +<b B.2ab<2b a +<b a b a --44<b C.b a b a --44<2ab<2b a +<b D.2ab<2b a +<b<b a b a --44解析:b a b a b a b a b a b a --++=--))()((2244=(a 2+b 2)(a+b)=a 2+b 2=(a+b)2-2ab=1-2ab.∵b>a>0,∴a 2+b 2>2ab,21=2ba +<2bb +=b. ∵a+b=1>2ab ,∴2ab<21.∴1-2ab>1-21=21,即a 2+b 2>21.而b-(a 2+b 2)=b-(1-2ab)=b-1+2ab=-a+2ab=a(2b-1)>0,∴b>a 2+b 2. ∴b>b a b a --44>2ba +>2ab.答案:B我综合，我发展8.若不等式a b +b a>2成立,则a 与b 满足的条件是______________.解析:∵a b +b a -2=ab b a ab b ab a 222)(2-=+->0,∴a≠b 且ab>0.答案:ab>0且a≠b9.已知x 、y∈R +,且xy≥x+y+1,则x+y 的最小值是______________.解析:∵x、y∈R +,∴xy≤(2y x +)2. ∴(2y x +)2≥x+y+1,即(x+y)2-4(x+y)≥4.∴(x+y -2)2≥8.∴x+y -2≥22或x+y-2≤-22(舍去),即x+y≥22+2.答案:2+2210.设x 、y∈R 且x+y=4,则3x +3y 的最小值是______________.解析:3x +3y ≥2y x 33∙=2×23y x +=2×32=18. 答案:1811.若a>0且a≠1,则log a (1+a)____________log a (1+a1).(用不等号填空) 解析:当a>1时,a>a 1.∴1+a>1+a1>1. ∴log a (1+a)>log a (1+a1). 当0<a<1时,a<a 1.∴1+a<1+a1. ∴lo g a (1+a)>log a (1+a 1). 答案:>12.设a>0,b>0,c>0,求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.分析:本题的结构显然出现a+b,但不能转化为ab 2,因为右边出现的是abc,所以需将左边展开重新合并,再用基本不等式证出.证明:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=a 2b+ab 2+b 2c+bc 2+ca 2+ac 2=(a 2+c 2)b+(a 2+b 2)c+(b 2+c 2)a.∵a 2+c 2≥2ac,a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,且a>0,b>0,c>0,∴(a 2+c 2)b≥2abc,(a 2+b 2)c≥2abc,(b 2+c 2)a≥2abc.∴ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc 成立.13.a 、b 、c 、d∈R +,求证:2222d c b a +++≥.)()(22d b c a +++分析:本题的不等式比较麻烦,看不出证题的入手点,可用分析法证明.证明:要证不等式2222d c b a +++≥22)()(d b c a +++成立,只需证(2222d c b a +++)2≥(a+c)2+(b+d)2成立. 即a 2+b 2+c 2+d 2+2))((2222d c b a ++≥a 2+b 2+c 2+d 2+2ac+2bd. 即证))((2222d c b a ++≥ac+bd 成立.∵a、b 、c 、d∈R +,只需证(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2.即a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2≥a 2c 2+2abcd+b 2d 2.即证a 2d 2+b 2c 2≥2abcd 成立.∵a、b 、c 、d∈R +,∴a 2d 2+b 2c 2≥2abcd 成立. ∴2222d c b a +++≥22)()(d b c a +++成立. 我创新，我超越14.命题“若a>b>c 且a+b+c=0,则32<-aac b ”是真命题还是假命题?试证明你的结论.证法一:真命题.∵a>b>c 且a+b+c=0,∴a>0,c<0.∴c=-a-b<0.∴a>-b.∴1>a b >-1. ∴b 2-ac=b 2-a(-a-b)=a 2+ab+b 2. ∴43)21()(122222++=++=++=-a b a b a b a b ab a a ac b ≤343)211(2=++.证法二:∵a>b>c 且a+b+c=0,∴a>0,c<0.aac b -2<3⇔ac b -2<a 3⇔b 2-ac<3a 2⇔3a 2+ac-b 2>0⇔3a 2-(a+c)2+ac=2a 2-ac -c 2>0⇔(a-c)(2a+c)>0.∵a>b>c,a+b+c=0,∴a -c>0,2a+c=a+(a+c)=a-b>0.∴(a -c)(2a+c)>0. ∴32<-aac b 成立. 15.已知a>0,求证:2122-+aa ≥a+a 1-2. 分析:本题要证的不等式比较麻烦,可通过分析法证明.不等式中含有根号可通过平方去掉根号,但不等式的性质中,只有两边都是正数的不等式才能通过平方去掉根号.证明:要证2122-+aa ≥a+a 1-2, 只需证221a a ++2≥a+a 1+2.∵a>0,故只要证(221a a ++2)2≥(a+a 1+2)2,即a 2+21a +4221a a ++4≥a 2+2+21a +22(a+a 1)+2. 从而只要证2212a a +≥2(a+a 1),只需证4(a 2+21a )≥2(a 2+2+21a ),即a 2+21a ≥2,显然成立. ∴2122-+a a ≥a+a 1-2成立.。